计算机理论的一篇转贴文章

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我也来冒充一回高手，谈谈学习计算机的一点个人体会。由于我是做理论的，所以先着重谈谈理论。

记得当年大一，刚上本科的时候，每周六课时数学分析，六课时高等代数，天天作业不断(那时是六日工作制)。颇有些同学惊呼走错了门:咱们这到底念的是什么系？不错，你没走错门，这就是(当时的)南大计算机系。系里的传统是培养做学术研究，尤其是理论研究的人。而计算机的理论研究，说到底了就是数学，虽然也许是正统数学家眼里非主流的数学。

数学分析这个东东，咱们学计算机的人对它有很复杂的感情。爱它在于它是第一门，也是学分最多的一门数学课，又长期为考研课程--94以前可以选考数学分析与高等代数，以后则并轨到著名的所谓“工科数学一”。其重要性可见一斑。恨它则在于它好象难得有用到的机会，而且思维跟咱们平常做的这些离散/有限的工作截然不同。当年出现的怪现象是：计算机系学生的高中数学基础在全校数一数二(希望没有冒犯其它系的同学)，教学课时数也仅次于数学系，但学完之后的效果却几乎是倒数第一。其中原因何在，发人深思。

我个人的浅见是：计算机类的学生，对数学的要求固然跟数学系不同，跟物理类差别则更大。通常非数学专业的所谓“高等数学”，无非是把数学分析中较困难的理论部分删去，强调套用公式计算而已。而对计算机系来说，数学分析里用处最大的恰恰是被删去的理论部分。说得难听一点，对计算机系学生而言，追求算来算去的所谓“工科数学一”已经彻底地走进了魔道。记上一堆曲面积分的公式，难道就能算懂了数学分析？

中文的数学分析书，一般都认为以北大张筑生老师的“数学分析新讲”为最好。我个人认为南大数学系的“数学分析教程”也还不错，至少属于典型的南大风格，咱们看着亲切。随便学通哪一本都行。万一你的数学实在太好，这两本书都吃不饱，那就去看菲赫金哥尔茨的“微积分学教程”好了--但我认为没什么必要，毕竟你不想转到数学系去。

吉米多维奇的“数学分析习题集”也基本上是计算型的东东。如果你打算去考那个什么“工科数学一”，可以做一做。否则，不做也罢。

中国的所谓高等代数，就等于线性代数加上一点多项式理论。我以为这有好的一面，因为可以让学生较早感觉到代数是一种结构，而非一堆矩阵翻来覆去。当年我们用林成森，盛松柏两位老师编的“高等代数”，感觉相当舒服，我直到现在还保留着教材。此书相当全面地包含了关于多项式和线性代数的基本初等结果，同时还提供了一些有用的比较深的内容，如Sturm序列，Shermon-Morrison公式，广义逆矩阵等等。可以说，作为本科生如能吃透此书，就可以算高手。后来它得以在南大出版社出版，可惜好象并轨以后就没有再用了。

国内较好的高等代数教材还有清华计算机系用的那本，清华出版社出版，书店里多多，一看就知道。特点嘛，跟南大那本差不太多。

但以上两本书也不能说完美无缺。从抽象代数的观点来看，高等代数里的结果不过是代数系统性质的一些例子而已。莫宗坚先生的“代数学”里，对此进行了深刻的讨论。然而莫先生的书实在深得很，作为本科生恐怕难以接受，不妨等到自己以后成熟了一些再读。

概率论与数理统计这门课很重要，可惜少了些东西。

少了的东西是随机过程。到毕业还没有听说过Markov过程，此乃计算机系学生的耻辱。没有随机过程，你怎么分析网络和分布式系统？怎么设计随机化算法和协议？据说清华计算机系开有“随机数学”，早就是必修课。人家可是工科学校，作为自以为“理科计算机系”出身的人，我感到惭愧。

