伯努利兄弟与调和级数(1689年)

伯努利兄弟与调和级数
（1689年）
莱布尼兹的贡献
在剑桥大学孤独的艾萨克·牛顿改变数学面貌的同时，欧洲大陆的其他数学家们也并非
无所用心。17世纪后半叶，在笛卡儿、帕斯卡和费马的影响下，欧洲的数学蓬勃发展，
其中最伟大的数学家就是戈特弗里德·威廉·莱布尼兹（1646—1716年）。
人们常常称 巢寄嶙 为全才，他精通多种学科，并在每个学科中都有?建树。他的父亲
是一位伦理学教授。莱布尼兹堪称神童，很小的时候就可以到他父亲庋藏丰富的书房中
去读书。利用这一机会，小莱布尼兹幼年时便自学了拉丁文和希腊文。他如饥似渴地读
书，15岁就进入了莱比锡大学。他的学业进展神速，不足20岁时就在阿尔特多夫大学完
成了他的博士论文。
虽然莱布尼兹的学术生涯很有前途，但他却离开了大学，去为美因茨的选帝侯工作。当
时的德国划分为许多小的邦国，选帝侯是这些小邦国中的当权者。 巢寄嶙 在工作中审
查了一些非常复杂的法律问题，包括神圣罗马帝国的重大改革。在业余时间里，他设计
了一台计算机。这台计算机的乘法运算是通过快速地重复相加进行的，同样，其除法运
算是通过快速重复相减进行的。虽然莱布尼兹努力宣传其计算机的高效率，但当时的技
术条件限制了这种计算机的推广使用，这使莱布尼兹不免困恼。尽管如此，他的理论却
是可靠的，而最终也是可行的。
1672年，莱布尼兹作为高级外交使节被从德国派往巴黎。法国首都的文化生活令他深深
地陶醉，在他附带出访伦敦和荷兰时，这位年轻的天才又有幸结识了一些著名的学者，
如胡克、博伊尔、列文虎克和哲学家斯  诺莎。莱布尼?发现自己处于一种活跃的学术
环境之中。然而在1672年，甚至他也只得承认他的数学教育只限于阅读了一些古典名著
。具有强烈好奇心和很高天资的莱布尼兹感到自己需要一个“速成班”，以把握当代的
数学趋势和方向。
幸运的是，他在巴黎遇上了绝好的机会。有一位荷兰科学家名叫克里斯蒂安·惠更斯（
1629—1695年），他享受太阳王路易十四的津贴，一直住在巴黎。惠更斯的研究成果给
人印象至深。在理论方面，他对数学曲线，特别是对“旋轮线”作了广泛的研究。所谓
旋轮线，就是一个圆沿一定直线滚动时圆周上的一个定点所产生的轨迹曲线（见图8.1）
。他的发现在他设计钟摆时起了很大作用，钟摆的工作原理与旋轮曲线密切相关。
这一发明表明，惠更斯不仅仅关注纯数学。实际上，他的声誉或许主要建立在物理学和
天文学方面，他研究了运动定律和离心力，并提出了高明的光波理论。而且，惠更斯还
借助望远镜第一个解释了土星周围古怪的附属物实际上是光环。
既然在巴黎有这样一位科学家，那么，莱布尼兹向惠更斯请教，以提高自己的数学水平
，就毫不奇怪了。如果说惠更斯是莱布尼兹的老师，也许有些夸大其词，但他在研究当
代数学方面，的确给了这位年轻的外交家许多指导。当然，在历史上，老师也很少能有
像戈特弗里德  威廉·莱布尼?这样优秀的学生。
惠更斯指导莱布尼兹研究的一个问题是求三角形数的倒数和。所谓三角形数，就是对应
于三角形阵列的数字，如图8.2所示。第一个三角形数
保龄球运动中，如果将滚道尽头楔形排列的木柱改为10个一组，那么，就构成了标准的
