数学需要有效衔接

长期以来，中小学数学教学之间存在着一种严重脱节现象，中小学教师是“铁路警察各管一段”.这种被忽略的割裂状态，致使很多学生进入初中之后不能适应中学的学习，成绩明显下降.搞好小学与初中数学教学的衔接，使数学教学具有延续性和统一性，使学生的数学知识和能力都能衔接自如，是摆在我们中小数学教师面前的一个非常实际的问题.而要做到小学与初中数学教学的有效衔接，需要教师对小学与初中的数学教学内容有一个系统的学习和研究，发现问题，解决问题，掌握不同学段学生学习数学的心理特征，研究不同学段学生学习数学的方法.为此，我们组织“小学与初中数学教学如何有效衔接”的讨论.
一、中小学数学教学的特点
1.中小学数学教学的联系
在讨论中，首先是初中数学教师对小学数学教师“发难”：
——学生只要小学计算过关了，到初中什么都好办.
——学生连计算 都不会，后续的教学怎么进行呀？
——学生做应用题不会分析，到初中用方程解应用题无从下手.
——小学很好的学生，一到初中就不行了.
——小学是怎么教学的，那么简单的内容也要大费周折.
……
小学数学教师也是有苦难言：
——我们按照《数学课程标准》的要求进行教学的，在小学毕业时，学生都已经达到了相应的要求，学生是合格的.
——个别学生出现的计算问题，并不能代表小学计算教学出现了重大漏洞，虽然课改以来，计算要求有所降低，也不会出现大面积的滑坡.
——应用题在小学都是采用算术方法解答的，很少用方程方法.即使用方程方法，也是很简单的应用题，这是符合课标要求的.
……
这样的抱怨到底是谁的错？我们无须讨论.其实，数学知识本身具有系统性和联系性，经过小学6年的知识学习，达到《数学课程标准》规定要求的学生应该是绝大多数，即掌握了小学数学的基础知识，当然包括数的运算.而初中三年的学习将在小学基础上，继续学习数学基础知识中式的基本运算，掌握一些基本运算方法、基本运算技巧及简单的几何知识。
从知识结构上看，初中数学是建立在小学已学知识基础之上，是小学知识的开拓和扩展，初中数学内容有着两大体系：代数、几何；四大块：代数式的运算、方程、不等式以及几何初步认识，这些知识点在小学或多或少都有过简单的渗透，因此对步入初中后的学习并不陌生。例如：代数，有理数中的正整数和正分数；代数式运算中，加法的交换律结合律，乘法的交换律，结合律，分配律，以及a·a=a2；方程中最简单的一元一次方程a+x=b，a·x=b；几何中的三角形、梯形、正方形、平行四边形、扇形及圆柱、圆锥体、球体等简单的平面图形和立体图形，这些知识学生在小学时头脑中就有了一定的认识和了解。因而初中教师在教学中要注意了解学生以前学过的知识，并借助已有的零碎知识引导学生构建新的知识体系，指导学生主动思维、发现、认识、了解新知识，从而激发学生兴趣，教给学生探求问题、解决问题的方法。传授知识并不是把学生所学知识全盘告诉学生，而是要设法让学生在知识产生的背景中去思考探求，去尝试理解。如，在讲解三角形内角和定理或三边关系时，可让学生自己观察，测量，组合，通过实践发现和归纳出三角形内角和现象，两边之和(或差)与第三边关系等规律。
2、中小学数学教学的区别
(1) 中小学生年龄特点、思维方式的差异。
学生从小学到中学，其心理、生理上都在逐步发展。小学以直观现象为主要思维特点，正在由机械记忆向意义记忆过渡，中学生要逐步过渡到抽象逻辑思维，意义识记为主。
生注意力集中时间短，以形象、直观的思维为主，慢慢出现抽象逻辑思维，认知活动的随意性、目的性逐渐增长。他们喜欢参与活动，但对老师有较大程度的依赖性，对教师的信任度比较大。
（2）中小学教学内容、要求的差异。