另外，离散概率对计算机系学生来说有特殊的重要性。现在，美国已经有些学校开设了单纯的“离散概率论”课程，干脆把连续概率删去，把离散概率讲深些。我们不一定要这么做，但应该更加强调离散概率是没有疑问的。

计算方法是最后一门由数学系给我们开的课。一般学生对这门课的重视程度有限，以为没什么用。其实，做图形图像可离不开它。而且，在很多科学工程中的应用计算，都以数值的为主。

这门课有两个极端的讲法：一个是古典的“数值分析”，完全讲数学原理和算法；另一个是现在日趋流行的“科学与工程计算”，干脆教学生用软件包编程。南大数学系的几位老师做了件大好事，把前者的一本极为经典的教材翻译出版了：德国Stoer的“数值分析引论”。如果你能学会此书中最浅显的三分之一，就算没有白上过计算方法这门课！而后一种讲法似乎国内还没有跟上潮流？不过，只要你有机会在自己的电脑上装个matlab之类，完全可以无师自通。

本系里，通常开一门离散数学，包括集合论，图论，和抽象代数，另外再单开一门数理逻辑。这样安排，主要由于南大的逻辑传统：系里很多老师都算莫先生的门人，就连孙先生都是逻辑专业出身(见孙先生自述)。

不过，这么多内容挤在离散数学一门课里，是否时间太紧了点？另外，计算机系学生不懂组合和数论，也是巨大的缺陷。要做理论，不懂组合或者数论吃亏可就太大了。

从理想的状态来看，最好分开六门课：集合，逻辑,图论，组合，代数，数论。这个当然不现实，因为没那么多课时。也许将来可以开三门课：集合与逻辑，图论与组合，代数与数论。

不管课怎么开，学生总一样要学。下面分别谈谈上面的三组内容。

古典集合论，北师大出过一本“基础集合论”不错。南大出版朱梧(木贾)老师的“集合论导引”也许观点更高些，但他的书形式化得太厉害，念起来吃力。

数理逻辑，莫先生的书自然是经典。然而我们也不得不承认，此书年代久远，光读它恐怕不够。尤其是命题/谓词演算本身有好多种不同的讲法，多看几家能大大开阔自己的视野。例如陆钟万老师的“面向计算机科学的数理逻辑”就不错。朱老师也著有“数理逻辑教程”一书，但也同样读起来费力些。

总的来说，学集合/逻辑起手不难，但越往后越感觉深不可测。建议有兴趣的同学读读朱老师的“数学基础引论”--此书有点时间简史的风格，讲到精彩处，所谓“天花乱坠，妙雨缤纷”，令人目不暇接。读完以后，你对这些数学/哲学中最根本的问题有了个大概了解，也知道了山有多高，海有多深。

学完以上各书之后，如果你还有精力兴趣进一步深究，那么可以试一下GTM系列中的"Introduction to Axiomatic Set Theory"和"A Course of Mathematical Logic"。这两本都有世界图书的引进版。你如果能搞定这两本，可以说在逻辑方面真正入了门，也就不用再浪费时间听我瞎侃了。：)

据说全中国最多只有三十个人懂图论(当年上课时陈道蓄老师转引张克民老师的话)。此言不虚。图论这东东，技巧性太强，几乎每题都有一个独特的方法，让人头痛。不过这也正是它魅力所在：只要你有创造性，它就能给你成就感。所以学图论没什么好说的，做题吧。

国内的图论书中，王树禾老师的“图论及其算法”非常成功。一方面，其内容在国内教材里算非常全面的。另一方面，其对算法的强调非常适合计算机系(本来就是科大计算机系教材)。有了这本书为主，再参考几本翻译的，如Bondy&Murty的“图论及其应用”，邮电出版社翻译的“图论和电路网络”等等，就马马虎虎，对本科生足够了。

