神马文学网二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/29 03:39:16
例1 图6－7中共有多少个三角形？
分析与解：将图6－7旋转一下，应添上字母得图6－8。在图6－8中，线段AB将整个图形分为上、下两部分，利用前面的分式①，马上可求出上、下两部分中三角形的个数都是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）。
仔细观察便可发现，除了上面那56个三角形外，还有下列三角形，它们是三角形ACD、ECD、FCD、HCD、ICD、JCD、BCD，共七个。这一来，图中三角形的总个数为
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×2＋7＝63（个）
注意：在计数时，千万不要把三角形ACD等给遗漏了，这是数图形中一个很重要的问题或原则，简称为“不漏”。
例2 图6－9中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？
分析与解：为方便起见，我们可以把图形分为正中间、上下、左右三部分。
先看正中间部分。中间部分是每边有六个相等小格的正方形，按前面提到公式③计算，共有（12＋22＋32＋42＋52＋62＝）91个正方形。
再看上下部分。因为图形上、下部分是对称的，所以可只看上部分，上部分除了两个小正方形外，还有由四个小正方形拼成的一个较大的正方形，一共有3个正方形，上下部分合起来应添（（2＋1）×2＝）6个正方形。
最后再看左、右部分，因为图形左右也是对称的，所以可只看左边那部分。左边那部分除了6个小正方形外，还有4个由四个小正方形拼成的较大的正方形，2个由九个小正方形拼成的较大的正方形，1个由十六个小正方形拼成的较大的正方形。左、右部分合起来应再添（（6＋4＋2＋1）×2＝）26个正方形。
把上述三部分正方形的个数加起来，就得到了问题的答案。图6－9中共有正方形。
91＋6＋26＝123（个）
例3 图6－10中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？
分析与解：为方便起见，把图6－10各顶点和交点标上字母，得图6－11。把图6－11先分成内外两层。
按前面提到的公式②，长方形ABCD与A1B1C1D1中各有（（1＋2＋3＋4）×（1＋2＋3）＝）60个长方形。
再看上面，夹在长方形ABCD与A1B1C1D1之间的长方形GG1H1H、H1I1IH、GG1I1I不包含在上面那些长方形中，另外还有长方形GN1M1H、HM1L1I、GN1L1I也不包含在上面已提到的那些长方形中，同样下面也有长方形N1NMM1、MM1L1L、NN1L1L、NG1H1M、M1H1I1L、NG1I1L也不包含上面已提到的那些长方形中，所以应在内外两层（60×2＝）120个长方形外，再添加刚才提到的（6×2＝）12个长方形。
再看左边，和刚才讨论上面情况一样，应加上长方形EFF1E1、EFJ1R1。同样右边也应添上长方形JKK1J1、KE1F1L。所以应在刚才所提及的长方形外，再添加刚才提到的（2×2＝）4个长方形。
另外中间的长方形PQQ1P1、QQ1R1R1、PRR1P1，在计算长方形ABCD与A1B1C1D中的个数时，这三个长方形都计算了一次，因此重复了，故在计算总数时，应减去这重复的三个长方形。
把上面三种情况所得出的长方形个数相加，然后减去重复的那3个长方形，便是题目的结果。故图6－10中长方形的总数为
60×2＋6×2＋2×2－3＝133（个）
做此题时，有人常常忘记了从总数中减去重复计算过两次的三个长方形，所以在数图形个数时，不但要避免遗漏也要避免重复，这也是数图形中一个很重要的问题或原则，简称“不重”。为了避免犯这两个错误，以后在数简单图形个数时，一定要记住“不重不漏”的原则。
分析与解：将图6－7旋转一下，应添上字母得图6－8。在图6－8中，线段AB将整个图形分为上、下两部分，利用前面的分式①，马上可求出上、下两部分中三角形的个数都是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）。
仔细观察便可发现，除了上面那56个三角形外，还有下列三角形，它们是三角形ACD、ECD、FCD、HCD、ICD、JCD、BCD，共七个。这一来，图中三角形的总个数为
（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×2＋7＝63（个）
注意：在计数时，千万不要把三角形ACD等给遗漏了，这是数图形中一个很重要的问题或原则，简称为“不漏”。
例2 图6－9中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？
分析与解：为方便起见，我们可以把图形分为正中间、上下、左右三部分。
先看正中间部分。中间部分是每边有六个相等小格的正方形，按前面提到公式③计算，共有（12＋22＋32＋42＋52＋62＝）91个正方形。
再看上下部分。因为图形上、下部分是对称的，所以可只看上部分，上部分除了两个小正方形外，还有由四个小正方形拼成的一个较大的正方形，一共有3个正方形，上下部分合起来应添（（2＋1）×2＝）6个正方形。
最后再看左、右部分，因为图形左右也是对称的，所以可只看左边那部分。左边那部分除了6个小正方形外，还有4个由四个小正方形拼成的较大的正方形，2个由九个小正方形拼成的较大的正方形，1个由十六个小正方形拼成的较大的正方形。左、右部分合起来应再添（（6＋4＋2＋1）×2＝）26个正方形。
把上述三部分正方形的个数加起来，就得到了问题的答案。图6－9中共有正方形。
91＋6＋26＝123（个）
例3 图6－10中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？
分析与解：为方便起见，把图6－10各顶点和交点标上字母，得图6－11。把图6－11先分成内外两层。
按前面提到的公式②，长方形ABCD与A1B1C1D1中各有（（1＋2＋3＋4）×（1＋2＋3）＝）60个长方形。
再看上面，夹在长方形ABCD与A1B1C1D1之间的长方形GG1H1H、H1I1IH、GG1I1I不包含在上面那些长方形中，另外还有长方形GN1M1H、HM1L1I、GN1L1I也不包含在上面已提到的那些长方形中，同样下面也有长方形N1NMM1、MM1L1L、NN1L1L、NG1H1M、M1H1I1L、NG1I1L也不包含上面已提到的那些长方形中，所以应在内外两层（60×2＝）120个长方形外，再添加刚才提到的（6×2＝）12个长方形。
再看左边，和刚才讨论上面情况一样，应加上长方形EFF1E1、EFJ1R1。同样右边也应添上长方形JKK1J1、KE1F1L。所以应在刚才所提及的长方形外，再添加刚才提到的（2×2＝）4个长方形。
另外中间的长方形PQQ1P1、QQ1R1R1、PRR1P1，在计算长方形ABCD与A1B1C1D中的个数时，这三个长方形都计算了一次，因此重复了，故在计算总数时，应减去这重复的三个长方形。
把上面三种情况所得出的长方形个数相加，然后减去重复的那3个长方形，便是题目的结果。故图6－10中长方形的总数为
60×2＋6×2＋2×2－3＝133（个）
做此题时，有人常常忘记了从总数中减去重复计算过两次的三个长方形，所以在数图形个数时，不但要避免遗漏也要避免重复，这也是数图形中一个很重要的问题或原则，简称“不重”。为了避免犯这两个错误，以后在数简单图形个数时，一定要记住“不重不漏”的原则。
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