神马文学网第二节 数学发展简史
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/26 17:30:27
数学发展史大致可以分为四个阶段。
一、 数学形成时期 （
——公元前 5 世纪）
建立自然数的概念，
创造简单的计算法，
认识简单的几何图形；
算术与几何尚未分开。
二、 常量数学时期 （前 5 世纪——公元 17 世纪）
也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几
何、
代数、
三角。
该时期的基本成果，
构成中学数学的主要内容。
17
1．古希腊 （前 5 世纪——公元 17 世纪）
毕达哥拉斯
——“万物皆数”
欧几里得
——《几何原本》
阿基米德
—— 面积、体积
阿波罗尼奥斯—— 《圆锥曲线论》
托勒密
——
三角学
丢番图
——
不定方程
2．东方
（公元 2 世纪——15 世纪）
1） 中国
西汉（前 2 世纪） ——《周髀算经》《九章算术》
、
魏晋南北朝（公元 3 世纪——5 世纪）——刘徽、祖冲之
出入相补原理，割圆术，算 π
宋元时期 （公元 10 世纪——14 世纪）——宋元四大家
杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰
天元术、正负开方术——高次方程数值求解；
大衍总数术 —— 一次同余式组求解
2） 印度
现代记数法（公元 8 世纪）——印度数码、有 0；十进制
（后经阿拉伯传入欧洲，
也称阿拉伯记数法）
数学与天文学交织在一起
阿耶波多——《阿耶波多历数书》
（公元 499 年）
开创弧度制度量
18
婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》《肯特卡迪亚格》
、
代数成就可贵
婆什迦罗——《莉拉沃蒂》《算法本源》
、
（12 世纪）
算术、代数、组合学
3）阿拉伯国家（公元 8 世纪——15 世纪）
花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本
“代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”
，即
“移项”
；此后，代数学的内容，主要是解方程。
阿布尔．维法
奥马尔．海亚姆
阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学
成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文艺
复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。
3．欧洲文艺复兴时期（公元 16 世纪——17 世纪）
1）方程与符号
意大利 － 塔塔利亚、卡尔丹、费拉里
三次方程的求根公式
法国 － 韦达
引入符号系统，代数成为独立的学科
2）透视与射影几何
画家 － 布努雷契、柯尔比、迪勒、达．芬奇
数学家 － 阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔
19
3）对数
简化天文、航海方面烦杂计算，希望把乘除转化为加减。
英国数学家 － 纳皮尔
三、变量数学时期（公元 17 世纪——19 世纪）
家庭手工业、作坊 →→ 工场手工业 →→ 机器大工业
对运动和变化的研究成了自然科学的中心
1． 笛卡尔的坐标系（1637 年的《几何学》
）
恩格斯：
“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运
动进入为数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分
和积分也就立刻成为必要的了……”
2． 牛顿和莱布尼兹的微积分（17 世纪后半期）
3． 微分方程、微分几何、复变函数、概率论
第三个时期的基本结果，如解析几何、微积分、微分方程，
高等代数、概率论等已成为高等学校数学教育的主要内容。
四、现代数学时期（公元 19 世纪 70 年代——
）
1． 康托的“集合论”
2． 柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析”
3． 希尔伯特的“公理化体系”
4． 高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何”
5． 伽罗瓦创立的“抽象代数”
6． 黎曼开创的“现代微分几何”
20
7． 其它：数论、拓扑学、随机过程、数理逻辑、组合数
学、分形与混沌 等等
现代数学时期的结果，部分地成为高校数学、力学、物理
学等学科数学教学的内容，并被工作者所使用。
第三节 数学的魅力
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图
画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数
学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的
