神马文学网科学松鼠会 ? 15年的数学难题 —— 分Pizza
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/27 17:57:45
我是一个“西瓜控”，不管夏天还是冬天，都喜欢吃。要是一人独享西瓜的话，我都是一刀两半，然后拿勺子大口大口地吃，痛快。可是如果和家人朋友一起分享的话，那只好把西瓜切成一块一块的，大家一人一块的这么吃。可是面对西瓜，我总会邪恶地挑大块的吃，以免“吃亏”。如果两个人分瓜，一人一块轮流吃下去，谁会吃得多呢？又怎么才会吃得多呢？
你或许不知，这也是一个有趣的数学难题呢，虽然不像哥德巴赫猜想这么有名，但它也整整经历了15年才终于在去年被成功解决。
问题最早在1967年《数学杂志》上被提出，好事之人叫厄普顿（Upton），但他关注的不是分西瓜，老外嘛，爱分Pizza。因此问题如下：如果有一个Pizza，经若干刀分成若干份之后，两个人按照顺时针（或逆时针）的顺序一人一块来吃的话，谁能吃得多呢？这个问题看似很白痴，有人会说，每个人都取来自己分得的Pizza，然后称一下不就知道了吗？但这个问题在数学家眼中，却是另一个世界。
问题的开端：切2刀和切偶数刀
数学家磨刀霍霍，开始考虑各种情况。第一，如果每一刀都经过Pizza的圆心的话，那当然不管切几刀，两个人都会分到一样多。实际上人们分Pizza不可能精确地都切过圆心的，所以问题来了：如果每一刀交错点不在圆心上，那两个人谁能分的多呢？
显而易见，切两刀的话，那Pizza会分成四份（见下图）。如果两刀的交错点不在圆心，那么一定会有一块大一些，也就是包括Pizza圆心的那一块。结果不难推出：吃到Pizza圆心的那个人会分得更多Pizza，也就是图中白色的两块Pizza。
如果切4刀，6刀，8刀或更多的偶数刀的话，结果就有所不同了——两个人会分得一样的Pizza。（见上图）这个问题并不是很难证明，不用很难的代数知识就可以解决。厄普顿也就是做了这个工作，分析了所有偶数刀的分发结果。可如果是切3，5，7，9刀呢？这才是真正难题的开始。厄普顿并没有研究这个，它也就一直沉寂到了1994年。
真正的难题：切奇数刀的话
数学家迪尔曼在1994年的时候同样是在《数学杂志》上再次提到了这个Pizza难题，并且邀请广大数学家们来解决：如果切奇数刀会怎么样？他自己计算了，如果切3刀的话，吃到Pizza中心的人会分得的更多。然后另一个数学家马布里加入了这个研究，他计算了切5刀的情况。结果正好相反，吃到Pizza中心的那个人会分得更少。如果继续计算下去，再增加两刀达到7刀的时候，结果又反过来了……每到下一个奇数，结果好像就颠倒一次。（见下图）
如何分析所有奇数的情况呢，这似乎才是问题的关键所在。迪尔曼和马布里两人由此展开了他们漫长的数学解密征途。这个问题看似简单，但是要做到严格的数学证明，并不容易，就像历史上那些著名的数学难题一样，需要精密而且精巧的方法，才能解决。
经过了漫长的15年，他们才终于征服了这个Pizza难题。15年，就研究了怎么分一个Pizza，听上去有点滑稽，但对于数学理论来说，这是一个不可忽视的贡献。具体的解决方法，我想我和大家都不能完全看懂，在此就不赘述，大致上他们把问题转化了一下：把“每多切一刀，两个人相比谁多谁少”由一个正负值的来表示。为了分析这个正负值是如何变化，他们需要一个代数模型来计算。经过多年来在无数的代数学已有的模型中辛勤搜索，他们终于从一篇1979年的论文中找到了所需的模型，然后问题迎刃而解。结论也就是——切3，7，11，15刀（4N-1刀）时，吃得到Pizza中心的人会分得更多；切5，9，13，17刀（4N+1刀）时，吃到中心的人分得少。
问题是解决了，结论是证明了，不过有人问，这个给我们的工业生产带来什么好处了吗？没有，暂时还没有。数学的美，不在于那些，而在于其精巧的思路和严谨的逻辑，这才是一个有一个数学难题真正的魅力。不过这至少让我知道了，如果我和另一个人分西瓜的时候，如果切了偶数刀的话，那就一人分一半；如果切了奇数刀的话，那我有50%概率多吃到西瓜。也就是说不用想太多了，总体来说，西瓜总是平分了的。但是对于看了本文的朋友们，你们现在应该有足够的自信大胆切奇数刀，然后保证自己能吃到更大分的Pizza（或者西瓜）吧。