鬼谷算之孙庞猜数[数学奥林匹克报]

一天，鬼谷子随意从2～99中选取了两个数。他把这两个数的和A告诉了庞涓，把这两个数的乘积B告诉了孙膑。但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。第二天，庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知道这两个数是什么，但我知道你一定也不知道。随后，孙膑说：我知道了。庞涓说：我也知道了。请问：这两个数是什么？
一、解读"庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知道。"
这说明通过和A的所有"鬼谷和拆分"中两个数的乘积都不能知道（X，Y）。
先给出乘积在以下两种情况时就能通过乘积直接知道两个乘数。
结论1、C＝D×E,D,E均为素数，这时通过乘积就能知道两个乘数肯定为D,E。
结论2、C＝D×E,E为≥53的素数，因为C为2～99之间的两个数的乘积，而E为≥53的素数，所以这两个乘数之一肯定是E，另一个就为D。
下面从分析和A的值入手，
（1）和A不能为197（＝99＋98），这是2～99之间最大的两个数，孙膑当然能通过积B知道这两个数是98、99；
（2）99≤A＜197不能成立，如果和A≥99，那么和A的一个"鬼谷和拆分"为m＋97＝A，根据结论2，孙膑就能知道（X，Y）分别为97和B÷97；
（3）55≤A＜99不能成立，如果55≤A＜99，那么和A的一个"鬼谷和拆分"为m＋53＝A，根据结论2，孙膑就能知道（X，Y）分别为53和B÷53；
（4）和A不能为＜55的偶数，因为任一偶数都能拆成两个素数之和（这是哥德巴赫猜想的结论，虽然哥德巴赫猜想还没有被证明，但在＜55的范围内可以一一试出来），
     根据结论1，孙膑就能知道（X，Y）就是这两个素数；
（5）A不能为5、7、9、13、19、21、25、31、33、39、43、45、49，因为这些数都能拆成2和另一素数之和，根据结论1，孙膑就能知道（X，Y）就是这两个素数
    这样我们只需分别讨论A为11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53这11种情况，也就是说只有和A为这11个数之一时，才能"庞涓很有自信的对孙膑说：
    虽然我不知到这两个数是什么，但我知道你一定也不知道。"
二、继续解读"随后，孙膑说：我知道了。"
（1）和A＝11时，它的"鬼谷和拆分"有（2，9）、（3，8）、（4，7）、（5，6），B只可能为18、24、28、30。
     如果积B＝18，它的"鬼谷积拆分"有（2，9）、（3，6），根据庞涓说的第一句话，（X，Y）不可能是（3，6），孙膑就能知道（X，Y）是（2，9）；
     如果积B＝24，它的"鬼谷积拆分"有（2，12）、（3，8）、（4，6），根据庞涓说的第一句话，（X，Y）不可能是（2，12）和（4，6），
        孙膑就能知道（X，Y）是（3，8）；28和30不再讨论。
（2）和A＝17时，它的"鬼谷和拆分"有（2，15）、（3，14）、（4，13）、（5，12）、（6，11）、（7，10）、（8，9），积B只可能为30、42、52、60、66、70、72。
    如果积B＝30，它的"鬼谷积拆分"有（2，15）、（3，10）、（5，6），根据庞涓说的第一句话，（X，Y）不可能是3、10，
        但是孙膑不能知道（X，Y）是（2，15）还是（5，6）；
    如果积B＝42，它的"鬼谷积拆分"有（2，21）、（3，14）、（6，7），根据庞涓说的第一句话，（X，Y）不可能是（6，7），
        但是孙膑不能知道（X，Y）是（2，21）还是（3，14）；
    如果积B＝52，它的"鬼谷积拆分"有（2，26）、（4，13），根据庞涓说的第一句话，（X，Y）不可能是（2，26），孙膑就能知道（X，Y）是（4，13）；
    如果积B＝66，它的"鬼谷积拆分"有（2，33）、（3，22）、（6，11），根据庞涓说的第一句话，（X，Y）不可能是（3，22），
        但是孙膑不能知道（X，Y）是（2，33）还是（6，11）；
    如果积B＝70，它的"鬼谷积拆分"有（2，35）、（5，14）、（7，10），根据庞涓说的第一句话，（X，Y）不可能是（5，14），
        但是孙膑不能知道（X，Y）是（2，35）还是（7，10）；
    如果积B＝72，它的"鬼谷积拆分"有（2，36）、（3，24）、（4，18）、（6，12）、（8，9），
    根据庞涓说的第一句话，（X，Y）不可能是（2，36）、（4，18）、（6，12），但是孙膑不能知道（X，Y）是（3，24）还是（8，9）。只有积B＝52时才能知道（X，Y）
（3）和A＝23时，它的"鬼谷和拆分"有（4，19）、（7，16）等，积B可能为76、112等。
    如果积B＝76，它的"鬼谷积拆分"有（2，38）、（4，19），根据庞涓说的第一句话，（X，Y）不可能是（2，38），孙膑就能知道（X，Y）是（4，19）；
    如果积B＝112，它的"鬼谷积拆分"有（2，56）、（4，28）、（7，16）、（8，14），根据庞涓说的第一句话，（X，Y）不可能是（2，56）、（4，28）、（8，14），
        孙膑就能知道（X，Y）是（7，16）；
（4）在和A为27、29、35、37、41、47、51、53时，都至少有两个"鬼谷和拆分"使得孙膑根据积B知道（X，Y），
     这里不再详细讨论，只列出孙膑能确定（X，Y）的和A的两个"鬼谷和拆分"。
     和A＝27时，积B＝50时能确定（X，Y）为（2，25），积B＝92时能确定（X，Y）为（4，23）。（2，25）、（4，23）是A的"鬼谷和拆分"；
     和A＝29时，积B＝54时能确定（X，Y）为（2，27），积B＝168时能确定（X，Y）为（8，21）。（2，27）、（8，21）是A的"鬼谷和拆分"；
     和A＝35时，积B＝96时能确定（X，Y）为（3，32），积B＝304时能确定（X，Y）为（16，19）。（3，32）、（16，19）是A的"鬼谷和拆分"；
     和A＝37时，积B＝232时能确定（X，Y）为（8，29），积B＝160时能确定（X，Y）为（5，32）。（8，29）、（5，32）是A的"鬼谷和拆分"；
     和A＝41时，积B＝128时能确定（X，Y）为（4，37），积B＝288时能确定（X，Y）为（9，32）。（4，37）、（9，32）是A的"鬼谷和拆分"；
     和A＝47时，积B＝172时能确定（X，Y）为（4，43），积B＝496时能确定（X，Y）为（16，31）。（4，43）、（16，31）是A的"鬼谷和拆分"；
     和A＝51时，积B＝188时能确定（X，Y）为（4，47），积B＝608时能确定（X，Y）为（19，32）。（4，47）、（19，32）是A的"鬼谷和拆分"；
     和A＝53时，积B＝592时能确定（X，Y）为（16，37），积B＝672时能确定（X，Y）为（21，32）。（16，37）、（21，32）是A的"鬼谷和拆分"；
三、 再解读"庞涓说：我也知道了。"
通过上面二的分析，只有在A=17时，庞涓才能唯一确定（X，Y）是什么，即（X，Y）＝（4，13）