“三角形数”。三角形数
惠更斯要求莱布尼兹求出的不是三角形数的和，而是三角形数的倒数和。总之，他要求
他年轻的学生求出S的值，在这里，
巢寄嶙 想了一会儿，就把方程的所有各项全都除以2，得
然后， 巢寄嶙 去掉括号，并约消化简，得
如果说，S的一半等于1，那么，S本身（即三角形数的倒数和）就显然等于2。总之，莱
寄嶙 非常巧妙地解决了惠更斯的挑战，并发现
虽然现代数学家对莱布尼兹解无穷级数的方法持有一定的保留意见，但谁也不能否认他
的方法的基本独创性。
这仅仅是莱布尼兹对数学超凡洞察力的开始。不久，他又以其巨大的才智，研究牛顿在
10年前论述的关于切线与面积的同一问题。1676年，莱布尼兹离开了巴黎，这时，他已
经发现了微积分的基本原理。在巴黎生活的四年，使他从一个数学上初出茅庐的新手成
长为一个数学巨人。
这四年虽然奠定了莱布尼兹永久名望的基础，但同时也奠定了一场持久争论的基础。我
们回想一下，艾萨克·牛顿的流数理论只有几个英国数学家知道，只有他们几个人见到
过牛顿论流数法的手稿。1673年， 巢寄嶙仍诜梦事 敦期间，被接受为英国皇家?会的
外籍会员。在此，他见到了牛顿的一些文献，并留下了很深的印象。后来，莱布尼兹通
过皇家学会的秘书亨利·奥尔登伯格转交给牛顿一封信，他在信中进一步询问了牛顿的
发现。伟大的英国科学家牛顿则以一种含混的方式作了答复。牛顿1676年这两封著名的
复信，我们今天称之为“前书”和“后书”。 巢寄嶙热险 地阅读了这两封信。
因而，当戈特弗里德  威廉·莱布尼兹首次发表他的论文，宣布这一惊人的数学新方法
时，他的英国对手则大叫“卑鄙！” 巢寄嶙 这篇论文的?目十分冗长，题为《一种对
分式和无理量也适用的求极大值、极小值和切线的新方法以及非常规类型的有关计算》
（简称《求极大值和极小值的新方法》）。这篇论文刊登在1684年的学术杂志《博学者
学报》上，而莱布尼兹恰恰是这本杂志的编辑。
因此，世界是通过莱布尼兹，而不是通过牛顿得知微积分的。实际上，微积分的名称就
取自莱布尼兹一篇论文的题目。但是，袒护其同胞的英国人则转弯抹角地说，莱布尼兹
剽窃了牛顿的全部发明。 巢寄嶙确梦使 英国，他熟知牛顿 指逅 下流传的情况，而且
，他还与牛顿通过信——所有这一切都使英国人相信，是  棍莱布尼兹窃取了牛顿的荣
誉。
随后的争执构成了数学史上不光彩的一页。起初，两位主角都企图置身事外，而让他们
的支持者去为自己作战。但是，最后双方都卷了进去，当然，这种争吵最后总是没有好
结果的。 巢寄嶙忍孤 地承认，他通过通信和阅读牛顿的手稿接触过牛顿的思想，但是
这些只给了他某些提示，而不是明确的方法；这些新的计算方法是莱布尼兹自己发现的
。
与此同时，英国人变得越来越愤怒。而且，（从英国人的观点来看）更糟糕的是，莱布
尼兹的微积分很快便被欧洲所接受，并且，他的弟子还在努力扩大其影响；而孤独的牛
顿却仍然拒绝发表任何有关微积分的论文。我们回想一下，牛顿早在1666年10月就写出
了他第一篇论流数法的论文，比 巢寄嶙 发表的论文早了将近20年；但是，直到1704年
，牛顿才在其《光学》的附录中专门论述了他的有关方法。1673年，在 巢寄嶙确梦事?