再进一步，世界图书引进有GTM系列的"ModernGraph Theory"。此书确实经典！国内好象还有一家出版了个翻译版。不过，学到这个层次，还是读原版好。搞定这本书，也标志着图论入了门，呵呵。组合感觉没有太适合的国产书。还是读Graham和Knuth 等人合著的经典“具体数学”吧，有翻译版，西电出的。

抽象代数，国内经典为莫宗坚先生的“代数学”。此书是北大数学系教材，深得好评。然而对本科生来说，此书未免太深。可以先学习一些其它的教材，然后再回头来看“代数学”。国际上的经典可就多了，GTM系列里就有一大堆。推荐一本谈不上经典，但却最简单的，最容易学的：

http://www.math.miami.edu/~ec/book/

这本“Introduction to Linear and Abstract Algebra"非常通俗易懂，而且把抽象代数和线性代数结合起来，对初学者来说非常理想。不过请注意版权问题，不要违反法律噢。

数论方面，国内有经典而且以困难著称的”初等数论“(潘氏兄弟著，北大版)。再追溯一点，还有更加经典(可以算世界级)并且更加困难的”数论导引“(华罗庚先生的名著，科学版，九章书店重印)。把基础的几章搞定一个大概，对本科生来讲足够了。但这只是初等数论。本科毕业后要学计算数论，你必须看英文的书，如Bach的"Introduction to Algorithmic Number Theory"。理论计算机的根本，在于算法。现在系里给本科生

开设算法设计与分析，确实非常正确。环顾西方世界，大约没有一个三流以上计算机系不把算法作为必修的。

算法教材目前公认以Corman等著的"Introduction to Algorithms"为最优。对入门而言，这一本已经足够，不需要再参考其它书。南大曾翻译出版此书，中文名为”现代计算机常用数据结构与算法“。pie好象提供了网上课程的link，我也就不用废话。

最后说说形式语言与自动机。我们用过北邮的教材，应该说写的还清楚。但是，有一点要强调：形式语言和自动机的作用主要在作为计算模型，而不是用来做编译。事实上，编译前端已经是死领域，没有任何open problem。如果为了这个，我们完全没必要去学形式语言--用用yacc什么的就完了。北邮的那本，在深度上，在跟可计算性的联系上都有较大的局限，现代感也不足。所以建议有兴趣的同学去读英文书......不过英文书中好的也不多，而且国内似乎没引进这方面的教材。

入门以后，把形式语言与自动机中定义的模型，和数理逻辑中用递归函数定义的模型比较一番，可以说非常有趣。现在才知道，什么叫”宫室之美，百官之富“！

胡侃学习计算机--理论之外

如果计算机只有理论，那么它不过是数学的一个分支，而不成为一门独立的科学。事实上，在理论之外，计算机科学还有更广阔的天空。我一直认为，4年根本不够学习计算机的基础知识，因为面太宽了...... 一个一流计算机系的优秀学生决不该仅仅是一个编程高手，但他一定首先是一个编程高手。

我上大学的时候，第一门专业课时程序设计，现在好象改成了计算机科学导论？不管叫什么名字，总之，念计算机的人就是靠程序吃饭。

去年在计算机系版有过一场争论，关于第一程序设计语言该用哪一种。我个人认为，用哪种语言属于末节，关键在养成良好的编程习惯。当年老师对我们说，打好基础后学一门新语言只要一个星期。现在我觉得根本不用一个星期--前提是先把基础打好。

数据结构有两种不同的上法：一种把它当成降低要求的初级算法课，另一种把它当成高级的程序设计课。现在国内的课程好象介乎两者之间，而稍偏向前者。我个人认为，假如已经另有必修的算法课，恐怕后一个目的更重要些。

国内流行的数据结构书也有两种：北大的红皮书(许卓群等著，高教版)和清华的绿皮书(严蔚敏等著，清华版)。两书差距不大。红皮书在理论上稍深一些，当然离严格的算法书还差好远。绿皮书更易接受些，而且佩有一本不错的习题集，但我觉得它让学生用伪代码写作业恐怕不见得太好。最好还是把算法都code以后debug一番，才能锻炼编程能力。

