数学思想方法与新题型解析 - 知识改变命运的日志 - 网易博客

二. 重点、难点：
数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析、探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。
在初中数学中常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。
（一）方程思想
在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。
所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。
1. 方程思想的最基本观点——几个未知数，列几个独立的方程
我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。在涉及数量关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。
例1. 已知：是关于x的方程的两个实数根，且，求m的值。
分析：本题中涉及三个未知数，需列出三个方程，题目中已给出了一个关于的方程，那么只需再找出两个关于和m的方程即可。
解法1  依题意，得



说明：一般地，有几个未知数，则需列几个方程。
例2. 如图，在直角三角形ABC中，，AD是的角平分线，DE//CA，已知CD=12，BD=15，求AE、BE的长。

分析：题目要求AE、BE这两个未知数的值，由于DE//CA，并且DC=12，BD=15，容易得到，得到关于BE、EA的一个方程。而题目中有两个未知数，还需要再建立一个关于BE、EA的方程。
由条件易知，ABC和EBD都是直角三角形，由AD是角平分线和DE//CA可以证明AE=ED，这样就把AE、EB集中在RtEDB中，用勾股定理可再列一个方程。
解：

设AE为x，BE为y，那么






2. 方程思想解题的核心——构造方程，沟通已知与未知的联系
用方程思想解题的核心是揭示题目中隐含的等量关系，设未知数、构造方程，沟通已知与未知的联系，从而使问题得到解决。
例3. 已知：如图，DB是半圆O的直径，A为BD延长线上一点，AC与半圆O相切于点E，，若，求⊙O半径。

分析：题目的条件给我们提供了许多等量关系。已知CB垂直直径DB，可知CB是⊙O的切线，于是有CE=CB；由切割线定理得；在中，由勾股定理得。
题目又给出了两条线段的比，则可设未知数，寻找等量关系，构造方程。
若设，则根据上面的等量关系易得。以为等量关系构造方程：


解略
问：题目要求⊙O半径，能否直接设所求量为未知数呢？这时，应以哪个等量关系来构造易解的方程，从而求出半径的长呢？
进一步分析可以看到，由，可知，即。连结OE（如图），则。

，把它作为等量关系构造方程：
解得，从而求出半径长为。

说明：从本例的两种不同解法可看到，列方程的关键是寻求等量关系。
在几何计算题中，常利用几何中的定理、公式，如勾股定理、切割线定理、相交弦定理、三角函数关系式等作为等量关系来构造方程，或利用图形中某些位置关系所隐含的等量关系（线段和差、面积和差、相似三角形对应边成比例）等构造方程。
下面我们把此例的已知条件稍加变化，分析如何寻找等量关系构造方程求解。
例4. 如图，DB是半圆O的直径，A为BD延长线上一点，AC与半圆O相切于点E，。若，求的面积。

分析：要求的面积，只要求出AB、BC的长即可。题目中给出了线段比，可利用比值设未知数，把其它线段用此未知数表示出来，寻找等量关系，构造方程。此题解法很多，仅举其中一种解法。
简解：可证CB为半圆O的切线，CE=CB



于F，可得

说明：此例是利用勾股定理作为等量关系构造方程的。
由以上几例可以看出，设未知数一般是所求的量是什么，就设什么为未知数。当所求的量不易直接求出时，要根据题目的特点，选择便于把条件、结论结合起来的未知量用字母表示为未知数，这样解题比较方便。
例5. 已知：在中，AD为BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且B=CAE，FE：FD=4：3。
（1）求证：AF=DF；
（2）求AED的余弦值；
（3）如果BD=10，求的面积。

图1
分析：（1）略；（2）要求AED的余弦值，首先要使AED为一个直角三角形的内角，所以可连DM，构造，也可过点A作于点N，构造。无论利用哪个直角三角形，都需知该直角三角形中两条边的长。题目给出了线段比，可利用比例设未知数，再把其它线段用此未知数表示出来。这时就需利用几何中的定理或图形的性质为等量关系，构造方程。本题的解法很多，仅举其中四种解法。（3）利用BD=10，可求出所设未知数的值，易求出的面积。
（1）证明：