敦时，牛顿的一部更详尽论述流数法的著作《分析》还在英国数学界中非正式流传，直
至1711年才正式付印出版。牛顿为提供一部“供学人使用的完整提要”，认真撰写了一
部专著，全面阐述了其已经成熟的思想，但这部著作直到1736年才问世，而这时艾萨克
爵士已经逝世整整9年了！实际上，牛顿发表他数学论文的速度太慢了，以致莱布尼兹的
一些狂热的支持者可以宣称是牛顿剽窃了莱布尼兹已出版的著作，而不是相反。
显然，情况混乱不堪。鲁珀特·霍尔在其《争斗中的哲学家》一书中对英吉利海峡两岸
纷纷扬扬的指责与反驳作了详尽而生动的描述。今天，飘荡了近三百年的迷雾终于散去
，人们公认，牛顿和莱布尼兹两人实际上各自独立地发展了同一种思想体系。在科学发
展中，两人或几人同时发现某一重要概念的现象并不罕见，如我们在第二章中曾介绍过
的非欧几何的产生即是如此。自牛顿/ 巢寄嶙 争论150年后，生物界又出现了英国科学
家艾尔弗雷德·拉塞尔·华莱士与查尔斯·达尔文同时创立自然选择理论的问题。在这
一事例中，达尔文《物种起源》产生了巨大影响，而华莱士的著作却默默无闻，这可能
就是达尔文流芳百世的原因。并且，进化论的两位发现者都是英国人，因而排除了牛顿
/莱布尼兹论争中存在的民族情绪。
莱布尼兹一旦从有关微积分发明权的争论中脱出身来，便致力于多种学科的研究。他在
不伦瑞克公爵处谋得一个职位，着手追溯公爵的古老家世。他成为梵语和中国文化的专
家。并且，他还继续进行哲学研究，哲学一直是他最热衷的学科。莱布尼兹根据“人类
思维字母化”的设想，运用一种谨慎规定的“有理微积分”，寻求发展一种完善的形式
逻辑体系。 巢寄嶙 希望人类能够应用这一逻辑工具，摆脱充斥日常生活中的不准确和
无理性。当然，这一切只能称为伟大规划，从未能够实现，但他在这一方面的努力却是
朝着我们今日所谓“符号逻辑”的方向迈出的第一步。特别是，他应用代数公式替代逻
辑叙述的方法是从古希腊文字推理的逻辑理论向前发展了一大步。
戈特弗里德·威廉·莱布尼兹
1700年，莱布尼兹成为创建柏林科学院的主要推动者。这一学者、作家和音乐家云集的
机构意在为柏林吸引欧洲最伟大的思想家，使柏林跻身于思想中心之列。莱布尼兹荣幸
地担任了科学院的院长，直至逝世。
尽管柏林科学院的工作十分繁忙，但莱布尼兹并未因此而放弃研究。他继续钻研逻辑和
哲学，并同时倡导世界宗教和政治体制的改革，希望能够因此给人类带来真正的和平与
和谐。有趣的是，他最后几年的保护人是 号低 的一名贵族，1714年英国女王安妮逝世
后，这位贵族竟然一跃成为英国国王乔治一世。 巢寄嶙确浅 希望能够跟随乔治国王去
英国，并担任宫廷史学家，但乔治从未给他这种机会。如果微积分之战的两位主角——
牛顿和莱布尼兹——同时都住在伦敦，事情一定会很精彩，但遗憾的是，情况并未如此
。
巢寄嶙 死于1716年。当时，他的许多朋友和汉诺威宫廷的同僚都去了英国；他自己的
地位也已衰落；据说，只有一位忠实的仆人参加了这个伟人的葬礼。这与牛顿在英国的
巨大威望形成了鲜明的对照。如我们在前一章所述，牛顿的崇高名望使他得以安葬在威
斯敏斯特教堂。牛顿的崇高声望无疑是当之无愧的，但莱布尼兹也应享有同样的荣誉。
比较一下这两位微积分的伟大发明者，就可以看到一个突出的事实。在一定意义上说，
牛顿把他的流数法带入了坟墓。孤独、厌世的艾萨克爵士直到他最后的时日都始终未能
有一群聪敏的弟子环伺左右，渴望学习、完善、并传播他的著作。相形之下，莱布尼兹
的幸运之处就在于，他有两个最热心的弟子，即瑞士的雅各布·伯努利和约翰·伯努利
兄弟，他们成为在欧洲传播和推广微积分的主要人物。他们的努力，也许和莱布尼兹自
己的努力一样，令微积分呈现了保留至今的韵味与面貌。
伯努利兄弟
雅各布·伯努利（1654—1705年）在两兄弟中居长，是一位天才的数学家，他对微积分
、无穷级数的求和，也许最重要的，是对概率论的形成作出了重要的贡献。我们已知道
