神马文学网初中数学课程标准1
来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/27 23:20:49
初中数学课程标准
第一部分 前言
一、基本理念
二、设计思路
第二部分 课程目标
一、总体目标
二、学段目标
第三部分 内容标准
第一学段(1～3年级)
一、数与代数
二、空间与图形
三、统计与概率
四、实践活动
第二学段(4～6年级)
一、数与代数
二、空间与图形
三、统计与概率
四、综合应用
第三学段(7～9年级)
一、数与代数
二、空间与图形
三、统计与概率
四、课题学习
第四部分 课程实施建议
第一学段(1～3年级)
一、教学建议
二、评价建议
三、教材编写建议
第二学段(4～6年级)
一、教学建议
二、评价建议
三、教材编写建议
第三学段(7～9年级)
一、教学建议
二、评价建议
三、教材编写建议
课程资源的开发与利用
第一部分 前 言
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。20世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。数学可以帮助人们更好地 探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。
义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
一、基本理念
1．义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：
--人人学有价值的数学；
--人人都能获得必需的数学；
--不同的人在数学上得到不同的发展。
2．数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
3．学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内 容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
4．数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
5．评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。
6．现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式 产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。
二、设计思路
(一) 关于学段
为了体现义务教育阶段数学课程的整体性，《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》（以下简称 《标准》）通盘考虑了九年的课程内容；同时，根据儿童发展的生理和心理特征，将九年的学习时间具体划分为三个学段：
第一学段（1～3年级）、第二学段（4～6年级）、第三学段（7～9年级）。
(二) 关于目标
根据《基础教育课程改革纲要（试行）》，结合数学教育的特点，《标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面作出了进一步的阐述。
《标准》中不仅使用了“了解（认识）、理解、掌握、灵活运用”等刻画知识技能的目标动词，而且使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词，从而更好地体现了《标准》对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求。
知识技能目标
了解(认识)
能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征(或意义)；能根据对象的特征，从具体 情境中辨认出这一对象。
理解
能描述对象的特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。
掌握
能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中。
灵活运用
能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。
过程性目标
经历(感受)
在特定的数学活动中，获得一些初步的经验。
体验(体会)
参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些经验。
探索
主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象 的区别和联系。
(三) 关于学习内容
在各个学段中，《标准》安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。
数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情 境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。
符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。
空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。
统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。
应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。
为了体现数学课程的灵活性和选择性，《标准》在内容标准中仅规定了学生在相应学段应该达到的基本水平，教材编者及各地区、学校，特别是教师应根据学生的学习愿望及其发展的可能性，实施因材施教。同时，《标准》并不规定内容的呈现顺序和形式,教材可以有多种编排方式。
(四) 关于实施建议
《标准》针对教学、评价、教材编写、课程资源的利用与开发提出了建议，供有关人员参考，以保证《标准》的顺利实施。
为了解释与说明相应的课程目标或课程实施建议，《标准》还提供了一些案例，供参考。
第二部分 课程目标
一、总体目标
通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：
● 获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；
● 初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；
● 体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；
● 具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。
具体阐述如下：
知识与技能
●经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
●经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
●经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
数学思考
● 经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。
●丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。
●经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念。
●经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
解决问题
● 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。
●形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
●学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
●初步形成评价与反思的意识。
情感与态度
● 能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。
● 在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
●初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
●形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
以上四个方面的目标是一个密切联系的有机整体，对人的发展具有十分重要的作用，它们是在丰富多彩的数学活动中实现的。其中，数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。
二、学段目标
,
第一学段（1～3年级）
第二学段（4～6年级）
第三学段（7～9年级）
知识与技能
●经历从日常生活中抽象出数的过程，认识万以 内的数、小数、简单的分数和常见的量；了解四则运算的意义，掌握必要的运算（包括估算）技能。
●经历直观认识简单几何体和平面图形的过程，了解简单几何体和 平面图形，感受平移、旋转、对称现象，能初步描述物体的相对位置，获得初步的测量（包括估测）、识图、作图等技能。
●对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验，掌握一些简单的数据处理技能；初步感受不确定现象。
●经历从现实生活中抽象出数及简单数量关系的过程，认识亿以内的数，了解分数、百分数、负数的意义，掌握必要的运算（包括估算）技能；探索给定事物中隐含的规律，会用方 程表示简单的数量关系，会解简单的方程。
●经历探索物体与图形的形状、大小、运动和位置关系的过程，了解简单几何体和平面图形的 基本特征，能对简单图形进行变换，能初步确定物体的位置，发展测量（包括估测）、识图 、作图等技能。
● 经历收集、整理、描述和分析数据的过程，掌握一些数据处理技能；体验事件发生的等可能性、游戏规则的公平性，能计算一些简单事件发生的可能性。
●经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用 代数式、方程、不等式、函数等进行描述。
●经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程，掌握三角形、四边形、圆的 基本性质以及平移、旋转、轴对称、相似等的基本性质，初步认识投影与视图，掌握基本的 识图、作图等技能；体会证明的必要性，能证明三角形和四边形的基本性质，掌握基本的推理技能。
●从事收集、描述、分析数据，作出判断并进行交流的活动，感受 抽样的必要性，体会用 样本估计总体的思想，掌握必要的数据处理技能；进一步丰富对概率的认识，知道频率与概率的关系，会计算一些事件发生的概率。
数学思考
●能运用生活经验，对有关的数字信息作出解释，并初步学会用具体的数描述现实世界中的简单现象。
●在对简单物体和图形的形状、大小、位置关系、运动的探索过程中 ，发展空间观念。
●在教师的帮助下，初步学会选择有用信息进行简单的归纳与类比。
●在解决问题过程中，能进行简单的、有条理的思考。
● 能对现实生活中有关的数字信息作出合理的解释，会用数、字母和图表描述并解决现实世界中的简单问题。
●在探索物体的位置关系、图形的特征、图形的变换以及设计图案的 过程中，进一步发展空间观念。
●能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。
●在解决问题过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理 性作出有说服力的说明。
● 能对具体情境中较大的数字信息作出合理的解释和推断，能用代数式、方程、不等式、函数刻画事物间的相互关系。
●在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互 转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉。
●能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测。
●能用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度或推 翻猜想。
●体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力。
解决问题
●能在教师指导下，从日常生活中发现并提出简单的数学问题。
●了解同一问题可以有不同的解决办法。
●有与同伴合作解决问题的体验。
●初步学会表达解决问题的大致过程和结果。
●能从现实生活中发现并提出简单的数学问题。
●能探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法。
●能借助计算器解决问题。
●在解决问题的活动中，初步学会与他人合作。
●能表达解决问题的过程，并尝试解释所得的结果。
●具有回顾与分析解决问题过程的意识。
●能结合具体情境发现并提出数学问题。
●尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异。
●体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
●能用文字、字母或图表等清楚地表达解决问题的过程，并解释结果 的合理性。
●通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
情感与态度
●在他人的鼓励与帮助下，对身边与数学有关的某些事物有好奇心，能够积极参与生动、直观的数学活动。
●在他人的鼓励与帮助下，能克服在数学活动中遇到的某些困难，获 得成功的体验，有学好数学的信心。
●了解可以用数和形来描述某些现象，感受数学与日常生活的密切联系。
●经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性。
● 在他人的指导下，能够发现数学活动中的错误并及时改正。
●对周围环境中与数学有关的某些事物具有好奇心，能够主动参与教师组织的数学活动。
●在他人的鼓励与引导下，能积极地克服数学活动中遇到的困难，有 克服困难和运用知识解 决问题的成功体验，对自己得到的结果正确与否有一定的把握，相信自己在学习中可以取得不断的进步。
●体验数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以借助数学 方法来解决，并可以借助数学语言来表述和交流。
●通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。
●对不懂的地方或不同的观点有提出疑问的意识，并愿意对数学问题 进行讨论，发现错误能及时改正。
●乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，能够在数学活动中发挥积极作用。
●敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问 题的成功体验，有学好数学的自信心。
●体验数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决 实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
●认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学 活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。
●在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
第三部分 内容标准
本部分分别阐述各个学段中“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容标准。
“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。
“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。
“实践与综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。
内容结构表
学段
第一学段（1～3年级）
第二学段（4～6年级）
第三学段（7～9年级）
数与代数
●数的认识
●数的运算
●常见的量
●探索规律
●数的认识
●数的运算
●式与方程
●探索规律
●数与式
●方程与不等式
●函数
空间与图形
●图形的认识
●测量
●图形与变换
●图形与位置
●图形的认识
●测量
●图形与变换
●图形与位置
●图形的认识
●图形与变换
●图形与坐标
●图形与证明
统计与概率
●数据统计活动初步
●不确定现象
●简单数据统计过程
●可能性
●统计
●概率
实践与综合应用
●实践活动
●综合应用
●课题学习
第三学段（7～9年级）
一、数与代数
在本学段中，学生将学习实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数等知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。
在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从 实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系，介绍有关代数内容的几何背景；应避免繁琐的运算。
(一)具体目标
1．数与式
（1）有理数
① 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。
② 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不 含字母）。
③ 理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。
④ 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
⑤ 能运用有理数的运算解决简单的问题。
⑥ 能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。［参见例1］
（2）实数
① 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
② 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某 些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
③ 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
④ 能用有理数估计一个无理数的大致范围。［参见例2］
⑤ 了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问 题的要求对结果取近似值。
⑥ 了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则 运算(不要求分母有理化)。
（3） 代数式
① 在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。
② 能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。［参见例3与例4］
③ 能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。［参见例5］
④ 会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值 进行计算。
（4）整式与分式
① 了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
② 了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（ 其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。
③ 会推导乘法公式：（a＋b）（a－b）= a2－b2；（a＋b）2 = a2＋2ab＋ b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
④ 会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
⑤ 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、 乘、除运算。［参见例6］
2．方程与不等式
（1）方程与方程组
① 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数 学模型。
② 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。［参见例7］
③ 会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中 的分式不超过两个）。
④ 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的 一元二次方程。
⑤ 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
（2）不等式与不等式组
① 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
② 会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组 成的不等式组，并会用数轴确定解集。
