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第七章式与方程

　　第一节：用字母表示数

　　要点：1、在具体情境中会用字母表示数。

　　2、结合简单的实际情境，了解等量关系

　　图解：

　　用字母表示数

　　分解知识点：

　　一、用字母表示数的意义和作用

　　用字母表示数，可以把数量关系简明地表达出来，同时也可以表示运算的结果。

　　例如：用字母a表示每本书的单价，买3本书应付的钱可以写成3a。

　　注：“3a”这个式子清楚地表示出当单价是a时，单价，购买本数和应付钱数三个量之间的关系，同时，它也表示了买3本书的总钱数。

　　相关知识的链接：

　　代数式：用加、减、乘、除等运算符号，把数和表示数的字母连接成式子，这样的式子称为代数式。

　　例如：3＋5x，x＋y， ＋a÷2等都是代数式。特别地，单独的一个字母或数字。

　　如a、x、8等，也叫做代数式。

　　第二节：用字母表示数量关系

　　1、路程用s表示，速度用v表示，时间用t表示，三者之间的关系：

　　s＝vt，v＝s÷t （或 ），t＝s÷v（或 ）

　　2、总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系：

　　a＝bc，b＝a÷c（或 ），c＝a÷b（或 ）

　　3、收入用a表示 ，支出用b表示，结余用c表示，三者之间的关系：

　　a＝b＋c，c＝a－b，b＝a－c

　　4、工作效率用a表示，工作时间用t表示，工作总量用c表示，三者之间的关系：

　　c＝at，t＝c÷a（或 ），a＝c÷t（或 ）

　　警示区：一个字母只能表示一种数量吗？

　　注：一种数量用什么字母来表示，一般是约定俗成的，但不是绝对的。例如：时间一般用字母t来表示；例如：a既可以表示总价，也可以表示收入，但在同一个数量关系中，一个字母只能表示一种数量。

　　第三节、：字母表示常见的运算定律和性质，我们学过的运算定律，都可以用字母来表示，这比用语言叙述更为简洁明确。

　　警示区：a2与a的区别是什么？

　　 a2＝a×a表示两个a的积，而2a＝a＋a表示两个a的和，只有当a＝2或a＝0时，a2＝2a。

　　例如：加法交换律可表示为：a＋b＝＋b＋a

　　加法结合律可表示为：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c

　　乘法交换律可表示为：ab＝ba

　　乘法结合律可表示为：（ab）c＝a（bc）

　　乘法分配律可表示为：（a＋b）c＝ac＋bc

　　减法的性质可表示为：a－b－c＝a－（b＋c）

　　第四节：用字母表示公式及运算法则

　　一、数学中的计算公式或运算法则，都可以用字母很简明地表示出来。

　　例如：

　　名称 字母意义 字母分式

　　长方形 a—长 b—宽 c＝2（a＋b）

　　正方形 c—周长 s—面积 s＝ab

　　平行四边形 a—边长 c—周长 c＝4a

　　s—面积 s＝a2

　　三角形 a—底 h—高 s＝ ah

　　s—面积

　　梯形 a—上底 b—下底 s＝ （a＋b）h

　　h—高 s—面积 （*）s＝mh

　　（*）m＝中位线

　　圆 π—半径 d—直径 c＝πd＝2πr

　　c—周长 s—面积 s＝πr2

　　扇形 r—半径 s＝ ×n

　　n—圆心角度数

　　s—面积

　　长方体 a—长 b—宽 h—高 s＝2（ab＋ah＋bh）

　　s—表面积 v—体积 v—abh

　　正方体 a—棱长 s＝6a2

　　s—表面积 v—体积 v＝a3

　　圆柱 h—高 c- 度面周长

　　s—表面积 S侧＝ch

　　S侧—侧面积 S表＝S侧＋2S

　　S底—底面积 V＝sh

　　v—体积

　　圆锥 h—高

　　S—底面积 V＝ Sh

　　v—体积

　　第五节：用字母表示的数在写法上的规定

　　1、数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“· ”或者省略不写，数字要写在字母的前面，例如：3×a＝3·a＝3a

　　2、当“1”与任何字母相乘时，“1”都省略不写，例如：1·a＝a

　　3、在一个问题中，同一字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示，例如：

　　3x＋b＝2（b＋c）

　　4、用含字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中加号或减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位名称。

