对数学实验教学的理解2

　　【编者按】实验是科学研究的基本方法之一，数学也不例外。不能设想，所有的数学知识和方法都可以离开实验而仅仅通过计算或推理得到。但是，传统数学教学常常把数学过分形式化，忽视探索重要数学知识形成过程的实践活动。目前，这一观念正在转变，并且，信息技术为学生在教师指导下进行数学实验提供了极好的条件和便利。下面两篇文章的作者分别介绍了自己对数学实验教学的认识和尝试，读者也许能得到某些启发。

　　一、问题的提出
    数学实验是指在典型的环境或特定的条件下所进行的一种发现某种数学理论的探索活动。这种活动的特征是通过实际尝试，产生假设或猜想，进行验证，最终形成有待于进行严密论证的数学命题，或形成解决问题的思路。
　　Ｇ·波利亚指出：数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学看起来都像一门试验性的归纳科学。大数学家欧拉说：数学这门科学需要观察，也需要实验。然而，由于学生所学的数学知识都是前人发现并经过严格论证的真理，因此，过去学生的数学活动大多表现为以归纳和演绎为特征的思维活动，简约了数学的发现过程。这制约了学生的发展。数学实验教学是再现数学发现过程的有效途径，它为学生提供了主体参与、积极探索、大胆实践、勇于创新的学习环境，提供了一条解决数学问题的全新思路。信息技术与数学课程的整合，更为数学实验教学开辟了无限广泛的前景。
　　二、开展数学实验教学的理论依据
　　1.建构主义的学习观和教学观
　　建构主义认为认识不是主体对客观实在的简单、被动的反应，而是主体以自己已有知识经验为依托所进行的积极主动的建构过程。因此，在学习过程中，主体已有的认知结构和对建构过程的积极参与是非常重要的。学生在已有知识结构的基础上，对信息进行主动选择、加工和处理，不断地同化和顺应，从而构建新的知识结构。建构主义的学习观清楚地阐明了学习者积极参与、主动探求对新知识构建的重要作用。
　　2.主体教育的理论
主体教育理论认为，教育应该注重培养和发展人的主体性，应该为学生主体性的发展提供适当的环境和一切便利的条件，充分调动他们学习和自我发展的主动性。“活动”是主体性的具体体现，只有在活动中，人的个性才得以形成和发展，人格的各种要素才得以产生并结合成一个整体。人的活动越丰富，人的发展就越充分、越全面；人的活动越深入，人的研究意识就越强，越有创造力。
　　三、数学实验教学的模式举例
　　1.传统数学实验教学模式
　　该教学模式是通过对一些工具、模型的动手操作，创设问题情境，引导学生自主探索数学知识，检验数学结论（或假设）的教学活动。它由以下５个环节组成：准备——设计方案——实验操作——观察猜想——归纳结论。
　　【案例】“线面垂直的判定”的引入
　　每位同学事先准备一张顶点分别为Ａ，Ｂ，Ｃ的三角形纸片，进行下述实验：
　　①过顶点Ａ折叠纸片得到折痕ＡＤ，如图１，再将折叠后的纸片放置在水平的桌面上，如图２，请观察：折痕ＡＤ与桌面垂直吗？
　　②研究：如何折叠纸片，能使折痕ＡＤ与桌面垂直？如图３。
　　③在图３的情况下，若将折纸展平并让它竖起来，如图４，这张纸还能稳稳地竖立在桌面上吗？即ＡＤ仍与桌面垂直吗？