③ 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单 的问题。
3．函数
（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律［参见例8］
（2）函数
① 通过简单实例，了解常量、变量的意义。
② 能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。
③ 能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。［参见例9］
④ 能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值 。
⑤ 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。［参见例10］
⑥ 结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。［参见例11］
（3）一次函数
① 结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。
② 会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解其性质（k＞0或k＜0时，图象的变化情况 ＝。
③ 理解正比例函数。
④ 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
⑤ 能用一次函数解决实际问题。
（4）反比例函数
① 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。
② 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y=kx（k≠0 ）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化）。
③ 能用反比例函数解决某些实际问题。
（5）二次函数
① 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
② 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。
③ 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决 简单的实际问题。
④ 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
(二)案例
例1 一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响，灾情 将持续一个月。请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少吨粮食？
说明 假如平均一个家庭有4口人，那么20万人需要5万顶帐篷；假如一个 人平均一天需要05千克的粮食，那么一天需要10万千克的粮食……
例2 估计√ 5 -1 与0.5哪个大
2
例3 在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有 如下的近似关系：记录蟋蟀每分叫 的次数，用这个次数除以7，然后再加上3，就得到当时的温度。温度（℃）与蟋蟀每分叫的 次数之间的关系是：
温度 = 蟋蟀每分叫的次数 ÷7+3。
试用字母表示这一关系。
例3 观察下列图形并填表：
梯形个数
1
2
3
4
5
6
……
n
周 长
5
8
11
14
……
，
，
，
例5 对代数式3a作出解释。
说明 如葡萄的价格是3元/千克，买a 千克的葡萄需3a元；或正三角形的 边长为a，这个三角形的周长是3a。
例6 化简： (1)x2-4x+4 ； (2)x-2 x+2
x2-4 x+2 x-2
例7 估计下列方程的解：
（1）x3-9=0； （2）x2+2x-10=0。
例8 5名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一 场，一共需要多少场比赛？10名同学呢？
说明 可以用列举、画图等方法。
例9 小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家90 0米的报亭，母亲随即按原速返 回。父亲看了10分报纸后，用了15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家的时间与距离之间的关系？ 哪一个表示母亲离家的时间与距离之间的关系？
0
10
20
30
40
50
时间/分
0
10
20
30
40时间/分
例10 某书定价8元，如果购买10本以上、超过10本的部分打八折。试分析并表达出购书数量与付款金额之间的关系。
例11 填表并观察下列两个函数的变化情况：
x
1
2
3
4
5
……
y1=50+x
，
，
，
，
，
，
Y2=5x
，
，
，
，
，
，
（1）在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象，比较它们有什么不同；
（2）当x从1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达100。
二、空间与图形
在本学段中，学生将探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。
推理与论证的学习从以下几个方面展开：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化 思想。
在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程；应注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。证明 的要求控制在《标准》所规定的范围内。
（一）具体目标
1．图形的认识
(1) 点、线、面
通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由 点组成的）。
（2）角
①通过丰富的实例，进一步认识角。
②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行 简单换算。
③了解角平分线及其性质【1】
（3）相交线与平行线
①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④了解线段垂直平分线及其性质【1】 。
⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。
⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
（4）三角形
①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。
②探索并掌握三角形中位线的性质。
③了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。
④了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质【2】和一个三角 形是等腰三角形的条件［3］；了解等边三角形的概念并探索其性质。
⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质［4］和一个三角形是直角三角形的条件［5］
⑥体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
（5）四边形
① 探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。
② 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系 ；了解四边形的不稳定性。
③探索并掌握平行四边形的有关性质［１］和四边形是平行四边形的条件［2］ 。
④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质［3］和四边形是矩形、菱形、正方形的条件［4］。
⑤探索并了解等腰梯形的有关性质［5］和四边形是等腰梯形的条件。［6］
⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心）。
⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面， 并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
（6）圆
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。
②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
③了解三角形的内心和外心。
④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。
（7）尺规作图
① 完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。
② 利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形； 已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。
③ 探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
④ 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。
（8）视图与投影
① 会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图 ），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
② 了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。
④观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)，了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)。
⑤通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴 影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）。
⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。
⑦通过实例了解中心投影和平行投影。
2．图形与变换
（1）图形的轴对称
①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。［参见例1］
③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。
④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。
（2）图形的平移
①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。
②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。
③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。
（3）图形的旋转
①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
② 了解平行四边形、圆是中心对称图形。
③ 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
④ 欣赏旋转在现实生活中的应用。
⑤ 探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。［参见例2和例3］
⑥ 灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
（4） 图形的相似
① 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
② 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。
③ 了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。
④ 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
⑤ 通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（ 如利用相似测量旗杆的高度）。
⑥ 通过实例认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°， 60°角的三角函 数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。
⑦ 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
3．图形与坐标
（1） 认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、 由点的位置写出它的坐标。［参见例4］
（2） 能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。［参见例5］
（3） 在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。［参见例6］
（4） 灵活运用不同的方式确定物体的位置。［参见例7］
4．图形与证明
（1）了解证明的含义
① 理解证明的必要性。
② 通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。
③ 结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
④ 通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。
⑤ 通过实例，体会反证法的含义。
⑥ 掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。
（2）掌握以下基本事实，作为证明的依据
① 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。
② 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。
③ 若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全 等。
④ 全等三角形的对应边、对应角分别相等。
（3）利用（2）中的基本事实证明下列
命题［1］1
① 平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）。
② 三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大 于任何一个和它不相邻的内角）。
③ 直角三角形全等的判定定理。
④ 角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）。
⑤ 垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。
⑥ 三角形中位线定理。
⑦ 等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。
⑧ 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。
（4）通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值
(二)案例
例1 以树干为对称轴，画出树的另一半。
例2 请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的。
例3 观察下面的图案，它可以看成是由哪个图形经过 怎样的变换产生的？
例4 在坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连 接起来：
① （2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），（4，6），
（2，6），（1，8），（0，6），（0，2），（2，0）；
② （1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；
③ （1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；
④ （4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）；
⑤ （3，3）。
观察这个图形，你觉得它像什么？
例5 下图是某市旅游景点的示意图。试建立直角坐标系 ，用坐标表示各个景点的位置：
例6 如图所示，在直角坐标系下，图1中的图案“A”经过变换分别变成图2至图6中的相应图案（虚线对应于原图案），试写出图2至图6中各顶点的坐标，探索每次变换前后图案发生了什么变化、对应点的坐标之间有什么关系。
例7 张坚在某市动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图（如下图）。试借助刻度尺、量角器解决如下问题：
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示猴山、驼峰、百鸟园的位置；
（2）填空：
百鸟园在大门的北偏东 度的方向上，到大门的图上距离约为 厘米；
熊猫馆在大门的北偏 度的方向上，到大门的图上距离约为 厘米；
驼峰在大门的南偏 度的方向上，到大门的图上距离约为 厘米。
说明 本题旨在让学生体会除用直角坐标系描述物体的位置外，还可以选定某个参照物和某个方向，用距离和角度来刻画物体的位置。
三、统计与概率
在本学段中，学生将体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。
在教学中，应注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计与概率对制定决策的重要作用；应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断；应注重使学生在具体情境中体会概率的意义；应加强统计与概率之间的联系；应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。
(一)具体目标
1．统计
（1）从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据。
（2）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可 能得到不同的结果。［参见例1］
（3）会用扇形统计图表示数据。
（4）在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数 据的集中程度。
（5）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散 程度。［参见例2］
（6）通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题。
（7）通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差。
（8）根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流。
（9）能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法 。
（10）认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。［ 参见例3］
2．概率
（1）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。［参见例4和例5］
（2）通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。［参见例6］
（3）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。［参见例7］
(二)案例
例1 电视台需要在本市调查某节目的收视率，每个看电 视的人都要被问到吗？对一所大学学生的调查结果能否作为该节目的收视率？你认为对不同社区、年龄层次、文化背景的人所 做的调查结果会一样吗？
例2 下面是两个水果店1至6月份的销售情况（单位 ：千克），比较两个水果店销售量的稳定性。
，
1月
2月
3月
4月
5月
6月
甲商店
450
440
480
420
580
550
乙商店
480
440
470
490
520
520
例3 统计某商店一个月内几种商品的销售情况，对这个商店的进货提出你的建议。
例4 一个袋中装有2个黄球和2个红球，任意摸出一个球后放回，再任意摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。
例4 如图转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率。
例6 通过实验获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的频率。
例7 一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定 会中奖吗?
