[编辑本段]宇宙系统论——拉普拉斯变换

 拉普拉斯变换的推导途径：
　　1、 从数学角度：通过积分变换进行函数到函数的变换，将微分方程变为代数方程。
　　2、 从物理意义推导：本质上依然是将信号分解为多个正交的子信号的和（积分），或可以从FT推广出。
　　从傅里叶变换导出拉普拉斯变换，可以更加清晰地解释其物理含义，并且可以将两种变换紧密地联系起来。
　　拉普拉斯变换提供了一种变换定义域的方法，把定义在时域上的信号（函数）映射到复频域上（要理解这句话，需要了解一下函数空间的概念--我们知道，函数定义了一种“从一个集合的元素到另一个集合的元素”的关系，而两个或以上的函数组合成的集合，就是函数空间，即函数空间也是一个集合；拉普拉斯变换的“定义域”，就是函数空间，可以说，拉普拉斯变换就是一种处理函数的函数。由于拉普拉斯变换定义得相当巧妙，所以它就具有一些奇特的特质），而且，这是一种一一对应的关系（只要给定复频域的收敛域），故只要给定一个时域函数（信号），它就能通过拉普拉斯变换变换到一个复频域信号（不管这个信号是实信号还是复信号），因而，只要我们对这个复频域信号进行处理，也就相当于对时域信号进行处理（例如设f(t)←→F(s),Re[s]>a，则若我们对F(s)进行时延处理，得到信号F(s-z)，Re[s]>a+Re[z],那么就相当于我们给时域函数乘以一个旋转因子e^zt，即f(t)e^zt←→F(s-z),Re[s]>a+Re[z]；只要对F(s-z)进行反变换，就可以得到f(t)e^zt）。
　　拉普拉斯变换被用于求解微分方程，主要是应用拉普拉斯变换的几个性质，使求解微分方程转变为求解代数方程（因为求解代数方程总比求解微分方程容易得多！而且，（可以很方便地）对求解结果进行拉普拉斯反变换从而得到原微分方程的解）。
　　我们总可以容易地画出实变函数的图像（绝大多数函数的确如此），但我们难以画出一个复变函数的图象，这也许是拉普拉斯变换比较抽象的原因之一；而另外一个原因，就是拉普拉斯变换中的复频率s没有明确的物理意义。
　　关于特征根和复数，建议提问者再去看看书中的定义，应该不难理解。

