内涵丰富的“0”

内涵丰富的“0”
在无数朵万紫千红的数的花丛中，惟独“0”这朵鲜艳的玫瑰花光彩夺目，令人眼花缭乱． 　“0”诞生于印度，成长于阿拉柏，足迹遍布全世界．
“0”并非一无所有，正如恩格斯所说：“零比任何一个数的内涵都丰富．”
“0”并非简单的数字，其实它具有极其丰富的内涵．
“0”有时表示“没有”，但有时并不表示“没有”，“0”和“没有”并不完全是一回事．例如，温度表上的“0”度，不能说没有温度，而“0”度是区别于零上温度和零下温度的一个标志性温度．
在记数中，不能没有“0”．当一个数的某位上一个单位也没有时，就要用“0”来占这个空位．如贰仟零贰这个数，就要用“0”来占“十位”和“百位”这两个空位，记作2002．
在近似数中，用“0”表示精确度，如2000．00和2000就表示不同的计算精确度．
“0”最公正无私，它既是正数和负数的“分水岭”，又是冰和水的“界碑”．“0”是整数，但它既不是正数，又不是负数，而是惟一的中性数．因此，我们称它是正数和负数之间的“公正人”．
在比较大小时，“0”是判断一个数是正数还是负数的标准，即－ａ＜0＜ａ（ａ＞0）．
“0”在数学计算中，具有特殊的运算规律．解题它变幻模测，真像《西游记》中七十二变的齐天大圣孙悟空．它的脾气也极其古怪，作用更是独特，它的确是“无中的有，有中的无，内在的有，特定的无”．
“0”的相反数是“0”，这是所有实数中惟一的一个相反数为自身的数．
“0”的绝对值是“0”．
“0”作加数或减数时，它一点也不起作用，这真是“有中的无”．即就是说，任何一个数加上或减去“0”，仍得这个数，即ａ＋0＝ａ，ａ－0＝ａ．
“0”作被减数，所得的差是减数的相反数，如0－1＝－1，0－（－1）＝1．
“0”对乘法的影响极大，任何数与“0”相乘其积皆为“0”，即ａ·0＝0（ａ≠0），真可谓“0”可以“否定”一切实数．这是“0”的一个重要特性．而当ａ×ｂ≠0时，则有ａ≠0且ｂ≠0，这个特性也惟独“0”具有．反之，若积为“0”，则必有因数“0”．
“0”在乘法中的这个特性给我们的数学运算有时带来诸多方便．例如，对ｋ的任何值，满足方程组的ｘ、ｙ的定值的条件是什么?
解：设ｘ、ｙ的定值分别是ｍ、ｎ，则不论ｋ为任何值，上式恒成立．根据“0”这个捣蛋鬼具有“否定”一切实数的特性0·ｋ＝0得ｍ－ｎ＝0，1－ａｎ＝0，ｂｍ＋ｎ－1＝0，1＋ｍ－ｃｎ＝0．以上四个式子联立消去ｍ、ｎ，得ｂ＋1＝ｃ－1＝ａ（ａ≠0）．当ａ＝0时，1－ａｎ≠0，由（ｍ－ｎ）ｋ＝1－ａｎ可知不存在满足题意的ｘ、ｙ的定值．
在除法运算中，当两个数相除（除数不为零）时，其商存在而且是惟一的．如果用“0”作除数结果是没有商，或是商不确定．因此，“0”可以作被除数，但不能作除数，否则会“天下大乱”．显然，除“0”外的任何数都有倒数，惟独“0”没有倒数．
“0”放在任何一个整数的后面均能被2和5整除，因此“0”也属于偶数．
在分式中，“0”可以作分式的分子，但不能作分式的分母．如分式（4ａ2－9ｂ2）／（12ａｂ＋（2ａ－3ｂ）2－（4ａ2＋9ｂ2）），当ａ、ｂ取任何实数时分式的分母为“0”，分子不为“0”，此时分式的无意义．对于分式方程（组），要废弃使分母等于“0”的根．
在约分中，“0”可以作倍数，但不能作约数．“0”是整数集中约数有无限多的惟一的数．