层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的
定理和公式描述世界的本质。数学，有无穷的魅力！
一、 数学的美妙
1． 欧拉公式
无论你用什么绳索织一片网，它的结点数(V)，网眼数(F)，
边数(E)都必须适合欧拉谱写的旋律 V – E + F = 1
2． 证明－南开区至少有两个人的头发根数一样多
3． 陈省身：
“三角形三内角之和为 180º”这个命题不好。
4． 圆的魅力
5． 素数的魅力
6． 哥尼斯堡七桥问题
7． 庞加莱：地球上任何时候总有一处风速为 0
21
8． 。。。。把 5 个重要常数和谐地统一在一个等式中
。。。
二、 数学的“用处”
1． 不应实用主义地理解“用处”
数学有广泛的用途，但那不同于一般工具的“用处”
；不像
一把斧头，拿来便可砍柴。不应实用主义地理解数学的“用处”
。
2． 数学的应用常常是难以预料的
1） 素数在密码学中的应用
2） 圆锥曲线论在行星运动开普勒三定律中的应用
3） 黎曼几何在广义相对论中的应用
4） 陈省身的纤维丛理论在杨振宁的规范场理论中的应用
5） 正电子、黑洞与电磁场的发现
诺贝尔物理学奖获得者温伯格(S•Weinberg)曾无可奈何
地感叹：
“当一个物理学家得到一个思想时，却发现在他之前
数学家已经得到了。
”
三、 数学的语言
1．自然语言与数学语言
1） 自然语言－具体的语言；数学语言－形式化的语言
2)
科学工作者用数学语言使自己的工作精确化
如：牛顿－运动三定律；爱因斯坦－广义相对论
2. 数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言
1
1）当你写下 c2 = a2 + b2 ，S = v0t +
gt2，不同的民族虽
2
然有不同的自然语言，但对此数学语言描述的内容，不同的人种
都能明白。
22
2）20 世纪 70 年代，为与外星人取得联系，美国曾发射过
一艘宇宙飞船。飞船上带去了地球人类最具代表性的物件，其中
包括一件用黄金制作的体现勾股定理的图案。
3．数学语言的特点
1）明晰；2）严谨；3）简洁； 4）规范
4．重视数学语言的学习
口头表达和书面表达，是数学能力、数学素养的重要方面
四、数学的发展
1．数学的分支越来越细
以至不可能再有一位数学家熟习数学的所有分支
2．数学对自然科学和社会科学的渗透越来越广
“一门科学应用数学的程度，标志着这门科学成熟的程度”
3．历史遗留许多难题，数学永远充满魅力
“费尔马大定理”上世纪末刚被证明
“哥德巴赫猜想”等难题仍未解决
23
趣味题一：抓堆和抓三堆
1. 抓堆：有一堆谷粒（例如 100 粒）
，甲、乙轮流抓，每次可抓
1－5 粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？
为什么？
2. 抓三堆：有三堆谷粒（例如 100 粒、200 粒、300 粒）
，甲、
乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓 1 粒，可抓任意多粒；甲先
抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？
解：
记号：将三堆谷粒的状况记为（a ,b ,c）,例如（100 ，200 ，
300）
。这样，谁抓为（0 ，0 ，0）
，谁赢。
分析：
1）只有一堆时，即状况为（a ,0 ,0）,此时先抓者必胜。
2）只有两堆时，即状况为（a ,b ,0）
（1）若 b = a , 即状况为（a ,a ,0）,此时后抓者必胜。因
为对方先抓后，结果或剩一堆，成为（a ,0 ,0）的状况，一把可抓
完；或剩两堆，成为新的（d ,d ,0）的状况，且 d < a ,继续由对
方抓。
（2）若 b ≠ a ,不妨设 b > a ,即状况为（a ,b ,0）, 此时
先抓者必胜。因为先抓者可以把第二堆抓掉 b – a 个，使状况转化
为（a ,a ,0）, 成为新的状况（1）
。
24
3）三堆都有，且其中两堆相等，即状况为（a ,a ,c）,此时先
抓者必胜。
因为先抓者可以把第三堆全抓完，
使状况转化为 ,a ,0）
（a
,
成为新的状况 2）
（1）
。
4）
三堆都有，
且其中任意两堆都不相等，
即状况为 ,b ,c）
（a
,
且不妨设 a < b < c ,此时情况比较复杂。
为了下面表述的清楚，我们把前面的结论用“反面说法”
，总结
为“把两堆相等的状况留给对方，自己可以取胜。
”
然后再讨论 a、 c 的不同情况。
b、
以其中最小的 a 为
“主要线索”
分情况讨论。
（1）a ＝ 1 时，即状况为（1 ,b ,c）
。下面再对 b 分情况。
由于 a < b < c ,即 a、b、c “前大后小”,因此 b 最小为 2，
于是起始情况是（1 ,2 ,3）
。经用“穷举法”分析，该情况下后抓者
胜；或用“反面说法”说成，把（1 ,2 ,3）的状况留给对方，自己
可以取胜。
下一个情况是（1 ,2 ,c）,c > 3。此时必先抓者胜。因为先抓
