神马文学网伽罗华域(Galois Field，GF，有限域)乘法运算
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/26 18:33:50
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GF(2m)域
当m=8时，本原多项式为P(x) = x8 + x4 +x3+ x2 + 1 .
这个很重要，因为一切化解都来源与此式。
在伽罗华域中,加法等同于对应位异或,所以
现在把α定义为P(x) = 0的根，即
α8＋α4＋α3＋α2＋1= 0
即可以得到 α8=α4＋α3＋α2＋1
接着先给出下表付推导过程
下面就按以下规则进行乘法运算
0=000 就是0
1=001 就是1
2=0010就是x+0=x
3=0011就是x+1
4=00100就是x^2
然后对于两个变量
u,v
可以先计算两个对应多项式的乘积（需要注意的是加法是模2的，或者说是异或运算），
比如
3*7=(x+1)*(x^2+x+1)=x*x^2+x*x+x+x^2+x+1=x^3+1 (模2运算中x+x=0 and x^2+x^2=0)
所以3*7=9
在乘积得出来的多项式次数大于7时，我们需要对多项式在GF(2)上关于h(x)求余数，也就是
129*5=(x^7+1)*(x^2+1)=x^9+x^7+x^2+1
将上面的函数加上x*h(x)可以消去x^9,（其实就是手工除法过程，只是现在每一次商总是0或1），所以
129*5=x^9+x^7+x^2+1+x^9+x^5+x^4+x^3+x=x^7+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
=0010111111=191