四、课题学习
在本学段中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解 决问 题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。
在前两个学段的基础上，教学时应引导学生结合生活经验提出课题、积极地思考所面临的课题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题。
(一)具体目标
1．经历“问题情境-建立模型-求解-解释与应用”的基本过程。
2．体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识。
3．获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识。
4．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
(二)案例
例 用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制作使得体积较大？
说明 这是一个综合性的问题，学生可能会从以下几个方面进行思考：① 无盖长方体展开后是什么样？②用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？③制成的 无盖长方体的体积应当怎样去表达？④什么情况下无盖长方体的体积会较大？⑤如果是用一 张正方形的纸制作一个有盖的长方体，怎样去制作？制作过程中的主要困难可能是什么？
通过这个主题的学习，学生进一步丰富自己的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力。
第四部分 课程实施建议
第三学段（7～9年级）
一、教学建议
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下 生动活泼地、主动地、富有个性地学习。
在教学活动中，教师应发扬教学民主，成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者；要善 于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；要关注学生的个体差异，有效地实施有差 异的教学，使每个学生都得到充分的发展；要重视现代教育技术在教学中的应用，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益。
(一)让学生经历数学知识的形成与应用过程
本学段的教学应结合具体的数学内容采用“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心。
抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。比如函数概念，不应只关注对其表达式、定义域和值域的讨论，而应选取具体实例，使学生体会函数能够反映实际事物的变化规律。
例1 已知摄氏温度（℃）和华氏温度（）有如下关系：
摄氏温度/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度/
32
50
68
86
104
122
在平面直角坐标系中，通过描点观察点的分布情况，建立满足上述关系的函数表达式。
教学中，可指导学生开展如下的活动：
①描点：根据表中的数据在平面直角坐标系中描出相应的点。
②判断：判断各点的位置是否在同一直线上。（可以用直尺去试，或顺次连接各点，观察所有的点是否在同一直线上）
③求解：在判断出这些点在同一直线上的情况下，选择两个点的坐标，求出一次函数的表达式。
④验证：验证其余的点的坐标是否满足所求的一次函数表达式。
教师要引导学生在数学知识和方法的应用中，体会数学的价值，增强用数学的意识。如引导学生用变换的观点解释现实世界中与图形有关的现象，欣赏某些建筑物的对称美；
让学生自己利用所学知识设计图案。
又如，教师可以引导学生运用统计与概率的知识讨论下面的问题。
例2 有一则广告声称：“有75%的人使用本公司的产品。”你听了这则广告后有什么想法？
通过对这个问题的讨论，学生可以知道对广告中75%这样的数据，要应用统计的观念去分析。比如，样本是如何选取的、样本的容量多大等。若该公司调查了4个人，其中有3个人用了这个产品，就说“有75%的人使用本公司的产品”，这样的数据显然不可信。因此应对这个数据的真实性、可靠性提出质疑。
(二)鼓励学生自主探索与合作交流
有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。
本学段数与代数的内容中充满了用来表达各种数学规律的模型，如代数式、方程、函数、不等式等。因此，在教学过程中应该让学生充分地经历探索事物的数量关系、变化规律的过程。
例3 完成下列计算：
1+3=？
1+3+5=？
1+3+5+7=？
1+3+5+7+9=？
根据计算结果，探索规律。
教学中，首先应让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历观察（每个算式 和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同）、归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程。教学中，不要仅注重学生是否找到了规律，更应关注学生是否进行了思考。如果学生一时未能独立发现其中的规律，教师可以鼓励学生相互合作交流，进一步探索，教师也可以提供一些帮助。如列出如下点阵，以使学生从数与形的联系中发现规律：
进而鼓励学生推测出1+3+5+7+9+…+19=102。
此后，教师还可以根据学生的实际情况，把这个问题进一步推广到一般的情形，推出1+3+5+ 7+…+（2n-1）= n2，当然应该认识到这个结论的正确性有待进一步证明。
本学段空间与图形的内容（如图案的欣赏与设计，图形的基本性质，视图等）的教学，可以 组织学生进行观察、操作、猜测、推理等活动，并交流活动的体验，帮助学生积累数学活动 的经验，发展空间观念和有条理地思考。
例4 组织学生进行如下活动：
（1） 用硬纸片制作一个角；
（2） 把这个角放在白纸上，描出∠AOB（如图）；
（3）再把硬纸片绕着点O旋转180°，并画出∠A′OB′；
（4）探索从这个过程中，你能得到什么结论。
通过操作、观察，每个学生都可能发现如下的某些结论：OA与OA′，OB与OB′是一条直线 ；∠ AOB与∠A′OB′是对顶角，∠AOB与∠A′OB′的大小相等，还可能发现：∠BOA′与∠B′OA 也是对顶角，也相等；∠AOB与∠A′OB互补，……
在这样的活动中，学生不仅能主动地获取知识，而且能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习。
(三)尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要
学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。教师要及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要。
教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平。问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与 ，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，丰富数学活动 的经验，提高思维水平。
对学习有困难的学生，教师要给予及时的关照与帮助，要鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试着用自己的方式去解决问题，发表自己的看法；教师要及时地肯定他们的点滴进步，对出现的错误要耐心地引导他们分析其产生的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信心。对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。
(四)应关注证明的必要性、基本过程和基本方法
“证明”的教学所关注的是，对证明必要性的理解，对证明基本方法和证明过程的体验，而不是追求所证命题的数量、证明的技巧。具体来说，包括如下几个方面。
在命题教学中，应通过生活和数学中的实例来说明什么是命题；能够区分一个简单命题的真伪，能够用反例来判定一个命题是假命题；对几何中的一些基本命题，应该要求学生能够画 出相应的图形，并逐步学会用符号来表示命题。
在证明的教学中，首先，应通过生活、代数和几何中的具体例子使学生认识到，有些命题可以通过观察和实验得到并获得大家的认可，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性；其次，应该使学生理解证明的基本要求，有条理地阐述自己的 想法，知道推理必须有依据，证明过程的表述必须条理清楚。
反证法也是一种重要的证明方法，教学中可以通过生活实例和简单的数学例子，使学生体会反证法的思想。但在义务教育阶段不必给出反证法的证明格式。
在教学中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察 、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这十分有利于学生对证明的全面理解；使用较规范的数学语言表述论证的过程，有利于学生清晰而有条理地表 达自己的观点并理解他人的思想；组织学生探索证明的不同思路，并进行适当的比较和讨论，这有利于开阔学生的视野；提供一些具有实际背景的命题，增加论证的趣味性，有助于激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合证法的信心。
(五)注重数学知识之间的联系，提高解决问题的能力
教学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。
例5 准备多个长方形和正方形卡片（如下图）:
①教师任意写出一个关于a和b的二次式，此二次式需能分解成两个一次因式的乘积，且各项系数都是正整数，如a2+2ab+b2， a2+4ab+4b2， 2a2+5ab+2b2等；
②学生根据教师给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个矩形；
③讨论该矩形的代数意义；
④由学生随意选取适当种类和数量的卡片，拼接成不同尺寸的矩形，回答该矩形表达的代数公式。
学生在这一活动中，将体会代数与几何之间的联系。
本学段还可以通过课题学习的内容，使学生经历“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”"的解决问题的过程，发展自己的思维能力，获得一些研究问题的经验和方法。
例6 调查本校学生的课外活动情况。
面对这个比较复杂的课题，一定要给学生以足够的时间和空间进行充分的探索和交流。
学生首先需要讨论的问题是用什么数据来刻画课外活动的情况，是采用课外活动的时间、课外活动的种类和参加各种活动的人数，还是选择其他标准。通过大家的讨论，可以选择一个或多个标准进行刻画。
然后，学生将讨论如何调查和收集数据。在讨论的过程中，学生可能有不同的意见：有的主张要调查全校所有学生；有的认为只要调查一部分学生，“用样本来推断总体”。如果有学 生坚持调查全校学生，教师则可以举“要了解一批灯泡的寿命”这样的例子说明抽样的必要性，或者也可以让这些学生实际操作一下，体会收集全校学生的数据是一件比较困难的事情 。
接着的问题是“可以调查哪些人呢?”对此，学生可能有很多想法，如调查本班的同学，调查在操场上打球的学生，在校门口随便找一些同学，每年级男生、女生按比例各抽几个人，按各班名册随便点几个人等等。对这些办法不要急于肯定或否定，应让学生通过实际操作和充 分讨论，认识到不同的样本得到的结果可能不一样，进而可以组织学生深入讨论：从这些解释中能作出什么推断？能想办法证实或反驳由这些数据得来的结论吗？根据这个学段的特点，教学的重点应放在对样本代表性的感受，以及样本对结果的影响上，至于如何得到随机样本，如何确定适合的样本容量则不作为教学要求。
这是一个开放的课题，学生需要走出课堂进行调查，感兴趣的学生不但可以调查全校学生的情况，还可以通过查资料等多种途径获得全市学生、全国学生甚至其他国家学生课外活动的情况。学生还可以调查本校的其他情况，为学校制定决策提供依据。
(六)充分运用现代信息技术
教师应当在学生理解并能正确应用公式、法则等进行计算的基础上，指导学生用计算器完成较为繁杂的计算。在课堂教学、课外作业、实践活动以及考试中，应当允许学生使用计算器，还应鼓励学生用计算器进行探索规律等活动。
有条件的地区，教学中要尽可能地使用函数计算器、计算机以及有关软件，这种现代教育手段和技术将有效地改变教学方式，提高教学的效益。如利用计算机展示函数图象、几何图形及其变换过程并研究其性质；从数据库上获得数据，并绘制表示同一组数据的不同图表，使学生能选择适当的图象描述数据；计算机还可以产生足够的模拟结果，帮助学生更好地体会事件发生概率的意义。
二、评价建议
评价的目的是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展 。 评价也是教师反思和改进教学的有力手段。
对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度 的形成和发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。 评价的手段和形式应多样化，要将过程评价与结果评价相结合，定性与定量相结合，充分关 注学生的个性差异，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。 教师要善于利用 评价所提供的大量信息，适时调整和改善教学过程。
(一)注重对学生数学学习过程的评价
对学生数学学习过程的评价，包括参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识，以及独 立思考的习惯、数学思考的发展水平等方面。如
● 是否积极主动地参与学习活动；
● 是否有学好数学的自信心，能够不回避遇到的困难；
● 是否乐于与他人合作，愿意与同伴交流各自的想法；
● 是否能够通过独立思考获得解决问题的思路；
● 能否找到有效地解决问题的方法，尝试从不同的角度去思考 问题；
● 是否能够使用数学语言有条理地表达自己的思考过程；
● 是否理解别人的思路，并在与同伴交流中获益；
● 是否有反思自己思考过程的意识；
……
学生可以通过建立自己的成长记录，反思自己的数学学习的情况和成长的 历 程。在成长记录中可以收录：
● 自己特有的解题方法；
● 印象最深的学习体验；
● 最满意的作业；
● 探究性活动的记录；
● 单元知识总结；
● 提出的有挑战性的问题；
● 最喜欢的一本书；
● 自我评价与他人评价；
……
成长记录中的材料应由学生自主选择，材料要真实并定期加以更新。根据 本学段学生的特点，对于选择的或更新的材料，学生要给予一定的说明。比如学生放入新的 作业以代替原来的作业时，要说明理由，如果是因为这次比上次做得好的话，还应说明取得 进步的原因。教师要引导学生适时反思自己的成长情况，如实现了哪些学习目标、获得了哪 些进步、自己作品的特征、解决问题的策略、还需要在哪方面进行努力等，并组织学生在班 上进行展示和交流。
建立数学成长记录可以使学生比较全面地了解自己的学习过程，特别 是感受自己的不断成长与进步，这有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学 习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据。
(二)恰当评价学生的基础知识与基本技能
本学段对基础知识和基本技能的评价，应遵循《标准》的基本理念，以本学段的知识与技能 目标为基准，考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。应当强调的是，学段目标 是本学段结束时学生应达到的基本要求，因此如果学生自己对某次考试的结果不满意，学校 应创造条件允许学生有再次考试的机会。这种“推迟判断”淡化了评价的甄别功能，尊重 了学生之间的个体差异，为不同学生的发展创造了条件。特别是对学习有困难的学生，这种 "推迟判断"能让他们看到自己的进步，获得成功的喜悦，从而激发新的学习动力。
对基础知识和基本技能的评价应结合实际背景和解决问题的过程，更多地关注对知识本身意 义的理解和在理解基础上的应用。
对数与代数学习的评价，应主要考查学生对概念、法则及运算的理解与运用水平，不应单 纯地考察对知识的记忆，对于运算的评价不能过分要求技巧。
对空间与图形学习的评价，应主要考查学生对基本几何事实的理解、空间观念的发展以及合情推理的能力和初步演绎推理能力的获得。对证明部分的评价，应关注学生对证明意义的 理解以及证明的过程是否步步有据。
对于统计与概率学习的评价，重点应放在考查学生能否在具有现实背景的活动中应用统计与概率的知识与技能，是否具有统计观念。