中小学学生年龄特点不同，决定了学生在小学数学中接触的都是较为直观、简单的基础知识。升入初一后，学生要学的知识在抽象性、严密性上都有一个飞跃。数学内容比小学内容更为丰富，抽象，复杂。从小学单纯研究算术数，着重于数的运算，逐步发展到有理数、实数的运算，在认识上有了质的飞跃。同时，方程、函数、平面几何的引入，在思维上是一次重大突破。对学生记忆、理解应用、推理归纳都比小学有了较高的要求，已不再是只要聪明就可以学会，只要勤奋就可以掌握，而是追求勤奋和思维、聪明和方法的结合。同时，由于学习科目相对增多，且学科的深度、广度、难度、知识的密度有很大增加，学习任务及升学压力加重；所以，初中的课堂信息内容大，教学节奏快，比较重视学生知识技能的落实，也在有意渗透学习能力的提高。更多是依靠学生的自主学习能力；而小学阶段比较关注孩子的全面发展，信息量不多，课堂教学小学生活动以游戏为主，注重对知识发生、发展过程进行探究。总之，初中数学已从具体发展到抽象，从文字发展到符号，由静态发展到动态，数形结合，学生认知结构需发生根本变化。对许多学生来说，各方面的发展跟不上学习的要求。因此，初中阶段学生数学学习成绩两极分化呈现出比小学阶段更严重的趋势，后进生所占的比例较大，特别在初中二年级表现得更严重。
（3）中小学教育教学基本理念的差异。
小学没有升学压力，完全放心的研究、探讨新课程的教育理念，努力实现科学教育与人文关怀的和谐统一；中学受升学率的影响，加上学生由小学到中学是人的两个阶段身心发育的一个转折期，对学生学习管理的社会化程度陡然提高。小学是理解、包容、期待，中学是规则、自律、严格。
（4）中小学教学方式、策略的差异。
小学阶段的教学往往让学生用较多的时间进行新知的探究，用多种方法尝试解决，练习机会多，检查面广，学生对教师的依赖性比较强；而中学因教材内容多，教学时间紧，课堂上没有多少复习时间，有此知识就要通过学生的课前预习、课后复习等环节加以掌握与巩固。
二、关注中小学数学教学内容上的衔接
要搞好中小学数学教学真正意义上的衔接，熟悉掌握“新课标”的教材体系，掌握新旧知识的衔接点，搞好新旧知识的架桥铺路工作，则显得十分重要。
1、在数与代数领域，主要是由“数”到“式” 的发展。
其教学内容的衔接主要表现为两大方面。
（1）由算术数到有理数、实数。
衔接环节是负数的初步认识，即非负有理数→初步认识负数→有理数。这就要求教师必须讲清有理数的特点。为了搞好知识间的过渡，一要淡化概念，逐步加深对有理数的认识。首先，让学生清楚地认识到有理数与算术数的根本区别，有理数是由两部分组成：符号部分和数字部分(即算术数)。这样，对有理数的概念的理解，运算的掌握就简便多了。其次，让学生清楚有理数的分类与小学的算术数相比只是多了负整数和负分数。二要务必使学生熟练掌握算术的四则运算，再弄懂符号法则，有理数的运算即可轻而易举过关。如：(－2)+(－4)先确定符号为“－”再把数字部分相加即可，即(－2)+(－4)=－(2+4)=－6。三是讲清楚具有相反意义的量，是引入负数的关键。这里，可以通过多举些学生熟悉的实际例子，使学生了解引入负数的必要性及负数的意义。例如，如何区别零上温度和零下温度这两个具有相反意义的量呢？又如，珠穆朗玛峰的海拔高度和吐鲁番盆地的海拔高度是具有相反意义的量等等，在教学中可以多举一些例子，让学生了解为了区别具有相反意义的量必须引入一种新的数——负数。
（2）由算术运算到代数运算。
衔接环节是用字母表示数。即数的运算→用字母表示数→式的运算。这次过渡，代数式的概念是关键，使学生明确“式”也具有数的一些性质，以及字母表示数的意义。不过，在小学里学生已接触过用字母表示数的形式，如简易方程中的未知数Ｘ，一些定律和公式也用字母表示，初步体会到字母比数更具有一般性，所以初中教学中应揭示数与式的联系和区别，数可以看成是式的特殊情况，数的运算可以看成是式的运算的特殊情形，用类比的方法进行教学。如：整数与整式的类比，整数分解（分解质因数）与因式分解的类比，整数运算与整式运算的类比，还有分数与分式的类比，分数运算与分式运算的类比等。此外还应加深对字母的认识，Ａ可以表示正数、负数，还可以表示0，学生易于接受，同时还要引导学生从式的观点来看待数的问题，便更有居高临下之感。