 宇宙系统论——拉普拉斯方程

　　以法国 P.-S. 拉普拉斯命名的二阶偏微分方程。在三维直角坐标系中，它的形式是：它的二次连续可微解称为调和函数，调和函数有极多的光滑性。拉普拉斯方程在物理吸广泛应用，因为它的解出现在电、磁、引力位势、稳态温度以及流体动力学各方面的问题中 。
　　拉普拉斯方程，又名调和方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。
　　三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：
　　$$
　　{\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } + {\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0.
　　上面的方程常常简写作：
　　$\backslash nabla^2\; \backslash varphi\; =\; 0$
　　或
　　$\backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash operatorname\{grad\}\backslash ,\backslash varphi\; =\; 0,$
　　其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：
　　$\backslash Delta\; \backslash varphi\; =\; 0$
　　其中Δ称为拉普拉斯算子.
　　拉普拉斯方程的解称为调和函数。
　　如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：
　　$\backslash Delta\; \backslash varphi\; =\; f$
　　则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆形偏微分方程。偏微分算子$\backslash nabla^2$或$\backslash Delta$（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian。
　　拉普拉斯方程的狄里克雷问题可归结为求解在区域$D$内定义的函数φ，使得$\backslash varphi$在$D$的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄里克雷问题的解。
　　拉普拉斯方程的诺依曼型边界条件不直接给出区域$D$边界处的温度函数φ本身，而是φ沿$D$的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
　　拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
　　二维拉普拉斯方程
　　两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：
　　$\backslash varphi\_\{xx\}\; +\; \backslash varphi\_\{yy\}\; =\; 0.\backslash ,$
　　解析函数
　　解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z = x + iy，并且
　　$f(z)\; =\; u(x,y)\; +\; iv(x,y),\backslash ,$
　　那么f(z)是解析函数的充要条件是它满足下列柯西-黎曼方程：
　　$u\_x\; =\; v\_y,\; \backslash quad\; v\_x\; =\; -u\_y.\backslash ,$
　　上述方程继续求导就得到
　　$u\_\{yy\}\; =\; (-v\_x)\_y\; =\; -(v\_y)\_x\; =\; -(u\_x)\_x.\backslash ,$
　　所以u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v 同样满足拉普拉斯方程。
　　反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式：
　　$f(z)\; =\; \backslash varphi(x,y)\; +\; i\; \backslash psi(x,y),\backslash ,$
　　则等式
　　$\backslash psi\_x\; =\; -\backslash varphi\_y,\; \backslash quad\; \backslash psi\_y\; =\; \backslash varphi\_x.\backslash ,$
　　成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：
　　$d\; \backslash psi\; =\; -\backslash varphi\_y\backslash ,\; dx\; +\; \backslash varphi\_x\backslash ,\; dy.\backslash ,$
　　φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件：
　　$\backslash psi\_\{xy\}\; =\; \backslash psi\_\{yx\},\backslash ,$
　　所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和斯托克斯定理的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过复变函数方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的奇点。譬如，在极坐标平面(r,θ)上定义函数
　　$\backslash varphi\; =\; \backslash log\; r,\; \backslash ,$
　　那么相应的解析函数为
　　$f(z)\; =\; \backslash log\; z\; =\; \backslash log\; r\; +\; i\backslash theta.\; \backslash ,$
　　在这里需要注意的是，极角θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。
　　拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成幂级数形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与波动方程的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。
　　幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f 在复平面上以原点为中心，R 为半径的圆域内展开成幂级数，即
　　$f(z)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; c\_n\; z^n,\backslash ,$
　　将每一项系数适当地分离出实部和虚部
　　$c\_n\; =\; a\_n\; +\; i\; b\_n.\backslash ,$
　　那么
　　$f(z)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash left[\; a\_n\; r^n\; \backslash cos\; n\; \backslash theta\; -\; b\_n\; \backslash sin\; n\; \backslash theta\backslash right]\; +\; i\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash left[\; a\_n\; \backslash sin\; n\backslash theta\; +\; b\_n\; \backslash cos\; n\; \backslash theta\backslash right],\backslash ,$
　　这便是f 的傅里叶级数。
　　在流场中的应用
　　设u、v 分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x 和y 方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：
　　$u\_x\; +\; v\_y=0,\backslash ,$
　　无旋条件为：
　　$v\_x\; -\; u\_y\; =0.\; \backslash ,$
　　若定义一个标量函数ψ，使其微分满足：
　　$d\; \backslash psi\; =\; v\backslash ,\; dx\; -\; u\backslash ,\; dy,\backslash ,$
　　那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。ψ的一阶偏导为：
　　$\backslash psi\_x\; =\; v,\; \backslash quad\; \backslash psi\_y=-u,\; \backslash ,$
　　无旋条件即令 ψ 满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数φ称为速度势。 柯西-黎曼方程要求
　　$\backslash varphi\_x=-u,\; \backslash quad\; \backslash varphi\_y=-v.\; \backslash ,$
　　所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。
　　[编辑]在电磁学中的应用
　　根据麦克斯韦方程组，二维空间中不随时间变化的电场(u,v)满足：
　　$\backslash nabla\; \backslash times\; (u,v)\; =\; v\_x\; -u\_y\; =0,\backslash ,$
　　和
　　$\backslash nabla\; \backslash cdot\; (u,v)\; =\; \backslash rho,\backslash ,$
　　其中ρ为电荷密度。第一个麦克斯韦方程便是下列微分式的可积条件：
　　$d\; \backslash varphi\; =\; -u\backslash ,\; dx\; -v\backslash ,\; dy,\backslash ,$
　　所以可以构造电势函数φ使其满足
　　$\backslash varphi\_x\; =\; -u,\; \backslash quad\; \backslash varphi\_y\; =\; -v.\backslash ,$
　　第二个麦克斯韦方程即：
　　$\backslash varphi\_\{xx\}\; +\; \backslash varphi\_\{yy\}\; =\; -\backslash rho,\backslash ,$
　　这是一个泊松方程。
　　三维拉普拉斯方程
　　基本解
　　拉普拉斯方程的基本解满足
　　$\backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; u\; =\; u\_\{xx\}\; +\; u\_\{yy\}\; +\; u\_\{zz\}\; =\; -\backslash delta(x-x\text{'},y-y\text{'},z-z\text{'}),\; \backslash ,$
　　其中的三维δ函数代表位于$(x\text{'},\backslash ,\; y\text{'},\; \backslash ,\; z\text{'})$的一个点源。由基本解的定义，若对u 作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么
　　$\backslash iiint\_V\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; u\; dV\; =-1.\; \backslash ,$
　　由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r 相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a 的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理
　　$-1=\; \backslash iiint\_V\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; u\; \backslash ,\; dV\; =\; \backslash iint\_S\; u\_r\; dS\; =\; 4\backslash pi\; a^2\; u\_r(a).\backslash ,$
　　求得在以点源为中心，半径为r 的球面上有 $u\_r(r)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\; r^2\},\backslash ,$
　　所以 $u\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\; r\}.\backslash ,$ 经过类似的推导同样可求得二维形式的解 $u\; =\; \backslash frac\{-\backslash log\; r\}\{2\backslash pi\}.\; \backslash ,$