在本学段中，书面考试的比重较前两学段有所增加，评价时应将书面考试与其他评价方式有机结合。 在采用书面考试时，要按照《标准》的要求，避免偏题、怪题和死记硬背的题目；要设计结合现实情景的问题，以考查学生对数学知识的理解和运用所学知识解决问题的能力；要控制客观题型的比例，设置一些探索题与开放题，以更多地暴露学生的思维过程，对于这些问题，应允许学生有比较充裕的时间回答。
例1 一个由3个大人和4个孩子组成的家庭去某地旅游。甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的3/4优惠。这两家旅行社的原价均为每人100元。这个家庭选择哪家旅行社所花的费用少？比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？
这个例子主要考查一次函数、不等式解法等内容，但它并非将考查的重点放在对概念的记忆 和技能的模仿上，而是提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识 的理解和运用所学知识解决问题的能力。同时，这个问题也为学生构思自己的解题思路留下了空间，通过对学生解决问题过程的评价，教师既能考查学生掌握有关知识技能的情况，还可以了解学生的思维特点。
(三)重视对学生发现问题、解决问题能力的评价
本学段对学生发现问题、解决问题能力的评价主要包括：
● 能否结合具体情境发现并提出数学问题；
● 能否尝试从不同角度分析和解决问题；
● 能否体会到与他人合作解决问题的重要性；
● 能否用文字、字母、图表等清楚地表达解决问题的过程，并尝试运用不同的方式进行表达；
● 能否解释结果的合理性；
● 能否对解决问题的过程进行反思，获得解决问题的经验。
例2 下表是某月的月历：
，
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
，
，
（1）阴影方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（2）这个关系对其他方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
（3）这个关系对任何一个月的月历都成立吗？为什么？
（4）你还能提出哪些问题？
针对上面的例题，在评价学生提出问题时，首先应关注学生提出问题的积极性；其次要关注学生提出问题的深度和广度，如有的学生可能会提出阴影方框中9个数之间是否存在其他关系，有的同学可能会进一步提出月历中其他数之间是否存在着关系。在评价学生解决问题时，主要应关注学生是否积极思考，尝试从月历中发现规律；能否用代数式准确地表达自己发现的规律；是否有意识地对所发现的规律加以验证；能否清晰、有条理地与同伴进行交流，并从交流中获益；是否有意识地反思自己解决问题的过程。对于学生提出的问题和解决问题的方法，教师要给予鼓励与引导，并随时观察记录。
(四)评价主体和方式要多样化
要将自我评价、学生互评、教师评价、家长评价和社会有关人员评价结合起来。评价方式应当多种多样，既可采用书面考试、口试、作业分析等方式，也可采用课堂观察、课后访谈、大型作业、建立成长记录袋、分析小论文和活动报告等方式。
每种评价方式都有自己的特点，评价时应结合评价内容与学生学习特点加以选择。比如要考查学生基础知识和基本技能的掌握情况，可以采用书面考试等形式；要考查学生思维的深刻性及与他人合作交流的情况，可以采用开展长周期作业等方式；要考查学生在一段学习过程中获得的进步，可以采用建立成长记录等方式。无论采用何种方式，都应以激励学生学习、促进学生发展为目的。
教师在日常教学中应重视对学生的观察，主要可以观察几个方面：基础知识与基本技能的掌握状况，在学习过程中的主动性、独立思考与认真程度，解决问题的能力，与他人合作交流的情况等。
(五) 评价结果要采用定性与定量相结合的方式呈现
在呈现评价结果时，应重视定性评价的作用，采用定性与定量相结合的方法。
定量评价可采 用百分制或等级制的方式，要将评价结果及时反馈给学生，但不能根据分数排列名次。 教师要充分意识到“数排名榜”在给一小部分学生注入学习动力的同时，留给更多学生的是焦虑、打击与恐惧。
定性评价可采用评语的形式，在评语中应使用鼓励性语言客观、较为全面地描述学生的学习状况，充分肯定学生的进步和发展，更多地关注学生已经掌握了什么、获得了哪些进步、具备了什么能力、在哪些方面具有潜能，并帮助学生明确自己的不足和努力的方向。使评价结果 有利于学生树立学习数学的自信心，提高学习数学的兴趣，促进学生的进一步发展。
第三学段学生的个性特征更加凸显，评价应充分考虑这种差异，努力使每一个学生都能得到成功的体验。为此，可以通过设计开放式的问题，反映学生不同的学习特点。教师在评价时应根据《标准》的基本要求和学生的答题情况，确定合格标准。同时，对学生中出现的独特的想法或结论给予鼓励性评价。
三、教材编写建议
教材为学生的学习活动提供了基本线索，是实现课程目标、实施教学的重要资源。教材编写应以《标准》为依据，所选择的素材应尽量来源于自然、社会与科学中的现象和实际问题，应当反映一定的数学价值，能够表现出不同内容之间的相互联系。教材内容的编排和呈现要 突出知识的形成与应用过程；应引导学生从已有的知识和经验出发，进行自主探索与合作交流，并在学习过程中逐步学会学习；应关注对学生人文精神的培养。教材的编写还要有利于调动教师的主动性和积极性，鼓励教师进行创造性教学。重要的数学概念与数学思想的呈现应体现螺旋上升的原则，逐步加深学生对数学知识、思想和方法的理解。
考虑到不同学生之间的差异，在贯彻《标准》的基本理念和保证《标准》规定的基本要求的前提下，教材编写应体现出自己的风格和特色，并具有一定的弹性。教材编写时，应充分考虑与其他课程资源的开发和利用相结合。
(一) 选取自然、社会与其他学科中的素材
本学段学生的活动空间比第一、二学段有了较大的扩展，学生感兴趣的问题已拓广到客观世界的许多方面，他们逐渐关注来源于自然、社会与其他学科中更为广泛的现象和问题，对具有一定挑战性的内容表现出更大的兴趣。教材所选择的素材应尽量来源于自然、社会与科学中的现象和问题，应当反映一定的数学价值。
例如，对于统计与概率的内容，在教材编写时应提供足够的现代社会生活中的实例。既可以从报刊杂志、电视广播、计算机网络等方面寻找素材，也可以从学生的生活实际中提取他们感兴趣的问题，如对学校周围道路交通状况（运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等 ）的调查、对本地资源与环境的调查、对自己所喜爱的体育比赛的研究、讨论歌手大赛中为什么要去掉一个最高分和最低分、讨论有奖销售等问题。这样的素材能引导学生更多地着眼 于对实际问题的探索，理解概念的实际意义，在学习数学的同时更好地认识现实世界。
例1 调查学校附近一个人行横道的人流情况，你能就这个人行横道的安全性和便利性提出改进意见吗？设计一个调查方案，然后分组进行调查，并在全班交流各组的调查报告。
(二)给学生提供探索与交流的空间
本学段的学生独立思考和探索的愿望和能力有所提高，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。教材编写时应注意体现这个特点，提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等活动。
教材可以设置具有挑战性的问题情境，激发学生进行思考；提出具有一定跨度的问题串引导学生进行自主探索；通过“与同学交流你的想法”等语言鼓励学生进行交流；提供一些开放性（在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的知识；适当提供需要学生合作交流来解决问题的活动，如设置探究课题、社会调查等，使学生经历多角度认识问题、多种形式表现问题、多种策略思考 问题、尝试解释不同答案合理性的活动，以发展其创新意识和实践能力；提出一些问题，引导学生对学习过程进行监控和反思。
例2 探索规律。
（1）计算并观察下列每组算式：
8×8＝5×5＝12×12＝
7×9＝ 4×6＝11×13＝
（2）已知25×25=625，那么 24×26=？
（3）你能举出一个类似的例子吗？
（4）从以上的过程中，你发现了什么规律，你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？
（5）你能证明自己所得到的规律吗？
这个例子通过设置问题串，使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学符号表示，并给出证明这一重要的数学探索过程。
学生空间观念的培养、推理能力的发展、对图形美的感受等都建立在经历观察、操作、猜测 、推理、交流等活动的基础上，教材要充分展现这些过程。例如，在安排轴对称内容时，教材可以呈现徽标、枫叶、雪花等多种图案让学生观察；探索一些图案中蕴涵的轴对称关系； 提供根据轴对称进行图案设计的活动；通过阅读材料等，介绍相关的一些科学道理（如飞机、轮船的对称能使飞机、轮船在航行中保持平衡；建筑上的对称多半是为了美观，但有时也 考虑到使用上的方便和受力平衡等问题）；利用对称解决一些有趣的问题。
例3 某汽车的车牌倒映在水中，你能根据水中的影子确定该车的牌照号码吗？
在学习基本图形基本性质的证明时，教材要设计一系列问题使学生认识到证明的必要性，探索证明的思路，体验证明的过程要步步有据。
(三) 体现数学知识的形成与应用过程
本学段的教材应体现从具体的问题情境中抽象出数学问题、使用各种数学语言表达问题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有意义的学习过程。 教材中学习素材的呈现力求体现“问题情境-建立数学模型-解释、应用与拓展”的模式，围 绕所要学习的数学主题，选择有现实意义的、对学生具有一定挑战性的、能够表现重要数学意义、有利于学生一般能力发展的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立并求解包含该主题的数学模型，判断解的合理性并将所学的主题应用到其他场合，进而获得相应的 数学知识、方法与技能，为有需要的学生提供进一步了解该主题的途径。通过上述的过程， 学生将逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，获得对数学较为全面的体验与理解。
例如，在数与代数中，学生将学习方程、不等式、函数等内容，它们是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地描述和把 握现实世界，编写上述内容的教材时，要体现出数学建模的过程。如教材可以从生活中常见 的“梯子问题”出发，引导学生进行讨论，获得“一元二次方程”的模型和近似解：
例4 一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑1米，那么
（1） 猜一猜，底端也将滑动1米吗？
（2） 列出底端滑动距离所满足的方程。
（3） 你能尝试得出这个方程的近似解吗？底端滑动的距离比1大，还是比1小？与同学交流 你的想法。
教材可以再提供一些具体问题中的数量关系，使学生列出有关的一元二次方程，并经历探索 满足方程解的过程，进而产生学习方程一般解法的愿望。在学习了一元二次方程的一般解法后，教材除了要回顾上述的“梯子问题”外，还可以设立下面的开放性问题：例5 在一个长为50米、宽为30米的矩形空地上建造 一个花园，要求种植花草的面积是整块空地面积的一半，请展示你的设计。
这个问题的参与性很强，每个学生都可以展开想像的翅膀，按照自己思考的设计原则， 设计出不同的图案，并尽量使自己的方案定量化，在一些方案的定量化过程中，学生可以体会到一元二次方程在处理数量关系上的作用，认识到解一元二次方程不是一个机械的计算， 得到的结果必须对具体情况是有意义的，需要恰当地选择解和检验解。
(四) 呈现形式要丰富多彩
本学段的学生主要借助字母、图形、文字等多种材料从事数学活动。教材呈现形式应多样化 ，可以将实物照片、素描、文字、表格、图形、字母等多种形式结合起来，使学生积极、主动地参与整个学习过程，加深对所学内容数学意义的理解。如用场景图、实物照片等呈现问 题情境，也可以编排一些有趣的阅读材料，还可以安排多种活动（操作、实验、调查等），使学生的数学学习密切联系现实世界。素材还应蕴涵丰富的数学思想，使学生在学习过程中 发现其中的数学内涵。如为了加深对乘方的理解，教材可以提供生物学中细胞分裂的实例，呈现时可以用细胞分裂图来展示细胞分裂的过程: 每个细胞每次分裂为2个，2个又分裂成 4个，如此下去就构成了1，2，4，8，…这样一组数。这既提高了学生学习数学的兴趣，了解了数学在其他学科中的应用，又加深了对所学知识的理解。
丰富多彩的图形是空间与图形部分的重要学习素材，教材应做到图片与启发性问题相结合，图形与必要的文字相结合，计算与推理相结合，数和形相结合，充分发挥图形直观的作用，使教材图文并茂，富有启发性。
函数是数与代数中的重要内容，函数有多种表示形式（表格、图象、表达式、语言），教材 要提供多种形式表示函数的例子，从多种角度来认识一次函数、二次函数、反比例函数的意义，以加深学生对函数思想的理解。
(五)内容设计要有一定的弹性一方面，教材要按照《标准》中指出的要求，保证学生基础知识和基本技能的获得与一定的训练；另一方面，考虑到学生发展的差异和各地区发展的不平衡性，教材在保证基本要求的前提下，要体现一定的弹性，满足学生的不同需求，使全体学生都能得到相应的发展，同时便于教师发挥创造性。具体的设计方式可以是就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题，以使不同的学生得到不同的发展；提供一定的阅读材料供学生选择阅读；课后习题的选择与编排应突出层次性，可以设置巩固性练习、拓展性练习、探索性问题等多种层次；在设计课题学习时，所选择的课题要使所有的学生都能参与，在全体学生获得必要发 展的前提下，不同的学生可以获得不同的体验；教材可以编入一些拓宽知识的选学内容，但增加的内容应注重数学思想方法，注重学生的发展，有利于学生认识数学的本质与作用，增强对数学的学习兴趣，而不应该片面追求解题的难度、技巧和速度。
教材可以通过设计具体课题和阅读材料等形式引入计算机、函数计算器等教育技术供有条件的学生选择使用，使学生将更多的精力投入到有意义的探索性活动中去。如可以探索一些数量关系、函数的性质、图形的性质；可以做一个图形经过轴对称、平移、旋转后的图形 ；可以利用坐标进行作图，可以从事图案的设计；可以展示丰富多彩的几何图形，可以探索图形的变化规律等；还可以收集数据、处理数据、模拟概率实验等。
(六)重要的数学概念与数学思想宜体现螺旋上升的原则
《标准》中提供的是第三学段最终应达到的目标，根据学生的年龄特征、认知规律与知识特点，在教材编写时，重要的数学概念与思想方法的学习可以遵循逐级递进、螺旋上升的原则，但要避免不必要的重复。例如，前两个学段的教材已经渗透了函数的思想，本学段将出现函数的概念。学生对函数概念的理解也有一个逐步发展的过程，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的、不断深化的过程，而不宜集中一次学完，这样有利于学生不断加深对函数思想的理解。又如，在各个年级、各个领域中都应设计推理和证明的内容，可以按照提出佐证、说理和证明等层次逐步展开。
(七)重视知识之间的联系与综合
教材要关注数学知识之间的联系，这包括同一领域内容之间的相互连接，也包括选择若干具体内容，体现数与代数、空间与图形、统计与概率之间的实质性关联，展示数学的整体性；教材还应关注数学与现实世界、与其他学科之间的联系。
例如，对于统计与概率的内容，教材应重视渗透统计与概率之间的联系，通过频率来估计事件的概率，通过样本的有关数据对总体的可能性作出估计等。教材还应将统计与概率和其他领域的内容联系起来，从统计与概率的角度为他们提供问题情境，在解决统计与概率问题时自然地使用其他领域的知识和方法，为培养学生综合运用知识解决问题提供机会。
对于数与代数的内容，教材要重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助学生理解、解决有关代数问题。如，根据平面规则点阵中点的排列规律推导相应的整数列的和（如1+3+5+7+…可表示为正方形点阵）；利用图形理解完全平方公式、平方差公式等恒等式；利用函数图 象理解函数的变化趋势。
本学段的课题学习将更多体现活动的探索性和研究性，更多地把数学与社会生活和其他学科知识联系起来，使学生进一步体会不同的数学知识以及数学与外界之间的联系，初步学习研究问题的方法，提高学生的实践能力和创新意识。课题学习的内容不一定在课内完成，教材可以设计一些活动，鼓励学生利用课外时间从事搜集资料、进行调查等活动。
(八)介绍有关的数学背景知识
在对数学内容的学习过程中，教材中应当包含一些辅助材料，如史料、进一步研究的问题、数学家介绍、背景材料等，还可以介绍数学在现代生活中的广泛应用（如建筑、计算机科学、遥感、CT技术、天气预报等），这样不仅可以使学生对数学的发展过程有所了解，激发学生学习数学的兴趣，还可以使学生体会数学在人类发展历史中的作用和价值。辅助材料可以以阅读材料等形式出现。
在数与代数部分，可以穿插介绍代数及代数语言的历史，并将促成代数兴起与发展的重要人物和有关史迹的图片呈现在学生的面前，也可以介绍一些有关正负数和无理数的历史、一些重要符号的起源与演变、与方程及其解法有关的材料（如《九章算术》、秦九韶法）、函数 概念的起源、发展与演变等内容。