2、在认识、学习数量关系方面，从认识常见数量关系开始，经过认识正比例、反比例作为过渡，进入中学后开始较系统地逐步学习函数。相应地，解决实际问题的数学方法，起初全用算术解法，然后到第二学段引入简单的方程，算术与方程两种解法并存，再过渡到第三学段以方程为主的代数解法。
用算术方法与方程解应用题是两种思维方法不同的解题方法。用算术法去求解，是把未知量放在特殊的位置，用已知量求出未知量。用列方程来解应用题，把未知量用字母来表示，且和已知量放在平等的位置上，设法找出等量关系，列出方程，求出未知量。正因如此，一般地说列方程要比列算式考虑起来更直接、更自然，因而有更多优越性。但学生由于受思维定势的影响，用方程常感到书写麻烦，不喜欢方程，为了解决这个问题，在小学高年级及初一应用题教学时，应该把体验方程的优越性作为一个主要教学目标，有意识地指导学生将两种方法进行对比，引导从不喜欢到喜欢，遇到逆解题，尤其是复杂的逆解题，能自觉利用方程简化思维过程。
3、在空间与图形领域，中小学数学教学内容的衔接，主要体现为由直观几何、实验几何向论证几何逐渐过渡。
小学数学教材中，简单几何图形的知识占了很大篇幅，这些知识基本上都是属于实验几何，让学生量一量、画一画、拼一拼、折一折，去学到一些几何知识。中学几何教学则着重培养学生的推理论证能力。例如“三角形三个内角和为１８０°”的命题，在小学教学中，可以把一个三角形纸片的三个角撕下来，拼成一个平角，通过实物模型得出几何结论。中学讲授时既让学生通过实验得出结论，又要强调说明不能满足于实验，而必须从理论上给予严格论证。有些概念，中小学的讲法不同，教学中必须充分注意。
4、统计与概率领域表现为逐步扩展和提高。
对于数据的收集与整理，《数学课程标准》在三个学段采用螺旋上升的安排方式，第一学段要求“学习一些简单的收集、整理数据的方法”，第二学段要求“进一步学习收集、整理数据的方法”，第三学段要求“体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想”等。七年级上册的第四章“数据的收集与整理”是第三学段“统计与概率”的起始章，起着承上启下的作用。一方面加强了与前两个学段的衔接，同时也注意为后面的学习打好基础。
三、重视中小学数学学习方式、思维方式的衔接
小学数学教学是建立在简单，直观，可塑的形象思维基础之上，通过教师直观形象的引导产生对比、分析，进行简单的归纳思维；而初中知识的学习是一个由感性向理性过度的过程，对学生有了较高的逻辑思维和抽象思维要求，数学教学重在培养学生自己观察发现、归纳解决问题的能力。这种能力的培养，是学生由小学到初中思维的一个重大飞跃，对于刚由小学毕业的学生来说，有一定难度，这是他们感到数学难学的重要原因之一。
因此小学教师在衔接阶段的教学中应渗透中学的思维方式和学习方法，进一步改善学生的学习方式，提高学生的适应能力和学习能力，优化学生的认知结构，为学生的中学学习做好铺垫与准备。中学教师也应了解小学阶段学生的学习方法和思维方式，注意与小学教育教学的衔接，让学生有一个平缓的适应过程。
1．注重预习，指导自学。
预习实质上是学生自学的开始，在小学阶段一般不那么重视，因此，到了初一大多数学生不会预习，即使预习了也只是将课文浮光掠影、走马观花地看一遍，而中学数学的学习由于内容增多，难度增大，对学生的预习自学有较强的要求。因此，中小学教师要注重对学生进行预习指导，加强预习训练。训练的方法是，可从布置一些能模仿公式、定理的简单问题开始，使学生逐步尝到自觉寻求知识的甜头，从而激发学生预习的兴趣。待学生有了一定的预习习惯和预习能力后，再布置一些数学概念、定理、表达式和变动翻译的题目，以至过渡到不布置预习提纲学生便能自觉预习，主动提出难以理解的问题，为学习新课知识打下基础。
