一、整数乘方的个位数字

整数的个位数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十种。下面我们列出表格，看一看经过不同次数的乘方之后，个位数字如何变化。
a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a2 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
a3 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9
a4 0 1 6 1 6 5 6 1 6 1
a5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
…………
从表中可以看出：
（1）平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9，而不可能是2，3，7，8。
（2）三次方的个位数字从0，1到9都有可能。
（3）四次方的个位数字只可能是0，1，6，5，不可能是2，3，4，7，8，9。
（4）五次方的个位数字与一次方的个位数字完全相同。于是，六次方的个位数字与二次方的个位数字完全相同；七次方的个位数字与三次方的个位数字完全相同；八次方的个位数字与四次方的个位数字完全相同。
不难看出：
a1，a5，a9，……的个位数字相同；
a2，a6，a10，……的个位数字相同；
a3，a7，a11，……的个位数字相同；
a4，a8，a12，……的个位数字相同。
（5）个位为0，1，5，6的数无论多少次乘方，其个位数字保持不变。
例1 求31993＋41995＋51995的末位数字
分析：只要分别求出31993，41994，51995的个位数字，再相加即可求出31993＋41994＋51995的个位数学
解：∵51995的个位数字为5，
从各个数字乘方后的个位数字表中可以看到，4的奇次方的个位数字为4，偶次方的个位数字为6，∴41994的个位数字为6；
又34k＋1的个位数字为3，34k＋2的个位数字为9，34k＋3的个位数字为7，34k的个位数字为1，而1993＝4×498＋1，∴31993的个位数字与31的个位数字相同。
故31993＋41994＋51995的个位数字与3＋6＋5＝14的个位数字相同，即31993＋41994＋51995的个位数字为4。
例2 从1，1，3，3，5，5，7，7，9，9中取出5个数，其中至少有三个数不重复，且它们的乘积的个位数字是1。问这5个数的和应是多少？
分析与解：要求取出的5个数乘积的个位数字是1，显然所取的5个数中不能有数字5，只能从1，3，7，9中取，由于要求至少有三个数不重复，那么只能有一个数重复取两次。
即只可能有1×1×3×7×9，1×3×3×7×9，1×3×7×7×9，1×3×7×9×9四种情形。
经检验上述四个乘积的个位数字分别为9，7，3，l。
故所取的五个数为1，3，7，9，9。
这五个数的和为29。
例3 我们把从1开始若干个自然数的连乘积用简单的符号表示，如
1×2×3×4×5记作5！，读作5的阶乘；
1×2×3×……×100记作100！，读作100的阶乘；
1×2×3×……×n，1记作n！，读作n的阶乘。
求N＝1！＋2！＋3！＋……＋1992！＋1993！的个位数字。
分析：只要将1！，2！，3！，……，1992！，1993！的个位数字一一求出后相加，就可得出各个阶乘的和的个位数字。
但要求出各个阶乘的个位数字，需计算1993项，且每一项几乎都是一大串数字之积，工作量是否会太大？
解：∵1！＝1，
2！＝1×2＝2，
3！＝1×2×3＝6，
4！＝1×2×3×4＝24，
5！＝1×2×3×4×5＝120，
可以看出6！直至1993！的个位数字都是0。
因此，N＝1！＋2！＋3！＋4！＋5！＋……＋1993！的个位数字就是1＋2＋6＋24＋0＋……＋0的个位数字。
即N的个位数字为3。
例4 求14＋24＋34＋……＋19924＋19934的个位数字。
分析与解：1，2，3，……，1992，1993，这些数的个位数字不过是1，2，3，4，5，6，7，8，9，0。其四次方的个位数字依次为1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，……。
前十个数字和为1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，个位数字为3。
这样就可将14＋24＋34＋44＋……＋19924＋19934分为十项一组，每组的个位数字均为3。
即（14＋24＋34＋……＋104）＋（114＋124＋134＋…＋204）＋…＋（19814＋19824＋19834＋…＋19904）＋19914＋19924＋19934。
前1990项的和的个位数字与3×199的个位数字相同，即为7。而19914的个位数字为1，19924的个位数字为6，19934的个位数字为1。
所以14＋24＋……＋19924＋19934的个位数字与7＋1＋6＋1＝15的个位数字相同，即为5。
下面我们来研究两个相邻的自然数乘积的个位数字。