費氏數列及黃金分割

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十三世紀的義大利數學家費伯納西 (Fibonacci) 寫了一本商用的算術和代數手冊《Liber abacci》。在這本書裏，他提出了這麼一個有趣的問題：假定一對兔子在它們出生整整兩個月以後可以生一對小兔子，其後每隔一個月又可以再生一對小兔子。假定現在在一個籠子裡有一對剛生下來的小兔子，請問一年以後籠子裏應該有幾對兔子？
讓我們仔細地算一下。第一、第二個月，小兔子長成大兔子，但還沒成熟不能生小兔子，所以總共只有一對。第三個月，原有的一對大兔子生了一對小兔子，現在一共有二對了。第四個月，大兔子又生了一對小兔子，但是第二代的那對小兔子還沒成熟，還不能生小兔子，所以總共有三對。第五個月，第一、二兩代的兩對兔子各生了一對小兔子，連同四月份原有的三對，現在一共有五對了。第六個月，在四月份已經有的三對兔子各生一對小兔了，連同五月份原有的五對兔子,現在一共有八對了。依此類推，每個月份所有的兔子對數應該等於其上一個月所有的兔子對數（也就是原有的兔子對數）及其上上個月所有的兔子對數（這些兔子各生了一對小兔子）的總和。所以每個月的兔子對數應該是1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…，每一項都是前兩項之和。因此，一年後籠子裡應該有233對兔子了。
月份
成兔
幼兔
總數
1
1
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8
7
13
這些兔子的數目我們稱之為費氏數（Fibonacci numbers）。為方便起見，我們用 Fn 表示第 n 代兔子的數目。
我們觀察到
F1 = F2 = 1
而當 n≧3 時，Fn = Fn - 1 + Fn – 2
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
F8
F9
F10
F11
F12
F13
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
費氏數的神奇性質 如果你把前五個費氏數加起來再加 1，結果會等於第七個費氏數；如果把前六個費氏數加起來，再加 1，就會得出第八個費氏數。那麼前 n 個費氏數加起來再加 1，會不會等於第 n + 2 個費氏數呢？

1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 13
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21
由於每一個費氏數都是其前兩項費氏數的和，

事實上，我們的確可以利用證明
F1 + F2 + …… + Fn + 1 = Fn + 2            ()
如果我們分別對偶數項與奇數項做加法運算的話，情形又如何呢？

1 + 2 + 5 = 8
1 + 2 + 5 + 13 = 21
1 + 1 + 3 + 8 = 13
1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34
我們可以得到下列的結果：
F1 + F3 + …… + F2n - 1 = F2n
1 + F2 + F4 + …… + F2n = F2n + 1             ()
更不可思議的是，如果我們把第三項的平方加上第四項的平方會得到第七項。

22 + 32 = 4 + 9 = 13
試試看其他的情形。Fn2 + Fn + 12 = F2n + 1是不是都成立呢？

32 + 52 = 9 + 25 = 34
82 + 132 = 64 + 169 = 233
費氏數列前後項的比值
把費氏數列中的每一項用前一項來除，我們得到一個新數列：
1, 2, 1.5, 1.67, 1.6, 1.63, 1.615, 1.619, 1.618, .....
計算過程如下：
下圖中橫軸為 n 的值，縱軸為的取值：

看起來好像會趨近某個定值，大約為1.61……。
讓我們用 Gn 表示新數列的第 n 項。因為 Fn = Fn - 1 + Fn – 2 ，所以

Gn 的確會收斂到某一定值，我們稱之為 Φ (讀作phi)（）。直觀上，當 n 很大時，不論是 Gn 或 Gn-1 與 Φ 之差都會很小，可以忽略不計。所以由這個式子我們可以推得，亦即 Φ2 – Φ – 1 = 0，利用解二次方程式根的而算得

我們注意到 Φ 滿足下面兩個式子：

Φ2 = Φ + 1
因此如果我們考慮下面的等比數列：

此數列則擁有費氏數列的特徵，亦即相鄰兩項的和等於下一項。
Φ 的連分數表法
由上面我們知道，因此

黃金分割
雅典的帕德能神廟 (Parthenon at Athens) 莊嚴、宏偉，被認為是古希臘最偉大的建築之一。有人認為它之所以顯得那麼和諧，是因為這個建築符合黃金律。
什麼是黃金律？那就得先從黃金分割談起。假如 C 為 AB 線段上的一點，而且，那麼我們就說 C 點把線段 AB 黃金分割了，如圖。