，概率这一数学分支是如何在16世纪经卡尔达诺首先提出的，又是如何在17世纪中叶经
费马和帕斯卡的共同努力而发展的。1713年，雅各布死后出版的巨著《猜度术》为概率
论的发展建立了又一个里程碑。这部巨著不但巩固了前人的发现，而且还把概率论研究
提到了新的高度。这部巨著是雅各布·伯努利的名作。
同时，弟弟约翰（1667—1748年）在数学上也自成一家。约翰·伯努利以其坦诚的热情
，承担起在欧洲传播 巢寄嶙 微积分的重任。约翰经常与他的德国老师通信，在与牛顿
派英国人的论争中随时准备捍卫莱布尼兹的名望。我们可以回想一下，19世纪中叶，托
马斯·赫胥黎面对宗教界的攻击，勇敢地保卫了伟大的博物学家达尔文的学说，并由此
赢得了“达尔文的斗牛犬”的称号，我们也可以出于同样的理由称约翰·伯努利为“莱
布尼兹的斗牛犬”。像赫胥黎一样，约翰有时也以一种近于惊人的执着支持莱布尼兹；
同样，他与赫胥黎一样，最终也完成了他的这一使命。
约翰的一个最重要的贡献是通过他与洛必达侯爵（1661—1704年）的联系完成的。洛必
达侯爵是一个法国贵族和数学爱好者，他非常希望学习这一革命性的新的微积分理论。
因此，侯爵聘用约翰·伯努利来为他提供各种有关微积分及任何数学新发现的论文。在
某种意义上说，洛必达似乎购买了伯努利的数学研究权。1696年，洛必达汇编了伯努利
的论著，出版了他第一部论微积分的书，题为《无穷小分析》。这部书是用本国语言，
而不是用拉丁文写的，除书名外，书中内容几乎全部都是伯努利撰著的。
纵观历史，可以看到许多杰出的兄弟组合。从特洛伊战争中的阿伽门农和墨涅拉俄斯到
航空先驱威尔伯·莱特和奥维尔·莱特兄弟，历史上有许多兄弟为实现崇高目标而并肩
努力。雅各布与约翰写出了数学史中最重要的兄弟成功的故事，但我们也必须看到，他
们两人的关系并不和谐。恰恰相反，在数学中，他们两人中每一个人都是另一个人的强
劲竞争对手，两人为了胜出对方一筹而斗力，甚至到了可笑的地步。
例如，有关悬链曲线的问题。所谓悬链曲线，就是一根链条，两端固定，依其本身重量
下垂的曲线。1690年，久负盛名的哥哥雅各布在一篇论文中提出了确定悬链曲线性质（
即方程式）的问题。实际上，这一问题已存在多年，伽利略就曾推测过悬链曲线是一条
抛物线，但问题依然悬而未决。雅各布觉得，应用奇妙的微积分新方法也许可以解决这
一难题。
但遗憾的是，他的努力没有取得结果。一年后，雅各布恼恨地看到他的弟弟约翰发表了
这个问题的正确答案。而自命不凡的约翰，却很难算是一个谦和的胜利者，他后来回忆
说：
“我哥哥的努力没有成功；而我却幸运得很，因为我发现了解开这道难题的全部方法（
我这样说并非自夸，我为什么要隐瞒真相呢？）……为研究这道题，我整整一晚没有休
息……第二天早晨，我兴冲冲地去见哥哥，他还在苦思这道难题，但一无进展。他像伽
利略一样，始终以为悬链曲线是一条抛物线。行了！行了！我对他说，不要再折磨自己
，去证明悬链曲线是抛物线了，因为这是完全错误的。”
有趣的是，约翰成功地解出这道难题所需要的时间：“整整一晚”，而雅各布却花费了
整整一年的时间，这实在算得上是一种“奇耻大辱”。
我们将在本章讨论一个由伯努利兄弟两人共同创立的伟大定理（也许是在少有的休战期
间创立的）。这个定理所涉及的是关于调和级数的性质问题，所谓“调和级数”，是一
种具有特殊性质的无穷级数。虽然我们已见到过 巢寄嶙人 究的一种特殊级数，但我
们还是应首先对无穷级数问题作一番概述。
17世纪时，无穷级数仅仅被看作是无穷项的和。当然，不能保证这种级数一定会有一个
有限和；例如，像1+2+3+4+5+……这样的级数，如果我们继续进行下去，其和显然会不
断增大，并超过任何有限量。我们说，这种级数为“发散无穷级数”。
另一方面，也存在一种无穷多项的级数，其和为有限数。这种现象，初步看来，似乎自
相矛盾，但仔细想一想，就会发现非常合理。例如，在
思是