汇编预言和微机原理是两门特烦人的课。你的数学/理论基础再好，也占不到什么便宜。这两门课之间的次序也好比先有鸡还是先有蛋，无论你先学哪门，都会牵扯另一门课里的东西。所以，只能静下来慢慢琢磨。这就是典型的工程课，不需要太多的聪明和顿悟，却需要水滴石穿的渐悟。

有关这两门课的书，电脑书店里不难找到。弄几本最新的，对照着看吧。

模拟电路这东东，如今不仅计算机系学生搞不定，电子系学生也多半害怕。如果你真想软硬件通吃，那么建议你先看看邱关源的“电路原理”，也许此后再看模拟电路底气会足些。

教材：康华光的“电子技术基础”还是不错的。有兴趣也可以参考童诗白的书。

数字电路比模拟电路要好懂得多。阎石的书也算一本好教材，遗憾的一点是集成电路讲少了些。真有兴趣，到东南无线电系去旁听他们的课。

计算机系统结构该怎么教，国际上还在争论。国内能找到的较好教材为Stallings的"Computer Organization and Architecture:Designing for Performance"(清华影印本)。国际上最流行的则是“Computer architecture: a quantitative approach", by Patterson & Hennessy。

操作系统可以随便选用Tanenbaum的"Operating System Design and Implementation"和"Modern Operating  System" 两书之一。这两部都可以算经典，唯一缺点 就是理论上不够严格。不过这领域属于Hardcore System, 所以在理论上马虎一点也情有可原。

如果先把形式语言学好了，则编译原理中的前端我看只要学四个算法：最容易实现的递归下降；最好的自顶向下算法LL(k)；最好的自底向上算法LR(k)；LR(1)的简化SLR(也许还有另一简化LALR?)。后端完全属于工程性质，自然又是another story。

推荐教材： Aho等人的著名的Dragon Book: "Compilers: Principles, Techniques and Tools". 或者Appel的"Modern Compiler Implementation in C".

学数据库的第一意义是告诉你，会用VFP编程不等于懂数据库。(这世界上自以为懂数据库的人太多了！)数据库设计既是科学又是艺术，数据库实现则是典型的工程。

所以从某种意义上讲，数据库是最典型的一门计算机课--理工结合，互相渗透。

推荐教材：Silberschatz, et al., "Database System Concepts".
网络的标准教材还是来自Tanenbaum:”Computer Networks"(清华影印本)。不过，网络也属于Hardcore System，所以光看书是不够的。建议多读RFC，从IP的读起。等到能掌握10种左右常用协议，就没有几个人敢小看你了。

必须结束这篇“胡侃”了，再侃下去非我力所能及。其实计算机还有很多基础课都值得一侃，如程序设计语言原理，图形图像处理，人工智能等等。怎奈我造诣有限，不敢再让内行耻笑。

最后声明：前后的两篇“胡侃”只针对本科阶段的学习。即使把这些全弄通了，前面的路还长......

理论计算机科学漫谈

早就答应russel的，今天有点时间，把欠债还上。

计算机科学和数学的关系有点奇怪。二三十年以前，计算机科学基本上还是数学的一个分支。而现在，计算机科学拥有广泛的研究领域和众多的研究人员，在很多方面反过来推动数学发展，从某种意义上可以说是孩子长得比妈妈还高了。

但不管怎么样，这个孩子身上始终流着母亲的血液。这血液是the mathematical underpinning of computer science(计算机科学的数学基础)，-- 也就是理论计算机科学。