者只要把第三堆抓剩 3 个，就转化成（1 ,2 ,3）的状况，从而必胜。
下一个情况是（1 ,3 ,c）, c > 3。此时必先抓者胜。因为先抓
者只要把第三堆抓剩 2 个，
就转化成 ,3 ,2）
（1
的状况， （1 ,2 ,3）
也即
的状况，从而必胜。
下一个情况是（1 ,4 ,c）, c > 4。起始情况是（1 ,4 ,5）
。经
用“穷举法”分析，该情况下后抓者胜；或用“反面说法”说成，把
（1 ,4 ,5）的状况留给对方，自己可以取胜。
25
这样类似地分析下去，逐渐可以得到结论：
把（1 ,2 ,3）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（1 ,4 ,5）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（1 ,6 ,7）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（1 ,8 ,9）的状况留给对方，自己可以取胜。
于是归纳、猜测：
把（1 ,2m ,2m+1）的状况留给对方，自己可以取胜。
然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。
这样，就把 a ＝ 1 时的情况，全搞清楚了。
（2）a ＝ 2 时，即状况为（2 ,b ,c）
。下面再对 b 分情况。
由于 a < b < c ,即 a、b、c “前大后小”,因此 b 最小为 3，
于是起始情况是（2 ,3 ,c）
。c > 3。此时必先抓者胜。因为先抓者
只要把第三堆抓剩 1 个，
就转化成
（2 ,3 , 1）
的状况，
也即
（1 ,2 ,3）
的状况，从而必胜。
下一个情况是（2 ,4 ,c）, c > 4。起始情况是（2 ,4 ,5）
。此
时必先抓者胜。因为先抓者只要把第一堆抓剩 1 个，就转化成
（1 ,4 ,5）的状况，从而必胜。
下一个情况是（2 ,4 ,6）
。经用“穷举法”分析，该情况下后抓
者胜；或用“反面说法”说成，把（2 ,4 ,6）的状况留给对方，自
己可以取胜。
这样类似地分析下去，逐渐可以得到结论：
把（2 ,4 ,6）的状况留给对方，自己可以取胜。
26
把（2 ,5 ,7）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（2 ,8 ,10）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（2 ,9 ,11）的状况留给对方，自己可以取胜。
于是归纳、猜测：
把（2 ,4m ,4m+2）或（2 ,4m+1 ,4m+3）的状况留给对方，自己
可以取胜。
然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。
这样，就把 a ＝ 2 时的情况，全搞清楚了。
（3）a ＝ 3 时，即状况为（3 ,b ,c）
。下面再对 b 分情况。
类似地分析下去，逐渐可以得到结论：
把（3 ,4 ,7）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（3 ,5 ,6）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（3 ,8 , 11）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（3 ,9 , 10）的状况留给对方，自己可以取胜。
于是归纳、猜测：
把（3 ,4m , 4m+3）或（3 ,4m+1 , 4m+2）的状况留给对方，自
己可以取胜。
然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。
这样，就把 a ＝ 3 时的情况，全搞清楚了。
上面的方法，本质上是“数列通项公式”的方法。知道上面这些
结论以后，对一般没有研究的人，你的赢律应该是很大的了。只要先
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把最少的那堆抓剩 3 个，对方迟早会进入你的圈套的。
但是，这并无必胜的把握。为了赢律更大，还需研究 a ＝ 4 时
的情况，a ＝ 5 时的情况，等等。
例如 a ＝ 4 时的情况，经过研究可以得到结论：
把（4 ,8 ,12）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,9 ,13）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,10 ,14）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,11 ,15）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,16 ,20）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,17 ,21）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,18 ,22）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,19 ,23）的状况留给对方，自己可以取胜。