2、学会复习，温故知新。
学习的过程一般可分为“学习”、“保持”、“再现”三个阶段，而保持和再现又是其中比较重要的阶段。如何去巩固运用所学的知识呢？一是要指导学生进行复习小结，及时再现当天或本单元所学的知识，培养他们运用联想、再现、追忆等方法同遗忘作斗争；二是培养学生积累资料进行整理复习的能力，如将平时作业、单元测试中技巧性强的、易错的题目及时收集成册，便于复习时参考，从而提高解题能力，巩固所学的知识。
3、重视学生的数学思考。
培养和提高学生抽象的逻辑思维能力，是提高初中数学教学质量的必要条件。小学教学内容，多是用具体形象、直观描述的方法来阐述知识。如三角形、圆的知识，从小学一年级就开始出现图形，而在五、六年级才给出一个描述性的定义，其意义叙述这“像红领巾、三角旗、房架的外形这样由三条线段所围成的图形叫三角形”；“我们周围的很多物体，像硬币、钟面、车轮都是圆形的”。而初中数学教学对想象、抽象、概括的思维方式有较高的要求，因而要使学生较好地适应初中的学习，小学教师可以从学生的知识基础和教学内容的实际出发，对学生已具备的、可接受的知识内容，可以不用直观，逐步提高学生抽象概括思维的水平。在应用直观的同时，也要注重及时抽象，并把抽象的知识应用到具体中进行深化认识。而中学教师在教学上就应注意运用从具体到抽象，从特殊到一般，从确是到不定的教学原则，不断发展学生智力，使学生思维向着抽象化、概括化、严密化、复杂化发展。如讲有理数加法法则时，学生对“同号相加，异号相减的法则不理解。搞不懂加法为什么要用减法计算。这时就可用形象的例子来解释，采用形象比喻方法，养成学生能从特殊问题中寻找规律，总结出一般的运算法则或某个概念的结论。
4、积极渗透现代数学思想。
对学生进行数学思想方法的教学，是中小学数学教学的方向性问题。
数学思想方法是指学生解决数学问题常用的方法，一般具体有较高层次性，但数学思想方法是动态的，在小学阶段的数学思想方法主要有：图示法、归纳法、对应法、转化法、化归法、分类法、列举法、假设法、方程法等，在初中阶段的数学思想方法是在小学数学思想方法的基础上不断地发展来的，如消元法、代入法、函数法、集合法等。但小学数学教学中，由于大纲与教材没明确指出某节课要渗透什么数学思想方法，容易忽视这一点，而且在初中阶段教学中，大纲在每一阶段教学中明确指出要加强几类数学思想方法教学。因此，在我们的小学数学课堂，教师必须对学生加强数学思想方法的渗透教学训练。中学数学课堂则应重视数学思想方法的教学。
[案例1]小学分数除法的教学，可引导学生运用商不变的规律将其转化为分数乘法来探索其算法。教学步骤如下：
①复习商不变的规律。
②口算：58÷1=    3/4÷1=  ，说说你怎么算得这么快的？
③引导计算：3/4÷5/8
思考：想个什么办法你就能很快算出得数？
怎样使除数变成1？
④归纳分数除法的算法。
⑤总结数学思想：转化，使不能解决的问题得到了解决。
[案例2]在中学几何中，添加辅助线往往会使复杂的问题转化成简单的问题，如将四边形转化成正方形问题。再例如：一个角的补角是它的3倍，求这个角。解决这个问题时可设这个角是n，那么可得到方程180－n＝3n，这样几何问题就转化成了代数问题，学生很容易求出n来。
四、落实中小学数学教学方式的衔接
抓好教学方法的衔接是提高教学质量的关键。中小学教师必须从“衔接”着眼改进教学。这就要求小学的教学必须注意“顾后”，中学的教学则必须注意“瞻前”。
1．新旧联系，强化概念的衔接。
中小学数学有很多衔接知识点，如有理数、三角形等，到初中，它们有的加深了，有的研究范围扩大了心理学研究表明：学习者必须积极主动地使新知识与自己认知结构中有关的旧知识发生相互作用，旧知识才能得到改造，新知识才能获得实际意义，因此，在传授新知时，必须注意抓住新、旧知识的联系，指导学生进行类比、对照，并区别新旧异同，从而揭示新知的本质。
