追求几何理论统一性的数学家——F?克莱因

F·克莱因（Christian Felix Klein，1849～1925），德国数学家。生于莱茵河畔的杜塞尔多夫。1857年进入天主教文科中学，1865年进入波恩大学，1868年获数学博士学位。1872年任爱尔兰根大学教授。1875年至1886年先后任慕尼黑工业大学和莱比锡大学教授。1886年起任格丁根大学教授，直至1913年退休。1925年在格丁根逝世。

克莱因在非欧几何、连续群论、代数方程论、自守函数论等方面，都取得了杰出的成就。1885年被选为英国皇家学会会员，1897年被选为法国科学院院士，1913年被选为普鲁士科学院通讯院士。

主要论著有：《论所谓非欧几何学》（1871）、《新近几何学研究的比较考察》（1872）、《二十面体及五次方程解讲义》（1884）、《椭圆模函数论讲义》（1890、1892）、《自守函数论讲义》（1897、1912）、《高观点看初等数学》（1908、1909）等。

用射影几何学来统一几种度量几何学

19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。1822年法国数学家彭色列用传统的综合方法建立了射影几何学的理论体系，德国数学家梅比乌斯和普吕克又以代数为工具建立了射影几何学的理论体系。射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。不久，德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家博耶建立了非欧几何学。非欧几何学的诞生说明欧几里得几何学不再是现实空间的唯一刻画，除此之外还存在着刻画现实空间的其他几何学。与此同时德国数学家高斯和黎曼又建立了微分几何学。这些新几何学的诞生不仅打破了古典欧几里得几何学的垄断地位，而且也从“现实的”三维空间以及其中的点、线、面作了两方面的扩张：一是高维几何学的出现，人们开始研究四维及四维以上的空间（亦称之为“流形”）；二是空间元素不再局限为点，而可以是线、圆、曲面等。

1865年当克莱因步入波恩大学攻读数学时，上述新几何学已经诞生。进大学后的第二年，克莱因有幸成为著名几何学家普吕克的助手。普吕克使他对数学产生了兴趣。当时普吕克正在撰写《新空间几何学》一书，克莱因积极协助他进行这项工作，并在此工作中逐步充实自己有关射影几何学的知识。在普吕克的指导下，克莱因还完成了“线坐标的一般二次方程到典则形式的变换”的博士论文。1868年5月普吕克去世，其《新空间几何学》只完成了第1卷。第2卷只好由格丁根大学数学家克莱布什整理。1869年初克莱因离开波恩来到格丁根大学，协助克莱布什整理普吕克的遗著。在格丁根克莱因从克莱布什那里学到了代数“不变式论”，并完成了他的一篇重要论文，发现了一阶和二阶线性复形与库默尔曲面有关。由于当时德国的数学中心在柏林，于是克莱因于1869年8月底到达柏林。在这里他结识了从挪威来的代数学家李，两人成为终生密友。他还结识了从奥地利来的数学家施托尔茨，从他那里知道了非欧几何学。

还在波恩大学学习期间，克莱因就在普吕克的指导下读过英国数学家凯莱的著作。凯莱从代数的观点研究几何。他对代数形式（齐次多项式型）的几何解释特别有兴趣。于是他用代数形式给出了一种关于几何图形度量性质的新意义，即对于二维情形可以用一个二次曲线代替虚圆点。在三维时他则引入二次曲面，并将这些图形称为“绝对形”。由于绝对形具有齐次多项式的代数形式，故它具有“射影关系”的意义。然后他证明了可以用包含绝对形的代数表达式来定义欧几里得几何学中关于距离与角度的公式。于是他指出，任一欧氏几何度量性质的解析表达式包含着该性质与绝对形的关系式，度量性质不是图形本身的性质，而是图形相关于绝对形的性质。由于凯莱的绝对形具有“射影关系”的意义，于是他认为一般的射影关系决定几何图形的度量性质。也就是说，射影关系更为基本，欧几里得度量几何只不过是射影几何的一部分，是其特例。

克莱因采纳了凯莱的思想，并将它推广到非欧几何学，沟通了非欧几何与射影几何的联系，使得在射影几何的框架内也能研究非欧几何。他把凯莱的绝对形二次曲面的性质具体化，当充当绝对形二次曲面是实椭球面，或实椭圆抛物面，或实双叶双曲面时，便得到罗巴切夫斯基非欧几何；而当绝对形二次曲面是虚的时，便得到狭义黎曼非欧几何（正的常曲率）；如果绝对形是球面虚圆，其齐次坐标方程为x²＋y²＋z²＝0，t＝0，便得到通常的欧几里得几何。于是欧几里得几何、罗巴切夫斯基非欧几何和狭义黎曼非欧几何等几种度量几何都被统一于射影几何而成为其特例。在此背景下克莱因还把上述几何学予以重新命名。他把罗巴切夫斯基几何叫做双曲几何，正的常曲率曲面上的黎曼几何叫做椭圆几何，而把欧几里得几何称为抛物几何。克莱因对3种几何学的重新命名同样体现了他的追求几何理论统一性的思想。他在1871年8月的一篇“论所谓非欧几何学”论文中将这种思想清楚地表述出来。

用群的概念把各种几何学统一起来

克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。

19世纪数学史上的重大突破之一，是法国数学家伽罗瓦创造性地提出了“群”的概念和理论。其成果是在1846年公开发表的。所谓“群”是指一种“代数结构”，即一个集合，在其抽象的元素之间赋予若干抽象的代数运算（如乘法运算），而且这些运算满足若干定律（如结合律、同一律等），这样这个集合就被称为“群”。1870年法国数学家若尔当发表了《置换群》的著作，系统地发展了伽罗瓦的群论。

