科学松鼠会 ? 别人碗里的肉

很久很久以前，有个地主，雇着两个长工。俩长工每个月打一架，力气都用在口角上了。地主很郁闷，起因都在自己。本来为了激发老王和老李干活的动力，地主每个月底一人给发一个芝麻饼。可不是老王觉得自己的饼小了就是老李觉得对方的饼大了，地主大喝，两个一样大！老子什么时候对你们不公平了？！一阵沉默，他一转身两人继续打。

唉，骂归骂，别人碗里的肉总是比较大，身为地主怎么会不明白这个道理。于是他决定改变策略。饼还是照发，不过这次他买了一大号的，由老王和老李自己来分。地主说：“你们一个人切，由另一个人来挑。”老李笑着把刀递给老王，心想挑份大的还不简单么。经常打输的老王不得已接过刀，恨恨地揣度，可不能便宜了这小子，一定得切出差不多的两份来！

切好了，老李绕着桌子瞧了个360度。嗯，一块稍微大那么一丁点儿，可是另一块的芝麻却也多出那么一丁点儿。老王在一旁暗笑，挑呗，怎么挑都是一样的。最后老李拣走了芝麻多的，老王也乐得拿块大的，俩人都觉得没吃亏。

地主很得意。这个办法真是好。2虽然等于1加1，可世界上从来没有两块一模一样的饼。自己当老大来把一碗水端平，在别人看来不一定就端平了。这回把决策权给他们自己，饼也许并没有真正分匀，却消除了争吵，让双方都满意。还有比这更双赢的对策么？

可事情并不总是那么简单的。吃饱了的长工们干活很卖力，把邻村地主气坏了。他嫌自己的长工老高不够勤快，直接炒了鱿鱼。老高郁闷地背着铺盖卷，跑到这边来投奔。地主家这回有三个工人了。

月底的时候，地主想买个大一号的饼，给他们三个人分。才走到半路呢，忽然犯了愁——切和挑的顺序该怎么定呢？如果一个人切，两个人挑：切的人肯定不在乎得到哪一份，因为他会努力分出自己觉得一样大的三块；问题在于，如果另两个人都看中了同一块的话，后挑的就会不满意了，妈呀，又打架。。。地主在路边坐下来，考虑另一种方案：切的人拿走别人都不要的一块，反正他不在乎；剩下的两块拼在一起，重新分配，一人分一人挑。怎么样？还是不行。虽然第一次切的人拿走他那块时觉得三块一样大，可剩下的被重新分了以后，他会觉得其中一份比自己手里的大了。打架看来是不可避免的。

地主抱着头坐在路边想呀想。太阳出来了，太阳西沉了，月亮出来了，月亮西沉了。。。似乎切啊挑啊，总有人不满意。东方露出了鱼肚白，天空像被万道霞光切成无数片的大蛋糕——咦，有了！咱扔掉一块就解决问题啦！他跳起来，揉着红肿的眼睛，朝烧饼店轻快地跑去。。。

来到长工的窝棚，地主煞有介事地说道：“这块大饼给你们三个人分。都给我听仔细了，看看自己为什么只能当长工，而我可以当地主。”他的方案是这样的：新来的老高掌刀，把饼先切成自己觉得均匀的三块。老王和老李各自指出自己想要的那块。如果两人各有所爱，就各取所需；剩下那块归老高，问题就解决了，谁也不眼红谁。如果老王和老李都看中了同一块，就进行下一步：由其中一人掌刀（假设是老李，换成老王也一样类推），把这一块切去一点，直到自己觉得它和第二大的那块不相上下。把切掉的部分放到一边，然后由老王从三块中挑。接下来老李挑，剩下的归老高。有点繁琐，可是这样保证了公平：首先老王不眼红任何人，他先挑的；老李也不眼红，因为他眼中有两块一样大，而且都比第三块大。那么不论老王挑走哪块，他都有机会拿到两大块中的一块；最妙的是老高也不会眼红。因为剩给他的肯定不是被切过的那块，而最初的三块在他眼里本来是一样的。那么切了的那块尽管在别人眼里是大的，在他看来却比自己手里的小。哇哈，地主好得意啊，三个长工都各自满意，还有切出来的一小点可以给自己当零食。

人手又多干劲又足，地主家成了优秀管理的典型，县令都亲自坐轿前来观摩。听罢主人的自夸，芝麻官笑了。他一边摆弄着那块切下来的边角料，一边捻着胡子说：“你这不是还有一小部分没分完吗？他们聪明点的话说你克扣工钱，怎么办？” 地主一愣：“可是，如果用同样的分法来分这一小部分，不是有更小的一块剩下来吗？那不是得无穷的分下去了？” “老爹啊老爹，我来告诉你为啥你只能做地主，而我可以做县太爷，好不好？”县令的办法是这样的：假设刚才被切了两刀的饼最后归了老李（归老王的话可以类推），就让老王来把这剩下的一块切成三份，然后规定挑的顺序为老李，老高，老王。这就保证了每个人都满意。为什么呢？首先老李先挑，他没啥好抱怨。老高呢，本来就觉得老李上次那块比自己的小，剩下的全给他也不吃亏；老王那块和自己的差不多，但可以在他之前挑，因此也不用眼红老王。最后老王也不眼红他们，因为是他掌的刀。地主听得下巴都快掉了，晕晕乎乎送走了县太爷。回家仔细想了一遍，这逻辑确实高明。

从此地主家成了方圆百里之内有名的科学管理户，并于年底被选为县代表送去京城进修。进修班里圣上亲自驾到御授了一堂课，听得地主直拍大腿：“果然是天子，吾等草包顶多做到芝麻官儿了！”皇上说啥了呢？皇上说，你们别看切饼啊分配啊像是为了防止人类的嫉妒心搞出来的权宜之策，那都是数学！对，不是心理学社会学，奏是数学！一系列的推理中蕴含着逻辑，而逻辑可以化为符号式的语言。比如用三个点表示三个人，另外三个点表示三块饼，谁拿哪块饼就把两个点用线段连起来。整个问题就被抽象成了一些节点和边构成的网络图。这叫啥？这叫图论。图论是离散数学的一个分支，利用人们已经发现的定理，就能对“分饼图”进行推导，证明有没有让大家都满意的最佳方案。

地主充满崇拜地问：“皇上您圣明，可我咋还是不太明白呢？怎就把那么长的推理变成了点和线？还证明？”皇上龙颜不悦地皱了皱眉头：“你以为我啥都知道啊？这不是洋人弄出来的玩意儿嘛！”

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正经的知识背景在此：

“公平分配”(Fair Division)是现代数学中赛局理论(Game Theory)研究的重要问题之一。而“分饼”所代表的一类案例属于公平分配中的“切蛋糕算法”(Cake Cutting Algorithm)范畴。文中提到的三人分饼法在上世纪60年代由两位数学家Selfridge和Conway各自独立发现，并由后继研究者推广到任意n人公平分配。如果在问题中加入各种条件，就能衍生出更加复杂然而有趣的新问题。著名的数学家兼科普人伊恩·斯图亚特(Ian Stewart)在《科学美国人》（99年1月号）和《新科学家》杂志以及单独的作品中都对此作过介绍。