（2）解法一：连结DM（如图2）



由勾股定理，得





图2






图3
解法四：同解法三，得AE=DE=5x，AF=DF=3x









说明：此例是用方程思想解几何问题的典型题目。第（2）问中解法一是利用切割线定理为等量关系构造方程；解法二是利用勾股定理为等量关系构造方程组；解法三是利用同一三角形面积为等量关系构造方程；解法四是利用相似三角形对应边成比例构造方程。可见，方程思想的运用是解本题的关键。
例6. 如图，AB为半圆O的直径，C为OB上一点，且OC：CB=1：3，过C点作交半圆于D点，过D点作半圆O的切线交AB延长线于E点，若BE=12
（1）求OB的长；
（2）在弧BD上任取一点P（P与B、D不重合），连结EP并延长与弧AD交于点F，设PC=x，EF=y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。

分析：第（1）问是求线段的长，由于题目中给出了两条线段长度的比，所以可以设未知数，利用图形的几何性质构造方程来求解。第（2）问涉及研究线段与线段函数关系的问题，线段作为变量，解题的关键是用几何定理揭示它们之间的等量关系，列出方程后，再化为函数解析式。实质上还是构造方程，利用方程思想解题。
解：（1）连结OD，设OC=a，则BC=3a，OD=OB=4a





说明：此例是利用相似三角形对应边成比例的性质为等量关系，列出方程后，再化为函数解析式的。特别要注意用图形的几何性质来确定自变量的取值范围。
方程思想也可解决某些证明题。我们来看下面的例题。
例7. 如图，⊙O1、⊙O2交于A、B两点，DT切⊙O2于T，交⊙O1于D、M，且M为DT的中点。BA的延长线交DT于C。
求证：CT=2CM。

证明：设CM=a，CT=x


可以看到，方程思想是初中数学中的一个重要的数学思想，在解题中有广泛的应用。利用方程思想解题，要善于从题目中挖掘等量关系，能够根据题目的特点选择恰当的未知数，注意保证方程的个数与未知数的个数相同。
（二）数形结合思想
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系；而数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法。
数形结合的思想，就是把问题中的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想。在解题方法上，“数”与“形”相互转化，从而使问题化难为易、化繁为简，达到解决问题的目的。
1. 以形助数——通过几何图形，使数量关系直观化、形象化，从而寻找解题的途径
例1. 在正方形ABCD中，A、B、C的坐标分别是（1，2）、（-2，1）、（-1，-2），求点D的坐标。
分析：依题意画图，可看到点A、点C关于原点O成中心对称，所以O应是正方形ABCD的中心。根据正方形性质可知，点D应与点B关于原点O对称，已知点B坐标为（-2，1），利用关于坐标原点对称的两点坐标之间关系，可确定点D坐标（2，-1）。

解略。
说明：平面直角坐标系建立了平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系，为数形结合创造了条件。本题就是利用直角坐标系，把“数”转化为“形”，以形助数，由两点之间的特殊位置关系得到两点之间的数量关系。
例2. 选择题：若为锐角，则sinA+cosA的值（    ）
A. 大于1              B. 等于1              C. 小于1              D. 不能确定
分析：可构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义及三角形中边之间的关系进行判断。


说明：本题是把数量关系通过构造的直角三角形使之明显化，从而得到解题途径。
例3. 二次函数在同一坐标系中的图象如图。
（1）哪个函数的图象过B、C、D三点？
（2）若BO=AO，BC=DC，且点B、C的横坐标分别是1、3，求这两个函数的解析式。

分析：借助函数的图象研究函数的性质，是一种很重要的方法。观察图象，过A、B、C三点的抛物线开口向下，则相应二次函数解析式中二次项系数应小于零，而过B、C、D三点的抛物线开口向上，则相应二次函数解析式中二次项系数应大于零，所以只要判断a与a+1哪个大于零即可。因为a+1>a，易得出经过B、C、D三点。利用抛物线的对称性确定的对称轴为x=0，的对称轴经过C点，则可推出D点坐标。再利用图象上点的坐标应满足函数解析式，则可构造关于a、c的方程组，求出待定系数的值。
解：（1）