于是归纳、猜测：
把（4 ,8m , 8m+4）或（4 ,8m+1 , 8m+5）或（4 ,8m+2 , 8m+6）
或（4 ,8m+3 , 8m+7）的状况留给对方，自己可以取胜。
然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。
这样，用“数列通项公式”的方法，继续研究下去，也能得出取
胜的策略，但表达起来会很繁琐。
因为已经看到，在（a ,b ,c）
，a < b < c 的规定下，
a ＝ 1 时，有一种表达式（1 ,2m ,2m+1）的状况留给对方，自
己可以取胜。
a ＝ 2 时，有二种表达式（2 ,4m ,4m+2）或（2 ,4m+1 ,4m+3）
28
的状况留给对方，自己可以取胜。
a ＝ 3 时，有二种表达式（3 ,4m , 4m+3）或（3 ,4m+1 , 4m+2）
的状况留给对方，自己可以取胜。
a ＝ 4 时，有四种表达式（4 ,8m , 8m+4）或（4 ,8m+1 , 8m+5）
或（4 ,8m+2 , 8m+6）或（4 ,8m+3 , 8m+7）的状况留给对方，自己
可以取胜。
可以猜测，
a ＝ 4、5、6、7 这四种情况时，都分别有四种通项表达式的状
况留给对方，自己可以取胜。
a ＝8、9、10、11、12、13、14、15 这八种情况时，都分别有
八种通项表达式的状况留给对方，自己可以取胜。
…………
a ＝
这 种情况时，
都分别有 种通项表达式的状况留给对方，
自己可以取胜。
如果把以上情况全用数学归纳法证明了，
特别是把上行中
种通
项表达式全写出并证明了，那么，起始情况有利时，就可以稳操胜算
了。或者说，若甲、乙双方都懂得上述策略时，起始的状态就决定了
谁胜谁负。
这种解决问题方法的复杂性，迫使我们考虑，能否找到一种新手
段、新方法，来解决这一问题。
历史上有过多次类似的情形：笛卡尔引进坐标系，描述了过去难
29
以描述的曲线；牛顿引进微分法和积分法，解决了变变速时的速度、
路程问题；
伽罗瓦引进
“群”
的概念，
解决了 5 次方程根式解的问题，
等等。
给出提示：
一、 数学形成时期 （
——公元前 5 世纪）
建立自然数的概念，
创造简单的计算法，
认识简单的几何图形；
算术与几何尚未分开。
二、 常量数学时期 （前 5 世纪——公元 17 世纪）
也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几
何、
代数、
三角。
该时期的基本成果，
构成中学数学的主要内容。
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1．古希腊 （前 5 世纪——公元 17 世纪）
毕达哥拉斯
——“万物皆数”
欧几里得
——《几何原本》
阿基米德
—— 面积、体积
阿波罗尼奥斯—— 《圆锥曲线论》
托勒密
——
三角学
丢番图
——
不定方程
2．东方
（公元 2 世纪——15 世纪）
1） 中国
西汉（前 2 世纪） ——《周髀算经》《九章算术》
、
魏晋南北朝（公元 3 世纪——5 世纪）——刘徽、祖冲之
出入相补原理，割圆术，算 π
宋元时期 （公元 10 世纪——14 世纪）——宋元四大家
杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰
天元术、正负开方术——高次方程数值求解；
大衍总数术 —— 一次同余式组求解
2） 印度
现代记数法（公元 8 世纪）——印度数码、有 0；十进制
（后经阿拉伯传入欧洲，
也称阿拉伯记数法）
数学与天文学交织在一起
阿耶波多——《阿耶波多历数书》
（公元 499 年）
开创弧度制度量
18
婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》《肯特卡迪亚格》
、
代数成就可贵
婆什迦罗——《莉拉沃蒂》《算法本源》
、
（12 世纪）
算术、代数、组合学
3）阿拉伯国家（公元 8 世纪——15 世纪）
花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本
“代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”
，即
“移项”
；此后，代数学的内容，主要是解方程。
阿布尔．维法
奥马尔．海亚姆
阿拉伯学者在吸收、融汇、保存古希腊、印度和中国数学
成果的基础上，又有他们自己的创造，使阿拉伯数学对欧洲文艺
复兴时期数学的崛起，作了很好的学术准备。
3．欧洲文艺复兴时期（公元 16 世纪——17 世纪）
1）方程与符号
意大利 － 塔塔利亚、卡尔丹、费拉里
三次方程的求根公式
法国 － 韦达
引入符号系统，代数成为独立的学科
2）透视与射影几何
画家 － 布努雷契、柯尔比、迪勒、达．芬奇
数学家 － 阿尔贝蒂、德沙格、帕斯卡、拉伊尔
