神马文学网线代试题
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/27 15:56:23
一、 判断题：（共24分）
1 若A，B均为n阶方阵，则必有：
（1） AB＝BA ( )
（2） |AB|＝|BA| ( )
（3） |A+B|＝|A|＋|B| ( )
（4） 
( )
（5） 
( )
（6） R（AB）＝R（BA） ( )
（7） 若 A2＝0，则A＝0 ( )
（8） 若ATA＝0，则A＝0 ( )
2（8分）若A是m×n矩阵，且m≠n，则
（1） 当A的列向量组线性无关时，A的行向量组也线性无关 ( )
（2） 当R(A)=n时，齐次线性方程组AX＝0只有零解 ( )
（3） 当R(A)=n时，非齐次线性方程组AX＝b，有唯一解 ( )
（4） 当R(A)=m时，非齐次线性方程组AX＝b，有无穷多解 ( )
3（8分）若A是实对称矩阵，则
（1） A的特征值全为实数 ( )
（2） A为正定矩阵的充要条件是A的特征值全为正 ( )
（3） 若|A|＞0，则A为正定的 ( )
（4） 在二次型f＝XTAX中，若经实满秩线性变换X＝CY，可将f化为
标准形
则
全为A的特征值( )
二、 填空题（19分）
1 （4分）设
且A＋2B＝C，则x=_____, y=______, u=_____, v=_______
2 （6分）若A为四阶方阵，且|A|＝3，A＊为A的伴随矩阵，则
|－2A|＝＿＿，|A－1|＝＿＿， |A＊|＝＿＿
3 （3分）方阵
的特征值为＿＿，＿＿，＿＿
4 （4分）已知四元非线性方程组的系数矩阵A的秩为3，
是它的三个解向量，且
，则对应齐次方程组AX＝0的基础解系是＿＿＿＿，AX＝b的通解是＿＿＿
5 二次型
所对应的矩阵是＿＿
三、 （10分）1、计算
2 、已知A =
求
及
四、 （10分）设
，且
，求B
五、 （15分）验证二次型
的特征值为4，9，0，求一个正交变换，将此二次型化为标准形。（要求写出正交变换矩阵及f的标准形）
六、 (12分)设
，
，
，
试问当a，b满足什么条件时，
（1）
可由
线性表示，且表示式唯一；
（2）不可由线性表示
（3）可由线性表示，但表示式不唯一写出一般表达式
七、 （10分）证明题
1 若A，B均为n阶正交矩阵，试证明AB也是正交矩阵。
2 若
和
是齐次线性方程组AX=0的基础解系， 
，
,试证明
也是AX=0的基础解系。
一、1、×√×××××√
2、×√×√
3、√√××
二、1、-5，-6，4，-2
2、48，
，27
3、3，0，5
4、
，
5、
三、解：1、
2、记
、
则：
、
, 
、
故：
，
四、解：由
可得：
五、解：该二次型的矩阵为：
由特征方程
得特征值
当
，解齐次方程
基础解系
单位化：
当
，解齐次方程
基础解系
单位化：
当
，解齐次方程
基础解系
显然，该向量组两两正交，单位化得：
记
，
于是正交变换为：
，且有
.
六、解：
所以：当
时，可由
线性表示，且表达式唯一；
当
时，不可由线性表示；
当
时，可由线性表示，且表达式不唯一。
当时，由
得通解为：
故：一般表达式为：
七、证明：
1、由于
、
，所以
也是正交矩阵。
2、由于
可由
线性表示，并且
，
也可由线性表示
向量组与向量组等价
也是
的基础解系
一、 判断题（每小题2分，共14分）
1．设方阵A满足AA=A，则必有A=O或A=E
2．设A，B是不可逆的同阶方阵，则
3．向量组
是线性相关的向量组
4．齐次线性方程组
若有两个不同的解，它就有无穷多个解
5．方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值不全为零
6．对称矩阵A正定的充分必要条件是
7．若方阵A与B相似，则
与
也相似，其中m为正整数.
