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小学教学研究

你能快速判断出分数125/354和121/356，哪一个大吗？

——听赵虹老师《分数的大小比较》课后的启发

山西通宝育杰学校  常铁虎

带着许多争论未完的问题，下课了。但是我的思维没有停止，学生的许多方法是否正确？怎样能证明呢？

分数的大小比较，方法很多，我们还是得一步步来整理。最基础的方法是：1-两个分数比较大小，如果它们的分母相同，分子大的分数大。同时还可以知道：2-两个分子相同的分数，分母小的分数大。这是我们平常使用的方法，还有其它方法吗？同学们想出了许都方法，正确与否争论不休。

3-我们比较4/5和5/6时，因为它们都是最接近1的数，它们和1的差分别是： 1/5，1/6，显然因为1/5>1/6，所以4/5<5/6。

4-我们比较5/8和4/9时，因为它们都是接近1/2的数，显然因为5/8>1/2，4/9<1/2，所以5/8>4/9。

以上的判断都是采用了间接的推理，得到了正确结果，我们可以称他们为分数比较大小的新方法，是同学们创新思维的表现。

比较4/5和5/6时，我们根据上边的推理可以得到一个结论，它就是：两个分数，它们的分母和分子的差都是1时，分子大的分数大。（或者说成是分母大的分数大，为什么？请思考。）

进一步思考：它们的分母和分子的差都是1时有结论，如果不是1时，结论是否成立。我们举例看：3/8和6/11，显然它们分母和分子的差都是5，因为6>3,能断定3/8<6/11吗？怎样证明呢，我们还是用上次的方法先进行转化。因为1- 3/8=5/8，1- 6/11=5/11，显然5/8>5/11，所以3/8<6/11。这时我们就可以有新的结论：两个分数，它们的5-分母和分子的差相等时，分子大的分数大。

再想下去，两个分数，它们的分母和分子的差不相等时，是否也可以找出分数比较大小的新方法呢？

先从举例着手，比较5/8和4/9，它们分母和分子的差不相，怎样才能找一种新方法比较出它们的大小呢？凭直观感觉，5/8是比4/9大，但是为什么呢？……我想通了：先用5/8和5/9比较，再将5/9和4/9比较，显然因为5/8>5/9>4/9，所以5/8>4/9。仔细观察它们的特点，将它们的分子比较，分母也比较，5/8具有分母小而且分子大，判断此数就大，此理很像前边的推理：……分母小的分数大；……分子大的分数大。将两个条件合并，分母小且分子大，此分数的大就应该大。

用我们刚才的方法：在它们之间插入一个分数，它的分母与一个分数相同，而分子与另一个分数相同，放到它们之间比较一下，结果显而易见，推理证明马上完成。

想到这里，我们的结论是：两个分数比较大小，先把它们的分子和分母各自比较，6-如果存在分母小的分数，分子反而大，则可以判断此分数大。

事已到此，我们不妨检验一下使用本方法的好处，举例如下：

请你快速判断分数125/354和121/356，哪一个大？

我们观察知道125/354具有分母小而分子大的特征，马上就能判断125/354>121/356。

   道理还可以这么想：粥多僧少，吃得更饱。

看了我写的这些，有收获吗？

附分数大小比较的方法命名：

1、          同分母比较法

2、          同分子比较法

3、          1减法

4、          半数插入法

5、          等差法

6、          插入法

2008-04-20

分数比大小的一点教学思路：

为了表明分数大小比较的道理，教学时要先写出两个分数相等的式子，将其中一个分数的分子变化大小，总结方法一：分母相同，分子大的分数大。分子相同时，将其中一个分数的分母变化大小，总结方法二：分子相同，分母小的分数大。在分子分母相同时，将其中一个分数的分子变大，同时将分母变小，总结方法三：分子大分母小的分数大。

充分利用几何画板动态变化的优点，将分数转化为小数，再转化为扇形，直观观察图形变化，帮助判断数值的大小，帮助思考慢的同学快速理解分子分母变化对分数大小的影响。

在研究了分数比较大小的一些方法后，值得提出的一个比喻是：“粥多僧少吃的饱”。 粥被众僧分吃，粥表示分子，僧表示分母，吃得饱，必然肚子大，就是分数大。僧数量不变，粥越多，肚子越大；粥数量不变，僧越少，肚子越大；如果粥变多而僧变少，必然肚子更大。说明分子大分母小的分数必然大。

将分数大小的比较和僧吃粥有机联系，道理简化，记忆深刻，这就是我的一点教学思考，希望给大家有所启发。

如果需要推理证明“分子大分母小的分数大”，只要在它们之间插入一个分数，此分数的分子和前面分数相同，分母和后面分数相同，应用基本方法比较就可推出结论。

例如：3/8和2/9比较大小，

因为3/8>3/9>2/9,

所以3/8>2/9。

方法四：分子分母的差相等，分子大的分数大。

推理证明是巧妙利用了间接的方法，因为具有分子分母的差相等的分数，它们和单位1相减的差，是两个分子相同的分数。

例如：4/7和5/8，

它们与1的差是：3/7和3/8，分子相同。

我们由常理可知，如果一个分数与1的差数小，那么这个分数大，即：

因为     3/7 > 3/8 

所以     4/7 < 5/8。

再进一步的推理是两个分子相同的分数，3/7>3/8，小的分数，分母一定大，7<8。

对应到原来分数 4/7 < 5/8时，大的分数，分母一定大，

因为分子分母的差相等，分母大的分数，分子也大。

最后可以得出：分子分母的差相等，分子大的分数大。

几何画板课件已经完成，将在我校网上发布，欢迎提出宝贵意见，使课件变得更好！

常铁虎 

2008-4-24