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3）对数
简化天文、航海方面烦杂计算，希望把乘除转化为加减。
英国数学家 － 纳皮尔
三、变量数学时期（公元 17 世纪——19 世纪）
家庭手工业、作坊 →→ 工场手工业 →→ 机器大工业
对运动和变化的研究成了自然科学的中心
1． 笛卡尔的坐标系（1637 年的《几何学》
）
恩格斯：
“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运
动进入为数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分
和积分也就立刻成为必要的了……”
2． 牛顿和莱布尼兹的微积分（17 世纪后半期）
3． 微分方程、微分几何、复变函数、概率论
第三个时期的基本结果，如解析几何、微积分、微分方程，
高等代数、概率论等已成为高等学校数学教育的主要内容。
四、现代数学时期（公元 19 世纪 70 年代——
）
1． 康托的“集合论”
2． 柯西、魏尔斯特拉斯等人的“数学分析”
3． 希尔伯特的“公理化体系”
4． 高斯、罗巴契夫斯基、波约尔、黎曼的“非欧几何”
5． 伽罗瓦创立的“抽象代数”
6． 黎曼开创的“现代微分几何”
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7． 其它：数论、拓扑学、随机过程、数理逻辑、组合数
学、分形与混沌 等等
现代数学时期的结果，部分地成为高校数学、力学、物理
学等学科数学教学的内容，并被工作者所使用。
第三节 数学的魅力
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图
画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数
学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的
层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的
定理和公式描述世界的本质。数学，有无穷的魅力！
一、 数学的美妙
1． 欧拉公式
无论你用什么绳索织一片网，它的结点数(V)，网眼数(F)，
边数(E)都必须适合欧拉谱写的旋律 V – E + F = 1
2． 证明－南开区至少有两个人的头发根数一样多
3． 陈省身：
“三角形三内角之和为 180º”这个命题不好。
4． 圆的魅力
5． 素数的魅力
6． 哥尼斯堡七桥问题
7． 庞加莱：地球上任何时候总有一处风速为 0
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8． 。。。。把 5 个重要常数和谐地统一在一个等式中
。。。
二、 数学的“用处”
1． 不应实用主义地理解“用处”
数学有广泛的用途，但那不同于一般工具的“用处”
；不像
一把斧头，拿来便可砍柴。不应实用主义地理解数学的“用处”
。
2． 数学的应用常常是难以预料的
1） 素数在密码学中的应用
2） 圆锥曲线论在行星运动开普勒三定律中的应用
3） 黎曼几何在广义相对论中的应用
4） 陈省身的纤维丛理论在杨振宁的规范场理论中的应用
5） 正电子、黑洞与电磁场的发现
诺贝尔物理学奖获得者温伯格(S•Weinberg)曾无可奈何
地感叹：
“当一个物理学家得到一个思想时，却发现在他之前
数学家已经得到了。
”
三、 数学的语言
1．自然语言与数学语言
1） 自然语言－具体的语言；数学语言－形式化的语言
2)
科学工作者用数学语言使自己的工作精确化
如：牛顿－运动三定律；爱因斯坦－广义相对论
2. 数学语言是人类文明、宇宙文明的共同语言
1
1）当你写下 c2 = a2 + b2 ，S = v0t +
gt2，不同的民族虽
2
然有不同的自然语言，但对此数学语言描述的内容，不同的人种
都能明白。
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2）20 世纪 70 年代，为与外星人取得联系，美国曾发射过
一艘宇宙飞船。飞船上带去了地球人类最具代表性的物件，其中
包括一件用黄金制作的体现勾股定理的图案。
3．数学语言的特点
1）明晰；2）严谨；3）简洁； 4）规范
4．重视数学语言的学习
口头表达和书面表达，是数学能力、数学素养的重要方面
四、数学的发展
1．数学的分支越来越细
以至不可能再有一位数学家熟习数学的所有分支
2．数学对自然科学和社会科学的渗透越来越广
“一门科学应用数学的程度，标志着这门科学成熟的程度”
3．历史遗留许多难题，数学永远充满魅力
“费尔马大定理”上世纪末刚被证明
“哥德巴赫猜想”等难题仍未解决
23
趣味题一：抓堆和抓三堆
1. 抓堆：有一堆谷粒（例如 100 粒）
，甲、乙轮流抓，每次可抓
1－5 粒，甲先抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？
为什么？
2. 抓三堆：有三堆谷粒（例如 100 粒、200 粒、300 粒）