　　第六节：将数值代入式子求值

　　1、含字母式子的值

　　当字母的数值确定时，把它代入原式中进行计算，所得的结果就是含字母式子的值，又称代数式的值。

　　例如： ab，当a＝6，b＝10时，则 ab 的值是 ×6×10＝20

　　2、将数值代入式子值的方法。

　　把具体的数值代入式子求值时，要注意书写格式；先写出字母等于几，然后写出原式，再把数值代入式子求值。字母表示的是数，不写单位名称，同一个式子，当式子所含字母取不同的数值时，所求出的式子的值也不相同。

　　例题精讲

　　例1：用含字母的式子表示下面各题的数量关系。

　　（1）a与4的和的7倍。

　　（2）比m的8倍少n的一半的数。

　　精讲：这道题是用含字母的式子表示数量关系。（1）按照字母表示数的规定，a与4的和乘7，乘号省略并且7要放在“和”的前面，所以最后写成：

　　7（a＋4）；（2）n的一半，一般不写成n÷2，而写成 n，所以最后写成：8m－ n。

　　例2：写出下面各题的简便算法，再用字母表示出来 。

　　（1）125－12.2－7.8 (2)7000÷125÷8

　　精讲：（1）是利用“一个数连续减去两个数，等于减这两个数的和”的性质进行简算的，

　　所以125－12.2－7.8＝125－（12.2＋7.8）

　　用字母表示为a－b－c＝a－（b＋c）

　　（2）是利用“一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的乘积”这一性质进行简算的，所以7000÷125÷8＝7000÷（125×8）

　　用字母表示为a÷b÷c＝a÷（b×c）

　　例3：一辆客车平均每小时行a千米，一辆货车平均每小时行b千米，客车行了3小时，货车行了5小时，用含有字母的式子表示出两车共行了多少千米？

　　精讲：这道题是根据应用题到算式，客车行了3a千米，货车行了5b千米，它们的和为共行的路程，当3a和5b分别为一个整体时，写单位名称时不用括号而它们的和3a＋5b为一个式子，如果不加括号而上单位名称千米，那就是表明了5b的单位是千米，3a的单位，没有表示出来，所以要把式子括起来再写单位名称，答案为（3a＋5b）千米。

　　例4：用3辆载重为x吨的卡车，运了4次货物。

　　（1）用式子表示一共运的货物的总数。

　　（2）根据式子，求x＝8时，一共运了多少吨货物。

　　精讲：（1）因为是用3辆载重为x吨的卡车运货，所以3辆卡车一次运货的吨数可表示为3x吨，又因为是运了4次，再乘4，因此一共运的货物总数可以表示为（3x×4）吨。

　　（2）当x＝8时，求运货物的总数，可以把x＝8代入含有未知数的式子中，求出值即可。

　　解答：（1）一共运的货物的总数为3x×4＝12x

　　（2）当x＝8时，12x＝12×8

　　＝ 96

　　答：一共运了96吨货物。

　　例5：汉口到上海的水路长1125千米，一艘轮船以每小时26千米的速度从汉口开往上海。

　　（1）开出t小时后，离开汉口有多少千米？

　　如果t＝12，离开汉口有多少千米？

　　（2）开出t小时后，到上海还要航行多少千米？如果t＝20，到上海还有多少千米？

　　精讲：关键在于理解题意，弄清轮船行驶的方向，根据题意可以画出线段图。

　　（1）开出t小时后，离开汉口有多少千米？

　　26t千米，如果t＝12，离开汉口有多少千米？

　　t＝12，26t＝26×12＝312

　　（2）开出t小时后，到上海还要航行多少千米？

　　（1125－26t）千米

　　如果t＝20，到上海还要航行多少千米？

　　t＝20，1125－26t＝1125－26×20＝605

　　例6：在下面竖式中，a、b、c、s各代什么数字？

　　精讲：观察竖式的特点，一个四位数乘9，积仍是四位数，我们还可以看到，一个因数的四位数字与积的四个数字相同，而排列的顺序恰好相反，抓住这个特点，就很容易分析出来了。

　　a b c d

　　× 9

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　　d c b a