神马文学网第四讲 趣味算式（二）
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/30 03:28:01
这一讲介绍如何解“填数字”问题。这类问题和添运算符号不同，它已经给出运算关系，而要求填写出数字。解决填数字问题，也没有一定法则，掌握这类问题的解法，首先要熟悉第三讲提到的整数运算的有关基本知识，还要掌握一些解题技巧，例如要用到列举法、筛选法、反证法等。解这类问题的关键，是找到解题的突破口。
例1 把1－9这九个数字，分别填入下面算式的□内，使每个等式都成立。
□＋□＝□ ①
□－□＝□ ②
□×□＝□ ③
分析与解：因为1－9这九个数，每取三个数字试乘的情况，要比试加、试减的情况简单，所以应从③式入手试填，试填发现有两种情况：2×3＝6与2×4＝8符合题目要求。
因为1－9九个数中，有四个偶数和五个奇数，而两个奇数或两个偶数的和与差都是偶数，一奇一偶的积、差又都是奇数，这就决定了①、②两式中，只能含有偶数个奇数，而③式中又不可能含3个奇数，所以③式只能是2×3＝6。
第二步，由剩余的六个数字组成①式，它们的可能情况是，1＋4＝5，1＋8＝9，1＋7＝8，4＋5＝9，经试填发现，在1＋4＝5和1＋8＝9的条件下，无法组成②式，所以应舍去。
当1＋7＝8时，②式的组成是9－5＝4或9－4＝5，当4＋5＝9时，②式的组成是8－1＝7或8－7＝1，所以满足题目要求的解有
本题的分析、解题过程说明，以③式入手就是找到了突破口，然后列举可能出现的情况，运用和整数运算有关的知识，将不符合条件要求的情况筛选掉，可以得到题目的解答。
例2 有一个算式，式中画的“×”表示缺掉的数字，求除数的所有不同的质因数的和。（本题是北京市第一届小学迎春杯数学竞赛试题）
分析与解法1：为了便于分析，将算式中的部分待定数字用字母代替。
所以商数为989。
第一个数字只能是9，④式的第一个数字只能是8，所以b＝1，C＝2；
分析与解法2：本题也可以直接求得除数。
位数字为8。
因为③式的三位数减去④式的三位数得三位数，可以判定8与除数的十位数字相乘没有进位，所以b＝1，或b＝0，又因为很容易判定d＝9，所以b＝0是不可能的。
通过试乘，除数取113时，则113×8＝904，积的首位数字大于8，不符合要求，而除数取111时，则111×9＝999，不是四位数，也不符合要求，所以除数只能是112。
如果本题要求把所有缺掉的数字都补上，那也不难，因为求得除数和商数后，除法竖式就成为已知。
例3 下列乘法竖式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，请你用合适的数字代替汉字，使乘法竖式成立。
分析与解：显然，本题应从先确定“大”与“山”所表示的数字入手。因为被乘数的最高位数字“大”与乘数“山”的积仍然是“山”，所以“大”表示1。
因为被乘数的个位数字“山”与乘数“山”的积的个位数字为1，所以只能是“山”表示9。
因为被乘数的百位数字“好”，与乘数9相乘时没有进位，“好”又不能再表示1，所以“好”表示0。
因为被乘数的十位数字“河”与乘数9相乘，积的个位数字是0，而被乘数的个位数字9与乘数9相乘时，向十位进8，所以“河”表示8。
所以本题的解是
例4 下列加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用合适的数字代替字母，使加法竖式成立。
分析与解：从加数与和的个位数字入手。
因为Y＋N＋N＝Y，所以N＝5或N＝0，但N＝5时，加数的十位数字T＋E＋E的和就不可能得T，所以只能是N＝0，同时判定E＝5。
因为加数的百位数字相加，必须向千位进1或2，且千位还必须向万位进1，所以表示0＝9，同时判定I＝1。
因为加数百位数字的和要向千位进2，所以它在22至28之间，可判定T＝7或T＝8。若T＝7，则R＝8，X＝3，这时，只剩数字2、4、6还没有取用，它们要代替S、F、Y，但是S只能比F大1，所以出现矛盾，即T不能是7。
当T＝8时，则R＝6或R＝7，而R＝6时，X＝3，乃出现矛盾，所以只能取R＝7，这时，X＝4，所剩数字为2、3、6，取S＝3，F＝2，Y＝6，就全部完成数字代替字母的解题过程，题目给出的加法竖式是
（本题是美国数学月刊上的一个数字趣题。其中三个加数与和，正好是英文的四个数词40、10、10、60）
下列加法竖式，是一个和例4类似的数字趣题，其中三个加数与和，也正好是英文的四个数词，它们是5、2、1、8，请同学们自己动手解这道题。
例5 下列算式中的O代表奇数，X代表偶数。请你用适当的数字代替O和X，使算式成立。