说明：观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等，寻找图形中蕴含的数量关系，运用推理或计算得出结论。这是数形结合分析、解决问题的一个重要方面。
例4. 设二次函数的图象与x轴交于点A（）、B（）（），P点在y轴上（非原点），已知PAB与PBA都是锐角。
（1）求k的取值范围；
（2）比较线段PA、PB的长度的大小；
（3）当PAB+PBA=90o时，求P点的坐标（用含k的式子表示）
分析：（1）解决本题的关键是依据题目的已知条件正确地绘制草图，确定A、B两点的大致位置。由P点在y轴上，且PAB、PBA都是锐角，确定抛物线与x轴的两个交点A、B必须在原点的两侧（如图），转化为与函数相应的二次方程的两根异号，则。

（2）观察图形，由图形的几何性质知，线段PA、PB长度的大小取决于A、B两点到O点距离的大小，则转化为判断相应的二次方程两根中正根的绝对值大还是负根的绝对值大。利用函数所对应的一元二次方程根与系数的关系即可判断出来。
（3）利用，求出OP长，即可得出P点坐标。
解：（1）






说明：由本例看到，二次函数解析式中的系数与二次函数图象的形状及在坐标系中的位置相互制约。正确地画出图象，把二次函数的问题转化为二次方程的问题是解决这类问题的典型方法，它体现了数形结合及转化的数学思想。
例5. 已知：关于x的方程的两个实数根是，且。如果关于x的另一个方程
之间，求m的值。
分析：本题是已知一元二次方程的两个实数根所满足的条件，求方程中待定系数的值的题目。常规的解法是由第一个方程两根满足的条件，利用根与系数的关系，建立关于待定系数m的方程，求出m的值。再把m的值代入第二个方程，并求出其根，检验其两根是否都在第一个方程的两根之间，从而确定m的值。（参看解法一）
我们可以换个角度，以形助数来考虑这个问题。关于x的方程有两个不等实数根，即抛物线与x轴有两个交点，且两交点为A（）、B（），不妨设。方程也有两个实数根，对应的抛物线与x轴也有两个交点或唯一公共点，设两交点为C（）、D（）。。我们可以看到，这两条抛物线形状相同，开口方向相同（由于二次项系数相同），且对称轴也相同，都是直线x=m。由于方程(2)的两根都在之间，即抛物线与x轴的两个交点C、D（或C、D重合）在抛物线与x轴的两个交点A、B之间，以形助数，在坐标系中画出这两条抛物线的示意图（如图），看到只要满足抛物线的判别式，且抛物线在y轴上截距大于抛物线在y轴上截距即可，很易确定m的取值。（参看解法二）

解法一：





根，且方程(2)的两根在方程(1)的两根x1和x2之间。
与x轴有交点



说明：由以上几例看到，正确地绘图对于题意的理解、思路的探求、方法的选择、结论的判定都有重要的作用，要善于把作图与计算结合起来，充分发挥图形的作用。
2. 以数解形——挖掘几何图形中的数量关系，用代数方法解几何问题
例6. 如图，在矩形ABCD中，EF是BD的垂直平分线，已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长。

分析：要求矩形的周长，则需先求出矩形的长和宽。可把长、宽分别设为两个未知数，根据图形中线段的位置关系，利用相似三角形的性质和勾股定理转化为线段间的数量关系，构造方程组用代数方法求解。
解：在矩形ABCD中，设长AB=x，宽BC=y，因为EF是BD的垂直平分线


例7. 如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼。当这个大楼地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少？