在空间与图形部分，可以通过以下线索向学生介绍有关的数学背景知识:介绍欧几里得《原本》，使学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值；介绍勾股定理的几个著名证法（如欧几里得证法、赵爽证法等）及其有关的一些著名问题，使学生感受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵；介绍机器证明的有关内容及我国数学家的突出贡献；简要介绍圆周率π的历史，使学生领略与π有关的方法、数值、公式、性质的历史内涵和现代价值（如π值精确计算已经成为评价电脑性能的最佳方法之一）；结合有关教学内容介绍古希腊及
中国古代的割圆术，使学生初步感受数学的逼近思想以及数学在不同文化背景下的内涵；作为数学欣赏，介绍尺规作图与几何三大难题、黄金分割、哥尼斯堡七桥问题等专题，使学生感受其中的数学思想方法，领略数学命题和数学方法的美学价值。
在统计与概率部分，可以介绍一些有关概率论的起源、掷硬币试验、布丰（Buffon）投针问题与几何概率等历史事实，统计与概率在密码学等方面的应用，这样可以使学生对人类把握随机现象的历程有一个了解，对于学生进一步学习与发展有一定的激励作用。
课程资源的开发与利用数学课程资源是指依据数学课程标准所开发的各种教学材料以及数学课程可以利用的各种教学资源、工具和场所，主要包括各种实践活动材料、录像带、多媒体光盘、计算机软件及网络、图书馆，以及报刊杂志、电视广播、少年宫、博物馆等。教材编写者、学校 管理者、教师和有关人员应因地制宜，有意识、有目的地开发和利用各种资源。以下分别就有关资源的开发和利用提出一些建议。
(一)实践活动材料
为了使学生在课堂中能够充分地参与活动，在活动中更好地理解重要的数学概念和方法，各个学校要充分利用并开发实物材料和设备（如计数器、钉字板、立体模型、校园设施）供学生开展实践活动。
(二)音像资料与信息技术
可以开发录像带、光盘等音像资料，如录制生活中的一些场景作为与学习内容相适应的问题情境；录制数学在科学技术中的应用；录制数学家的生平或故事；录制教学案例供教师讨论。需要注意的是录像带、光盘的内容不能只是简单重复教师在课堂中的讲解。
一切有条件和能够创造条件的学校，都应使计算机、多媒体、互联网等信息技术成为数学课程的资源，积极组织教师开发课件。要充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具；为所有学生提供探索复杂问题、多角度理解 数学思想的机会，丰富学生数学探索的视野；为一些有需要的学生提供个体学习的机会，以便于教师为特殊需要的学生提供帮助；为偏远地区的学生提供教学指导和智力资源，更有效 地吸引和帮助学生的数学学习。多媒体技术能为教学提供并展示各种所需的资料，包括文字、声音、图像等，并能随时抽取播出；可以创设、模拟各种与教学内容相适应的情境。互联 网在教学活动中的应用日益广泛，它在获取资源和进行交流等方面的作用和价值越来越表现出来，它将成为一种不可或缺的课程资源。同时，在互联网上还可以找到很多国内外的数学 教育网站。在这些网站中，教师可以收集一些学习素材，下载一些与课程直接相关的内容在教学中应用。有条件的话，教师还应该向学生介绍一些好的网站供学生选择，鼓励并引导学 生通过网络来获取信息，进行交流。
需要注意的是，我们不提倡用计算机上的模拟实验来代替学生能够从事的实践活动（如在计算机上模拟“倒砂子实验”，以使学生理解等底等高的圆柱体和圆锥体体积之间的关系）；我们不提倡利用计算机演示来代替学生的直观想像，来代替学生对数学规律的探索。同时，学校之间要加强交流，共享资源，避免课件的低水平重复，也可以积极引进国外先进的教育软件，并根据本学校学生的特点加以改进。
(三)其他学科的资源
要将数学与其他学科密切联系起来，从其他学科中挖掘可以利用的资源（如自然现象、社会 现象和人文遗产）来创设情境，利用数学解决其他学科中的问题。例如可以展现细胞分裂的过程（1个分裂成2个，再逐步分裂成4，8，16，…），使学生更好地理解平方的概念；可 以让学生通过收集和分析数据，研究影响单摆周期的因素；可以让学生从数学的角度去研究环保问题。
(四)课外活动小组
学校可以开展数学课外小组活动，用以激发学生的学习兴趣，引导学生深入学习，培养学生 的实践能力，发展学生的个性与创新精神。在课外活动小组中，教师还可以向学生提供一些阅读材料，内容可以包括数学在生活中的应用、趣味数学、数学史和数学家的故事、扩展性知识等，用来拓宽学生的学习领域，激发学生学习数学的兴趣。
需要注意的是，课外小组应由学生自愿参加，避免使之成为竞赛的工具。阅读材料的编写要符合学生的认知特征和生活经验，并由学生选择阅读。
(五)图书馆资源
学校图书馆应该基本满足学生课外阅读的需要，这对于扩大学生的知识面，激发学生学习数学的兴趣都起着重要的作用。目前大多数学校的图书馆除了书籍数量太少外，一个主要问题是数学辅导类图书所占的比例太大，这样的局面必须改变。学校还应充分利用校外的图书馆，用以开阔学生的视野，丰富教师的教学资源。
(六)报刊杂志、电视广播等媒体
报刊杂志、电视广播等媒体提供了许多有意义的问题，教材编写者和教师要充分地从中挖掘适合学生学习的素材。教师还可以向学生介绍电视中与数学有关的栏目，组织学生对某些内容进行交流。
(七)社区、少年宫、博物馆等活动场所
学校要充分利用社区、少年宫、博物馆等活动场所，一方面可以从这些场所中寻找合适的学习素材，如学生感兴趣的自然现象和社会问题，一方面可以组织学生开展活动，如参观博物馆中的人文遗产，这样可以激发学生的学习兴趣，培养学生的实践能力。
(八)智力资源
应充分利用学校和社会上的智力资源，如邀请有关专家为学生和教师讲课、就一些问题向专家请教、查阅有关数学教育的国际资料。
为了有效地开发数学课程资源，有必要制定数学课程资源的评价标准，包括鼓励社会参与，规范申报手续，规定课程资源的基本要求（如启发性、创新性、实用性），制定合理价格，鼓励有序竞争等各个方面。
第一部分 前言
一、基本理念
二、设计思路
第二部分 课程目标
一、总体目标
二、学段目标
第三部分 内容标准
第一学段(1～3年级)
一、数与代数
二、空间与图形
三、统计与概率
四、实践活动
第二学段(4～6年级)
一、数与代数
二、空间与图形
三、统计与概率
四、综合应用
第三学段(7～9年级)
一、数与代数
二、空间与图形
三、统计与概率
四、课题学习
第四部分 课程实施建议
第一学段(1～3年级)
一、教学建议
二、评价建议
三、教材编写建议
第二学段(4～6年级)
一、教学建议
二、评价建议
三、教材编写建议
第三学段(7～9年级)
一、教学建议
二、评价建议
三、教材编写建议
课程资源的开发与利用
第一部分 前 言
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。20世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。数学可以帮助人们更好地 探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。
义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
一、基本理念
1．义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：
--人人学有价值的数学；
--人人都能获得必需的数学；
--不同的人在数学上得到不同的发展。
2．数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具,能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
3．学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内 容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。
4．数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
5．评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。
6．现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式 产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。
二、设计思路
(一) 关于学段
为了体现义务教育阶段数学课程的整体性，《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》（以下简称 《标准》）通盘考虑了九年的课程内容；同时，根据儿童发展的生理和心理特征，将九年的学习时间具体划分为三个学段：
第一学段（1～3年级）、第二学段（4～6年级）、第三学段（7～9年级）。
(二) 关于目标
根据《基础教育课程改革纲要（试行）》，结合数学教育的特点，《标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个方面作出了进一步的阐述。
《标准》中不仅使用了“了解（认识）、理解、掌握、灵活运用”等刻画知识技能的目标动词，而且使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词，从而更好地体现了《标准》对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求。
知识技能目标
了解(认识)
能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征(或意义)；能根据对象的特征，从具体 情境中辨认出这一对象。
理解
能描述对象的特征和由来；能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系。
掌握
能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中。
灵活运用
能综合运用知识，灵活、合理地选择与运用有关的方法完成特定的数学任务。
过程性目标
经历(感受)
在特定的数学活动中，获得一些初步的经验。
体验(体会)
参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些经验。
探索
主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象 的区别和联系。
(三) 关于学习内容
在各个学段中，《标准》安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个学习领域。课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。
数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情 境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。
符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。
空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。
统计观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。
应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。
为了体现数学课程的灵活性和选择性，《标准》在内容标准中仅规定了学生在相应学段应该达到的基本水平，教材编者及各地区、学校，特别是教师应根据学生的学习愿望及其发展的可能性，实施因材施教。同时，《标准》并不规定内容的呈现顺序和形式,教材可以有多种编排方式。
(四) 关于实施建议
《标准》针对教学、评价、教材编写、课程资源的利用与开发提出了建议，供有关人员参考，以保证《标准》的顺利实施。
为了解释与说明相应的课程目标或课程实施建议，《标准》还提供了一些案例，供参考。
第二部分 课程目标
一、总体目标
通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：
● 获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；
● 初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；
● 体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；
● 具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。
具体阐述如下：
知识与技能
●经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
●经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
●经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。
数学思考
● 经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。
●丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。
●经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念。
●经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
解决问题
● 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。
●形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。
●学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
●初步形成评价与反思的意识。
情感与态度
● 能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。
● 在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
●初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
●形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
以上四个方面的目标是一个密切联系的有机整体，对人的发展具有十分重要的作用，它们是在丰富多彩的数学活动中实现的。其中，数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。
二、学段目标
,
第一学段（1～3年级）
第二学段（4～6年级）
第三学段（7～9年级）
知识与技能
●经历从日常生活中抽象出数的过程，认识万以 内的数、小数、简单的分数和常见的量；了解四则运算的意义，掌握必要的运算（包括估算）技能。
●经历直观认识简单几何体和平面图形的过程，了解简单几何体和 平面图形，感受平移、旋转、对称现象，能初步描述物体的相对位置，获得初步的测量（包括估测）、识图、作图等技能。
●对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验，掌握一些简单的数据处理技能；初步感受不确定现象。
●经历从现实生活中抽象出数及简单数量关系的过程，认识亿以内的数，了解分数、百分数、负数的意义，掌握必要的运算（包括估算）技能；探索给定事物中隐含的规律，会用方 程表示简单的数量关系，会解简单的方程。
●经历探索物体与图形的形状、大小、运动和位置关系的过程，了解简单几何体和平面图形的 基本特征，能对简单图形进行变换，能初步确定物体的位置，发展测量（包括估测）、识图 、作图等技能。
● 经历收集、整理、描述和分析数据的过程，掌握一些数据处理技能；体验事件发生的等可能性、游戏规则的公平性，能计算一些简单事件发生的可能性。
●经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用 代数式、方程、不等式、函数等进行描述。
●经历探索物体与图形的基本性质、变换、位置关系的过程，掌握三角形、四边形、圆的 基本性质以及平移、旋转、轴对称、相似等的基本性质，初步认识投影与视图，掌握基本的 识图、作图等技能；体会证明的必要性，能证明三角形和四边形的基本性质，掌握基本的推理技能。
●从事收集、描述、分析数据，作出判断并进行交流的活动，感受 抽样的必要性，体会用 样本估计总体的思想，掌握必要的数据处理技能；进一步丰富对概率的认识，知道频率与概率的关系，会计算一些事件发生的概率。
数学思考
●能运用生活经验，对有关的数字信息作出解释，并初步学会用具体的数描述现实世界中的简单现象。
●在对简单物体和图形的形状、大小、位置关系、运动的探索过程中 ，发展空间观念。
