学会一口诀　函数巧平移

左右横”指左右移动时变横坐标，“上下纵”指上下移动时变纵坐标，“正减负加”指移动方向为坐标轴的正方向就减，负方向就加。
一、现举一例详述方法
把函数依次做如下四次平移：①向左平移2个单位；②向右平移-1个单位；③向上平移4个单位；④向下平移-5个单位；平移后得到新的函数，求新函数的解析式。
分析简解
将函数“向左平移2个单位”，由函数平移口诀可知：“向左”表示变横坐标，又“左”代表横轴的“负”方向，所以平移之后的新函数的解析式为：+2；同理：“向右平移-1个单位”表示“横坐标-（-1）”，“向上平移4个单位” 表示“纵坐标-4”， “向下平移-5个单位” 表示“纵坐标+（-5）”，所以经过四次平移后得新函数的解析式为：
-4+（-5）+2-（-1），化简后可求得新函数的解析式：。
二、中考真题一题多解
（2011?江津区 18题，4分）将抛物线：向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是或。
解法一：，根据顶点平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：，将顶点式展开得：；
解法二：将函数向上平移3个单位，再向右平移4个单位，由函数平移口诀可知平移后新函数的解析式为：-3-4-4，化简得：；
点评：比较以上两种方法，我们可以很清楚的看到：与解法一对比，解法二略去了配方求二次函数顶点式的过程，对于配方学得不是太好的学生，解法二便是一种不错的选择。
个人简介：魏俊，男，湖南省常德市武陵区芦山中学。2011年论文及获奖：
1.《课本例题的变式设计及思考》刊登于中学数学教学参考·中旬刊第七期；
2.《湘教版中学数学教材使用中存在的困惑与思考》获省级二等奖；
3.《新思维 新视角 缔造高效新课堂》获省级三等奖；
2011年以前论文及获奖：
1.《平行线的性质》PPT课件获省级三等奖；
2.《四边形的性质》获武陵区教学比武一等奖；
3.《一元一次不等式及性质》获武陵区说课一等奖；
4.《浅谈新课标下教师和学生角色的转变》获常德市市级三等奖；
5.《浅谈新课标下数学的创新教学模式》获武陵区级一等奖；
6.《源于生活 高于生活》获常德市市级三等奖。
三角函数总结及统练（一）基础知识
1. 与角终边相同的角的集合
2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是、、三个量的比值
3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4. 三角函数线
正弦线MP=
余弦线OM=
正切线AT=

5. 同角三角函数的关系
平方关系：商数关系：
倒数关系：       
口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。








正弦







余弦







正切







余切







7. 两角和与差的三角函数

8. 二倍角公式——代换：令

降幂公式
半角公式：；；

9. 三角函数的图象和性质

函数



图象



定义域
R
R

值域
最值

时
时

时
时
R
无最大值
无最小值
周期性
周期为
周期为
周期为
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上都是增函数；在
上都是减函数（）
在上都是增函数，在上都是减函数（）
在内都是增函数（）
10. 函数的图象变换  
函数的图象可以通过下列两种方式得到：
（1）

（2）

（二）数学思想与基本解题方法
1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。
3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。
4. 角的和与差的相对性
如：－
角的倍角与半角的相对性
如：
5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。
6. 数形结合：心中有图，观图解题。
7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。
8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。
【典型例题】
1. 如：（化成一个角的一个三角函数）

[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？
（1）
（2）
（3）
解：
（1），，

（2），，
，
（3），
2.“1”的妙用——凑一拆一
熟悉下列三角式子的化简


；
[例2] 化简     。
答案：
3. 化异为同
[例3] 已知，求：
（1）    （2）
（3）
答案：（1）3；（2）；（3）
[例4] 已知，求：
答案：
4. 与间的相互转化
（1）若，则；；=

（2）若，则；
（3）
[例5] 化简：         。
答案：
[例6] 设，则      。
答案：
[例7] 若在第二象限，，求。
答案：
[例8] 求的最大值和最小值。
答案：，
5. 互为余角的三角函数相互转化
若，则；
[例9] 已知，则      。
答案：
[例10] 求值：        。
答案：
[例11] 求值：
答案：
[例12] 求值：        。
答案：
6. 公式的变形及活用
（1）
（2）若
[例13] 计算      。
答案：
[例14]         。
答案：
7. 角的和与差的相对性；角的倍角与半角的相对性
[例15] 若，则     。
答案：7
[例16] 若，则       。
答案：
[例17] 在中，A为最小角，C为最大角，且，，求的值。
答案：
8. 角的范围的限定
由于条件中的三角式是有范围限制的，所以求值时可排除值的多样性。
[例18] 已知，求。
答案：
[例19] 若，求。
答案：
[例20] 若是第二象限角且，求的值。
解法一：利用公式然后限定角的范围。
解法二：设利用平方和求的值，然后限定角的范围。
解法三：利用，可回避限定角的范围。
答案：
[例21] 已知且，求的值。
关键是角的范围的限定，逐层限定角的范围，逐步求细。
答案：
9. 在三角形中的有关问题
；；
结论：；
；
[例22] 已知A、B、C是的内角且，试判断此三角形的形状。
答案：等腰三角形，B=C
[例23] 在锐角三角形ABC中，求证：
证明：由则
故   同理   
三式相加，得证。
10. 形如的化简
[例24] 求值：（1）   （2）
（3）
（4）
答案：（1）（2）   （3）   （4）
11. 三角函数图像和性质的应用
会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间（“一套”）；会解——简单的三角不等式、三角方程、比较大小。
[例25] 求下列函数的定义域。
（1）
（2）
（3）
答案：
（1）
（2）
（3）
[例26] 求下列函数的值域。
（1）
（2）若是锐角，则的值域。
答案：（1）  （2）
12. 可化为形如：的形式（一个角的一个三角函数）
[例27] 已知函数，当时，求函数的最大值和最小值及何时取到？
答案：时，；时，
13. 函数的图像的变换——两个题型，两种途径
题型一：已知解析式确定其变换方法
变换有两种途径：其一，先平移后横向伸缩；其二，先横向伸缩后平移。
注：关注先横向伸缩后平移时平移的单位与的关系
题型二：由函数图像求其解析式
[例28] 已知函数，（，）在一个周期内，当时，有最大值为2，当时，有最小值为，求函数表达式，并画出函数在一个周期内的简图。（用五点法列表描点）
答案：，