二、 填空题（每小题2分，共24分）
1．设
，则
；
2．
，且AB=C，则
；又若C=O，则
3．齐次线性方程组
有非零解的充分必要条件是
4．若方阵A满足
，则称A为；此时
5．若
，B的特征值是1，2，3，则A的特征值是
6．设
与设
相似，则其中
；对称阵A的二次型
；它经过正交变换X=PY化为标准型是；二次型（是，不是）正定的
三、 设向量组
，对参数k的所有值求出向量组的秩及一个最大无关组（12分）
四、 已知
，求矩阵A（10分）
五、 a，b取何值时，方程组
有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（14分）
六、 设
，
1.求正交阵P,使得
为对角阵;
2.设
,利用A与
相似,求出矩阵
;
3. 求矩阵的特征值 （共16分）
七、 证明题（10分）
1．设向量组
线性无关，且
，
证明：
线性相关
2．若A，B均为n阶方矩，且A可逆，证明：BA与AB相似
一、 判断题
1． 错。例如二阶方阵
，
且
，但
2． 正确。因为方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零，那么不可逆的充分必要条件是其行列式等于零，而A，B都是不可逆方阵，故它们的行列式相等且都等于零
3． 正确。根据关于向量组相关性的其中一条结论，即任意n+1
个n维向量组都线性相关
4． 正确。齐次线性方程组一定有零解，故如果有两个不同解的话，此齐次线性方程组就一定有非零解，又知非零解乘上任意实数都还是该齐次线性方程组的解，从而得出其解无穷的结论
5． 错。例如若
，其特征值
不全为零，但它不可逆
6． 错。参照线代课本关于对称阵正定的定理结论
7． 对。这是因为存在可逆阵
使得
，则
，
（k为正整数）命题正确。
二、填空题
1．，
；
2．因， 故A可逆，则由AB=C知
即
，故
；
若C=O，则
3．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
（即系数矩阵A的秩小于未知量X的分量个数）
4．若方阵A满足，则称A为正交矩阵，此时
（由推出
，从而）
5．A的特征值是1，2，3。（因为相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，由条件知A和B相似，且B的特征值是1，2，3）
6．三阶矩阵A与相似，它们有相同的特征多项式，设特征值是
，则由根与系数关系知，
，
，所以 a=0
故
的二次型
，它经过正交变换X=PY化为标准型是
；二次型不是正定的
二、 解：
1）当
即
时
，
就是最大无关组；
2）当
即
时
，这时
为一个最大无关组
四、解：设
则AB=C。若
可逆，则
法一：先计算的行列式
，判断是否不等于零，若
，求出
（用公式或用初等变换法，写出必要步骤），再代入
计算出结果。
法二：若可逆，则
，即对分块矩阵
只进行初等列变换，可以求得A的结果；
五、解：该方程的增广矩阵为：
1）当
，即
，b任意取值时，
，方程组有唯一解；
2）当
时
，即
时，
方程组无解；
3）当
时
，即
时，
方程组有无穷多解
当时，代入得
，
同解方程组为
，通解为
（其中c为任意常数）
六、解：1）由特征方程
得特征值
当
，解齐次方程
，
通解：
基础解系：
正交化：
，
规范化：
当
，解齐次方程
，
通解
，基础解系
只需单位化，
记
，P即为所求的正交阵，使，其中
2）由知
，且当k为正整数时
=
=
所以由已知条件知道： 
其中
，
从而
故
=
，其中
由上小题结论可以知道，
与
相似，故的对角元4，4，19就是的全部特征值（根据“相似矩阵具有相同的特征多项式”的结论）
七、证明
1．证明：
法一：因
，
故
，
所以线性相关
法二：因
=
而
=
，所以
，从而
所以线性相关
法三：（基本方法）设 
（1）
只要证明有不全为零的数
使（1）式成立即可。
式（1）整理得到：
（2）
由已知条件，向量组线性无关，推出
（3）
齐次线性方程组（3）的系数矩阵为
易知，所以（3）有非零解。
即有不全为零的数使（1）式成立。
所以线性相关
2．证明：因为A可逆，即
存在，又
，由相似矩阵定义可得：与
相似。
一、判断题(判断下列各命题是否正确，每小题3分, 共12分)
1、 设
为
阶方阵
的伴随矩阵，若为满秩方阵，则也是满秩方阵.