[案例1]有理数乘法法则与小学数学的乘法法则的不同点，仅在于需确定积的符号，讲解的重点就应放在符号法则上。
[案例2]讲解分式的基本性质，可通过分数的基本性质进行引入讲解等等，让学生在学习时有一种“似曾相识”之感。
[案例3]在教学“代数式”之前，先复习用字母表示运算定律或形体公式后，教师揭示代数式的含义及特点。
这样，把学生熟悉的知识作为准备题，为新知作铺垫，教师只需要引导学生揭示新的矛盾，让学生利用所学知识来解决面临的新问题。学生学起来也轻松主动，可以起到事半功倍的作用。
再从概念教学看，小学对概念的掌握要求并不高，仅侧重于计算；而初中数学，对数学概念要求强化了。初一教材一开始就出现了正数、负数、相反数以及绝对值等概念，如果学生对这些概念采用机械记忆的方法是远远行不通的。如，对负数的概念仅理解为“带负号的数”是不行的，因为它还涉及到运算。又如对|a|的三种类型的结论背得透熟，而遇到|a-3|一类题的讨论时便会感到茫然。因此，小学的数学课堂要适时适度地提升概念的抽象水平，处理好概念阶段性与发展性的关系，引导、启发、帮助学生有条有理、有根有据、符合逻辑地叙述概念。
[案例]根据图形的特征判别图形。
“特征”是小学数学教学中的专有名词，相当于数学学科中的“性质”。由于小学数学教学中只讲图形的特征，也就是只给出图形性质定理的初步描述，不讲图形的判定定理，所以，图形的识别，只能依据图形的特征。我们知道，图形的性质，一般来说只是必要条件，并不一定都是充分的。小学生不知道这一点，所以常常搞错。
作为教师，应该清醒地认识，图形的特征，有些既是必要的，又是充分的。如“平行四边形对边平行”，反过来说“对边平行的四边形是平行四边形”也成立。这样的特征可以用来判断，实际上是用它的逆命题来判断。然而，图形的特征，有些是不充分的，亦即它们的逆命题不成立。如“长方形对边相等”，反过来说“对边相等的四边形是长方形”就错了。这样的特征，只能用它的逆否命题来“排除”非长方形，即“对边不相等的四边形不是长方形”。
中学的数学课堂对概念要努力通过变式与比较、肯定例证与否定例证等方式，让学生弄清概念的含义、实质，并通过所掌握的概念解决实际问题。
2、小学适当“放”，初中有针对性地“抓”。
小学数学教师教学中常用的教学方法有启发谈话法，引导探究法，练习法等，由于每节课教学内容相对于中学数学教学内容少，小学教师在教法上采用探究学习的机会多，而初中数学教师由于数学课内容的偏多，在课堂教学上最大的特点就是教学活动的教学环节的简洁、教学素材的指向明确，问题的思维含量高等。而初一学生刚从小学上来，对教师采用讲授为主的教法，一时难以接受，故会产生听不懂和厌学心理。如一元一次方程这一概念的形成教学，按小学的教法，通常是通过学生观察一组代数式，引导学生比较分类，再加以概括得出，而初中教师通常会自己用语言概括得出“含有一个未知数的一次等式”。显然后者的教学时间短，但忽视了学生知识的形成过程，忽视了学生自主、探究学习，这是很不利于学生思维能力的发展。所以我们认为初一的数学教师初一数学教师在教学中注意用小学教学方法逐步过渡为讲授为主教法就显得很重要。不要认为教学内容多，没办法完成就忽视了学生自主、探究、合作学习的过程。另外，一些小学数学教师的教学扶得过多，放得过少，影响了学生自主学习能力的发展；而一些初中数学教师在教学上却恰恰与之相反，即扶得少，放得多。这一教法的反差，使初一学生对学数学产生不适应现象。因此建议中小学数学教师在教法上从低到高，从“抱——扶——领——伴——放”逐步提高要求，循序渐进。特别是小学高年级教师要适当地“放一放”，尽力做到少讲、精讲，注重培养学生自主探究能力和自觉自律意识，充当半个中学老师的角色；初一教师可适当保留一些小学的教学方法，将初中的教学方式方法逐渐地加以渗透，充当半个小学老师的角色。