我们前面所介绍的莱布尼兹级数就显示了同样的性质，级数的无穷多项的和等于一个（
有限的）数2。我们说，这种级数为“收敛级数”，也就是说，不太正规地讲，当我们增
加更多的项时，它的和越来越接近某一特定的值。
无疑，数学中最重要的收敛级数是几何级数，其形式为
a+a2+a3+a4+……+ak+……
在此，我们设-1＜a＜1。因此，几何级数就是a及其所有高次幂的和。我们用一个“17世
纪式”的论证方法来证明这种级数的收敛性，其证明如下：
设S=a+a2+a3+a4+……为我们所求的和。将方程两边同乘以a，得aS=a2+a3+a4+a5+……，
然后，将这两个方程相减，得
S-aS=（a+a2+a3+a4+……）
-（a2+a3+a4+a5+……）=a
由于S是原几何级数的和，因此，我们可以认为
就数学的精密性而言，对无穷级数收敛性的这一证明显得十分幼稚，相比之下，现代数
学对这个问题的论证就精妙得多。并且，这个证明还掩盖了我们最初为什么要设-1＜a＜
1的原因，虽然a=2这一几何级数已经表明了这一假设的必要。在这种情况下，我们直接
应用公式，就得到
也就是说， 2+4+8+16+……=-2。这是一个“双重荒谬”的结果，一方面因为这个级数显
然是发散无穷级数，另一方面还因为人们无法想象一系列正数相加的结果竟然得出一个
负数。因而，几何级数的求和公式要求α必须位于-1与1之间。（对这一问题的更详尽分
析，通常需要应用微积分。）
上述两个无穷级数说明了一般收敛级数的一个重要条件。对于第一个
近于零；因此，后面的各项可以越来越忽略不计。而另一方面，对于α=2的几何级数来
说，我们相加的各项则离零越来越远——4，8，16，等等，其愈益增大的数值使其和不
能等于一个有限数。
根据这两个例子，我们可以非常合理地提出下述推测：在无穷级数x1+x2+x3+x4+……+x
k+……中，如果，并且只有当通项xk的值趋向于零时，其和才能够收敛为有限数。正如
结果所示，这个推测有一半是正确的。即，如果级数收敛于一个有限数，则级数中的通
项一定趋向于零。换句话说，除非通项趋向于零，否则，我们不能将一个无穷级数表示
为一个有限数。
然而，遗憾的是，其逆命题却是错误的。也就是说，有的无穷级数，即使其通项趋向于
零，但其和却趋向于无穷。这一事实并不是显而易见的，
通项趋向于零，但它的和却是无穷大。
伯努利发现了当今数学家称之为“病态反例”的现象——即一个似乎违反直觉的特定例
子，其古怪之至，堪称“病态”。这一调和级数非常麻烦：要使其和不大于5，就必须将
级数的前83项相加，因为
请注意一个突出的事实，在这一调和级数中，超过第83项以后的每一项
再加144项。由于其和增值非常缓慢，因此，要使级数和等于10，就必须将前12,367项相
加，而要使级数和等于20，就要加2.5亿项！人们似乎根本难以想象调和级数最终可能会
超过一百，一千，甚至一万亿。
但事实的确如此！而这正是其之所以被称为病态和伯努利的定理之所以值得我们注意的
原因。
伟大的定理：调和级数的发散性
虽然这个证明是约翰·伯努利作出的，但却刊载在哥哥雅各布1689年的《论无穷级数》
一书中。出于少见的兄弟情谊，雅各布甚至在书的序言中承认了弟弟对这一证明方法的
优先权。
约翰必须要证明调和级数向无穷发散。他的证明是以莱布尼兹的收敛
在本章前面已经讨论过。此事本身就很奇怪，因为，人们不清楚，这一清晰易解的收敛
级数怎么会成为古怪的调和级数的论证基础呢？无论如何，约翰·伯努利作了如下推理
。
项的调和级数。将这一级数“……变为分子是1、2、3、4等等的分数”，就得到
约翰将这一级数作为后面的参考。
约翰接着将这一方程阵列的最左边两列相加，得到
C+D+E+F+……
另一方面，如果将这一方程阵列的最左边和最右边的两列相加，他发现，
由于C+D+E+F+G+……既等于A，又等于1＋A，因而，约翰只能得出结论：1+A=A。正如他
