神马文学网簡帛網>>簡帛文庫>>漢 簡>>四分術“連大月距”理論的運用實例
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/28 07:35:43
關鍵字：四分術 “三大二小” 連大月距 太初曆 張家山漢簡 曆譜勘補
張家山漢墓曆譜[1]的勘補需要運用到筆者所得出的四分術“連大”定理。為此，本文先概述四分術“連大”定理和“連大月距”理論。然後對張家山漢曆譜進行分析，在此基礎上，運用“連大”定理和“連大月距”理論進行勘補。本文是該結論的一個運用實例。
一、四分術“無連小”、“大月”、“兩月連大”之簡要概述
1、四分術“無連小”，即某月月朔小餘在定義域內不論取何值，如果該月是小月，則其次月必定為大月。我們稱之為四分術“無連小”定理。
2、我們稱“兩月連大”的第一個大月為“前大”，第二個大月為“後大”。
則有：如某月是大月，那麼它的月朔小余值域必然為[441，939]；其次月的月朔小余值域必然為[0，498]。反之依然。我們稱之為“大月”朔余定理，簡稱“大月”定理。
3、如出現兩個月連續大月，那麼緊跟這次連大之後的月份必然是小月。
我們稱之為四分術“無三連大”定理。稱連大之後的小月為“後小”。
4、當某月月朔小餘值域為[0，57]時，其前兩月連大。
如果第N月和第N+1月連續大月，那麼前大月朔小余值域必然為[882，939]；後大月朔小余必然為[441，498]，後小月朔小余值域必然為[0，57]。反之依然。
我們稱此為四分術“連大月朔小余”定理。
二、四分術“連大月距”定理及“連大朔余與連大月距”關係式概述
我們稱兩次“兩月連大”之第一次連大為“前連”，第二次連大為“後連”；稱“兩次連大之間的月間距”為“連大月距”。
四分術的曆譜中，兩次“連大”之間的間距，要麼是15個月，要麼是13個月，不會有其他可能。我們稱之為“連大月距13或15月定理”，簡稱“連大月距定理”。
連大朔余與連大月距關係組式一：
(1)連大月間距的朔小餘關係式：前連後小朔小餘加上29倍的連大月距數，再加上470，等於後連前大朔小餘；
(2)前後連後小的朔小餘關係式：前連後小朔小餘加上29倍的連大月距數，再減去412，等於後連後小朔小餘。
連大朔余與連大月距關係組式二：
（1）當連大月間距為13月時，前連後小月朔小餘減去35，等於後連後小朔小餘；
且後連後小月朔小餘介於[0,22]（閉區間）之間；
前連後小月朔小餘介於[35,57]（閉區間）之間；
（2）當連大月間距為15月時，前連後小月朔小餘加上23，等於後連後小朔小餘；
且後連後小月朔小餘介於[23,57]（閉區間）之間；
前連後小月朔小餘介於[0,34]（閉區間）之間；
連大朔余與連大月距關係組式三：
當連大後小月朔小餘[0，34]時，則此次連大之後15個月必然再次連大；
當連大後小月朔小餘[35，57]時，則此次連大之後13個月必然再次連大；
當連大後小月朔小餘[0，22]時，則此次連大之前13個月必然再次連大；
當連大後小月朔小餘[23，57]時，則此次連大之前15個月必然再次連大。
我們稱關係式1、2、3為四分術“連大”月距間月朔小餘關係通式。
三、四分術“連大”月距的排列規律
連大月距不可能連續兩次為小距；也不可能連續三次為大距。
我們稱之為四分術連大“大距無三連和小距無二連”定理。
四、四分術月朔小餘相等的“連大”大週期及月朔小餘遞減1分的“連大”小週期
四分術月朔小餘相等的週期為蔀月940個月，這也是月朔小餘相等的兩次連大之間的最小月間隔940月。我們稱之為“連大大週期”定理。
同時四分術每隔81個月會出現月朔小餘依次減1分，且在此月朔小餘減少1分的81月內，有43個大月。我們稱之為月朔小餘遞減1分的“連大”小週期。
筆者正是在此基礎上，得出落下閎、鄧平太初曆（後經劉歆易名為“三統曆”）的朔望月資料來源於此，並認為此發現對於呂子方的連分數推導論、朱文鑫的子母相加論、李繼閔的調日法論和薄樹人的不可解釋論似乎是比較有意義的補充或糾正。
五、月朔小餘為0的連大月距和“月余0”定理
筆者根據“連大月朔小余關係和連大月距間月朔關係通式”得出，在月朔小餘大週期940個月內，從月朔小餘為0的940個月內的連大月距和連大排列情況。連大月距的關係，驗證筆者論證的“無三大距和無二小距”定理；同時發現，從月朔小餘為0出發，除了第一個連大大距之外，其後大距連大和小距連大的排列順序均嚴格遵循“大小大大小，大小大大小，……大小大大小”的次序規律，一共經歷11次“大小大大小”後，再經歷一次大距連大和一次小距連大後，月朔小餘回歸為0.