如果 C 點把線段 AB 黃金分割，那麼這個比值是多少呢？

這個比值不就是前面提到的 Φ 嗎？一點也不錯，我們叫它做黃金比值（Golden Ratio）。報紙、書本的長度和寬度之比往往接近這個比值，大概是因為在這個比例之下，它們看起來很順眼，很和諧吧！建築和繪畫方面也常利用這個比值來引起美的感覺，這就叫做黃金律。
如何才可以把一線段 AB 黃金分割呢？引直線 BD 垂直於 AB，令 BD =AB，連接AD，並在 AD 上取 E 點使 DE = BD，再在 AB 上取 C 點使 AC = AE，則 C 點就把 AB 黃金分割了。

請各位自己驗算看看吧！
帕德能神廟中的黃金律
上圖中所有藍線與紅線之比都是黃金比例。
為什麼這樣造形簡單的建築物中會出現如此多的黃金比例呢？如果 B、D 分別為 AC 之兩個黃金分割，則 D、B 分別為 AB 及 DC 之黃金分割。

因為，，又 AD = AC – DC

如此一來，兩個分割點卻造就了四個黃金比例；這也就是黃金分割神奇的地方。
近代法國建築師 Le corbusier 在設計著名的馬賽聯合公寓時，便充分利用黃金律及人的知覺美學作為其建築舒適度的建構標準。聯合公寓的最大夢想是能夠在最小單位中容納眾多人口，而在建造這種公寓時碰到的最大問題在於如何製造出最舒適的居住空間。傳統的考量主要是著重於機能方面，也許生活上會覺得方便吧，但是仍然無法滿足人的舒適感。
Le corbusier 以人們雙手上舉的平均高度 2.26 公尺作為「黃金比例」的基準比例尺；整個建築使用 15 個這種基本尺寸來構築，而各部分之間也都依此比例設計，雖然公寓本身的機能較為簡單，但簡單而和諧的黃金比例卻賦與它雄偉氣勢，使居民有寬大而舒適的感受。
在我們身邊還有很多東西都是以黃金比例的姿態出現，如：動植物身上的花紋、達文西的畫像、希臘的帕德能神廟、聯合國大廈、人體結構……等，請參考網頁 。
黃金三角形與畢氏五星旗
所謂黃金三角形是一個等腰三角形其腰與底的長度比為黃金比值。我們若以底邊為一腰作一等腰三角形則此三角形亦為一黃金三角形，如下圖。圖中三種不同長度的線段，其中最長的線段（紅色）與次長的線段（藍色）比是黃金比例，次長的線段（藍色）與最短的線段（綠色）也是黃金比例。

古希臘時代有個以畢達哥拉斯為首的哲學家與數學家組織，他們以一個在外面圍上正五邊形的五角星作為他們畢氏學派的標幟：

五角星形內部隱藏著一個五邊形，畫出這個五邊形的對角線，就產生一個小的倒五角星形，

其內部也包含一個更小的五邊形，再畫出它的每條對角線又可得到一個小小的五角星形……這個過程可以不斷地進行下去。但最令畢氏學派對五角星形著迷的並不是它能夠自我複製的特性，而是隱藏在它線條之內的「黃金比例」。
下面左圖中任兩條交叉的對角線，都被對方切成兩段不等長的線段，而整段對角線（綠色）與長段（藍色）的比值，恰好就是長段（藍色）與短段（紅色）的比值。這個比值正是黃金比值 Φ。而右圖中的兩條綠色對角線將另一條和他們相交的對角線黃金分割於兩交點。

