一、常用的几个简单几何图形的计数公式

 
1．数线段、三角形、（锐）角的公式
数出图6－1中各条线段上线段的总条数。

图6－1(a)中只有两个点A、B、只有一条线段。
图6－1(b)中有A、B、C三个点，这三个点将线段AC分割成AB、BC两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段AC，所以图6－1(b)中有三条线段算式为2＋1＝3。
图6－1(c)中有A、B、C、D四个点，这四个点将线段AD分割成AB、BC、CD三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段AD，所以图6－1(c)中共有6条线段，算式为3＋2＋1＝6。
图6－1(d)中在有A、B、C、D、E五个点，这五个点将线段AE分割成AB、BC、CD、DE四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段AE。所以图6－1(d)中共有10条线段。算式为4＋3＋2＋1＝10。
图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。所以图6－1（e）中共有15条线段。算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。
将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。
另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。
依此类推，可得：
任意相邻四条小线段连起来组成的新线段共有n－4条。
任意相邻五条小线段连起来组成的新线段共有n－5条。
……
任意相邻n－2条小线段连起来组成的新线段，共有
（n－（n－2）＝）2条。
最后相邻的n－1条小线段连起来组成1（＝n－（n－1））条新线段。
此时，线段的总条数为
（n－1）＋（n－2）＋……＋2＋1
这样便得到如何数类似图6－1中线段总条数的公式：
当一条线段上共n个点（包括两个端点）时，这条线段上线段总条数为：
1＋2＋…＋（n－1） ①
即线段总条数为从1开始的（n－1）个连续自然数的和。
把图6－1稍加变化，可得图6－2。图6－2各图中的三角形有下面两个特点：一是所有三角形有一个共公的顶点，二是所有三角形的底边都在同一条直线上。

图6－2(a)、(b)、(c)中三角形的个数与底边的个数一样多。即图6－2(a)中三角形的个数有6个（6＝1＋2＋3），图6－2(b)中三角形的个数有10个（1＋2＋3＋4＝10）。图6－2(c)中三角形的个数有15个（1＋2＋3＋4＋5＝15）。
这说明公式①还可以用来数类似于图6－2中三角形的总个数。
另外公式①还可以用来数如图6－3中锐角的总个数，即从锐角AOB的顶点O，在其内部引n－1条射线，此时图中锐角的总个数也是：
1＋2＋…＋（n－1）＋n

2．数长方形的公式
先看图6－4中有多少个长方形（图中ABCD是一个长方形，长方形内每条竖线都平行于BC，每一条横线都平行于AB）。

这个问题与数线段有十分密切的关系。由公式知道：AB边上共有（1＋2＋3＋4＋5＝）15条线段；AD边上共有（1＋2＋3＝）6条线段。把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形（包括正方形），所以图6－4中长方形的总数为
（1＋2＋3＋4＋5）×（1＋2＋3）
一般情况下，如果有类似于图6－4的任一长方形，一边上有n＋1个点，其相邻一边上有m＋1个点（m、n是自然数）；相邻两点间的距离可以相等，也可以不相等。过这些点分别做对边的平行线，与另一边相交，这些平行线将原长方形分割成许多长方形，此时图中长方形的总数为：
（1＋2＋…＋n）×（1＋2＋…m） ②
利用公式②还可以计算图6－5(a)、(b)中平行四边形和梯形的总数。

3．数正方形的公式
分别数出图6－6中各图内的所有正方形的个数（图中每个小格都是正方形）。

为方便起见，我们假定每个小方格的边长为1个长度单位。
图6－6（a）中大正方形边长为2个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（2×2）＝4个，边长为2个长度单位的正方形有1个。所以，正方形总数为
1×1＋2×2＝5（个）
图6－6（b）中大正方形边长为3个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（3×3＝）9个，边长为2个长度单位的正方形有（2×2＝）4个，边长为3个长度单位的正方形有1个。所以，正方形的总数为
1×1＋2×2＋3×3＝14（个）
图6－6（c）中大正方形边长为4个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（4×4＝）16个，边长为2个长度单位的正方形有（3×3＝）9个，边长为3个长度单位的正方形有（2×2＝）4个，边长为4个长度单位的正方形有1个。所以，正方形的总数为
1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30（个）
图6－6（d）中大正方形边长为5个长度单位。其中边长为1个长度单位的正方形有（5×5＝）25个，边长为2个长度单位的正方形有（4×4＝）16个，边长为3个长度单位的正方形有（3×3＝）9个，边长为4个长度单位的正方形有（2×2＝）4个，边长为5个长度单位的正方形有1个。所以，正方形的总数为
1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＝55（个）
一般而言，如果类似图6－6中大正方形边长为n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形有（n×n＝）n2个，边长为2个长度单位的正方形有（n－1）×（n－1＝）即（n－1）2个，…，边长为n－2个长度单位的正方形有（3×3＝）9个，边长为n－1个长度单位的正方形有（2×2＝）4个，边长为n个长度单位的正方形有1个。所以，如果类似图6－6的大正方形各边上都有n个彼此相等的小格，那么图中正方形的总数为
12＋22＋32＋…＋n2 ③