所说的那样，“整体等于部分”。但是，显然没有一个有限数会等于大于自己的数。约
翰·伯努利认为，这只能说明一个问题：即1+A是无穷大。而1+A则是调和级数的和，所
以，他的证明完毕。
今天的数学家可以对这一证明提出一些公正的批评意见。伯努利是以一种“整体论”的
态度来对待无穷级数的，他将其作为一个独立个体而随意处置。我们现在懂得，在处理
这些数学问题时，必须特别慎重。并且，他证明调和级数发散性的方法与现代方法形成
了鲜明的对照。今天的数学家采用下述方法证明：首先确定正整数N（不论其数值多大）
，并证明该级数必定大于N；那么，既然该级数大于任意正整数N，则这个级数一定趋向
无穷。但是，约翰没有这样证明。相反，他用更加简明的A=1+A来证明级数的发散性，对
于现代读者来说，这是证明量的无穷性的一个最独特的方法。
我们必须承认，伯努利作出这一论证之后150年，才有真正精确的级数理论出现，考虑到
这点，或许可以不致过分挑剔。并且，尽管有种种异议，但谁也无法否认约翰论证方法
的巧妙。约翰的证明恰似数学王冠上的一颗明珠。
雅各布在其《论无穷级数》一书中就他弟弟的证明强调了一个非直观的重要推断，他写
道：“一个最后一项为零的无穷级数之和也许是有限的，也许是无穷的。”现代数学家
称赞他提出了无穷级数的“最后一项”问题，因为这些无穷级数的性质的确排除了任何
最后项；然而，他的意思非常明确。他所强调的是，在无穷级数中，即使其中的某些项
接近于零，其和仍然可能是无穷的。调和级数就是这种现象的首要例子，已如约翰所证
明。
也许是因为这一结果太出乎意料了，雅各布情不自禁，挥笔写下了一首数学短诗：
有限环绕无穷级数朝夕相伴，
在无限的王国中也存在着有限；
至大寓于细微之所，
而最狭小的有限中却见到无限。
在无限中认识细微是多么快乐，
巨大存在于细小之中，啊，神秘的上天！
最速降线的挑战
伯努利兄弟在他们时代的数学中留下了深刻的印记，其中包括调和级数和许多其他贡献
。但是，关于这对相互竞争，难以相处的兄弟，还必须要告诉读者另一个故事，它肯定
是在整个数学史中最引人入胜的一则故事。
故事开始于1696年6月，其时，约翰·伯努利在莱布尼兹的杂志《教师学报》上刊登了一
个挑战问题。显然，公开挑战的传统是从菲奥尔和塔尔塔利亚时代开始的。虽然现在的
论争是在学术杂志上安静地进行笔战，但却依然有力量成就或摧毁一个人的声望，正如
约翰自己所述：
“……肯定地说，正是摆在我们面前的那些困难同时也是有用的问题，激发着出类拔萃
之辈为丰富人类的知识而奋斗，他们也因此一举成名，流芳百世。”
约翰提出的挑战很精彩。他设想在地面上不同高度的两个点A和B，并且，不要让其中一
个点直接位于另一点的上方。连接这两个点，当然可以作出无限多的不同曲线，从直线
、圆的弧线到无数种其他曲线和波浪线。现在设想有一个球沿着一条曲线从A点滚向较低
的B点。当然，球滚完全程所需要的时间取决于曲线的形状。伯努利向数学界提出的挑战
是，找出一条曲线AMB，使球沿这条曲线滚完全程所用的时间最短（见图8.3）。他称这
条曲线为“最速降线”，这个词是从希腊文的“最短”和“时间”两个词合成而来的。
显然，第一个猜想是连接A、B两点作直线AMB。但是，约翰对试图采用这一过于简单化的
方法提出了警告：
“……不要草率地作出判断，虽然直线AB的确是连接A、B两点的最短线路，但它却不是
所用时间最短的路线。而曲线AMB则是几何学家所熟知的一条曲线。如果在年底之前还没
有其他人能够发现这一曲线，我将公布这条曲线的名称。”
约翰定于1697年1月1日向数学界公布答案。但是，到最后期限截止时，他只收到了“著
名的 巢寄嶙取奔 来的一份答案，并且，莱布尼兹
“谦恭地请求我延长最后期限到复活节，以便在公布答案时……没有人会抱怨说给的时
间太短了。我不仅同意了他的请求，而且还决定亲自宣布延长期限，看看有谁能够在这
么长时间之后最终解出这道绝妙的难题。”
然后，为确保不会使人误解这道难题，约翰又重复了一遍：