2、阶矩阵可逆的充要条件是：当
时,
,其中
3、 已知向量组
的秩为r(r<m),则该向量组中任意r个向量线性无关.
4、 设、
为阶方阵，若、等价，则、相似.
二、填空(将正确答案填在题中横线上，每空4分, 共24分)
1、 设、为阶方阵，若
且
, 则
.
2、 设
且
,则
______.
3、 设向量组
线性相关，而向量组
线性无关，则向量组的最大线性无关组是______.
4、设为5阶方阵，且
，则
；
；
5、设、为阶可逆方阵，且满足
，则可用表示为
=
6、 若方程组
有唯一解,则
.
7、 设四元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵秩为2,已知
为它的四个解向量,且
,则其通解为___.
三、求向量组
的最大线性无关组（10分）.
四、当k取何值时,方程
有无穷多解,并求出此时的一般解（15分）.
五、设
，求正交矩阵P，使
为对角阵，并写出对角阵(15分).
六、写出二次型
在正交变换下所化成的标准形,并指出
是否为正定的(8分).
七、若
都是
阶可逆矩阵,证明:
也是阶可逆矩阵,且
(7分).
八、设
是阶方阵,，且
，求
(6分).
一、 判断题
1、
√（
）
2、×（不是充分条件）
3、×（是存在不是任意）
4、×（由定义可证）
二、 填空题
1、 0 2、
3、
4、
5、
6、
7、
三、 解：
四、 解：方程组增广矩阵为
五、 解：
向量组刚好两两正交，单位化可得正交阵
且
六、解：
七、证明：
八、证明：
一、 填空题（每小题3分，共36分）
1． 行列式
的值是
2． 设A是5阶方阵，且
，则
3． 设A是p
5阶矩阵，B是m4阶矩阵，AB是7q阶矩阵，则p，q，m的值分别是
4． 设
，则A的伴随矩阵是
5． 若向量组
线性相关，则实数t=
6． 设A是3阶实对称矩阵，
是属于A的不同特征值的特征向量，则3阶方阵
的秩
，
7． 实对称矩阵
正定，则t的取值范围是
8． 若n阶方阵A满足
则
9． 设A，B，C都是3阶可逆矩阵，
，则
10． 设
为n元齐次线性方程组，
，则方程组有个解向量线性无关
11． 向量组
的秩是
12． 设
，则它的一个基础解系是
二、 计算行列式
（6分）
三、 设
，且
，求矩阵X（10分）
四、 设向量组
求向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量由该最大无关组线性表示（10分）
五、 
取何值时，方程组
有唯一解，无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（14分）
六、 用正交变换法化二次型为标准形，并写出正交变换（14分）
七、 证明题（10分）
1． 若向量组线性无关，证明
也线性无关
2． 设A为n阶方阵，若有正整数k，使
，则A称为幂零矩阵，证明幂零矩阵的特征值只能是零
一、填空
1）8 2）
3）7 5 4 4）
5）1 6）2 0 7）
8）A
9）2 10）
11）2 12）
二、解：
三、解：由于
又
，所以
四、解：
所以，
，
为一个最大无关组，且
五、解：该方程组的增广矩阵为：
1）当
时，方程组有唯一解
2）当
时，方程组无解
3）当
时，方程组有无穷多解
当时，
所以，
六、 解：该二次型的矩阵为：
由
得特征值为：
1） 当
时，由
，
，得基础解系：
。单位化，得：
2） 当
时，由
，
，得基础解系：
单位化，得：
故有正交变换：
，使
七、证明：
1、 设存在数
使
整理，得：
又
线性无关
所以
，所以，
所以，
线性无关。
2、设为A的特征值，
为A的对应于特征值的特征向量。则：
一． 填空题（每空2分,共16分）
1) 设为
矩阵, 为
矩阵, 且
, 则
.
2) 设为3阶方阵且
,则
. 
.
3) 已知 
, 则 .
4) 设
是方程
的解, 若
也是的解, 则
.
5) 三阶矩阵的三个特征值为1,2,3, 则
,
的特征值为 .
6) 二次型
是正定还是负定: .
二. 单项选择题（每小题2分,共16分）.