分析与解：从被乘数、乘数和部分积入手，因为被乘数OX X与乘数个位数字X相乘，部分积是一个四位数，并且它的个位数字是偶数。因为188×8＝1504，其千位数字是1；所以被乘数O××中的百位数字O要大于1；因为用O乘以乘数××的十位数字X得数不大于8，所以被乘数O××中的O只能是3，而乘数××中的十位数字×只能是2。在此条件下可以进行试乘，按要求被乘数3××乘以乘数的十位数字2，应该得×O×。从试乘中得知，被乘数3××只能取306，308，326，346，348，而这些数再乘以偶数4或6，都不能得到×O××，而乘以8时，只有其中的346、348可以得到×O××，但是由于346×28＝9688，不符合最后得积OO××的要求，所以本题只有唯一解
例6 下列的算式中，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，如果它们都成立。
迎迎×春春＝杯迎迎杯 ①
数数×学学＝数赛赛数 ②
春春×春春＝迎迎赛赛 ③
那么，迎＋春＋杯＋数＋学＋赛＝？（1988年北京市迎春杯数学竞赛试题）
分析与解：因为③中的乘数相同，所以试乘过程中的情况最少，经试乘得88×88＝7744，所以，春＝8，迎＝7，赛＝4，再代入①得77×88＝6776，所以，杯＝6。
再分析②，被乘数是“数数”，而乘积的个位数字也是“数”，这就是说，除去8、7、4三个数，剩余的1、2、3、5、9中，只有5能满足这个要求，所以，数＝5；而且“学”必须是奇数，从1、3、9三个奇数中试乘结果知，学＝9，即；55×99＝5445。所以
迎＋春＋杯＋数＋学＋赛＝7＋8＋6＋5＋9＋4＝39
例7 有人把中国古代趣词中的名言佳句与“虫食算”结合起来，制作了一些风格优异的小品，下面就是其中的一例。
年年×岁岁＝花相似 ①
岁岁÷年年＝人÷不同 ②
上面的两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，试解出这两道算式。
分析与解：由②得
“岁岁”＜“年年”；而由两个相同数字组成的两位数是11，22，33，…，99，显然“岁岁”不能是11，因为如果是11，乘积的个位数应该是“年”，这不符合题目要求。如果“岁岁”是33，因为“岁岁”＜“年年”，“年年”最小也应该是44，但是44×33＝1452，与①中积是三位数矛盾，而55×22＝1210，也与①中积是三位数矛盾，所以“年年”只能是33或44。取“年年”为33，则33×22＝726，仍不符合题目要求（想想为什么？），所以“年年”只能是44，故所求的两道算式是：
44×22＝968
22÷44＝5÷10
例1 把1－9这九个数字，分别填入下面算式的□内，使每个等式都成立。
□＋□＝□ ①
□－□＝□ ②
□×□＝□ ③
分析与解：因为1－9这九个数，每取三个数字试乘的情况，要比试加、试减的情况简单，所以应从③式入手试填，试填发现有两种情况：2×3＝6与2×4＝8符合题目要求。
因为1－9九个数中，有四个偶数和五个奇数，而两个奇数或两个偶数的和与差都是偶数，一奇一偶的积、差又都是奇数，这就决定了①、②两式中，只能含有偶数个奇数，而③式中又不可能含3个奇数，所以③式只能是2×3＝6。
第二步，由剩余的六个数字组成①式，它们的可能情况是，1＋4＝5，1＋8＝9，1＋7＝8，4＋5＝9，经试填发现，在1＋4＝5和1＋8＝9的条件下，无法组成②式，所以应舍去。
当1＋7＝8时，②式的组成是9－5＝4或9－4＝5，当4＋5＝9时，②式的组成是8－1＝7或8－7＝1，所以满足题目要求的解有
本题的分析、解题过程说明，以③式入手就是找到了突破口，然后列举可能出现的情况，运用和整数运算有关的知识，将不符合条件要求的情况筛选掉，可以得到题目的解答。
例2 有一个算式，式中画的“×”表示缺掉的数字，求除数的所有不同的质因数的和。（本题是北京市第一届小学迎春杯数学竞赛试题）
分析与解法1：为了便于分析，将算式中的部分待定数字用字母代替。
所以商数为989。
第一个数字只能是9，④式的第一个数字只能是8，所以b＝1，C＝2；
分析与解法2：本题也可以直接求得除数。
位数字为8。因为③式的三位数减去④式的三位数得三位数，可以判定8与除数的十位数字相乘没有进位，所以b＝1，或b＝0，又因为很容易判定d＝9，所以b＝0是不可能的。
通过试乘，除数取113时，则113×8＝904，积的首位数字大于8，不符合要求，而除数取111时，则111×9＝999，不是四位数，也不符合要求，所以除数只能是112。
如果本题要求把所有缺掉的数字都补上，那也不难，因为求得除数和商数后，除法竖式就成为已知。