再仔細觀察一下，不難發現在這五邊星形中充滿了大大小小的黃金三角形；下圖中的三個相似三角形都是黃金三角形。

黃金矩形及等角螺線長和寬之比為黃金比例 Φ 的矩形叫做黃金矩形。

上圖中 ABCD 為一黃金矩形，而 E、F 分別為 AD 及 BC 線段上的黃金分割點，則

而
AD = Φ．AF
FD = (Φ – 1 )．AF
所以

也就是說，FDCE 是一個黃金矩形。
因此，黃金矩形 ABCD 可以被分為一個正方形及一個小的黃金矩形 FDCE。這個小的黃金矩形又可以再分成一個正方形和一個更小的黃金矩形。雅典的帕德能神廟便是最好的實物說明，如下圖：
所謂等角螺線就是向徑和切線的交角永遠不變的曲線，如下圖：
一個黃金矩形可以不斷地被分為正方形及較小的黃金矩形，通過這些正方形的端點（黃金分割點），可以描出一條等角螺線《》，而螺線的中心正好是第一個黃金矩形及第二個黃金矩形的對角線交點，也是第二個黃金矩形與第三個黃金矩形的對角線交點。如下圖：
我們可以在鸚鵡螺的外殼發現這樣的螺線。
自然界中的費氏數
自然界中到處可見費氏數列的蹤跡。樹技上的分枝數，多數花的瓣數都是費氏數：火鶴 1、百合 3，梅花 5，桔梗常為 8，金盞花 13，…等等。費氏數列也出現在松果上。一片片的鱗片在整粒松果上順著兩組螺線排列：一組呈順時針旋轉，另一組呈反時針，請參 考 網頁上的圖；仔細瞧瞧，順時針螺線的排列數目是 8，反時針方向則為 13，而另一組常出現的數字是「5 及 8」。向日葵也是一樣，常見的螺線數目為「34 及 55」，較大的向日葵的螺線數目則為「89 及 144」，更大的甚至還有「144 及 233」。這些全都是費氏數列中相鄰兩項的數值。數數看，下圖這朵向日葵的螺線數目是 多少？
大部份雛菊的螺線數目則是「21 及 34」：
也有些品種雛菊的螺線數目是「13 及 21」：
為什麼呢？
植物是以種子和嫩芽開始生長；種子發芽後，很多細根會長出來，並且向地底下生長，而嫩芽則是迎向陽光。
如果用顯微鏡觀察新芽的頂端，你可以看到所有植物的主要徵貌的生長過程——包括葉子、花瓣、萼片、小花（floret）等等。在頂端的中央，有一個圓形的組織稱為「頂尖」（apex）；而在頂尖的周圍，則有微小隆起物一個接一個的形成，這些隆起則稱為「原基」（primordium）。
成長時，每一個原基自頂尖移開（頂尖從隆起處向外生長，新的原基則在原地）；最後，這些隆起原基會長成葉子、花瓣、萼片等等。每個原基都希望生成的花、蕊、或葉片等等，之後能夠獲得最大的生長空間。例如葉片希望得到充足的陽光，根部則希望得到充足的水份，花瓣或花蕊則希望充份地自我展現好吸引昆蟲來傳粉。因此，原基與原基隔得相當開，由於較早產生的原基移開的較遠，所以你可以從它與頂尖之間的距離，來推斷出現的先後次序。另人驚奇的是，我們若依照原基的生成時間順序描出原基的位置，便可畫出一條捲繞得非常緊的螺線——稱為「生成螺線」（generative spiral）。
之前我們提到過的左右旋螺線，雖然能夠明顯到讓人一眼看出（植物學家稱之為「斜列線」，parastichy），但那並不是植物的原基生長模式的實際表徵；就某種程度而言，這些螺線只是視學上的錯覺。人的眼睛之所以能分辨出斜列線，是因為斜列線是由相鄰的原基所形成。
晶體學先驅布拉菲兄弟（Auguste and Louise Bravais）發現原基沿生成螺線交錯排列的數學規則。他們量測相鄰兩原基之間的角度，發現量得的各個角度非常相近；這些角的共同值就稱為「發散角」（divergence angle）。
想像從原基的中心各畫一條直線連到頂尖的中心，然後測量這兩條線的夾角。如下圖中編號 29 的原基與編號 30 的原基之間的角度，及編號 30 與 31 的原基之間的角度。
他們並且發現發散角往往非常接近 137.5 度（或 222.5 度，如果從另一邊量起），也就是 ――「黃金角」。
如果我們將一個圓分成兩個弧，而兩個弧的長度比為黃金比例，小弧的圓心角我們稱之為黃金角。如下圖：


由此可知，圓周與大弧長度的比亦為黃金比例，而大弧的圓心角之弳度量即為。那麼黃金角有多大呢？經過計算：360? –360?/Φ 大約是 137.5 度。
一九○七年，數學家易特生（G. Van Iterson）在一條繞得很緊的螺線上，每隔 137.5 度畫一個點。結果他發現，由於這些點的排列方式特殊，因此眼睛會看到兩組互相交錯的螺線——一組是順時鐘旋轉，另一組是逆時鐘（如下圖）。又因為費布納西數與黃金數密切相關，所以兩組螺線的數目是相鄰的費布納西數。究竟是哪些費布納西數，則要看螺線的旋轉有多緊密。