，甲、
乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓 1 粒，可抓任意多粒；甲先
抓，规定谁抓到最后一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？
解：
记号：将三堆谷粒的状况记为（a ,b ,c）,例如（100 ，200 ，
300）
。这样，谁抓为（0 ，0 ，0）
，谁赢。
分析：
1）只有一堆时，即状况为（a ,0 ,0）,此时先抓者必胜。
2）只有两堆时，即状况为（a ,b ,0）
（1）若 b = a , 即状况为（a ,a ,0）,此时后抓者必胜。因
为对方先抓后，结果或剩一堆，成为（a ,0 ,0）的状况，一把可抓
完；或剩两堆，成为新的（d ,d ,0）的状况，且 d < a ,继续由对
方抓。
（2）若 b ≠ a ,不妨设 b > a ,即状况为（a ,b ,0）, 此时
先抓者必胜。因为先抓者可以把第二堆抓掉 b – a 个，使状况转化
为（a ,a ,0）, 成为新的状况（1）
。
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3）三堆都有，且其中两堆相等，即状况为（a ,a ,c）,此时先
抓者必胜。
因为先抓者可以把第三堆全抓完，
使状况转化为 ,a ,0）
（a
,
成为新的状况 2）
（1）
。
4）
三堆都有，
且其中任意两堆都不相等，
即状况为 ,b ,c）
（a
,
且不妨设 a < b < c ,此时情况比较复杂。
为了下面表述的清楚，我们把前面的结论用“反面说法”
，总结
为“把两堆相等的状况留给对方，自己可以取胜。
”
然后再讨论 a、 c 的不同情况。
b、
以其中最小的 a 为
“主要线索”
分情况讨论。
（1）a ＝ 1 时，即状况为（1 ,b ,c）
。下面再对 b 分情况。
由于 a < b < c ,即 a、b、c “前大后小”,因此 b 最小为 2，
于是起始情况是（1 ,2 ,3）
。经用“穷举法”分析，该情况下后抓者
胜；或用“反面说法”说成，把（1 ,2 ,3）的状况留给对方，自己
可以取胜。
下一个情况是（1 ,2 ,c）,c > 3。此时必先抓者胜。因为先抓
者只要把第三堆抓剩 3 个，就转化成（1 ,2 ,3）的状况，从而必胜。
下一个情况是（1 ,3 ,c）, c > 3。此时必先抓者胜。因为先抓
者只要把第三堆抓剩 2 个，
就转化成 ,3 ,2）
（1
的状况， （1 ,2 ,3）
也即
的状况，从而必胜。
下一个情况是（1 ,4 ,c）, c > 4。起始情况是（1 ,4 ,5）
。经
用“穷举法”分析，该情况下后抓者胜；或用“反面说法”说成，把
（1 ,4 ,5）的状况留给对方，自己可以取胜。
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这样类似地分析下去，逐渐可以得到结论：
把（1 ,2 ,3）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（1 ,4 ,5）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（1 ,6 ,7）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（1 ,8 ,9）的状况留给对方，自己可以取胜。
于是归纳、猜测：
把（1 ,2m ,2m+1）的状况留给对方，自己可以取胜。
然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。
这样，就把 a ＝ 1 时的情况，全搞清楚了。
（2）a ＝ 2 时，即状况为（2 ,b ,c）
。下面再对 b 分情况。
由于 a < b < c ,即 a、b、c “前大后小”,因此 b 最小为 3，
于是起始情况是（2 ,3 ,c）
。c > 3。此时必先抓者胜。因为先抓者
只要把第三堆抓剩 1 个，
就转化成
（2 ,3 , 1）
的状况，
也即
（1 ,2 ,3）
的状况，从而必胜。
下一个情况是（2 ,4 ,c）, c > 4。起始情况是（2 ,4 ,5）
。此
时必先抓者胜。因为先抓者只要把第一堆抓剩 1 个，就转化成
（1 ,4 ,5）的状况，从而必胜。
下一个情况是（2 ,4 ,6）
。经用“穷举法”分析，该情况下后抓
者胜；或用“反面说法”说成，把（2 ,4 ,6）的状况留给对方，自
己可以取胜。
这样类似地分析下去，逐渐可以得到结论：
把（2 ,4 ,6）的状况留给对方，自己可以取胜。
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把（2 ,5 ,7）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（2 ,8 ,10）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（2 ,9 ,11）的状况留给对方，自己可以取胜。