现代计算机科学和数学的另一个交叉是计算数学/数值分析/科学计算，传统上不包含在理论计算机科学以内。所以本文对计算数学全部予以忽略。

最常和理论计算机科学放在一起的一个词是什么？ 答：离散数学。这两者的关系是如此密切，以至于它们在不少场合下成为同义词。

传统上，数学是以分析为中心的。数学系的同学要学习三四个学期的数学分析，然后是复变，实变，泛函等等。实变和泛函被很多人认为是现代数学的入门。在物理，化学，工程上应用的，也以分析为主。

随着计算机科学的出现，一些以前不太受到重视的数学分支突然重要起来。人们发现，这些分支处理的数学对象与传统的分析有明显的区别：分析研究的对象是连续的，因而微分，积分成为基本的运算；而这些分支研究的对象是离散的，因而很少有机会进行此类的计算。人们从而称这些分支为“离散数学”。“离散数学”的名字越来越响亮，最后导致以分析为中心的传统数学分支被相对称为“连续数学”。

离散数学经过几十年发展，基本上稳定下来。一般认为，离散数学包含以下学科：
1) 集合论，数理逻辑与元数学。这是整个数学的基础，也是计算机科学的基础。
2) 图论，算法图论；组合数学，组合算法。计算机科学，尤其是理论计算机科学的核心是算法，而大量的算法建立在图和组合的基础上
3) 抽象代数。代数是无所不在的，本来在数学中就非常重要。在计算机科学中，人们惊讶地发现代数竟然有如此之多的应用。

但是，理论计算机科学仅仅就是在数学的上面加上“离散”的帽子这么简单吗？一直到大约十几年前，终于有一位大师告诉我们：不是。

D.E.Knuth(他有多伟大，我想不用我废话了)在Stanford开设了一门全新的课程Concrete Mathematics。 Concrete这个词在这里有两层含义：

第一，针对abstract而言。Knuth认为，传统数学研究的对象过于抽象，导致对具体的问题关心不够。他抱怨说，在研究中他需要的数学往往并不存在，所以他只能自己去创造一些数学。为了直接面向应用的需要，他要提倡“具体”的数学。

在这里我做一点简单的解释。例如在集合论中，数学家关心的都是最根本的问题--公理系统的各种性质之类。而一些具体集合的性质，各种常见集合，关系，映射都是什么样的，数学家觉得并不重要。然而，在计算机科学中应用的，恰恰就是这些具体的东西。Knuth能够首先看到这一点，不愧为当世计算机第一人。

第二，Concrete是Continuous(连续)加上discrete (离散)。不管连续数学还是离散数学，都是有用的数学！

前面主要是从数学角度来看的。从计算机角度来看，理论计算机科学目前主要的研究领域包括：可计算性理论，算法设计与复杂性分析，密码学与信息安全，分布式计算理论，并行计算理论，网络理论，生物信息计算，计算几何学，程序语言理论等等。这些领域互相交叉，而且新的课题在不断提出，所以很难理出一个头绪来。下面随便举一些例子。

由于应用需求的推动，密码学现在成为研究的热点。密码学建立在数论(尤其是计算数论)，代数，信息论，概率论和随机过程的基础上，有时也用到图论和组合学等。

很多人以为密码学就是加密解密，而加密就是用一个函数把数据打乱。这就大错特错了。现代密码学至少包含以下层次的内容：

第一，密码学的基础。例如，分解一个大数真的很困难吗？能否有一般的工具证明协议正确？
第二，密码学的基本课题。例如，比以前更好的单向函数，签名协议等。
第三，密码学的高级问题。例如，零知识证明的长度，秘密分享的方法。
第四，密码学的新应用。例如，数字现金，叛徒追踪等。

在分布式系统中，也有很多重要的理论问题。例如，进程之间的同步，互斥协议。一个经典的结果是：在通信信道不可靠时，没有确定型算法能实现进程间协同。所以，改进TCP三次握手几乎没有意义。例如时序问题。常用的一种序是因果序，但因果序直到不久前才有一个理论上的结果....

例如，死锁没有实用的方法能完美地对付。

例如,......