14. 可化为形如：，（定义域有限制的一元二次函数）
[例29] 求函数的值域
解：
[例30] 求的最大值、最小值，若记其最大值为，求解析式并化出它的图像。
解：
时，，时，，时，
图略
15. 周期函数与周期
[例31] 已知函数对定义域中每一个都有，其中，则的周期         。
解：T
[例32] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：4
[例33] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：8
[例34] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立，求其周期。
解：6
[例35] 已知奇函数对定义域中每一个都有成立 ，求其周期。
解：6
16. 函数与方程的思想
[例36] 方程的解的个数      。
解：63
[例37] 为何值时方程有解？
解：
[例38] 方程，有两解时求的值。
解：
【模拟试题】
一. 选择题（本题每小题5分，共50分）
1. 的值是（   ）
A.     B.     C.     D. 
2. 若与相等，则的值为（    ）
A.     B. 或    C.     D. 
3. 曲线上一点P（，1）处的切线的倾斜角为（    ）
A.     B.     C.     D. 以上都不对
4. （）成立的充要条件是（    ）
A.     B.     C.     D. 
5. 偶函数在上单调递减，又A、B是锐角三角形的两个内角，且，则有（   ）
A.                       B. 
C.                          D. 
6. 是关于的方程的两个实根，则实数的值为（    ）
A. 2    B.     C. 2或    D. 其它
7. ，且，则的值是（    ）
A.     B.     C.     D. 0
8. 定义运算为：，例如，则函数的值域为（   ）
A.     B.     C.     D. 以上都不对
9. 已知，，则下列各数，，的大小关系是（    ）
A.     B.     C.     D. 
10. 设，记，，其中，则（    ）
A.     B. 0    C.     D. 
二. 填空题（本题每小题4分，共24分）
11. 中，，，，则     。
12. 在（0，）内是增函数，则的取值范围是          。
13. 中，三内角A、B、C成等差数列，若，则
.
14. 已知，则负数的取值范围         。
15. 下列四个命题（1）若点P（）（）为角终边上一点，则；
（2）若且都是第一象限角，则；
（3）若是第二象限角，则；
（4）若，则。
其中正确命题的序号为         。
16. 已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的P点，依次反射到CD、DA和AB上的点，设，若，则的取值范围为         。
三. 解答题（共76分）
17. 设函数的最小值是，
（1）写出的表达式；（2）试确定能使的的值。
18.（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的取值范围。
19. 求函数函数的最大值及最大值时相应的的集合。
20. 已知奇函数在上有意义，且在上是增函数又有函数，若集合，对所有}，集合，对所有}，（1）求的解集；（2）求。
21. 下图是一个串并联混合电路的示意图，A、B、C、D都是电路中独立的工作元件，已知A、B、C元件正常工作的概率都是0.9，D元件正常工作的概率是0.8，
（1）求元件D不正常工作的概率；
（2）求元件A、B都正常工作的概率；
（3）求电路正常工作的概率。

22. 设，函数
（1）判断在R上的单调性；
（2）当时，求在[1，2]上的最小值。

【试题答案】
一.
1. A    2. D    3. C    4. C    5. B    6. B    7. B    8. B    9. B    10. C
二.
11.     12.    13.    14.    15. 3   16.（）
三.
17. 解：
∴（1）   （2）   ∴ 
18. 解：
（1）∵    
∴ 
       ∴ 
（2）设   
        ∴ 
19. 解：

当且仅当   即  
20. 解：
（1）

或
（2）由（1）或0
∴ 
    ∴ 
∴ 
∵    ∴     ∴ 
∴     ∴ 
21. 解：
（1）
（2）
（3）

22. 解：
（1）
① ，
② ，设
令，
∴     
③ ，令360docimg_501_，360docimg_502_
360docimg_503_   360docimg_504_    360docimg_505_
（2）当360docimg_506_时，360docimg_507_    ∵ 360docimg_508_
360docimg_509_     ∴ 360docimg_510_