于是归纳、猜测：
把（2 ,4m ,4m+2）或（2 ,4m+1 ,4m+3）的状况留给对方，自己
可以取胜。
然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。
这样，就把 a ＝ 2 时的情况，全搞清楚了。
（3）a ＝ 3 时，即状况为（3 ,b ,c）
。下面再对 b 分情况。
类似地分析下去，逐渐可以得到结论：
把（3 ,4 ,7）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（3 ,5 ,6）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（3 ,8 , 11）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（3 ,9 , 10）的状况留给对方，自己可以取胜。
于是归纳、猜测：
把（3 ,4m , 4m+3）或（3 ,4m+1 , 4m+2）的状况留给对方，自
己可以取胜。
然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。
这样，就把 a ＝ 3 时的情况，全搞清楚了。
上面的方法，本质上是“数列通项公式”的方法。知道上面这些
结论以后，对一般没有研究的人，你的赢律应该是很大的了。只要先
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把最少的那堆抓剩 3 个，对方迟早会进入你的圈套的。
但是，这并无必胜的把握。为了赢律更大，还需研究 a ＝ 4 时
的情况，a ＝ 5 时的情况，等等。
例如 a ＝ 4 时的情况，经过研究可以得到结论：
把（4 ,8 ,12）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,9 ,13）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,10 ,14）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,11 ,15）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,16 ,20）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,17 ,21）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,18 ,22）的状况留给对方，自己可以取胜。
把（4 ,19 ,23）的状况留给对方，自己可以取胜。
于是归纳、猜测：
把（4 ,8m , 8m+4）或（4 ,8m+1 , 8m+5）或（4 ,8m+2 , 8m+6）
或（4 ,8m+3 , 8m+7）的状况留给对方，自己可以取胜。
然后用数学归纳法可以证明，这一结论是正确的。
这样，用“数列通项公式”的方法，继续研究下去，也能得出取
胜的策略，但表达起来会很繁琐。
因为已经看到，在（a ,b ,c）
，a < b < c 的规定下，
a ＝ 1 时，有一种表达式（1 ,2m ,2m+1）的状况留给对方，自
己可以取胜。
a ＝ 2 时，有二种表达式（2 ,4m ,4m+2）或（2 ,4m+1 ,4m+3）
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的状况留给对方，自己可以取胜。
a ＝ 3 时，有二种表达式（3 ,4m , 4m+3）或（3 ,4m+1 , 4m+2）
的状况留给对方，自己可以取胜。
a ＝ 4 时，有四种表达式（4 ,8m , 8m+4）或（4 ,8m+1 , 8m+5）
或（4 ,8m+2 , 8m+6）或（4 ,8m+3 , 8m+7）的状况留给对方，自己
可以取胜。
可以猜测，
a ＝ 4、5、6、7 这四种情况时，都分别有四种通项表达式的状
况留给对方，自己可以取胜。
a ＝8、9、10、11、12、13、14、15 这八种情况时，都分别有
八种通项表达式的状况留给对方，自己可以取胜。
…………
a ＝
这 种情况时，
都分别有 种通项表达式的状况留给对方，
自己可以取胜。
如果把以上情况全用数学归纳法证明了，
特别是把上行中
种通
项表达式全写出并证明了，那么，起始情况有利时，就可以稳操胜算
了。或者说，若甲、乙双方都懂得上述策略时，起始的状态就决定了
谁胜谁负。
这种解决问题方法的复杂性，迫使我们考虑，能否找到一种新手
段、新方法，来解决这一问题。
历史上有过多次类似的情形：笛卡尔引进坐标系，描述了过去难
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以描述的曲线；牛顿引进微分法和积分法，解决了变变速时的速度、
路程问题；
伽罗瓦引进
“群”
的概念，
解决了 5 次方程根式解的问题，
等等。
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