經計算，“大小大大小”的大小距連大組合共計81個月（包含5次連大和5個連大月距，共計5*2+15+13+15+15+13=81），既然940個月內月朔小餘不等，那麼這940個月（15+2+81*11+15*2+13+2=940）內除最開始的月朔小餘等於0之外，其餘各月的月朔均不等，且81個月遞減1分，落下閎和鄧平正是找到了這個月朔小餘遞減1分的小週期數據，創制了太初曆。
同時筆者得出，當且僅當大小距連大的排列順序是“大大小大大”時，即“兩個連續大距連大夾一個小距連大”時，其第一個大距連大開始的月朔小余必然為0，而其餘的情況均不為0.並稱之為四分術“朔余0”定理。
六、連大月距“小大小大小”之不可能定理
筆者通過推排從月朔小餘為0的940個月內的連大月距和連大排列情況，並經數理推證，得出：連大月距排列只有“大小大大小”、“小大大小大”、“大大小大小”、“大小大小大”和“小大小大大”以及朔余為零時的“大大小大大”六種連大月距排列情況。連大月距不可能出現“小大小大小”的排列情況。並稱之為四分術連大月距“小大小大小”之不可能定理。
七、張家山漢曆譜分析
為方便討論，根據整理小組公布的曆譜內容（曆附史實略，後加備註）用表格形式排列如下：
年號 月序
十月
十一月
十二月
正月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
八月
九月
後九月
備註
五年
辛卯
辛酉
庚寅
庚申
己丑
己未
高祖五年
六年
戊午
丁亥
丁巳
丙戌
丙辰
丙戌
乙卯
乙酉
甲寅
甲申
癸丑
癸未小
高祖六年
七年
壬子
壬午
辛亥
高祖七年
八年
丁未
丙子
丙午
乙亥
乙巳
甲戌
甲辰
癸酉
癸卯
壬申
壬寅
辛未
辛丑大
高祖八年
九年
辛未
庚子
庚午
己亥
己巳
戊戌
戊辰
丁酉
丁卯
丁酉[2]
丙寅
己未大
高祖九年
十年
乙丑
甲午
甲子
甲午[3]
癸亥
癸巳
壬戌
壬辰
辛酉
辛卯
庚申
庚寅
己未
高祖十年
十一年
己丑
戊午
戊子
丁巳
丁亥
丙辰
丙戌
丙辰
乙酉
乙卯
甲申
甲寅
高祖十一年
十二年
癸未
癸丑
壬午
壬子
辛巳
辛亥
庚辰
庚戌
己卯
己酉
戊寅
戊申
高祖十二年
癸酉
壬寅
壬申
孝惠元年
二年
辛丑
辛未
辛丑
庚午
庚子
己巳
己亥
戊辰
戊戌
丁卯
丁酉
丙寅
孝惠二年
三年
丙申
乙丑
乙未
甲子
甲午
癸亥
癸巳
癸亥
壬辰
壬戌
辛卯
辛酉
孝惠三年
四年
庚寅
庚申
己丑
己未
戊子
戊午
丁亥
丁巳
丙戌
丙辰
丙戌[4]
乙卯
乙酉
孝惠四年
五年
甲寅
甲申
癸丑
癸未
壬子
壬午
辛亥
辛巳
庚戌
庚辰
己酉
己卯
孝惠五年
六年
戊申
戊寅
戊申
丁丑
丁未
丙子
丙午
乙亥
乙巳
甲戌
甲辰
癸酉
癸卯
孝惠六年
七年
壬申
壬寅
辛未
辛丑
庚午
庚子
庚午
己亥
己巳
戊戌
戊辰
丁酉
孝惠七年
癸巳
壬戌
壬辰
呂后元
庚寅
己未
己丑
戊午
戊子
丁巳
丁亥
丙辰
丙戌
乙
呂后二年
呂后三年
呂后四年
