解析几何“定点”问题求解策略

魏跃军
摘要：本文结合具体的例题对解析几何“定点”问题的解答策略进行了分析和探讨。
关键词：解析几何；定点；求解策略
作者简介：魏跃军，任教于江苏省扬州市红桥高级中学。　　
        解析几何是历年高考的热点，近三年江苏高考卷上基本呈现稳定的态势，三年都是在解答题第四题位置进行考察，综合性较强．是整张试卷区分度最大的解答题，入手容易但计算量大，所以成了大部分学生在高考中的心理障碍。另一方面从题型来看，三年都是考察的动曲线过“定点”问题。
　　解析几何中的“定点”问题一般是在一些动态事物(如动点、动直线、动弦、动角、动轨迹等)中,寻求某一个不变量——定点，由于这种问题涉及面广、综合性强，因此不少同学常常因解题方法选择不当，而导致解答过程繁难、运算量大,从而半途而废，甚至于许多同学无从下手，本文结合自己多年的教学实践,通过一些实例来谈谈解这类问题的常用方法。
        例题1：（08年江苏高考题）在平面直角坐标系中，记二次函数（）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为．
        （1）求实数b的取值范围；
        （2）求圆的方程；
        （3）问圆是否经过定点（其坐标与的无关）？请证明你的结论．
        解：（1）（2）问略解如下：（1） b＜1 且b≠0；（2）C 的方程为。
        （Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：
        假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，
        并变形为         （*）
        为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，解得或，经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。
        说明：（1）上述解法是解决曲线恒过定点问题的常用策略，可以归纳为三步骤：“一选，二理，三求”，即第一步：选择参变量（引起动曲线变化的参变量，不妨设为），第二步：按照参变量将曲线方程整理成的形式，第三步：就是通过求解方程组，求的定点坐标。该解法是利用方程恒成立，化“动为静”，转化为为曲线和的交点问题。
        （2）这类问题也可以通过“先特殊，再一般”的思路进行解决，即：先不妨假设（*）式中分别取值0和，通过方程组，求得交点，经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。
        这种对参变量b的特殊实质是化“动为静”，通过静态的图形特征的发现，类比联想到动态的图形特征，再加以验证，从而达到解题的目的。
        例题2：（09年江苏高考题）在平面直角坐标系中，已知圆和圆。
        （1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
        （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。
        解析：（1）或
        (2) 本题利用三步骤可以很快求得定点P的坐标为或，难度在于“无穷多对互相垂直的直线和的理解”。
         例题3：（10年江苏高考题）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
        （1）设动点P满足,求点P的轨迹；
        （2）设，求点T的坐标；
        （3）设,求证：直线MN必过轴上的一定点（其坐标与m无关）。
        解析：（1）。（2）点T的坐标为。
        （3）由题意知点T的坐标为，则
        直线MTA方程为：，即，
        直线NTB 方程为：，即。
        分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
        解得：、。
        当时，动直线MN的方程为：（﹡）
        说明：据了解绝大部分同学解题在此受阻，按照常用策略，下面需要按照参变量进行整理，显然比较难以实施。但是考虑到本题是求证：直线MN必过轴上的一定点，可以考虑如下的解法：
        方法一：令（﹡）中，解得。此时必过点D（1，0）；另一方面当时，直线MN方程为：，与轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
        方法二：（先特殊，再一般）先考虑的情况，求得与x轴的交点，再进行检验。
解：若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。
        注：先特殊可以是对参变量特殊，也可以是对曲线位置的特殊。
        总之，在动曲线的性质的探究中我们要注意“动静结合”，合理选择解题入手点，降低解题的运算难度，提高解析几何的“定点问题”的得分能力。
  
作者单位：江苏省扬州市红桥高级中学
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