4-2-3

来源：百度文库编辑：神马文学网时间：2024/04/27 22:17:53

4.2.1 组关系演算
　　把数理逻辑的谓词演算引入到关系运算中，就可得到以关系演算为基础的运算。关系演算又可分为元组关系演算和域关系演算，前者以元组为变量，后者以属性（域）为变量，分别简称为元组演算和域演算。
1.元组表达式的表示
(1)一般形式：
　　{ t | P（t）}
(2)说明：
　　t是元组变量，表示一个元数固定的元组；P是公式，在数理逻辑中也称为谓词，也就是计算机语言中的条件表达式。{ t | P（t）}表示满足公式P的所有元组t的集合。
2.原子公式和公式的定义
　　在元组表达式中，公式由原子公式组成。
(1)原子公式（Atoms）的三种形式
　　 ①R（s）。其中R是关系名，s是元组变量。它表示了这样一个命题：“s是关系R的一个元组”。
　　 ②s[i]θu[j]。其中s和u是元组变量，θ是算术比较运算符，s[i]和u[j]分别是s的第i个分量和u的第j个分量。s[i]θu[j]表示了这样一个命题：“元组s的第i个分量和u的第j个分量之间满足θ关系”。譬如，s[1]　　 ③s[i]θa或aθu[j]。这里a是常量。“s[i]θa”表示这样一个命题：“元组s的第i个分量值与常量a之间满足θ关系”。譬如，s[4]=3表示元组s的第4个分量值为3。
(2)自由变量和约束变量
　　 ①在定义关系演算操作时，要用到“自由”（Free）和“约束”（Bound）变量概念。
　　 ②在一个公式中，如果元组变量未用存在量词

或全称量词

符号定义，那么称为自由元组变量，否则称为约束元组变量。
　　 ③约束变量类似于程序设计语言中过程内部定义的局部变量，自由变量类似于过程外部定义的外部变量或全局变量。
(3)公式（Formulas）的递归定义
　　 ①每个原子是一个公式。其中的元组变量是自由变量。
　　 ②如果P1和P2是公式，那么┐P1、P1∨P2、P1∧P2和P1

P2也都是公式。分别表示下列命题：“P1不是真”，“P1或P2或两者都是真”，“P1和P2都是真”，“若P1为真则P2必然为真”。公式中元组变量的自由约束性质如同在P1和P2中一样，依然是自由的或约束的。
　　 ③如果P1是公式，那么（

s）（P1）和（

s）（P1）也都是公式。其中s是公式P1中的自由元组变量；在（

s）（P1）和（

s）（P1）中称为约束元组变量。这两个公式分别表示下列命题：“存在一个元组s使得公式P1为真”，“对于所有元组s都使得公式P1为真”。公式中其他元组的自由约束性，与P1中一样。
　　 ④公式中各种运算符的优先级从高到低依次为：θ，

和

，┐，∧和∨，

。在公式外还可以加括号，以改变上述优先顺序。
　　 ⑤公式只能由上述四种形式构成，除此之外构成的都不是公式。
(4)实例：元组关系演算的例子

　　已知关系R和S，求下面五个元组表达式的值：
　　R1={t|S(t)∧t[1]>2}
　　R2={t|R(t)∧┐S(t)}
　　R3={t|(

u)(S(t)∧R(u)∧t[3]　　R4={t|(

u)(R(t)∧S(u)∧t[3]>u[1])}
　　R5={t|(

u)(

v)(R(u)∧S(v)∧u[1]>v[2]∧t[1]=u[2]∧t[2]=v[3]∧t[3]=u[1])}
(5)在元组关系演算的公式中，有下列三个等价的转换规则：
　　①P1∧P2等价于┐(┐P1∨┐P2)；
　　　P1∨P2等价于┐（┐P1∧┐P2）。
　　②（