“在连接已知两点的无限多的曲线中……选择一条曲线，如果用一根细管或细槽代替这
条曲线，把一个小球放入细管或细槽中，放手让它滚动，那么，小球将以最短的时间从
一点滚向另一点。”
此时，约翰开始热心鼓吹奖励解出他的最速降线问题的人。不要忘记，他自己是知道答
案的，如此一来，他关于数学荣誉的一段话就不免有自诩之嫌：
“但愿有人能够迅速摘取桂冠。当然，奖品既非金，也非银，因为这些东西只能引起卑
贱者的兴趣……相反，由于美德本身就是最好的奖励，而名望又是最强的刺激，所以，
我们为高贵的得胜者所颁发的奖励是荣誉、赞颂和认可……”
在这段话中，似乎约翰认为自己面对他可怜的哥哥雅各布，又一次赢得了胜利。但是，
在他心里还有另外一个目标。约翰写道：
“……很少有人能够解出我们独特的问题，即使那些自称通过特殊方法……不仅深入探
究了几何学的秘密、而且还以一种非凡的方式拓展了几何学的疆域的人。这些人自以为
他们的伟大定理无人知晓，其实早已有人将它们发表过了。”
还有谁能怀疑他所说的“定理”就是指的流数法，他所蔑视的目标就是艾萨克·牛顿呢
？牛顿曾宣称早在莱布尼兹1684年发表微积分论文之前就已发现了这一理论。无疑，约
翰的挑战目标非常明确，他把他的最速降线问题抄了一份，装进信封，寄往英国。
当然，1697年，牛顿正在忙于造币局的事务，而且，正如他自己所承认的那样，他的头
脑已不似全盛期时那样机敏了。当时，牛顿与他的外甥女凯瑟琳·康迪特一起住在伦敦
。  瑟琳记述了这样的故事：
“1697年的一天，收到伯努利寄来的问题时，艾萨克·牛顿爵士正在造币局里忙着改铸
新币的工作，直到四点钟才精疲力尽地回到家里，但是，直到解出这道难题，他才上床
休息，这时，正是凌晨四点钟。”
即使是在晚年，并且，是在经过一天紧张的工作而感到精疲力竭的情况下，艾萨克·牛
顿仍然成功地解出了众多欧洲人都未能解出的难题！由此可见这位英国伟大天才的实力
。他清楚感觉到他的名望与荣誉都受到了挑战；而且，伯努利和 巢寄嶙 毕竟都还在急
切地等待着公布他们自己的答案。因此，牛顿当仁不让，仅仅用几个小时就解出了这道
难题。然而，牛顿有些被激怒了，据说他曾言道：“在数学问题上，我不喜欢……给外
国人……戏弄。”
我们再回到欧洲。复活节将近的时候，几份答案寄到了约翰·伯努利的手里。他们每个
人所寻求的曲线都是一条颠倒了的旋轮线，而这的确“是几何学家所熟知的一条曲线”
。我们注意到，帕斯卡和惠更斯就曾研究过这一重要曲线，但他们谁也没有认识到旋轮
线还是一条最快的下降曲线。约翰以一种夸张的口吻写道：“……如果我明确说出惠更
斯的……这一旋轮线就是我们所寻求的最速降线，你们一定会惊呆了。”
到复活节时，挑战期限截止。约翰一共收到了五份答案。其中包括他自己的答案和莱布
尼兹的答案。他的哥哥雅各布寄来了第三份答案（这也许会使约翰感到沮丧），而洛皮
塔侯爵则寄来了第四份答案。最后寄来的答案，信封上盖着英国的邮戳。约翰打开后，
发现答案虽然是匿名的，但却完全正确。他显然遇到了他的对手艾萨克·牛顿。答案虽
然没有署名，但却明显地出于一位绝顶天才之手。
据说（或许不尽可靠，但却非常有趣），约翰半是羞恼，半是敬畏地放下这份匿名答案
，会意地说：“我从他的利爪认出了这头狮子。”
后记
在讲到约翰对调和级数发散性的证明时，雅各布曾说过，“是我弟弟首先发现的”。如
果雅各布认为是约翰第一个掌握了调和级数的奇特性质，他就完全错了，因为至少有两
个前辈数学家曾证明过调和级数的发散性。这两个数学家的证明各不相同，而且，也不
同于上述约翰的证明，但每个人的证明都显示了自己独特的智慧。
最早对调和级数发散性作出证明的是14世纪的法国学者尼科尔·奥雷姆（约1323—1382
年）。约1350年，奥雷姆写出了一部非凡的著作，题为《欧几里得几何问题》。当然，
这是一部非常古老的文献，比卡尔达诺的《大衍术》还早了整整200年。尽管这部著作产