鳳梨與費氏數列
除了在松果的鱗片、向日葵上的小花可以看到明顯的生成螺線外，鳳梨上的生成螺線更是清楚可數，因為它的外皮可被分成一些幾乎是六角形的小格子，如下圖。其中有五條較平緩的平行螺線往右上旋，有八條較陡的平行螺線往左上旋，另外還有更陡的十三條平行螺線是往右上旋。
如果我們將鳳梨視為一個圓柱體，並延著一條垂直線將它切開攤平，便得到一個長方形，其左右兩邊表示的是同一條線——圓柱體被切開的地方。我們令左方的邊為 x = 0，而右方的邊為 x = 1，下方的邊是 y = 0。
鳳梨上一小塊一小塊的六角形小格子是依時間先後，一片片長出來的，而且它們與前一片的距離都是等距。假設它們以 (0, 0) 為起始點，所以我們在位於 (0, 0) 及 (1, 0) 位置（其實是同一點）的六角形小格子上標記 0，接著再依生成順序在其他六角形小格子上做標記，這樣才知道它們與 (0, 0) 的距離。若發散角為黃金角，則第 1 塊六角形小格子的座標為 (, h)（Φ 是黃金比值，，即 Φ 的小數部分），而第 n 塊六角形小格子的位置是 (x, nh)，其中 x 是 nΦ 的小數部分（任意一個數都可分成整數部分與小數部分，如：3.14 的整數部分是 3，小數部分是 0.14）。如果把這個長方形裹在一個圓柱體上，就會看到一條條螺線像梯子一樣盤旋而上。
既然兩個連續費氏數之比會趨近於黃金比值，即，表示 Fk．Φ 幾乎就是Fk+1（正整數），所以 Fk．Φ  的小數部分幾乎等於 0。所以，標記為費氏數 Fk 的六角形小格子會很靠近切割線 x = 0 (或 x = 1)，且隨著 k 愈大會愈靠近。此外，觀察每條構成幾乎是垂直線的六角形小格子，上面的標記都相差某個費氏數。
不同的 h 會使螺線排列有一點不同，例如：令就可以讓標記為 0 的六角形小格子與標記為 5, 8, 13, -5, -8, -13 的六角形小格子相鄰，如上圖。而且，圖中最明顯的那些螺線，相鄰的六角形小格子的標記都相差 F6 = 8，如：由 0 往左上斜的 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48……，或由 3 開始的 3, 11, 19, 27, 35, 43, 51……等。
為什麼是 137.5 度？
大自然的機制使得原基的生長遵循著有效率堆排的幾何原理。一九七九年，數學家伏格（H. Vogel）以電腦模擬原基的生長情形，他用圓點來代表向日葵的原基，在發散角為固定值的假設下，試圖找出最佳的發散角使這些圓點盡可能緊密地排在一起。他的電腦實驗顯示，當發散角小於 137.5 度，圓點間就會出現空隙，而只會看到一組螺線；同樣的，如果發散角超過 137.5 度，圓點間也會出現空隙，但是這次看到的是另一組螺線。因此，如果要使圓點排列沒有空隙，發散角就必須是黃金角；而這時，兩組螺線就會同時出現。簡言之，要使花頭最密實、最堅固，最有效的堆排方式是讓發散角等於黃金角。
下面的圖是用數學軟體模擬伏格的實驗結果：


發散角為137.6度
發散角為137.4度

發散角為137.5度
如果你有 Maple，可以按取得執行上面圖形的程式。你不妨將其中的發散角改成其他的角度玩一玩。
事實上，如果我們選用的發散角是三百六十度的有理數倍，就必定會得到一組徑向直線。由於直線之間都有空隙，所以原基就無法排列得很緊密。結論是：想要以最有效的方式填滿一個平面，發散角就必須是三百六十度乘以某個無理數，也就是乘以不能表示為分數的數。但是要用哪一個無理數呢？實數不是有理數就是無理數，不過，某些無理數卻比其他無理數更〔無理〕些。數論學家很早就知道，最〔無理〕的無理數就是黃金數，它很難以有理數近似，如果我們能將近似的，將會發現它是最差的一個，這就是說黃金發散角會使原基排列得最緻密。
費氏數列相鄰兩項的比值趨近於黃金比值，由黃金矩形又可描出等角螺線，等角螺線又出現在松果、鳳梨、雛菊、向日葵等，而它們的左右旋螺線數自又是費氏數列相鄰的兩項，自然之造物真令人嘆為觀止！