    在动手操作中，同学们很容易发现：仅当折痕ＡＤ是ＢＣ上的高线时，ＡＤ可能与桌面垂直。此时，ＡＤ⊥ＢＤ，ＡＤ⊥ＤＣ。引发学生思考：当ＡＤ⊥ＢＤ，ＡＤ⊥ＤＣ时，要使ＡＤ⊥面ＢＤＣ，还需要补充什么条件？从而进入理论证明。
经过这样处理，一个抽象的数学定理就直观地展示在我们面前。实验活动不仅能帮助学生快速感知、记忆这个定理，而且能让学生更加深刻地感知线面垂直的条件。
    2.现代信息技术条件下的数学实验教学模式这种教学模式是借助于计算机（包括图形计算器）的快速运算功能和图形处理能力，模拟再现问题情境，引导学生自主探究数学知识、检验数学结论（或假设）的教学活动。它包括以下５个环节：创设问题情境——实验探究——提出猜想——验证猜想——问题拓展。
    【案例】　网络教室中一人一机环境下对直线与双曲线交点个数问题的探究
    （１）创设问题情境
    ①已知双曲线ｘ２－ｙ２＝４和过定点Ｐ（０，２）的直线Ｌ，问直线Ｌ何时与双曲线只有一个公共点？
    ②在计算机上观察四条所求出的直线的位置特征。
    ③问题：当点Ｐ在平面内的其它位置时，过该点且与双曲线只有一个公共点的直线有几条？
    （２）实验探究
    学生借助教师制作的课件（或积件），在计算机上进行自主探究或协作探究实验。学生在计算机上绕定点Ｐ（０，２）旋转直线，发现当直线Ｌ与双曲线的渐近线平行时，直线Ｌ与双曲线只有一个交点。这个规律是否有普遍性？从而引出新问题：若点Ｐ在平面内的其他位置，过该点并且与双曲线只有一个公共点的直线有几条？实验继续进行。
    （３）提出猜想
    通过实验探索，学生大胆猜想：只要直线Ｌ与双曲线的渐近线平行，那么直线Ｌ与双曲线只有一个交点。
    （４）验证猜想
    提出猜想之后，通过演绎推理来验证猜想，或通过反例来否定猜想，是获得正确结论的关键步骤。
    （５）问题的拓展
    ①给定双曲线和一个定点，过这个定点与双曲线有两个交点的直线有几条？
    ②把双曲线改为其它圆锥曲线，情况又如何？
    四、数学实验教学的功用和价值
    1.数学实验创设了良好的教学情境，使学生有兴趣、有信心地学习数学
    创设良好的教学环境可从两方面进行。其一是创设宽松和谐的教学氛围，倡导教学民主，从而使学生能够有信心地参与教学活动。其二是创设有挑战性的数学问题情景，吸引学生积极参与知识的建构过程。教学实践表明，运用现代教育技术建立数学实验室进行教学活动，是一种能够引起态度和个性情绪变化的学习方式。
    2.数学实验为学生提供了探究学习的平台，使学生积极主动地学习数学改变被动学习方式的关键是教师教学方式的变革。在“数学实验”的活动中，教师设置实验题目，组织学生小组学习，引导学生进行实验，并将实验结果进行归纳证明。教师变成教学的组织者和学习的引导者、合作者，学生则通过实验操作进行观察、分析、探索、猜想和归纳，从而亲身体验数学、理解数学，由接受性学习转变为探索性学习。
    3.数学实验拓展了学生探究问题的空间，使学生富有创造性地学习数学在数学实验室的活动中，学生们模拟数学家发现数学的活动，积极观察、比较、分析、猜想、归纳、论证，再现了数学发现过程。在这一过程中，学生的创造性思维能力得到了有效的培养。
    五、对数学实验教学存在问题和解决方法的思考
    1.转变观念，正确认识数学实验教学的意义尽管绝大多数数学教师认为做数学实验是非常必要的，但在教学中却做得很少，甚至不做。这是因为“数学实验”是一种过程教学，尽管能有效地培养学生的探索精神和创新能力，但是在短期内难以提高学生的成绩，就应试效果来说，比不上传统的讲解模式和大容量、高强度、多复习的课堂训练。教师们面对升学压力，舍不得在这上面多花费时间和精力。
    其实，对学生来说，恰当的数学实验能引起学习兴趣、激发学习热情、增加知识的深度和广度，有利于分析和解决问题能力的培养。他们通过实验形成的数学素质，日后将逐渐显露出来。事实上，当前正在进行的课程改革对这一方面已比较重视。因此，数学教师必须转变观念，自觉加强数学实验教学。
    2.重视对学生数学实验能力的培养
    学生初次进行数学实验尝试，往往会不知所措。他们的主要困难是难以设计完整的实验方案，在实验中提不出问题，不善于归纳和形成猜想。针对这些问题，教师要循序渐进，从操作、交流开始，逐渐增加提问、猜想和评估，直到实验设计，逐步提高要求。开始时要突出数学实验的设计思想，并要演示操作过程，指导观察和记录，启发学生进行验证和归纳，有意识地让学生提高参与的程度。
    3.重视数学实验的软硬件建设
    硬件是指计算机（包括图形计算器）、测量工具等。目前不少学校计算机房只是供计算机课使用，轮不到数学课，因而利用计算机或网络进行数学实验难以开展。软件就更加缺乏，教材中缺少实验的内容，教学杂志上关于数学实验的信息也很少，教师缺乏设计数学实验的教学经验。这就要求加大数学实验所需要的软硬件的投入力度，确保数学实验教学的正常开展。
    六、结束语
    在提倡素质教育多年的今天，我们要审视传统的数学教学模式，深刻理解课程改革的理念，积极探索，使我们的数学教学水平和效益上一个台阶。数学实验教学是一种迫切需要。在数学教学中，应该充分挖掘实验素材，利用好《几何画板》、Ｚ＋Ｚ智能教育平台、图形计算器等优秀软件平台，为学生进行数学实验创设良好的环境。