●在教师的帮助下，初步学会选择有用信息进行简单的归纳与类比。
●在解决问题过程中，能进行简单的、有条理的思考。
● 能对现实生活中有关的数字信息作出合理的解释，会用数、字母和图表描述并解决现实世界中的简单问题。
●在探索物体的位置关系、图形的特征、图形的变换以及设计图案的 过程中，进一步发展空间观念。
●能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。
●在解决问题过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理 性作出有说服力的说明。
● 能对具体情境中较大的数字信息作出合理的解释和推断，能用代数式、方程、不等式、函数刻画事物间的相互关系。
●在探索图形的性质、图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互 转换等活动过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉。
●能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测。
●能用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度或推 翻猜想。
●体会证明的必要性，发展初步的演绎推理能力。
解决问题
●能在教师指导下，从日常生活中发现并提出简单的数学问题。
●了解同一问题可以有不同的解决办法。
●有与同伴合作解决问题的体验。
●初步学会表达解决问题的大致过程和结果。
●能从现实生活中发现并提出简单的数学问题。
●能探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其他方法。
●能借助计算器解决问题。
●在解决问题的活动中，初步学会与他人合作。
●能表达解决问题的过程，并尝试解释所得的结果。
●具有回顾与分析解决问题过程的意识。
●能结合具体情境发现并提出数学问题。
●尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异。
●体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性。
●能用文字、字母或图表等清楚地表达解决问题的过程，并解释结果 的合理性。
●通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
情感与态度
●在他人的鼓励与帮助下，对身边与数学有关的某些事物有好奇心，能够积极参与生动、直观的数学活动。
●在他人的鼓励与帮助下，能克服在数学活动中遇到的某些困难，获 得成功的体验，有学好数学的信心。
●了解可以用数和形来描述某些现象，感受数学与日常生活的密切联系。
●经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性。
● 在他人的指导下，能够发现数学活动中的错误并及时改正。
●对周围环境中与数学有关的某些事物具有好奇心，能够主动参与教师组织的数学活动。
●在他人的鼓励与引导下，能积极地克服数学活动中遇到的困难，有 克服困难和运用知识解 决问题的成功体验，对自己得到的结果正确与否有一定的把握，相信自己在学习中可以取得不断的进步。
●体验数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以借助数学 方法来解决，并可以借助数学语言来表述和交流。
●通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。
●对不懂的地方或不同的观点有提出疑问的意识，并愿意对数学问题 进行讨论，发现错误能及时改正。
●乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，能够在数学活动中发挥积极作用。
●敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问 题的成功体验，有学好数学的自信心。
●体验数、符号和图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决 实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
●认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想，体验数学 活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。
●在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。
第三部分 内容标准
本部分分别阐述各个学段中“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”四个领域的内容标准。
“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。
“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间并进行交流的重要工具。
“统计与概率”主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，它通过对数据收集、整理、描述和分析以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。
“实践与综合应用”将帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”内容的理解，体会各部分内容之间的联系。
内容结构表
学段
第一学段（1～3年级）
第二学段（4～6年级）
第三学段（7～9年级）
数与代数
●数的认识
●数的运算
●常见的量
●探索规律
●数的认识
●数的运算
●式与方程
●探索规律
●数与式
●方程与不等式
●函数
空间与图形
●图形的认识
●测量
●图形与变换
●图形与位置
●图形的认识
●测量
●图形与变换
●图形与位置
●图形的认识
●图形与变换
●图形与坐标
●图形与证明
统计与概率
●数据统计活动初步
●不确定现象
●简单数据统计过程
●可能性
●统计
●概率
实践与综合应用
●实践活动
●综合应用
●课题学习
第三学段（7～9年级）
一、数与代数
在本学段中，学生将学习实数、整式和分式、方程和方程组、不等式和不等式组、函数等知识，探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，发展符号感，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。
在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重使学生经历从 实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系，介绍有关代数内容的几何背景；应避免繁琐的运算。
(一)具体目标
1．数与式
（1）有理数
① 理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。
② 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不 含字母）。
③ 理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。
④ 理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。
⑤ 能运用有理数的运算解决简单的问题。
⑥ 能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。［参见例1］
（2）实数
① 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
② 了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某 些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
③ 了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应。
④ 能用有理数估计一个无理数的大致范围。［参见例2］
⑤ 了解近似数与有效数字的概念；在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问 题的要求对结果取近似值。
⑥ 了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则 运算(不要求分母有理化)。
（3） 代数式
① 在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义。
② 能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示。［参见例3与例4］
③ 能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。［参见例5］
④ 会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值 进行计算。
（4）整式与分式
① 了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
② 了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算（ 其中的多项式相乘仅指一次式相乘）。
③ 会推导乘法公式：（a＋b）（a－b）= a2－b2；（a＋b）2 = a2＋2ab＋ b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
④ 会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
⑤ 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、 乘、除运算。［参见例6］
2．方程与不等式
（1）方程与方程组
① 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数 学模型。
② 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。［参见例7］
③ 会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中 的分式不超过两个）。
④ 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的 一元二次方程。
⑤ 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
（2）不等式与不等式组
① 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
② 会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组 成的不等式组，并会用数轴确定解集。
③ 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单 的问题。
3．函数
（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律［参见例8］
（2）函数
① 通过简单实例，了解常量、变量的意义。
② 能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。
③ 能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。［参见例9］
④ 能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值 。
⑤ 能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。［参见例10］
⑥ 结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。［参见例11］
（3）一次函数
① 结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。
② 会画一次函数的图象，根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解其性质（k＞0或k＜0时，图象的变化情况 ＝。
③ 理解正比例函数。
④ 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
⑤ 能用一次函数解决实际问题。
（4）反比例函数
① 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。
② 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y=kx（k≠0 ）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图象的变化）。
③ 能用反比例函数解决某些实际问题。
（5）二次函数
① 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。
② 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质。
③ 会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决 简单的实际问题。
④ 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
(二)案例
例1 一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响，灾情 将持续一个月。请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少吨粮食？
说明 假如平均一个家庭有4口人，那么20万人需要5万顶帐篷；假如一个 人平均一天需要05千克的粮食，那么一天需要10万千克的粮食……
例2 估计√ 5 -1 与0.5哪个大
2
例3 在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有 如下的近似关系：记录蟋蟀每分叫 的次数，用这个次数除以7，然后再加上3，就得到当时的温度。温度（℃）与蟋蟀每分叫的 次数之间的关系是：
温度 = 蟋蟀每分叫的次数 ÷7+3。
试用字母表示这一关系。
例3 观察下列图形并填表：
梯形个数
1
2
3
4
5
6
……
n
周 长
5
8
11
14
……
，
，
，
例5 对代数式3a作出解释。
说明 如葡萄的价格是3元/千克，买a 千克的葡萄需3a元；或正三角形的 边长为a，这个三角形的周长是3a。
例6 化简： (1)x2-4x+4 ； (2)x-2 x+2
x2-4 x+2 x-2
例7 估计下列方程的解：
（1）x3-9=0； （2）x2+2x-10=0。
例8 5名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一 场，一共需要多少场比赛？10名同学呢？
说明 可以用列举、画图等方法。
例9 小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家90 0米的报亭，母亲随即按原速返 回。父亲看了10分报纸后，用了15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家的时间与距离之间的关系？ 哪一个表示母亲离家的时间与距离之间的关系？
0
10
20
30
40
50
时间/分
0
10
20
30
40时间/分
例10 某书定价8元，如果购买10本以上、超过10本的部分打八折。试分析并表达出购书数量与付款金额之间的关系。
例11 填表并观察下列两个函数的变化情况：
x
1
2
3
4
5
……
y1=50+x
，
，
，
，
，
，
Y2=5x
，
，
，
，
，
，
（1）在同一个直角坐标系中画出上面两个函数的图象，比较它们有什么不同；
（2）当x从1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达100。
二、空间与图形
在本学段中，学生将探索基本图形（直线形、圆）的基本性质及其相互关系，进一步丰富对空间图形的认识和感受，学习平移、旋转、对称的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用，学习运用坐标系确定物体位置的方法，发展空间观念。
推理与论证的学习从以下几个方面展开：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化 思想。