分析：这个实际问题抽象为数学问题后是一个平面几何问题，即求三角形内接矩形面积最大时，矩形的边长。
进一步观察图形可以看到，当矩形的长（或宽）变化时，矩形DEFG的面积也随之而变化，但当内接矩形的长（或宽）一确定，矩形的面积也随之而确定。可见，内接矩形的面积是这个矩形长（或宽）的函数。于是问题就转化为建立函数关系式并求函数何时取得最值的代数问题。
解：设矩形DEFG的宽DE为x米，则



说明：在几何图形中建立函数关系式是数形结合的典型例题。在这类问题中，常运用相似形的性质定理、勾股定理、圆的有关定理、面积关系等建立量与量的函数关系式。
3. 依形判数，以数助形，结合具体问题，灵活进行数形转化
数量关系体现了图形的内在性质，把握数量关系和相应图形的特征是进行数与形相互转化的关键。
例8. 如图，AB是半圆O的直径，于D，C在半圆上，设。
求证：。

分析：解本题的关键是寻找，表示出。由已知COB=，且COB为圆周角，要想办法利用这个角。根据图形的几何性质，连AC、BC，圆心角A的度数等于所对弧上圆心角COB度数的一半，所以。问题就转化为证。利用两对直角三角形相似，对应边成比例则很易证得。
证明：连结AC、BC


例9. 如图，二次函数的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴交点为Q。过Q点的直线与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B。若，求这个二次函数的解析式。

分析：本题为函数与平面几何的综合题，要确定二次函数的解析式，就需要构造关于待定系数b、c的方程组，求出b、c的值。如何利用题目给出的众多条件呢？
（1）以数助形，求出图象上关键点的坐标。
二次函数图象与y轴交点Q的坐标为（0，c）

（2）依形判数，利用函数图象，结合几何图形的性质，构建关于b、c的方程组。




（3）数形结合，得出结论
解(1)、(2)联立的方程组，可得。但检验知，时，抛物线顶点在y轴左侧，不合题意，舍去。

说明：依形判数，以数助形是解函数型综合题时重要的思想方法。此题用待定系数法求函数解析式时，根据图形的几何性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组来求解。解题时还必须根据题目条件对结果进行检验，舍去不合题意的解，如本例中根据抛物线顶点在y轴右侧知。
例10. 已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连结AC。将沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E。如果CE=5，OC、OE的长是关于x的方程的两个根，并且OC>OE。
（1）求点D的坐标；
（2）如果点F是AC中点，判断点（8，-20）是否在过D、F两点的直线上，并说明理由。

解：（1）的两个根，且OC>OE，







【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 填空
1. 一个角的外角是它的三倍，则这个角的度数为___________。
2. 一个等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，则腰长为___________。
3.是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两顶点分别在AB、AC上，则这个正方形的边长为___________mm。
4. 已知：中AB=5，AC=6，BC=7，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，且的周长与四边形BCED的周长相等，则DE的长为___________。
5. 矩形ABCD的对角线BD=10，的内切圆半径为2，则矩形两边长为___________。
6. 在直角坐标系xoy中，点P到x轴距离为3，到y轴距离为2，则P点坐标为___________。
7. 已知a、b互为相反数，且a>b，那么a的倒数与b的倒数的大小关系为___________。
8. 已知a>0，b<0，且a+b<0，那么实数a,b,-a,|b|的大小关系为___________（用“<”号连接）。
9. 如图的图象，则下列各式：
___________0，___________0，___________0，
___________0，___________0，___________0。

10. 若点（），（），（1，）在反比例函数的图象上，则的大小关系是___________（用“<”号连接）。
二. 解答：
11. 已知一元二次方程的两实根为且，，，求a、b、c的值。
12. 已知如图：在中，，AD平分BAC，DE//CA，已知CD=12，BD=15，求AE、BE的长。

13. 在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C坐标（1，0），点D在x轴上，且BCD和ABD是两个相等的钝角，求图象经过B、D两点的一次函数的解析式。

【试题答案】
一. 1.           2. 5cm           3. 48              4.           5. 6或8
6.
7.                8.
9.
10.
三. 11. 解：



12. 解：


13. 解：如图，点A、B、C坐标为（-3，0）（0，）（1，0）