在指数中，“0”可以作幂的指数，但不能作幂指数是非正数的幂的底数．如0０、0-2001、0－3／4等都无意义．
在对数中，“1”的对数是“0”，但“0”不能作对数的真数和底数（注意底数也不能等于1），即就是说“0”和负数没有对数．
在二次三项式、一元二次方程、二次函数和二次不等式中，“0”可以是一次项系数和常数项，但“0”不能作它们的二次项系数．如对方程（12ｍ2－7 ＋2）ｘ15ｍ2－8 ＋4＋（ｍ2＋1）ｘ＋2002＝0来说，当ｍ＝ ／5、 ／3且ｍ≠ ／4、 ／3，即ｍ＝ ／5时，此方程是一元二次方程．
在画数轴和直角坐标系时，都选择“0”作为坐标原点．
在正比例函数和反比例函数中，它们的比例系数都不能等于“0”．
如函数ｙ＝（ｑ2－10ｑ＋24）ｘｑ2－11ｑ＋29，当ｑ＝5、6且ｑ≠4、6，即ｑ＝5时，此函数是反比例函数；当ｑ＝4、7，且ｑ≠4、6，即ｑ＝7时，此函数是正比例函数．
“0”在有关非负数的运算中所起的作用也至关重要．若有限个非负数的和等于零，则每一个非负数也等于“0”．即
若｜ａ｜＋ｂ2＋ ＋…＝0，
则ａ＝0，ｂ＝0，ｃ＝0，…
例　若ａ2＋ｂ2＋693898＋｜（2ｃ）2－ ｜＝1666ａ＋6ｂ，且ｄ＝2001×20022002－2002×20012001，ｅ＝［ ］2002，求2（ａ＋2ｂ4）＋5ｃ2002＋ｂ×2002ｄ＋ｅ的值．
解：将已知条件配方，得（ａ－833）2＋（ｂ－3）2＋4｜ｃ2－1｜＝0，由非负数的性质得ａ＝833，ｂ＝3，ｃ＝±1．又ｄ＝2001×2002（1000＋1）－2002×2001（1000＋1）＝2001×2002×1001－2002×2001×1001＝0，
ｅ＝［ ］2002
＝［ ］2001
＝［ ］2002＝1，
∴原式＝2×833＋4×34＋5×（±1）2002＋6×20020＋1＝2002．　
“0”在描述方程特性和函数特性方面也居于十分重要的位置．像在解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0（ａ≠0）及研究二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠0）时，判别式
当ａ＞0时，抛物线ｙ＝ｆ（ｘ）开口朝上，函数有极小值（4ａｃ－ｂ2）／4ａ；
当ａ＜0时，抛物线ｙ＝ｆ（ｘ）开口朝上，函数有极大值（4ａｃ－ｂ2）／4ａ．
……
除此之外，“0”在以后将要学习的高等数学中所起的作用也很重要．
“0”的个性极强．在某种程度，它真像一个既幼稚又淘气、既活泼又掏蛋的小顽童，变化无常，令人烦恼让人担忧．但当你理解并掌握了“0”所有的丰富内容和特性后，就会觉得它是一个非常可爱的小神童．
“0”的诞生，推动和促进了数学的发展．在数学的各个领域，“0”扮演着不同的重要角色，它既是主角，又是配角，有时还要充当反面演员角色，但它始终是数学舞台中既不可缺少又不能替代的一名活泼演员和神通广大来去无踪的小游子．换句话说，任何计算都少不了“0”，“0”是数中之灵．没有“0”，就没有数学的晨曦，更没有自然科学的今天．因此，我们大家都应该学会认识“0”、了解“0”、理解“0”、掌握“0”、运用“0”，在自然科学的世界里遨游，为人类的发展和社会进步贡献自己的卓越才华．