s）（P1（s））等价于┐(

s)（┐P1（s））；
　　　（

s）（P1（s））等价于┐(

s）（┐P1（s））。
　　③P1

P2等价于┐P1∨P2。
3.关系代数表达式到元组表达式的转换
　　可以把关系代数表达式等价地转换到元组表达式。由于所有的关系代数表达式都能用五个基本操作组合而成，因此我们只要把五个基本操作用元组演算表达就行。
(1)实例1
　　设关系R和S都是三元关系，那么关系R和S的五个基本操作可直接转化成等价的元组关系演算表达式：
　　 ①R∪S可用{t|R(t)∨S(t)}表示；
　　 ②R－S可用{t|R(t)∧┐S(t)}表示；
　　 ③R×S可用{t|(u)(v)(R(u)∧S(V)∧t[1]=u[1]∧t[2]=u[2]∧t[3]=u[3]∧t[4]=v[1]∧t[5]=v[2]∧t[6]=v[3])}表示；
　　 ④π_2,3(R)可用{t|(u)(R(u)∧t[l]=u[2]∧t[2]=u[3])}；
　　 ⑤σ_F(R)可用{t|R(t)∧F'}表示,F'是F的等价表示形式。譬如σ_2='d'(R)可写成{t|(R(t)∧t[2]='d')}
(2)实例2
　　设关系R和S都是二元关系，把关系代数表达式π_1,4(σ₂₌₃(R×S))转换成元组表达式的过程从里往外进行，如下所述。
　　 ①R×S可用{t|(u)(v)(R(u)∧S(v)∧t[1]=u[1]∧t[2]=u[2]∧t[3]=v[1]∧t[4]=v[2])}表示。
　　 ②对于σ₂₌₃(R×S)，只要在上述表达式的公式中加上“∧t[2]=t[3]”即可。
　　 ③对于π_1,4(σ₂₌₃(R×S))，可得到下面的元组表达式：
　　　{w|(t)(u)(v)(R(u)∧S(v)∧t[1]=u[1]∧t[2]=u[2]∧t[3]=v[1]∧t[4]=v[2]∧t[2]=t[3]∧w[1]=t[1]∧w[2]=t[4])}
　　 ④再对上式化简,去掉元组变量t,可得下式：
　　　{w|(u)(v)(R(u)∧S(v)∧u[2]=v[1]∧w[1]=u[1]∧w[2]=v[2])}
(3)实例3
　　用元组表达式表示下面的查询
　　 ①检索学习课程号为C2课程的学生学号与成绩。
　　　{t|(u)(SC(u)∧u[2]='C2'∧t[l]=u[1]∧t[2]=u[3])}
　　 ②检索学习课程号为C2课程的学生学号与姓名。
　　　{t|(u)(v)(S(u)∧SC(v)∧v[2]='C2'∧u[l]=v[1]∧t[l]=u[1]∧t[2]=u[2])}
　　　这里u[l]=v[1]是S和SC进行自然连接操作的条件，在公式中不可缺少。
　　 ③检索至少选修LIU老师所授课程中一门课程的学生学号与姓名。
　　　{t|(u)(v)(w)(x)(S(u)∧SC(v)∧C(w)∧T(x)∧u[l]=v[1]∧v[2]=w[1]∧w[3]=x[1]∧x[2]='LIU'∧t[l]=u[1]∧t[2]=u[2])}
　　 ④检索选修课程号为C2或C4的学生学号。
　　　{t|(u)(SC(u)∧(u[2]='C2'∨u[2]='C4')∧t[l]=u[1])}
　　 ⑤检索至少选修课程号为C2和C4的学生学号。
　　　{t|(u)(v)(SC(u)∧SC(v)∧u[2]='C2'∧v[2]='C4'∧u[l]=v[1]∧t[l]=u[1])}
　　 ⑥检索不学C2课的学生姓名与年龄。
　　　{t|(u)(v)(S(u)∧SC(v)∧(u[l]=v[1]?v[2]≠'C2')∧t[1]=u[2]∧t[2]=u[3])}
　　 ⑦检索学习全部课程的学生姓名。
　　　{t|(u)(v)(w)(S(u)∧C(v)∧SC(w)∧u[l]=w[1]∧v[1]=w[2]∧t[1]=u[2])}
　　 ⑧检索所学课程包含学号S3所学课程的学生。
　　　{t|(u)(SC(u)∧(v)(SC(v)∧(v[1]='S3'(w)(SC(w)∧w[1]=u[1]∧w[2]=v[2])))∧t[l]=u[1])} 4.2.2 域关系演算
1.域关系演算表达式
　　域关系演算(Domain Relational Calculus)类似于元组关系演算，不同之处是用域变量代替元组变量的每一个分量，域变量的变化范围是某个值域而不是一个关系。可以像元组演算一样定义域演算的原子公式和公式。
(1)原子公式有两种形式。
　　 ①R（x₁…x_k），R是一个k元关系，每个x_i是常量或域变量。
　　 ②xθy，其中x、y是常量或域变量，但至少有一个是域变量，θ是算术比较符。
　　域关系演算的公式中也可使用∧、∨、┐和等逻辑运算符。也可用(x)和（x）形成新的公式，但变量x是域变量，不是元组变量。
　　自由域变量、约束域变量等概念和元组演算中一样，这里不再重复。
(2)域演算表达式是形为｛t₁…t_k∣P（t₁,…,t_k）｝的表达式，其中P（t₁,…,t_k）是关于自由域变量t₁,…,t_k的公式。
(3)实例：域关系演算的例子。