在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。另外，人们还看到，在欧几里得几何中，图形在作旋转、反射、平移等变换的过程中，该图形中线段的长短、角的大小是保持不变的。于是人们就称“长度”、“角度”是这种变换中的不变量。这就导致了对几何中“不变量”理论的研究，并将它与群论结合起来。

1870年4月，克莱因和李结伴来到法国巴黎。他们在巴黎拜会了代数学家若尔当，向他讨教群论的知识。若尔当的《置换群》一书对克莱因产生了巨大影响。在巴黎期间克莱因和李合作撰写论文，其中就涉及到群的观点，涉及到集合在某些变换下不变的性质。该文在巴黎科学院院刊上发表。在这些知识积累的基础上，克莱因在1871年至1872年进一步把群论、变换理论、不变量理论与几何学联结起来，做起了用“变换群”的观点在更深层次上将各种几何学理论统一起来的研究工作。

在老师克莱布什的推荐下，1872年10月克莱因被聘为爱尔兰根大学正教授。在当年的大学评议会上，克莱因作了著名的“新近几何研究的比较考察”的演讲，介绍了他用变换群的观点内在地统一各种几何学理论的思想。这篇演讲稿公开发表后，被人称为克莱因的“爱尔兰根纲领”。

他首先指出：“几何学尽管本质上是一个整体，可是，由于最近期间所取得的飞速发展，却被分割成为许多几乎互不相干的分科，其中每一分科几乎都是独立地、继续地发展着。于是，公开发表旨在建立几何学的这样一种内在联系的各种考虑，就显得更加必要了。”

接着，他实质性地指出：“存在通常空间的这样的变换，使得空间图形的几何性质保持不变。事实上，几何性质本身不依赖于所考虑对象的位置、绝对大小及定向。空间图形的性质在空间中的运动、相似变换、反射以及它们所生成的一切变换之下都保持不变。所有这些变换的总体，称为空间变换的主群；几何性质在主群中的变换之下保持不变。这也可以改写为：几何性质由在主群中的变换之下保持不变的事实来刻画。”

于是，克莱因认为，每种几何学理论都由变换群所刻画，每种几何学理论所要研究的就是几何图形在其变换群下的不变量（即不变性质）；而一门几何学的子几何学理论就是研究原来变换群的子群下的不变量。例如，在欧几里得几何学中，图形的旋转、反射和平移等变换构成了一个欧几里得变换群。在这种变换群下图形的不变量是长度、角度以及图形的大小和形状。又例如，在二维射影几何中，射影变换是指在一个平面上从一点到自身的变换，用射影坐标来表示，每个变换形式为：x′₁＝a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃；x′₂＝a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃；x′₃=a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃。其中系数a_ij是实数，系数行列式不等于零。这就是前面所讲述的代数齐次多项式形式。这些变换组成射影变换群。射影变换群下的不变量有线性、共线性、交比、调和集以及保持为圆锥曲线不变等。在此基础上，克莱因论证了欧几里得变换群是射影变换群的子群。所以，欧几里得几何学是射影几何学的子几何学。

与此相类似，克莱因进一步刻画双曲度量几何，也就是在所研究的射影平面上使一个任意的、实的、非退化的二次曲线保持不变的所有变换所构成的子群下的不变量，这个子群叫做双曲度量群，相应的几何学叫做双曲几何学，即罗巴切夫斯基非欧几何学，其中的不变量是与合同有关的那些量。所以双曲几何学也是射影几何学的子几何学。同样，单纯椭圆几何学所研究的变换是使射影平面上一个虚椭圆保持不变，其变换群也是射影变换群的子群。所以单纯椭圆几何学也是射影几何学的子几何学。二重椭圆几何学与此类似，也是如此。

克莱因还把上述思想进一步推广到n维流形（即n维空间）之上。他认为，只要给出一个流形和这个流形的一个变换群，我们就可以通过这个变换群变换之下其性质保持不变的观点去研究这个流形的实体。在此广义的意义下，克莱因不仅考虑通常以点为基础的几何学，而且考虑以任何一种点集，特别是一条曲线或一个曲面为基础的几何学，例如线几何学和球几何学。但是只要取同一变换群为几何学研究的基础，那么这种几何学的内容就不会改变，所以像流形的维数只是作为某种次要的东西而出现。从这种观点出发，他不仅把圆几何学及球几何学也看成研究某些射影变换群的某些子群的不变性质，而且还进一步扩大了他的纲领的应用范围：代数几何学研究双有理变换下的不变性，拓扑学研究连续变换下的不变性。

克莱因的几何学群论思想，以简单明了的方式把相当多的几何学统一了起来。他给已有的多种几何学提供了一个系统的分类方法，并提示了许多可供研究的问题。它引导以后的几何学家的研究工作达50年之久，对几何学的发展产生了深刻的影响。克莱因对统一性的孜孜追求，对整个数学的发展也产生了深刻的影响。德国数学家希尔伯特于20世纪初发起了公理化运动，提出以“公理系统”作为统一各门数学的基础；20世纪30年代，美国数学家伯克霍夫提出用“格”来统一代数系统的理论；其后，法国的布尔巴基学派继承公理化运动，提出“数学结构”的思想，把数学的核心部分统一在结构概念之下，使之成为一个有机整体。这些都是统一性思想和方法在数学领域获得的成功。