二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用k

来源:百度文库 编辑:神马文学网 时间:2024/03/29 20:43:59

二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用

1 67中共有多少个三角形?

分析与解:将图67旋转一下,应添上字母得图68。在图68中,线段AB将整个图形分为上、下两部分,利用前面的分式①,马上可求出上、下两部分中三角形的个数都是:123456728(个)。

  仔细观察便可发现,除了上面那56个三角形外,还有下列三角形,它们是三角形ACDECDFCDHCDICDJCDBCD,共七个。这一来,图中三角形的总个数为

  (1234567)×2763(个)

  注意:在计数时,千万不要把三角形ACD等给遗漏了,这是数图形中一个很重要的问题或原则,简称为“不漏”。

2 69中有多少个正方形(图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形)?

分析与解:为方便起见,我们可以把图形分为正中间、上下、左右三部分。

  先看正中间部分。中间部分是每边有六个相等小格的正方形,按前面提到公式③计算,共有(122232425262=)91个正方形。

  再看上下部分。因为图形上、下部分是对称的,所以可只看上部分,上部分除了两个小正方形外,还有由四个小正方形拼成的一个较大的正方形,一共有3个正方形,上下部分合起来应添((21)×2=)6个正方形。

  最后再看左、右部分,因为图形左右也是对称的,所以可只看左边那部分。左边那部分除了6个小正方形外,还有4个由四个小正方形拼成的较大的正方形,2个由九个小正方形拼成的较大的正方形,1个由十六个小正方形拼成的较大的正方形。左、右部分合起来应再添((6421)×2=)26个正方形。

  把上述三部分正方形的个数加起来,就得到了问题的答案。图69中共有正方形。

  91626123(个)

3 610中有多少个长方形(图中所有横线彼此平行,所有竖线彼此平行,且外面的四边形是个长方形)?

分析与解:为方便起见,把图610各顶点和交点标上字母,得图611。把图611先分成内外两层。

  按前面提到的公式②,长方形ABCDA1B1C1D1中各有((1234)×(123)=)60个长方形。

  再看上面,夹在长方形ABCDA1B1C1D1之间的长方形GG1H1HH1I1IHGG1I1I不包含在上面那些长方形中,另外还有长方形GN1M1HHM1L1IGN1L1I也不包含在上面已提到的那些长方形中,同样下面也有长方形N1NMM1MM1L1LNN1L1LNG1H1MM1H1I1LNG1I1L也不包含上面已提到的那些长方形中,所以应在内外两层(60×2=)120个长方形外,再添加刚才提到的(6×2=)12个长方形。

  再看左边,和刚才讨论上面情况一样,应加上长方形EFF1E1EFJ1R1。同样右边也应添上长方形JKK1J1KE1F1L。所以应在刚才所提及的长方形外,再添加刚才提到的(2×2=)4个长方形。

  另外中间的长方形PQQ1P1QQ1R1R1PRR1P1,在计算长方形ABCDA1B1C1D中的个数时,这三个长方形都计算了一次,因此重复了,故在计算总数时,应减去这重复的三个长方形。

  把上面三种情况所得出的长方形个数相加,然后减去重复的那3个长方形,便是题目的结果。故图610中长方形的总数为

  60×26×22×23133(个)

  做此题时,有人常常忘记了从总数中减去重复计算过两次的三个长方形,所以在数图形个数时,不但要避免遗漏也要避免重复,这也是数图形中一个很重要的问题或原则,简称“不重”。为了避免犯这两个错误,以后在数简单图形个数时,一定要记住“不重不漏”的原则。