該曆譜的第二簡寫有：“新降為漢”（三字皆為右半），整理小組斷定為漢高祖五年四月至呂后二年後九月（即漢高祖五年四月至十二年，孝惠帝元年至七年，呂后元年至二年後九月）。
以上曆譜可以清晰地發現月份連大現象（筆者用褐色標出）有：
連大月份
間隔
連大月份
間隔
連大月份
高祖六年正月和二月
30月
高祖八年九月和後九月
7月
高祖九年五月和六月
高祖九年五月和六月
4月
高祖十年十一月和十二月
15月
高祖十一年三月和四月
高祖十一年三月和四月
30月
孝惠二年十月和十一月
15月
孝惠三年三月和四月
孝惠三年三月和四月
13月
孝惠四年六月和七月
15月
孝惠六年十月和十一月
孝惠六年十月和十一月
15月
孝惠七年二月和三月
上表顯示，高祖八年和九年間的連大月距7月和4月明顯不符合“連大月距13或15月”的定理。就是說，這裏肯定有一個月朔日期發生了錯誤。
經過查驗，發現高祖九年五月丁酉朔，六月丁卯朔，七月丁酉朔，八月丙寅朔，九月乙未朔。說明五月和六月是連大月；七月和八月是連小月。
我們分析，七月如果是丁酉朔，則六月就是大月丙申晦；這與正史記錄的“九年夏六月乙未晦，日有食之”史實[5]不符。整理小組注釋了該七月丁酉朔與張培瑜先生的觀點不一[6]。筆者則發現，如果根據四分術，這裏也不可能存在“兩月連小”和僅7個月間距的兩月連大。因此這裏只有兩種可能，一是劉漢在此實施了曆改；二是記錄者記錄錯誤（此處如誤，不會是“筆誤”，而是推算錯誤）。
如果是改曆，正史應有記載；查《史記》、《漢書》和《後漢書》，未有記錄，此可能可以排除。可以斷定，此處不符是記錄者記錄錯誤。
正確的應是：七月朔日干支應是丙申；六月晦是乙未，從而六月是小月，七月是大月。六月晦與史實不符、“提前連大”和“連小”與四分術定理不符的現象都是因七月朔這個記錄錯誤所致。
調整該錯誤後，“高祖八年九月和後九月”的連大月與“高祖十年十一月和十二月”的連大月之間的連大月距剛好13月。
根據連大月距的“大距無三連和小距無二連”定理，那麼“高祖八年九月和後九月”的連大月與此前“高祖六年正月和二月”連大之間，還應有一次距離“高祖八年九月”為15個月的連大。即高祖七年四月和五月必然是連大。該次連大與“高祖六年正月和二月”這次連大之間剛好是13個月月距。
再根據“大距無三連和小距無二連”定理，“高祖六年正月和二月”之前的連大月距必然是15年，也就是說高祖四年九月和五年十月是連大月。
再看“高祖十一年三月和四月”與“孝惠二年十月和十一月”兩次連大相距30個月，期間必然還有一次連大，那麼是先有小距還是先有大距呢（也就是它是15+2+13排列，還是13+2+15呢）？筆者注意到，“高祖十一年三月和四月”連大到“高祖十二年七月”剛好15個月，且期間沒有連大，根據連大月距定理，連大之後13或15個月必有連大。此處連大至“高祖十二年七月”剛好15個月，那麼其後的“高祖十二年八月和九月”必然是連大。“高祖十一年三月和四月”與“孝惠二年十月和十一月”兩次連大之間的連大正是此次。從而連大月距30月的排列應為“15月連大月距+2月連大+13月連大月距”