生于我们也许可以称之为欧洲数学的“石器时代”，但奥雷姆的著作中的确含有一些非
常精彩的论题。
特别是，他论述了调和级数的性质。实际上，他的全部论证如下：
读者感到有点儿迷惑是可以理解的。这个论证毕竟完全是用文字阐述的，是在符号代数
出现之前几百年写出的。然而，只要经过一点儿“净化”处理，这段文字就变成了一个
非常简单而巧妙的发散性证明了。实际上，
即，他说：
这一方程可以扩展为适用于任何整数k的一般公式：
例如，如果k=9，我们看到，
如果k=99，则
如果k=9999，我们得到
这样，只要取调和级数中足够多的项，我们就能够保证其和大于5、50或5000，或一般地
说，大于任何有限量。这种方法保证了所有调和级数都大于任何有限量，并因而趋向无
穷。奥雷姆的证明巧妙、简洁和易记，已写入了现代大部分数学教科书中。但是，伯努
利兄弟似乎不知道有这样一个证明存在。
先于约翰·伯努利作出证明的还有另外一位数学家——意大利数学家彼得罗·门戈利（
1625—1686年）。门戈利的论证作于1647年，因而比伯努利的证明早40年。门戈利的证
明非常简单，他首先提出了一个初步命题。
证明  首先提出一个明显的论据，即2a3＞2a3-2a=2a(a2-1)，将这个不等式的两边分别
除以a2(a2-1)，得
证讫。
这一命题保证了在三个连续整数的倒数相加时，其和一定大于中间数字的倒数的三倍。
我们可以用数字来检验，例如，
这就是门戈利在他1647年对调和级数的简短证明中所需要的初步命题。
定理  调和级数趋向无穷。
证明  设H为调和级数的和。通过对级数各项归组和反复应用上述不等式，我们发现：
等等。门戈利证明的精彩之处就在于它的自我复制性质。他每次将他的初步定理应用于
调和级数，他就再一次遇到调和级数，但这一次则增加了一个单位。我们来看以上的不
等式，我们发现，H大于1，大于2，大于3；而且，如果我们继续重复这一过程，H大于任
何有限量。因此，我们可以与门戈利一道得出结论，调和级数的和一定是无穷大。
证讫。
所以，约翰的伟大定理虽然证明方法有所不同，但奥雷姆和门戈利都确实先于他发现了
调和级数的这一性质。并且，雅各布在《论无穷级数》一书中载入约翰的证明之后，便
直接提出了他自己对调和级数发散性的证明。他的证明虽然带有兄弟间争强好胜的味道
，但确是一个非常精彩的证明。然而，雅各布的证明似乎过于复杂，不便在本书介绍。
在《论无穷级数》一书中，雅各布在论证了调和级数之后，又进一步阐述了整数平方的
倒数和问题。他发现，
我们在这里再次应用了本章开始所介绍的莱布尼兹求和定理。在此，雅各布表明，上述
级数趋向某一小于2的有限数。鉴于明显的原因，这一证明收敛性的方法现在称为“比较
判别法”。雅各布的证明提供了一个实际应用比较判别法的早期例子。
虽然伯努利兄弟知道这一无穷级数是收敛级数，但他们未能找到其和的精确数值。雅各
布带着几分绝望的恳求宣告了他的失败：“如果有人能够发现并告知我们迄今为止尚未
解出的难题的答案，我们将不胜感谢。”
个胜过伯努利兄弟的天才来解出这一级数的和了。
有趣的是，1734年，一位师从约翰·伯努利的青年人终于解出了这道难题。在求这一级
数和的过程中，犹如在数学的许多其他领域一样，这个青年人最终超过了他的老师。实
际上，他超过了曾经就数学研究写过些什么的所有人。这个青年学生就是我们下一章伟
大定理的创始人李  纳德·欧拉。
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她开始飞奔，因为她知道“老虎”决不会跑的比她快。她只有快跑，“老虎”才会快。
她跳进驾驶舱，伸手去拉“老虎”。
一颗子弹射中她的头盔面罩，不太正，她面罩的玻璃立刻花了。
她看不见“老虎”。她再去抓，抓到了“老虎”的手。她听到一声巨响。
“老虎”一下子变得很轻。她用力一拉，拉上了“老虎”的一只胳膊。
讲到这里她已经泣不成声。