科学松鼠会 ? 一道八百年松鼠难题

史上最著名的一道松鼠数学题是这样的：

上帝从伊甸园抓起一把土捏成松鼠亚当，又抽他一根肋骨变作松鼠夏娃。他们都有不死之躯，自由自在终日玩耍。由于太贪玩，二人从第二月开始每月生下兄妹一双。兄妹本着肥水不流外人田的精神，同样自二月大时生小兄妹一双并以每月2只的进度继续下去，小兄妹继续小小兄妹，然后小小生小小小，小小小再小小小小……这是一道天堂里的题，一切情况理想化，所以夫妻从来没有外遇。一年之后伊甸园里统共有几对松鼠呢？

算法是，新一月松鼠总数=上月总数+上上月总数（因为每个月只有辈份最小的兄妹不生育，年长的则两只生两只，数量翻倍）。于是按月排列，松鼠对的数量是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……后一项总是前两项之和。

如果我说的不明白，当然也可以画图求解：

对松鼠会的自我吹捧到此结束，这道被我篡改的难题原型是兔子，出题者是“中世纪最天才的数学家”斐波纳契（Fibonacci）。虽为天才，但惧怕老爸，该本性成为他的标签永世流传（Fibonacci意为Bonacci的儿子）；“兔子问题”正是身为商人的老爸留给他的一道作业。

“0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987……”被称为斐波纳契数列。这位数学家更通俗的一项成就是将阿拉伯数字引入欧洲，于是当中国人写下“叁万捌仟肆佰陆拾壹加玖千贰佰伍拾柒等于肆万柒仟柒佰壹拾捌”时，欧洲人已将晕头转向的“xxxvMMMCDLX+MxCCLVII=xlvMMDCCXVIII”打入冷宫，转以“38461+9257=47718”代之。

言归正传，只有数学家才会因为一串产地伊甸园、毫无生产力价值的数兴奋不已。若真如此简单，斐波纳契数列也不能纠缠世人800年。

让我们先看动物界“疑难杂症”最多的小蜜蜂家族。除了一只蜂皇，所有劳动人民都是雌性，为双亲所生；雄蜂却是孤雌生殖的产物，是没有爹的短命仔。如下图所示，我们用拿一柄矛的“战神”表示雄性，用梳妆镜符号表示雌性，顺藤摸瓜地把二者祖宗八代都列出来。雄性的上辈、上上辈、上上上辈、上上上上辈祖宗数目分别为1个，2个，3，5，8，13；雌性2，3，5，8，13……于是斐波纳契数列显灵了。

如果连蜜蜂一例你都嫌太过“数学”，下边的例子保准属于美学范畴。

首先让我们以“斐波纳契数”为边长画出一组正方形（下图右上），由于数列中每数都是前二之和，所以不论你停止在哪个斐波纳契数，这些正方形都恰能转着圈地码成一个严丝合缝的“斐波纳契矩形”；再连接每个正方形的对角画出四分之一圆周（下图右下红线）——螺壳就这样诞生了（下图左）！绝妙的是，图中这颗螺壳卷了快三圈，最后两段圆弧的半径比55/89已经非常接近黄金分割的数值0.618。你可以除除看——实际上斐波纳契数列越向远方伸展，相邻两数之比则离它越近，这道理正好像追求完美的道路“永无止境”。如果你数学再好一点，懂得勾股定理，请挑战下图右上的蓝线，你能看出来吗，这两条蓝线之比也总为黄金分割0.618。这颗螺，比划比划衣壳上的线段，它无法参透自己为什么在这一刻被斐波纳契数列灵魂附体，也不明白自己怎么长出这么多黄金分割，但它仍然美得不行；在大街上，有时候可以看到裸露的肩膀上晃着经典的“黄金分割模式图”纹身（下图右下），你便知道这位美女与科学是相结合的。

陈述了若干神秘现象，还需用一个有解的题目结束本文。

一头向日葵，中心的瓜子一律排成两组螺旋（如红色所示）。虽然螺旋的数目会因头大头小而变换多少，但它们总是连续的两个斐波纳契数。如果你能看清我画的红道，就可以在这朵中型大小的向日葵中得到验证，这里的两个斐波纳契数分别为21和34。可惜小时候从向日葵上扣瓜子的经历，既没有变作大脑里的数学，也没有变成眼里的美，倒是化作了门牙上那个豁口。

用同样方式体现斐波纳契数列的还有如下“菜市场系列”，你总是能在这些圆鼓鼓的表面上发现顺反两组螺旋，二者数目在一串有名的数列中互为左邻右舍，比如图中松果是8和13，菜花是5和8。所以，每当进入菜市场，你其实已经卷入了一场斐波纳契狂舞。

果实的斐波纳契排布本属生物问题，然而它的解答却在一个中国的物理实验室现出端倪。科学家做出一些非常微小的凸起，用软软的银做核心，用坚硬的二氧化硅做外壳，当小凸起遭到快速冷却，坚硬外壳就会受到均匀拉扯……（此处省去千余字，见下图）从而莫名其妙地在没有生命的小凸上长出无数小痘痘，自动排成向日葵瓜子的阵列。这种排布体现了对能量的最低要求，还能同时保证小痘痘等距排列。结论是，向日葵头和菊花头不想减肥，所以从来不会费很大力气地把自己长成有棱角的方脸，然后将种子码成方阵；它们一致喜欢的则是平滑的圆锥形脸，并让脸上的小痘痘长成两个斐波纳契数的螺旋组，这不光最省体力，而且还能保证你吃到的瓜子既饱满又等大。

井井有条的习惯固然不可多得，但是人乱七八糟同样可以活得很好；至于植物何以固执地摒弃无序、通过上万年突变的积累进化出一张完美的数学脸，我只能叹一句“神奇”作为回应。

当然，植物也有不喜欢圆锥脸庞的，另一个选择就是干脆长成四面八方都一样的圆球形，小痘痘在圆锥表面那扭曲的斐波纳契排布显然不满足球形那精美的辐射对称性，于是便排成了矢车菊那样的等距六边形。

一次一个美国人给了我一颗草莓，我忍着强烈的饥饿将它供在了锥形瓶上。除了对转基因和农药心有余悸，原来也是源自我对美的一种下意识敏感。不管味道如何，草莓好歹得是个圆锥形，小粒粒的种子需以斐波纳契模式来排布；但是在这颗可怜的草莓上，广大的面积却是马蹄、平面等等诡异的形状，以至于斐波纳契只在角落苟延残踹。现在，科学家告诉我们，在受刺激（frustrated）的表面上会形成X形排布——幸好我当时留下照片为证。

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有人有疑问，上文所说的菜花和松果究竟是怎么画出几个圈圈来的，请见下图（顺便附送我在北京照的大斐波纳契套小斐波纳契的菜花花）～