1) 设
是
阶方阵, 则必有( ).
(a) 
; (b) 
;
(c) 
; (d) 
.
2) 设是
阶方阵, 则
的必要条件是( ).
(a) 两行(列)元素对应成比例;
(b) 必有一行为其余行的线性组合;
(c) 中有一行元素全为零;
(d) 任一行为其余行的线性组合.
3) 设是
阶方阵, 
且
, 则( ).
(a) 
或
; (b) 
;
(c) 
; (d) 
.
4) 设为阶可逆矩阵, 则( ).
(a) 若
, 则
;
(b) 对矩阵
施行若干次初等变换, 当变为
时, 相应地变为;
(c) 总可以经过初等变换化为单位矩阵360docimg_501_;
(d) 以上都不对.
5) 设360docimg_502_是一组360docimg_503_维向量, 则下列正确的是( ).
(a) 若360docimg_504_不线性相关, 就一定线性无关;
(b)如果存在360docimg_505_个不全为零的数360docimg_506_使 360docimg_507_,则360docimg_508_线性无关;
(c) 若向量组360docimg_509_线性相关, 则360docimg_510_可由360docimg_511_
线性表示;
(d) 向量组360docimg_512_线性无关的充要条件是360docimg_513_不能由其余360docimg_514_ 个向量线性表示.
6) 矩阵360docimg_515_( )时可能改变其秩.
(a) 转置; (b) 初等变换;
(c) 乘以奇异矩阵; (d) 乘以非奇异矩阵.
7) 设360docimg_516_为可逆矩阵,360docimg_517_, 则下述结论不正确的是( ).
(a) 360docimg_518_; (b) 360docimg_519_;
(c) 360docimg_520_; (d) 360docimg_521_.
8) 若方阵360docimg_522_与360docimg_523_相似, 则有( ).
(a) 360docimg_524_; (b) 360docimg_525_;
(c)对于相同的特征值360docimg_526_,矩阵360docimg_527_与360docimg_528_有相同的特征向量;
(d) 360docimg_529_与360docimg_530_均与同一个对角矩阵相似.
三. (8分) 计算360docimg_531_
四. (12分) 设
360docimg_532_, 360docimg_533_, 360docimg_534_,
求矩阵360docimg_535_使满足360docimg_536_.
五. (12分) 设矩阵360docimg_537_, 求矩阵360docimg_538_的列向量组的一个最大无关组, 并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.
六. (15分). 360docimg_539_取何值时, 非齐次方程组
360docimg_540_
(1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多个解, 并求解.
七.(15分)求一个正交变换360docimg_541_,将二次型360docimg_542_化为标准形(要求：写出正交变换和标准形).
八.(6分) 设360docimg_543_为360docimg_544_阶可逆矩阵, 360docimg_545_是360docimg_546_的一个特征值, 证明360docimg_547_的伴随矩阵360docimg_548_的特征值之一是360docimg_549_.
一、 填空题
1、-8 2、4，4 3、360docimg_550_
4、1 5、6，360docimg_551_ 6、正 定
二、 单项选择题 CBACACCB
三、 解：360docimg_552_
四、 解：360docimg_553_
360docimg_554_
五、 解：设360docimg_555_，则
360docimg_556_
最大无关组为360docimg_557_
360docimg_558_，360docimg_559_
六、 解：360docimg_560_
（1） 当360docimg_561_且360docimg_562_时有唯一解
（2） 当360docimg_563_时无解
（3） 当360docimg_564_和360docimg_565_时有无穷多解
360docimg_566_ 时，通解为360docimg_567_；
360docimg_568_ 时，通解为360docimg_569_，360docimg_570_
（通解表达形式不唯一）
七、解：二次型f的矩阵为360docimg_571_
360docimg_572_
360docimg_573_
360docimg_574_
360docimg_575_，（P形式不唯一）
且标准形为：360docimg_576_
七、 证明：设360docimg_577_为360docimg_578_的对应于360docimg_579_的特征向量，则360docimg_580_。
由于360docimg_581_可逆，所以360docimg_582_
360docimg_583_ 即360docimg_584_为360docimg_585_的一个特征值。