循环冗余校验CRC的算法分析

西南交通大学计算机与通信工程学院  刘东
摘要
通信的目的是要把信息及时可靠地传送给对方，因此要求一个通信系统传输消息必须可靠与快速，在数字通信系统中可靠与快速往往是一对矛盾。为了解决可靠性，通信系统都采用了差错控制。本文详细介绍了循环冗余校验CRC（Cyclic Redundancy Check）的差错控制原理及其算法实现。
关键字  通信 循环冗余校验  CRC-32  CRC-16  CRC-4
概述
在数字通信系统中可靠与快速往往是一对矛盾。若要求快速，则必然使得每个数据码元所占地时间缩短、波形变窄、能量减少，从而在受到干扰后产生错误地可能性增加，传送信息地可靠性下降。若是要求可靠，则使得传送消息地速率变慢。因此，如何合理地解决可靠性也速度这一对矛盾，是正确设计一个通信系统地关键问题之一。为保证传输过程的正确性，需要对通信过程进行差错控制。差错控制最常用的方法是自动请求重发方式（ARQ）、向前纠错方式（FEC）和混合纠错（HEC）。在传输过程误码率比较低时，用FEC方式比较理想。在传输过程误码率较高时，采用FEC容易出现“乱纠”现象。HEC方式则式ARQ和FEC的结合。在许多数字通信中，广泛采用ARQ方式，此时的差错控制只需要检错功能。实现检错功能的差错控制方法很多，传统的有：奇偶校验、校验和检测、重复码校验、恒比码校验、行列冗余码校验等，这些方法都是增加数据的冗余量，将校验码和数据一起发送到接受端。接受端对接受到的数据进行相同校验，再将得到的校验码和接受到的校验码比较，如果二者一致则认为传输正确。但这些方法都有各自的缺点，误判的概率比较高。
循环冗余校验CRC（Cyclic Redundancy Check）是由分组线性码的分支而来，其主要应用是二元码组。编码简单且误判概率很低，在通信系统中得到了广泛的应用。下面重点介绍了CRC校验的原理及其 算法实现。
一、循环冗余校验码（CRC）
CRC校验采用多项式编码方法。被处理的数据块可以看作是一个n阶的二进制多项式，由 。如一个8位二进制数10110101可以表示为： 。多项式乘除法运算过程与普通代数多项式的乘除法相同。多项式的加减法运算以2为模，加减时不进，错位，和逻辑异或运算一致。
采用CRC校验时，发送方和接收方用同一个生成多项式g（x）,并且g（x）的首位和最后一位的系数必须为1。CRC的处理方法是：发送方以g（x）去除t（x），得到余数作为CRC校验码。校验时，以计算的校正结果是否为0为据，判断数据帧是否出错。
CRC校验可以100％地检测出所有奇数个随机错误和长度小于等于k（k为g（x）的阶数）的突发错误。所以CRC的生成多项式的阶数越高，那么误判的概率就越小。CCITT建议：2048 kbit/s的PCM基群设备采用CRC-4方案，使用的CRC校验码生成多项式g（x）= 。采用16位CRC校验，可以保证在  bit码元中只含有一位未被检测出的错误 。在IBM的同步数据链路控制规程SDLC的帧校验序列FCS中，使用CRC-16，其生成多项式g（x）= ；而在CCITT推荐的高级数据链路控制规程HDLC的帧校验序列FCS中，使用CCITT-16，其生成多项式g（x）= 。CRC-32的生成多项式g（x）= 。CRC-32出错的概率比CRC-16低 倍 。由于CRC-32的可靠性，把CRC-32用于重要数据传输十分合适，所以在通信、计算机等领域运用十分广泛。在一些UART通信控制芯片（如MC6582、Intel8273和Z80-SIO）内，都采用了CRC校验码进行差错控制；以太网卡芯片、MPEG解码芯片中，也采用CRC-32进行差错控制。
二、CRC校验码的算法分析
CRC校验码的编码方法是用待发送的二进制数据t（x）除以生成多项式g（x），将最后的余数作为CRC校验码。其实现步骤如下：
（1） 设待发送的数据块是m位的二进制多项式t（x），生成多项式为r阶的g（x）。在数据块的末尾添加r个0，数据块的长度增加到m+r位，对应的二进制多项式为 。
（2） 用生成多项式g（x）去除 ，求得余数为阶数为r-1的二进制多项式y（x）。此二进制多项式y（x）就是t（x）经过生成多项式g（x）编码的CRC校验码。
（3） 用 以模2的方式减去y（x），得到二进制多项式 。 就是包含了CRC校验码的待发送字符串。
从CRC的编码规则可以看出，CRC编码实际上是将代发送的m位二进制多项式t（x）转换成了可以被g（x）除尽的m+r位二进制多项式 ，所以解码时可以用接受到的数据去除g（x），如果余数位零，则表示传输过程没有错误；如果余数不为零，则在传输过程中肯定存在错误。许多CRC的硬件解码电路就是按这种方式进行检错的。同时 可以看做是由t（x）和CRC校验码的组合，所以解码时将接收到的二进制数据去掉尾部的r位数据，得到的就是原始数据。
为了更清楚的了解CRC校验码的编码过程，下面用一个简单的例子来说明CRC校验码的编码过程。由于CRC-32、CRC-16、CCITT和CRC-4的编码过程基本一致，只有位数和生成多项式不一样。为了叙述简单，用一个CRC-4编码的例子来说明CRC的编码过程。
设待发送的数据t（x）为12位的二进制数据100100011100；CRC-4的生成多项式为g（x）= ，阶数r为4，即10011。首先在t（x）的末尾添加4个0构成 ，数据块就成了1001000111000000。然后用g（x）去除 ，不用管商是多少，只需要求得余数y（x）。下表为给出了除法过程。
除数次数 被除数/g（x）/结果     余数
0  1001000111000000           100111000000
10011
0000100111000000
1  100111000000             1000000
10011
000001000000
2  1000000                      1100
10011
0001100
从上面表中可以看出，CRC编码实际上是一个循环移位的模2运算。对CRC-4，我们假设有一个5 bits的寄存器，通过反复的移位和进行CRC的除法，那么最终该寄存器中的值去掉最高一位就是我们所要求的余数。
CRC校验由于实现简单，检错能力强，被广泛使用在各种数据校验应用中。占用系统资源少，用软硬件均能实现，是进行数据传输差错检测地一种很好的手段。