　　R1={xyz|R(xyz)∧x<5∧y>3}
　　R2={xyz|R(xyz)∨(S(xyz)∧y=4)}
　　R3={xyz|(u)(v)(R(zxu)∧w(yv)∧u>v)}
2.元组表达式到域表达式的转换
(1)对于k元的元组变量t，可引入k个域变量t₁…t_k，在公式中t用t₁…t_k替换，元组分量t[i]用ti替换。
(2)对于每个量词（u）或（u），若u是m元的元组变量，则引入m个新的域变量u₁…u_m。在量词的辖域内，u用u₁…u_m替换，u[i]用u_i替换，（u）用（u₁）…（u_m）替换，（u）用（u₁）…（u_m）替换。
(3)实例1。
　　 ①对于元组表达式。
　　　{w|(u)(v)(R(u)∧S(v)∧u[2]=v[1]∧w[1]=u[1]∧w[2]=v[2])}
　　 ②可用上述转换方法转换成域表达式。
　　　{w1w2|(u1)(u2)(v1)(v2)(R(u1u2)∧S(v1v2)∧u2=v1∧w1=u1∧w2=v2)}
　　 ③再进一步简化，可消去域变量u1、v1、v2,得到下式。
　　　{w1w2|(u2)(R(w1u2)∧S(u2w2))}
(4)实例2。
　　 ①检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。
　　　关系代数：Π_S#,SCORE(σ_C#='C2'(SC))
　　　元组表达式：{t|(

u)(SC(u)∧u[2]='C2'∧t[l]=u[1]∧t[2]=u[3])}
　　　域表达式：{t1t2|(

u1)(

u2)(

u3)(SC(u1u2u3)∧u2='C2'∧t1=u1∧t2=u3)}
　　　可化简为：{t1t2|(SC(t1'C2't2))}
　　 ②检索学习课程号为C2的学生学号与姓名。
　　　关系代数：Π_S#,SNAME(σ_C#='C2'(S

SC))
　　　元组表达式：{t|(

u)(

v)(S(u)∧SC(v)∧v[2]='C2'∧u[l]=v[1]∧t[l]=u[1]∧t[2]=u[2])}
　　　域表达式：{t1t2|(

u1)(

u2)(

u3)(

u4)(

v1)(

v2)(

v3)(S(u1u2u3u4)∧SC(v1v2v3)∧v2='C2'∧u1=v1∧t1=u1∧t2=u2)}
　　　可化简为：{t1t2|(

u3)(

u4)(

v3)(S(t1t2u3u4)∧SC(t1'C2'v3))} 4.2.3 关系运算的安全约束和等价性
1.关系运算的安全性
(1)问题的提出
　　 ①在关系代数中基本操作是并、差、笛尔卡积、投影和选择，没有集合的“补”操作，因而关系代数运算总是安全的。
　　 ②关系演算则不然，可能会出现无限关系和无穷验证问题。
　　　例如元组表达式{t|┐R(t)}表示所有不在关系R中元组的集合，这是一个无限关系。验证公式(

u)(P1(u))为假时，必须对所有可能的元组u进行验证，当所有的u都使P1(u)为假时，才能断定公式(

u)(P1(u))为假。
　　　验证公式(

u)(P1(u))也是这样，当所有可能的u使P1(u)为真时，才能断定公式(

u)(P1(u))为真。
　　　这在实际上是行不通的。因为，一方面计算机的存储空间是有限的，不可能存储无限关系；另一方面，在计算机上进行无穷验证是永远得不到结果。我们必须采取措施，防止无限关系和无穷验证的出现。
(2)定义
　　在数据库技术中，不产生无限关系和无穷验证的运算称为安全运算，相应的表达式称为安全表达式，所采取的措施称为安全约束。
(3)说明
　　在关系演算中，我们约定，运算只对表达式中公式涉及到的关系值范围内操作，这样就不会产生无限关系和无穷验证问题，关系演算是安全的。
2.关系运算的等价性
　　 ①并、差、笛尔卡积、投影和选择是关系代数最基本的操作，并构成了关系代数运算的最小完备集。已经证明，在这个基础上，关系代数、安全的元组关系演算、安全的域关系演算在关系的表达和操作能力上是完全等价的。
　　 ②关系运算主要有关系代数、元组演算和域演算三种，相应的关系查询语言也已研制出来，它们典型的代表是ISBL语言、QUEL语言和QBE语言。
　　 ③ISBL（Information System Base Language）是IBM公司英格兰底特律科学中心在1976年研制出来的，用在一个实验系统PRTV (Peterlee Relational Test Vehicle)上。ISBL语言与关系代数非常接近，每个查询语句都近似于一个关系代数表达式。
　　 ④QUEL语言（Query Language）是美国伯克利加州大学研制的关系数据库系统INGRES的查询语言，1975年投入运行，并由美国关系技术公司制成商品推向市场。QUEL语言是一种基于元组关系演算的并具有完善的数据定义、检索、更新等功能的数据语言。
　　 ⑤QBE（Query By Example，按例查询）是一种特殊的屏幕编辑语言。QBE是M.M.Zloof提出的，在约克镇IBM高级研究实验室为图形显示终端用户设计的一种域演算语言，1978年在IBM 370上实现。QBE使用起来很方便，属于人机交互语言，用户可以是缺乏计算机知识和数学基础的非程序员用户。现在，QBE的思想已渗入到许多DBMS中。
　　 ⑥还有一个语言SQL，这是介乎于关系代数和元组演算之间的一种关系查询语言，现已成为关系数据库的标准语言，我们将在第5章详细介绍。

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