在教学中，应注重所学内容与现实生活的联系，注重使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程；应注重对证明本身的理解，而不追求证明的数量和技巧。证明 的要求控制在《标准》所规定的范围内。
（一）具体目标
1．图形的认识
(1) 点、线、面
通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由 点组成的）。
（2）角
①通过丰富的实例，进一步认识角。
②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行 简单换算。
③了解角平分线及其性质【1】
（3）相交线与平行线
①了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④了解线段垂直平分线及其性质【1】 。
⑤知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。
⑥知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
⑦体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
（4）三角形
①了解三角形有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画出任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性。
②探索并掌握三角形中位线的性质。
③了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。
④了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质【2】和一个三角 形是等腰三角形的条件［3］；了解等边三角形的概念并探索其性质。
⑤了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质［4］和一个三角形是直角三角形的条件［5］
⑥体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
（5）四边形
① 探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念。
② 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系 ；了解四边形的不稳定性。
③探索并掌握平行四边形的有关性质［１］和四边形是平行四边形的条件［2］ 。
④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质［3］和四边形是矩形、菱形、正方形的条件［4］。
⑤探索并了解等腰梯形的有关性质［5］和四边形是等腰梯形的条件。［6］
⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木板的重心）。
⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面， 并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
（6）圆
①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。
②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
③了解三角形的内心和外心。
④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。
⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。
（7）尺规作图
① 完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线。
② 利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形； 已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。
③ 探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
④ 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明）。
（8）视图与投影
① 会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图 ），会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
② 了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
③了解基本几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系；通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）。
④观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等)，了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)。
⑤通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎么形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴 影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）。
⑥了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示。
⑦通过实例了解中心投影和平行投影。
2．图形与变换
（1）图形的轴对称
①通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
②能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。［参见例1］
③探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质。
④欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计。
（2）图形的平移
①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质，理解对应点连线平行且相等的性质。
②能按要求作出简单平面图形平移后的图形。
③利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用。
（3）图形的旋转
①通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
② 了解平行四边形、圆是中心对称图形。
③ 能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
④ 欣赏旋转在现实生活中的应用。
⑤ 探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。［参见例2和例3］
⑥ 灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
（4） 图形的相似
① 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
② 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方。
③ 了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。
④ 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。
⑤ 通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（ 如利用相似测量旗杆的高度）。
⑥ 通过实例认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°， 60°角的三角函 数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角。
⑦ 运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
3．图形与坐标
（1） 认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、 由点的位置写出它的坐标。［参见例4］
（2） 能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。［参见例5］
（3） 在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化。［参见例6］
（4） 灵活运用不同的方式确定物体的位置。［参见例7］
4．图形与证明
（1）了解证明的含义
① 理解证明的必要性。
② 通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。
③ 结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
④ 通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的。
⑤ 通过实例，体会反证法的含义。
⑥ 掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据。
（2）掌握以下基本事实，作为证明的依据
① 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。
② 两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。
③ 若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全 等。
④ 全等三角形的对应边、对应角分别相等。
（3）利用（2）中的基本事实证明下列
命题［1］1
① 平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）。
② 三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大 于任何一个和它不相邻的内角）。
③ 直角三角形全等的判定定理。
④ 角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）。
⑤ 垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）。
⑥ 三角形中位线定理。
⑦ 等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。
⑧ 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。
（4）通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值
(二)案例
例1 以树干为对称轴，画出树的另一半。
例2 请说出下面乙树是怎样由甲树变换得到的。
例3 观察下面的图案，它可以看成是由哪个图形经过 怎样的变换产生的？
例4 在坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连 接起来：
① （2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），（4，6），
（2，6），（1，8），（0，6），（0，2），（2，0）；
② （1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；
③ （1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；
④ （4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）；
⑤ （3，3）。
观察这个图形，你觉得它像什么？
例5 下图是某市旅游景点的示意图。试建立直角坐标系 ，用坐标表示各个景点的位置：
例6 如图所示，在直角坐标系下，图1中的图案“A”经过变换分别变成图2至图6中的相应图案（虚线对应于原图案），试写出图2至图6中各顶点的坐标，探索每次变换前后图案发生了什么变化、对应点的坐标之间有什么关系。
例7 张坚在某市动物园的大门口看到这个动物园的平面示意图（如下图）。试借助刻度尺、量角器解决如下问题：
（1）建立适当的直角坐标系，用坐标表示猴山、驼峰、百鸟园的位置；
（2）填空：
百鸟园在大门的北偏东 度的方向上，到大门的图上距离约为 厘米；
熊猫馆在大门的北偏 度的方向上，到大门的图上距离约为 厘米；
驼峰在大门的南偏 度的方向上，到大门的图上距离约为 厘米。
说明 本题旨在让学生体会除用直角坐标系描述物体的位置外，还可以选定某个参照物和某个方向，用距离和角度来刻画物体的位置。
三、统计与概率
在本学段中，学生将体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。
在教学中，应注重所学内容与日常生活、自然、社会和科学技术领域的联系，使学生体会统计与概率对制定决策的重要作用；应注重使学生从事数据处理的全过程，根据统计结果作出合理的判断；应注重使学生在具体情境中体会概率的意义；应加强统计与概率之间的联系；应避免将这部分内容的学习变成数字运算的练习，对有关术语不要求进行严格表述。
(一)具体目标
1．统计
（1）从事收集、整理、描述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据。
（2）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可 能得到不同的结果。［参见例1］
（3）会用扇形统计图表示数据。
（4）在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数 据的集中程度。
（5）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散 程度。［参见例2］
（6）通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题。
（7）通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差。
（8）根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流。
（9）能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法 。
（10）认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。［ 参见例3］
2．概率
（1）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。［参见例4和例5］
（2）通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值。［参见例6］
（3）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。［参见例7］
(二)案例
例1 电视台需要在本市调查某节目的收视率，每个看电 视的人都要被问到吗？对一所大学学生的调查结果能否作为该节目的收视率？你认为对不同社区、年龄层次、文化背景的人所 做的调查结果会一样吗？
例2 下面是两个水果店1至6月份的销售情况（单位 ：千克），比较两个水果店销售量的稳定性。
，
1月
2月
3月
4月
5月
6月
甲商店
450
440
480
420
580
550
乙商店
480
440
470
490
520
520
例3 统计某商店一个月内几种商品的销售情况，对这个商店的进货提出你的建议。
例4 一个袋中装有2个黄球和2个红球，任意摸出一个球后放回，再任意摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。
例4 如图转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率。
例6 通过实验获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的频率。
例7 一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定 会中奖吗?
