实数完备性基本理论的证明

默认分类2010-05-08 16:15:08阅读95评论0  字号：大中小 订阅

摘要：通过对实数完备性的相关理论的学习，我们虽然掌握了证明七条定理的某些方法，但我们没有对他们进行依次的推证，下面我对其进行了依次的推证，从确界定理 单调有界原理 Cauchy 准则  致密性定理 聚点定理           闭区间套定理 有限覆盖定理 确界定理

关键词：确界定理   单调有界原理  Cauchy 准则  致密性定理 聚点定理            闭区间套定理   有限覆盖定理

我们知道，实数空间是一种集合R，其中的元素为实数，且在这个集合上定义了加”+”,乘，运算，以及序关系”<”，满足以下的公理：

1.       域公理  即任意的x, y, z∈R(实数域)有：

(1).交换律   x+y = y+x, x﹡y = y﹡x .

(2).结合律  (x+y)+ z = x + (y+z),(x﹡y) ﹡z = x﹡(y﹡z).

(3).分配律   x﹡(y+z) = x﹡y + x﹡z.

(4).有两个特殊的成员0与1，对任意的x∈R有 x+0 = x, x﹡1= x.

(5).每个x∈R有关于＂＋＂的逆元-x；关于＂﹡＂的逆元１／ｘ，使得

x+(-x)=0,x﹡(1/x)=1.

２．与加＂＋＂、乘＂﹡＂运算相容的全序公理：

(1)任意的ｘ，ｙ∈Ｒ，以下三种关系：ｘ＜ｙ，ｘ＝ｙ，ｘ＞ｙ必有一个且仅有一个成立．

(2)．传递性　若ｘ＜ｙ，ｙ＜ｚ，则ｘ＜ｚ．

(3)．与“加法”相容性　若ｘ＜ｙ，ｚ∈Ｒ，则ｘ＋ｚ＜ｙ＋ｚ．

(4)．与“乘法”相容性　若ｘ＜ｙ，ｚ＞０，则ｘ﹡ｚ＜ｙ﹡ｚ．

３.（Ａrchimedes公理） 任意 x>0, y>0,存在n∈N ，使得nx≥y.与有理数不同，实数具有完备性.

4.完备性公理：有上界的非空集合必有上确界.

鉴于此，我们对实数有了大体的了解，而下面用实数的7个基本定理以不同的形式刻画了实数的连续性.

一、七条定理的内容分别如下：

（1）.（确界定理）任何R中的非空集E，若它有上界，则必有上确界supE∈R(等价的若有下界，必有下确界)

(2) ．（单调有界原理） 任何R中的单调递增、有上界的序列{ Xn }，必有极限lim Xn∈R(n 趋于∞).(等价地，单调递减、有下界也必有极限.)

(3).（ Cauchy 准则）  对R中的序列{ Xn }收敛的充分必要条件是任意的a>0，存在N，当m,n>N时，有 | Xn—Xm | < a.

(4). (致密性定理)  任何有界的无穷序列必有收敛的子序列.

(5). (聚点定理)    任何有界无穷集，至少有一个聚点.

(6). (闭区间套定理)  任何闭区间套，必存在唯一的公共点.

(7).(有限覆盖定理)   闭区间上的任意开覆盖，必存在有限子覆盖.

二、下面为七条定理的相互推证。

    下图为证明的推导流程图：

单调有界原理

Cauchy

  准则

聚点定理

有限覆盖定理

确界定理

（1）. 用确界原理来证明单调有界定理：

      证明，因为R中的{ Xn }为单调序列，不妨设{ Xn}单调递增，由已知条件，{ Xn }有界，由确界原理知，{ Xn }有上确界，记为a=sup{ Xn }∈R.又有上确界的定义，且{ Xn}单调递增，则对于 >0, N,使当ｎ＞N时，有a- < Xn

（2）. 用单调有界定理来证明Cauchy准则定理：

      证明， ）由于{ Xn } 收敛，不妨设lim Xn = a(n)，则对于 >0, N1，使当ｎ＞N1时，有| Xn -a|< /2,且对于 >0, N2，使当m＞N2时，有| Xm-a|< /2.取N=max{N1,N2}.则对于 >0， N，使当m,n>N时，有

| Xn - Xm | | Xn -a|+|Xm-a|< /2+ /2=

            由于对 >0， N，使当m,n>N时，| Xn - Xm |< ，由单调有界原理知，{ Xn }的极限存在，从而{ Xn } 收敛.