再看“孝惠七年二月和三月”，該次連大之前的兩次連大月距都為15月，根據連大月距“大距無三連和小距無二連”定理，該次連大之後的連大月距必然13月，即“呂后元年五月和六月”必然是連大。又根據“大距無三連和小距無二連”定理，“呂后元年五月和六月”連大後的連大月距必然是15月，即“呂后二年後九月和呂后三年十月”必然是連大，呂后二年九月為小月，後九月朔殘缺的“乙？”為乙卯。
我們將以上分析結果再次匯總到曆譜連大表如下：
連大月份
間隔
連大月份
間隔
連大月份
需要根據閏月規律推求
15月
高祖四年九月和五年十月
15月
高祖六年正月和二月
高祖六年正月和二月
13月
高祖七年四月和五月
15月
高祖八年九月和後九月
高祖八年九月和後九月
13月
高祖十年十一月和十二月
15月
高祖十一年三月和四月
高祖十一年三月和四月
15月
高祖十二年八月和九月
13月
孝惠二年十月和十一月
孝惠二年十月和十一月
15月
孝惠三年三月和四月
13月
孝惠四年六月和七月
孝惠四年六月和七月
15月
孝惠六年十月和十一月
15月
孝惠七年二月和三月
孝惠七年二月和三月
13月
呂后元年五月和六月
15月
呂后二年後九月和呂后三年十月
根據“連大月距”定理，“高祖六年正月和二月”連大之前的間隔15個月是連大，即可以確定高祖五年四月大，三月小，二月大，正月小，十二月大，十一月小，十月和高祖四年九月連大（這裏的“九月”後不可能有“後九月”，這是個閏年的閏制週期問題。簡單論說一下：因為四分術235個月合19年，閏7次，每次間隔平均33月又12分月之7，而此曆譜可知為年底置閏，故，閏年之間的間隔至少1年——當第一個無中月如果是第一年冬10月至2月時，下次無中月為下下年的5月至9月，各是年底置閏，則2個置閏年至少間隔1年。具體閏年的週期規律，另文再議），此次連大之前，至少還有13個月間距和1個大月加上該大月前一月晦理應可推，但是由於高祖三年是否置閏，目前尚不可推，故我們確切可推的是：高祖四年八月小，七月大，六月小，五月大，四月小，三月大，二月小，正月大，十二月小，十一月大，十月小（高祖三年年底月晦為己亥，且為大月，前一月為小月，再前一月為大月，該月前一月的晦是庚午）。同時根據連大月距“小大小大小”不可能定理，我們知道，高祖四年九月和五年十月這次連大之前的連大月距必然是15個月。至於再之前的情況，尚需要進一步研究古四分術閏月更精細的規律才能實現。
“呂后二年後九月和呂后三年十月”之後，至少有13個月的連大月距，即可以確定呂后三年十一月小，十二月大，正月小，二月大，三月小，四月大，五月小，六月大，七月小，八月大，九月小，呂后四年十月大，十一月小，十二月大，並可推知正月朔干支。
通觀全譜，除了我們分析的高祖九年七月丁酉朔應為“丙申”外，其餘各月均嚴格遵循了“連大”定理和“連大月距”定理。故整理小組所注釋的另外兩處“高祖十年正月甲午”和“孝惠帝四年八月丙戌”與張培瑜先生的不一，似乎說明張先生當年的推理與“連大月距”定理有偏，值得商榷。
八、運用以上分析修復張家山漢曆譜
我們把根據分析得出的月朔干支及其他內容標為紅色。
年號 月序
十月
十一月
十二月