[案例]讲授相反数的概念可采用如下顺序
②再观察这几组数字本身的特点：只有符号不同．
③引导学生自行得出相反数的概念．
3、小学要预设，初中重衔接。
为了体现义务教育阶段数学课程的整体性，《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》通盘考虑了九年的课程内容；同时，根据儿童发展的生理和心理特征，将九年的学习时间具体划分为三个学段，相同领域的教学内容在不同学段都有不同的教学目标和要求，教材体系更加系统、科学，各学段之间联系更为紧密，合理衔接就更为重要。因此，小学教师要有意识地提前预设一些学生易懂的第三学段的教学内容，初中教师则注重与前两个学段教学内容的衔接，充分利用知识迁移规律，由易到难进行教学。
[案例]小学解方程教学：
①复习：口答3+x=5、4x=20等方程的解。
②出示4x=20，引导思考：
我们知道，任何复杂的事物都是由简单的事物变化过来的。谁能帮我出出主意：能不能把4x=20这道方程变成比较复杂的方程呢？
③学生分组讨论，随后汇报各自所编的题目。
④教师选取有代表性的题目，按方程的不同类型板书。
4x=20
2x+2x=20         4x+4=24
5x-x=20          4（x+1）=24
3x=20-x
⑤学生质疑。
生1：（指3x=20-x）这个方程是怎么得来的？
生2：我先把4x分成3x+x，再根据等式的性质把x移到等式的右边。
师：能不能把它（指3x=20-x）变得更复杂一些？
生3：我可以把它变成3x+10=30-x。
生4：你是怎么得来的？
生3：我把20看作30减10，再根据等式的性质把10移到等式的左边。
⑥尝试解答。
师：我们把4x=20这个方程转变成了这些比较复杂的方程，你们能解答吗？每一组在解答3x+10=30-x这个方程后，再选择1--2道题求出方程的解。
⑦解答反馈：你们有什么发现吗？
⑧总结：不管怎样复杂的方程，我们总是运用已学过的一些性质，把方程转化成为我们已经熟悉的形式，就可以得到方程的解。
⑨每人从前面口答的几个方程中任意选择一个方程，把它改编成一道比较复杂的方程，给你的同伴解答。
在这样的教学过程中，学生在教师的引导下，自己构建学习材料，又通过互相提问，集体交流，不仅明确了这些方程的由来和解答方法，而且获得了思考问题的方法，为初中解方程教学打下良好的基础。
4、小学重基础，初中重联系。
初中数学教师对小学毕业生数学基础的期望，总体上排在第一的是“扎实的数值计算基本功”。具体说，第一是计算准确；第二是计算熟练，希望不加思索或稍加思索就能完成计算，这样便于将注意力投向数学新知识、新技能的学习和掌握上。至于计算方法，只要确保准确，有利于提高速度即可。现行新课标对小学生的计算要求比以前降低了很多，却与中学老师的期望相矛盾。如现在小学删去了繁分数的计算教学，中学老师则希望小学生学会计算繁分数。我们认为，加强计算基本功训练是小学数学教师要引起重视并加以落实的问题。就计算基本功的训练来讲，小学必须练好：100以内的小数四则口算；简单的分数四则口算；简单的分数小数互化等口算。而中学教师也不能把计算基础全推到小学，拿繁分数计算为例，小学是没学，但小学生已学会分数除法计算、约分、分数与除法的关系等知识，到中学遇到繁分数计算，只要中学老师加以点拨，沟通其与小学知识的联系，指导学生将其转化为分数除法，问题不就迎刃而解了吗？
在古希腊的德尔菲神庙中镌刻着这样一条箴言：一座巍峨的圣殿启始于一块石砖。中小学的衔接工作，正如这块基石一样，关乎整个教育的成功。作为教育者，我们必须用科学的教学方法及教学手段，精益求精的工作态度，清晰严密的课堂环节，和对学生殷切的希望、高尚无私的爱，在尊重和信任的条件下引导学生打开通往中学时代的知识之门，点燃学生心中的火花。