(3). 用Cauchy准则定理来证明致密性定理：

      证明，设为一有界无穷序列，不妨设

①     若中有无穷多项相等，则把这无穷多项取出作为一个子列，由C准则的充分性，收敛

②     若中相等的项只有有限项，有有界，则以下结论成立：对于 >0，N，使当m,n>N时，| Xn - Xm |< 。把这样的Xm,Xn放在一起构成一个集合A { Xn}，再由Cauchy准则定理的充分性知. A收敛.从而致密性定理得证。

（4）.用致密性定理来证明聚点定理：

      证明，由于对于任何的有界无穷集{Xn},根据致密性定理，必有收敛子列{ Xn k}.不妨设a=lim{ Xn k}(k ).则对于 >0,U(a; )有{ Xn }中的无穷多项.根据聚点的定义知，a为{Xn}的聚点，从而聚点定理得证.

(5).用聚点定理来证明闭区间套定理：

     证明，若{an}单调递增，{ bn }单调递减，an  bn，bn - an0，则{[ an, bn]} 为闭区间列，{an},{ bn }而为两个有界的无穷集，{an}有上界，{bn}有下界，则E={ an }U{bn }为有界无穷点集，有聚点定理，E中存在唯一的聚点a，使得an a  bn.从而闭区间套定理得证.

(6).用闭区间套定理来证明有限覆盖定理：

      证明，设 为的一个覆盖，反设中不存在的有限覆盖，即中任何一个有限开区间都不能覆盖[a,b]，将[a,b]分为[a,(a+b)/2]与[(a+b)/2，b]，则这两个小区间中至少有一个被中的有限个开区间覆盖，选之记为[a1,b1]，将这一过程不断地进行下去，得到一个闭区间列{[an,bn]}，满足：

①[an ，bn]  [an +1, bn +1]

②bn- an 0，即lim(bn - an)=0 (n ).

③     任何一个都不能被中的有限个开区间覆盖，由知存在一点a，使得，显然。因此 中至少存在一个开区间s，使a∈s，必有[an, bn] s，即被一个开区间s覆盖，与③矛盾.故反设错误, 中存在的有限覆盖.

(7).用有限覆盖定理来证明确界原理：

证明，设 R， 有 。任取一点 0∈ 。考虑闭区间[ 0, ,]，假若 上无上确界（最小上界），那么 [ 0, )：

ⅰ）当 为 的上界时，必有更小的上界 1< ，因而 有一开邻域，其中皆为E的上界；

ⅱ）当 不是 的上界时，自然有E中的点 2> ，于是 有开邻域 x，其中每点皆不是E的上界。

[ 0， ]上没电都找出一个邻域x，他要么属于第一类（每点为上界），要么属于第二类（每点皆不是上界）。这些邻域{ x： [ 0, ]}，组成闭区间[ 0,]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限覆盖{ 1,…, n}。注意，M所在的开区间，应为第一类的，相邻接的开区间n有公共点，也应为第一类的，经过有限次邻接，可知 0所在的开区间也是第一类的。这便得出矛盾。

其实，还有其他的方法可以证明此定理，上面只是其中的一种而已，我们可以用闭区间套定理来证明确界定理，单调有界原理，Cauchy 准则，致密性定理，聚点定理。也可以用确界定理，单调有界原理，Cauchy准则，致密性定理，聚点定理来证明区间套定理；用有限覆盖定理来证明确界定理，单调有界原理，Cauchy准则，致密性定理，聚点定理，区间套定理。也可以用确界定理，单调有界原理，Cauchy 准则，致密性定理，聚点定理，区间套定理来证明有限覆盖定理。

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社，2007

[2]裴礼文.数学分析的典型问题与方法[M].高等教育出版社，1993