例3 下列乘法竖式中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字，请你用合适的数字代替汉字，使乘法竖式成立。
分析与解：显然，本题应从先确定“大”与“山”所表示的数字入手。因为被乘数的最高位数字“大”与乘数“山”的积仍然是“山”，所以“大”表示1。
因为被乘数的个位数字“山”与乘数“山”的积的个位数字为1，所以只能是“山”表示9。
因为被乘数的百位数字“好”，与乘数9相乘时没有进位，“好”又不能再表示1，所以“好”表示0。
因为被乘数的十位数字“河”与乘数9相乘，积的个位数字是0，而被乘数的个位数字9与乘数9相乘时，向十位进8，所以“河”表示8。
所以本题的解是
例4 下列加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用合适的数字代替字母，使加法竖式成立。
分析与解：从加数与和的个位数字入手。
因为Y＋N＋N＝Y，所以N＝5或N＝0，但N＝5时，加数的十位数字T＋E＋E的和就不可能得T，所以只能是N＝0，同时判定E＝5。
因为加数的百位数字相加，必须向千位进1或2，且千位还必须向万位进1，所以表示0＝9，同时判定I＝1。
因为加数百位数字的和要向千位进2，所以它在22至28之间，可判定T＝7或T＝8。若T＝7，则R＝8，X＝3，这时，只剩数字2、4、6还没有取用，它们要代替S、F、Y，但是S只能比F大1，所以出现矛盾，即T不能是7。
当T＝8时，则R＝6或R＝7，而R＝6时，X＝3，乃出现矛盾，所以只能取R＝7，这时，X＝4，所剩数字为2、3、6，取S＝3，F＝2，Y＝6，就全部完成数字代替字母的解题过程，题目给出的加法竖式是
（本题是美国数学月刊上的一个数字趣题。其中三个加数与和，正好是英文的四个数词40、10、10、60）
下列加法竖式，是一个和例4类似的数字趣题，其中三个加数与和，也正好是英文的四个数词，它们是5、2、1、8，请同学们自己动手解这道题。
例5 下列算式中的O代表奇数，X代表偶数。请你用适当的数字代替O和X，使算式成立。
分析与解：从被乘数、乘数和部分积入手，因为被乘数OX X与乘数个位数字X相乘，部分积是一个四位数，并且它的个位数字是偶数。因为188×8＝1504，其千位数字是1；所以被乘数O××中的百位数字O要大于1；因为用O乘以乘数××的十位数字X得数不大于8，所以被乘数O××中的O只能是3，而乘数××中的十位数字×只能是2。在此条件下可以进行试乘，按要求被乘数3××乘以乘数的十位数字2，应该得×O×。从试乘中得知，被乘数3××只能取306，308，326，346，348，而这些数再乘以偶数4或6，都不能得到×O××，而乘以8时，只有其中的346、348可以得到×O××，但是由于346×28＝9688，不符合最后得积OO××的要求，所以本题只有唯一解
例6 下列的算式中，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字，如果它们都成立。
迎迎×春春＝杯迎迎杯 ①
数数×学学＝数赛赛数 ②
春春×春春＝迎迎赛赛 ③
那么，迎＋春＋杯＋数＋学＋赛＝？（1988年北京市迎春杯数学竞赛试题）
分析与解：因为③中的乘数相同，所以试乘过程中的情况最少，经试乘得88×88＝7744，所以，春＝8，迎＝7，赛＝4，再代入①得77×88＝6776，所以，杯＝6。
再分析②，被乘数是“数数”，而乘积的个位数字也是“数”，这就是说，除去8、7、4三个数，剩余的1、2、3、5、9中，只有5能满足这个要求，所以，数＝5；而且“学”必须是奇数，从1、3、9三个奇数中试乘结果知，学＝9，即；55×99＝5445。所以
迎＋春＋杯＋数＋学＋赛＝7＋8＋6＋5＋9＋4＝39
例7 有人把中国古代趣词中的名言佳句与“虫食算”结合起来，制作了一些风格优异的小品，下面就是其中的一例。
年年×岁岁＝花相似 ①
岁岁÷年年＝人÷不同 ②
上面的两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，试解出这两道算式。
分析与解：由②得
“岁岁”＜“年年”；而由两个相同数字组成的两位数是11，22，33，…，99，显然“岁岁”不能是11，因为如果是11，乘积的个位数应该是“年”，这不符合题目要求。如果“岁岁”是33，因为“岁岁”＜“年年”，“年年”最小也应该是44，但是44×33＝1452，与①中积是三位数矛盾，而55×22＝1210，也与①中积是三位数矛盾，所以“年年”只能是33或44。取“年年”为33，则33×22＝726，仍不符合题目要求（想想为什么？），所以“年年”只能是44，故所求的两道算式是：
44×22＝968
22÷44＝5÷10