正月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
八月
九月
後九月
備註
三年
高祖三年
四年
庚子
己巳
己亥
戊辰
戊戌
丁卯
丁酉
丙寅
丙申
乙丑
乙未
甲子
無後九月
高祖四年
五年
甲午
甲子
癸巳
癸亥
壬辰
壬戌
辛卯
辛酉
庚寅
庚申
己丑
己未
戊子
高祖五年
六年
戊午
丁亥
丁巳
丙戌
丙辰
丙戌
乙卯
乙酉
甲寅
甲申
癸丑
癸未小
高祖六年
七年
壬子
壬午
辛亥
辛巳
庚戌
庚辰
己酉
己卯
己酉
戊寅
戊申
丁丑
高祖七年
八年
丁未
丙子
丙午
乙亥
乙巳
甲戌
甲辰
癸酉
癸卯
壬申
壬寅
辛未
辛丑大
高祖八年
九年
辛未
庚子
庚午
己亥
己巳
戊戌
戊辰
丁酉
丁卯
丙申
丙寅
己未大
高祖九年
十年
乙丑
甲午
甲子
甲午
癸亥
癸巳
壬戌
壬辰
辛酉
辛卯
庚申
庚寅
己未
高祖十年
十一年
己丑
戊午
戊子
丁巳
丁亥
丙辰
丙戌
丙辰
乙酉
乙卯
甲申
甲寅
高祖十一年
十二年
癸未
癸丑
壬午
壬子
辛巳
辛亥
庚辰
庚戌
己卯
己酉
戊寅
戊申
高祖十二年
元年
戊寅
丁未
丁丑
丙午
丙子
乙巳
乙亥
甲辰
甲戌
癸卯
癸酉
壬寅
壬申
孝惠元年
二年
辛丑
辛未
辛丑
庚午
庚子
己巳
己亥
戊辰
戊戌
丁卯
丁酉
丙寅
孝惠二年
三年
丙申
乙丑
乙未
甲子
甲午
癸亥
癸巳
癸亥
壬辰
壬戌
辛卯
辛酉
孝惠三年
四年
庚寅
庚申
己丑
己未
戊子
戊午
丁亥
丁巳
丙戌
丙辰
丙戌
乙卯
乙酉
孝惠四年
五年
甲寅
甲申
癸丑
癸未
壬子
壬午
辛亥
辛巳
庚戌
庚辰
己酉
己卯
孝惠五年
六年
戊申
戊寅
戊申
丁丑
丁未
丙子
丙午
乙亥
乙巳
甲戌
甲辰
癸酉
癸卯
孝惠六年
七年
壬申
壬寅
辛未
辛丑
庚午
庚子
庚午
己亥
己巳
戊戌
戊辰
丁酉
孝惠七年
元年
丁卯
丙申
丙寅
乙未
乙丑
甲午
甲子
癸巳
癸亥
癸巳
壬戌
壬辰
呂后元年
二年
辛酉
辛卯
庚申
庚寅
己未
己丑
戊午
戊子
丁巳
丁亥
丙辰
丙戌
乙卯
呂后二年
三年
乙酉
乙卯
甲申
甲寅
癸未
癸丑
壬午
壬子
辛巳
辛亥
庚辰
庚戌
呂后三年
四年
己卯
己酉
戊寅
戊申
呂后四年
可惜的是，在該曆譜中沒有能夠找到“大大小大大”的連大月距排列，也即是說，我們沒有找到“朔餘0”的表徵。但正因為如此，我們可以肯定，面前這張前後殘缺的曆表中，從高祖四年截止呂后元年六月這一部分的所有月份，其月朔小餘均不為0；只有呂后元年七月至呂后四年正月的月朔小余有為0的可能；而高祖四年之前，則須待對四分術置閏（光曉得19年7閏和“年底置閏”尚不足為推）作更細緻的規律性探索方可推求。
參考文獻與文章：
1、 劉洪濤 《古代曆法計算法》，南開大學出版社，2003年
2、 曲安京 《中國古代曆法與數學》，科學出版社，2006年
3、 王元鈞 “四分術之‘連大月距’與三統曆‘日法’數源考”
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