susy物理学笔记（七）——对称性与守恒流，Noether定理

来源：百度文库编辑：神马文学网时间：2024/05/05 18:49:38

无论你翻开哪本讲场论的书，对称性与守恒流以及Noether定理都是必讲的内容，做“笔记”时当然也不能落下。
我们前面已经看到，物理学中有众多的对称性，而描述对称性的数学工具是群论。这些对称性有分立对称性，也有连续对称性，有整体对称性，也有居域对称性，对应的数学对象有有限群，Lie群，积流形和纤维丛。这一次的话题主要涉及连续对称性。
Noether定理简单说就是每种连续对称性对应一个守恒流（四散度为零的四矢量场），这实际上是一件很直观的事。我们记得连续对称性变换由Lie群描述，Lie群既是群又是流形，我们就可以求它单位元处的切空间，并用左乘微分同胚诱导的推前映射得到群流形上的一个切矢量场。求这个切矢量场的积分曲线，以单位元处为经过该点积分曲线的参数0点，我们定义一个从单位元处切空间的一个含0元的子集合到Lie群的子集（因为这条积分曲线不一定能够延拓到参数无穷大处）的一个双射，这就是著名的指数映射exp。因此Lie群单位元处的切空间（或者说那个诱导出来的“左不变矢量场”）与Lie群之间有密切的关系。简而言之，左不变矢量场是群流形对称变换对应的“流”，因为沿所有的积分曲线走同样参数距离得到的群的微分同胚正是群乘法。于是我们会问，与群元的乘法对应的是这个切空间的何种运算呢？在交换群的情况下，就是对应的两个切矢的和，因此这个“指数”是很真实的，并不是叫叫玩儿的。对于非交换群，gh不等于hg，我们就需要一个量来描述这种差异，这个量反映在群上就是ghg^-1与h的差异（或者说是ghg^-1h^-1与e的差异），反映在切空间上就是两个切矢的对易子非0。我们把Lie群的左不变矢量场配以对易子运算叫做这个Lie群的Lie代数。注意到单位元是相似变换的不动点，因此相似变换诱导出Lie代数的一个自同构（学过Lie群的朋友对这个自同构一定很熟悉，因为这正是著名的伴随表示）。
现在我们回到场论中来。事实上Noether定理很大程度上是经典场论中的一个结论，因此我们的介绍也将从经典场论开始。我们首先需要一个描述体系的拉氏密度，体系的对称性这时指得是它将体系的一个解变成另一个解。一般而言，我们要求这个对称变换导致的拉氏密度的变化只是一个四散度，这样作用量的变化就只依赖于这个四散度的边界行为。我们不涉及边界项的问题，认为它贡献为零。这时拉氏密度的变分可以写作正则动量密度乘对称变换的生成元（就是对称群的Lie代数的元素）再乘以正则位形之后的四散度，这里利用了运动方程。这两个流的和是一个守恒流，也就是著名的Noether流。
在量子场论中，我们关心的是路径积分，因此作用量不变只是一个必要条件。此时如果变换不改变测度则于经典场论情形相同，否则就会出现反常。

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