复数的加法与减法--免费教案复数的加法与减法--教学设计

复数的加法与减法
暑假,防止孩子变坏的秘决!!!
教学目标
（1）掌握复数加法与减法运算法则，能熟练地进行加、减法运算；
（2）理解并掌握复数加法与减法的几何意义，会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题；
（3）能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题；
（4）通过学习平行四边形法则和三角形法，培养学生的数形结合的数学思想；
（5）通过本节内容的学习，培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学建议
一、知识结构

二、重点、难点分析
本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则，它是复数加减法运算的基础，对于这个规定的合理性，在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法，以它为根据来解决某些平面图形的问题，学生对这一点不容易接受。
三、教学建议
（1）在复数的加法与减法中，重点是加法．教材首先规定了复数的加法法则．对于这个规定，应通过下面几个方面，使学生逐步理解这个规定的合理性：①当时，与实数加法法则一致；②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立；③符合向量加法的平行四边形法则．
（2）复数加法的向量运算讲解设，画出向量，后，提问向量加法的平行四边形法则，并让学生自己画出和向量（即合向量），画出向量后，问与它对应的复数是什么，即求点Z的坐标OR与RZ（证法如教材所示）．
（3）向学生介绍复数加法的三角形法则．讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后，可以指出向量加法还可按三角形法则来进行：如教材中图8－5（2）所示，求与的和，可以看作是求与的和．这时先画出第一个向量，再以的终点为起点画出第二个向量，那么，由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量，就是这两个向量的和向量．
（4）向学生指出复数加法的三角形法则的好处．向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的：例如讲到当与在同一直线上时，求它们的和，用三角形法则来解释，可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释容易理解一些；讲复数减法的几何意义时，用三角形法则也较平行四边形法则更为方便．
（5）讲解了教材例2后，应强调（注意：这里是起点，是终点）就是同复数－对应的向量．点，之间的距离就是向量的模，也就是复数－的模，即．
例如，起点对应复数－1、终点对应复数的那个向量（如图），可用来表示．因而点与（）点间的距离就是复数    的模，它等于。
教学设计示例 复数的减法及其几何意义
教学目标
1．理解并掌握复数减法法则和它的几何意义．
2．渗透转化，数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题能力．
3．培养学生良好思维品质（思维的严谨性，深刻性，灵活性等）．
教学重点和难点
重点：复数减法法则．
难点：对复数减法几何意义理解和应用．
教学过程设计
（一）引入新课
上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义，今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义．（板书课题：复数减法及其几何意义）
（二）复数减法
复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（+i）-（+i）=（-）+（-）i，
1．复数减法法则
（1）规定：复数减法是加法逆运算；
（2）法则：（+i）-（+i）=（-）+（-）i（，，，∈R）．
把（+i）-（+i）看成（+i）+（-1）（+i）如何推导这个法则．
（+i）-（+i）=（+i）+（-1）（+i）=（+i）+（--i）=（-）+（-）i．
推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．
推导：设（+i）-（+i）=+i（，∈R）．即复数+i为复数+i减去复数+i的差．由规定，得（+i）+（+i）=+i，依据加法法则，得（+）+（+）i=+i，依据复数相等定义，得
故（+i）-（+i）=（-）+（-）i．这样推导每一步都有合理依据．
我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数．
复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（+i）±（+i）=（±）+（±）i．
（三）复数减法几何意义
我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？
设z=+i（，∈R），z1=+i（，∈R），对应向量分别为，如图
由于复数减法是加法的逆运算，设z=（-）+（-）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以为一条对角线，1为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边2所表示的向量OZ2就与复数z-z1的差（-）+（-）i对应，如图．

在这个平行四边形中与z-z1差对应的向量是只有向量2吗？
还有． 因为OZ2Z1Z，所以向量，也与z-z1差对应．向量是以Z1为起点，Z为终点的向量．
能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．
（四）应用举例



在直角坐标系中标Z1（-2，5），连接OZ1，向量1与多数z1对应，标点Z2（3，2），Z2关于x轴对称点Z2（3，-2），向量2与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）．


例2　根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．
解：设复平面内的任意两点Z1，Z2分别表示复数z1，z2，那么Z1Z2就是复数对应的向量，点之间的距离就是向量的模，即复数z2-z1的模．如果用d表示点Z1，Z2之间的距离，那么d=|z2-z1|．
例3  在复平面内，满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么．
（1）|z-1-i|=|z+2+i|；
方程左式可以看成|z-（1+i）|，是复数Z与复数1+i差的模．
几何意义是是动点Z与定点（1，1）间的距离．方程右式也可以写成|z-（-2-i）|，是复数z与复数-2-i差的模，也就是动点Z与定点（-2，-1）间距离．这个方程表示的是到两点（+1，1），（-2，-1）距离相等的点的轨迹方程，这个动点轨迹是以点（+1，1），（-2，-1）为端点的线段的垂直平分线．
（2）|z+i|+|z-i|=4；
方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到两个定点（0，-1）和（0，1）距离和等于4的动点轨迹．满足方程的动点轨迹是椭圆．
（3）|z+2|-|z-2|=1．
这个方程可以写成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到两个定点（-2，0），（2，0）距离差等于1的点的轨迹，这个轨迹是双曲线．是双曲线右支．
由z1-z2几何意义，将z1-z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1-z2|，由此得到线段垂直平分线，椭圆、双曲线等复数方程．使有些曲线方程形式变得更为简捷．且反映曲线的本质特征．
例4  设动点Z与复数z=+i对应，定点P与复数p=+i对应．求
（1）复平面内圆的方程；
解：设定点P为圆心，r为半径，如图

由圆的定义，得复平面内圆的方程|z-p|=r．
（2）复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点Z的集合是什么图形？
解：复平面内满足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的点的集合是以P为圆心，r为半径的圆面部分（不包括周界）．利用复平面内两点间距离公式，可以用复数解决解析几何中某些曲线方程．不等式等问题．
（五）小结
我们通过推导得到复数减法法则，并进一步得到了复数减法几何意义，应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式，可以用复数研究解析几何问题，不等式以及最值问题．
（六）布置作业P193习题二十七：2，3，8，9．
探究活动 复数等式的几何意义
复数等式在复平面上表示以为圆心，以1为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。
分析与解
1．  复数等式在复平面上表示线段的中垂线。
2．  复数等式在复平面上表示一个椭圆。
3．  复数等式在复平面上表示一条线段。
4．  复数等式在复平面上表示双曲线的一支。
5．  复数等式在复平面上表示原点为O、构成一个矩形。