四、课题学习
在本学段中，学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解 决问 题的意识和能力；同时，进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系。
在前两个学段的基础上，教学时应引导学生结合生活经验提出课题、积极地思考所面临的课题、清楚地表达自己的观点并能够解决一些问题。
(一)具体目标
1．经历“问题情境-建立模型-求解-解释与应用”的基本过程。
2．体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识。
3．获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识。
4．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
(二)案例
例 用一张正方形的纸制作一个无盖的长方体，怎样制作使得体积较大？
说明 这是一个综合性的问题，学生可能会从以下几个方面进行思考：① 无盖长方体展开后是什么样？②用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？③制成的 无盖长方体的体积应当怎样去表达？④什么情况下无盖长方体的体积会较大？⑤如果是用一 张正方形的纸制作一个有盖的长方体，怎样去制作？制作过程中的主要困难可能是什么？
通过这个主题的学习，学生进一步丰富自己的空间观念，体会函数思想以及符号表示在实际问题中的应用，进而体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型、综合应用已有的知识解决问题的过程，并从中加深对相关知识的理解、发展自己的思维能力。
第四部分 课程实施建议
第三学段（7～9年级）
一、教学建议
数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。
数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促使学生在教师指导下 生动活泼地、主动地、富有个性地学习。
在教学活动中，教师应发扬教学民主，成为学生数学活动的组织者、引导者、合作者；要善 于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；要关注学生的个体差异，有效地实施有差 异的教学，使每个学生都得到充分的发展；要重视现代教育技术在教学中的应用，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益。
(一)让学生经历数学知识的形成与应用过程
本学段的教学应结合具体的数学内容采用“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力，增强学好数学的愿望和信心。
抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。比如函数概念，不应只关注对其表达式、定义域和值域的讨论，而应选取具体实例，使学生体会函数能够反映实际事物的变化规律。
例1 已知摄氏温度（℃）和华氏温度（）有如下关系：
摄氏温度/℃
0
10
20
30
40
50
华氏温度/
32
50
68
86
104
122
在平面直角坐标系中，通过描点观察点的分布情况，建立满足上述关系的函数表达式。
教学中，可指导学生开展如下的活动：
①描点：根据表中的数据在平面直角坐标系中描出相应的点。
②判断：判断各点的位置是否在同一直线上。（可以用直尺去试，或顺次连接各点，观察所有的点是否在同一直线上）
③求解：在判断出这些点在同一直线上的情况下，选择两个点的坐标，求出一次函数的表达式。
④验证：验证其余的点的坐标是否满足所求的一次函数表达式。
教师要引导学生在数学知识和方法的应用中，体会数学的价值，增强用数学的意识。如引导学生用变换的观点解释现实世界中与图形有关的现象，欣赏某些建筑物的对称美；
让学生自己利用所学知识设计图案。
又如，教师可以引导学生运用统计与概率的知识讨论下面的问题。
例2 有一则广告声称：“有75%的人使用本公司的产品。”你听了这则广告后有什么想法？
通过对这个问题的讨论，学生可以知道对广告中75%这样的数据，要应用统计的观念去分析。比如，样本是如何选取的、样本的容量多大等。若该公司调查了4个人，其中有3个人用了这个产品，就说“有75%的人使用本公司的产品”，这样的数据显然不可信。因此应对这个数据的真实性、可靠性提出质疑。
(二)鼓励学生自主探索与合作交流
有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。
本学段数与代数的内容中充满了用来表达各种数学规律的模型，如代数式、方程、函数、不等式等。因此，在教学过程中应该让学生充分地经历探索事物的数量关系、变化规律的过程。
例3 完成下列计算：
1+3=？
1+3+5=？
1+3+5+7=？
1+3+5+7+9=？
根据计算结果，探索规律。
教学中，首先应让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历观察（每个算式 和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同）、归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程。教学中，不要仅注重学生是否找到了规律，更应关注学生是否进行了思考。如果学生一时未能独立发现其中的规律，教师可以鼓励学生相互合作交流，进一步探索，教师也可以提供一些帮助。如列出如下点阵，以使学生从数与形的联系中发现规律：
进而鼓励学生推测出1+3+5+7+9+…+19=102。
此后，教师还可以根据学生的实际情况，把这个问题进一步推广到一般的情形，推出1+3+5+ 7+…+（2n-1）= n2，当然应该认识到这个结论的正确性有待进一步证明。
本学段空间与图形的内容（如图案的欣赏与设计，图形的基本性质，视图等）的教学，可以 组织学生进行观察、操作、猜测、推理等活动，并交流活动的体验，帮助学生积累数学活动 的经验，发展空间观念和有条理地思考。
例4 组织学生进行如下活动：
（1） 用硬纸片制作一个角；
（2） 把这个角放在白纸上，描出∠AOB（如图）；
（3）再把硬纸片绕着点O旋转180°，并画出∠A′OB′；
（4）探索从这个过程中，你能得到什么结论。
通过操作、观察，每个学生都可能发现如下的某些结论：OA与OA′，OB与OB′是一条直线 ；∠ AOB与∠A′OB′是对顶角，∠AOB与∠A′OB′的大小相等，还可能发现：∠BOA′与∠B′OA 也是对顶角，也相等；∠AOB与∠A′OB互补，……
在这样的活动中，学生不仅能主动地获取知识，而且能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习。
(三)尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要
学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。教师要及时了解并尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要。
教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平。问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与 ，提出各自解决问题的策略，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，丰富数学活动 的经验，提高思维水平。
对学习有困难的学生，教师要给予及时的关照与帮助，要鼓励他们主动参与数学学习活动，尝试着用自己的方式去解决问题，发表自己的看法；教师要及时地肯定他们的点滴进步，对出现的错误要耐心地引导他们分析其产生的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信心。对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。
(四)应关注证明的必要性、基本过程和基本方法
“证明”的教学所关注的是，对证明必要性的理解，对证明基本方法和证明过程的体验，而不是追求所证命题的数量、证明的技巧。具体来说，包括如下几个方面。
在命题教学中，应通过生活和数学中的实例来说明什么是命题；能够区分一个简单命题的真伪，能够用反例来判定一个命题是假命题；对几何中的一些基本命题，应该要求学生能够画 出相应的图形，并逐步学会用符号来表示命题。
在证明的教学中，首先，应通过生活、代数和几何中的具体例子使学生认识到，有些命题可以通过观察和实验得到并获得大家的认可，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性；其次，应该使学生理解证明的基本要求，有条理地阐述自己的 想法，知道推理必须有依据，证明过程的表述必须条理清楚。
反证法也是一种重要的证明方法，教学中可以通过生活实例和简单的数学例子，使学生体会反证法的思想。但在义务教育阶段不必给出反证法的证明格式。
在教学中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察 、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这十分有利于学生对证明的全面理解；使用较规范的数学语言表述论证的过程，有利于学生清晰而有条理地表 达自己的观点并理解他人的思想；组织学生探索证明的不同思路，并进行适当的比较和讨论，这有利于开阔学生的视野；提供一些具有实际背景的命题，增加论证的趣味性，有助于激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合证法的信心。
(五)注重数学知识之间的联系，提高解决问题的能力
教学中应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学之间的联系，感受数学的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力。
例5 准备多个长方形和正方形卡片（如下图）:
①教师任意写出一个关于a和b的二次式，此二次式需能分解成两个一次因式的乘积，且各项系数都是正整数，如a2+2ab+b2， a2+4ab+4b2， 2a2+5ab+2b2等；
②学生根据教师给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个矩形；
③讨论该矩形的代数意义；
④由学生随意选取适当种类和数量的卡片，拼接成不同尺寸的矩形，回答该矩形表达的代数公式。
学生在这一活动中，将体会代数与几何之间的联系。
本学段还可以通过课题学习的内容，使学生经历“问题情境-建立模型-解释、应用与拓展”"的解决问题的过程，发展自己的思维能力，获得一些研究问题的经验和方法。
例6 调查本校学生的课外活动情况。
面对这个比较复杂的课题，一定要给学生以足够的时间和空间进行充分的探索和交流。
学生首先需要讨论的问题是用什么数据来刻画课外活动的情况，是采用课外活动的时间、课外活动的种类和参加各种活动的人数，还是选择其他标准。通过大家的讨论，可以选择一个或多个标准进行刻画。
然后，学生将讨论如何调查和收集数据。在讨论的过程中，学生可能有不同的意见：有的主张要调查全校所有学生；有的认为只要调查一部分学生，“用样本来推断总体”。如果有学 生坚持调查全校学生，教师则可以举“要了解一批灯泡的寿命”这样的例子说明抽样的必要性，或者也可以让这些学生实际操作一下，体会收集全校学生的数据是一件比较困难的事情 。
接着的问题是“可以调查哪些人呢?”对此，学生可能有很多想法，如调查本班的同学，调查在操场上打球的学生，在校门口随便找一些同学，每年级男生、女生按比例各抽几个人，按各班名册随便点几个人等等。对这些办法不要急于肯定或否定，应让学生通过实际操作和充 分讨论，认识到不同的样本得到的结果可能不一样，进而可以组织学生深入讨论：从这些解释中能作出什么推断？能想办法证实或反驳由这些数据得来的结论吗？根据这个学段的特点，教学的重点应放在对样本代表性的感受，以及样本对结果的影响上，至于如何得到随机样本，如何确定适合的样本容量则不作为教学要求。
这是一个开放的课题，学生需要走出课堂进行调查，感兴趣的学生不但可以调查全校学生的情况，还可以通过查资料等多种途径获得全市学生、全国学生甚至其他国家学生课外活动的情况。学生还可以调查本校的其他情况，为学校制定决策提供依据。
(六)充分运用现代信息技术
教师应当在学生理解并能正确应用公式、法则等进行计算的基础上，指导学生用计算器完成较为繁杂的计算。在课堂教学、课外作业、实践活动以及考试中，应当允许学生使用计算器，还应鼓励学生用计算器进行探索规律等活动。
有条件的地区，教学中要尽可能地使用函数计算器、计算机以及有关软件，这种现代教育手段和技术将有效地改变教学方式，提高教学的效益。如利用计算机展示函数图象、几何图形及其变换过程并研究其性质；从数据库上获得数据，并绘制表示同一组数据的不同图表，使学生能选择适当的图象描述数据；计算机还可以产生足够的模拟结果，帮助学生更好地体会事件发生概率的意义。
二、评价建议
评价的目的是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展 。 评价也是教师反思和改进教学的有力手段。
对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度 的形成和发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。 评价的手段和形式应多样化，要将过程评价与结果评价相结合，定性与定量相结合，充分关 注学生的个性差异，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。 教师要善于利用 评价所提供的大量信息，适时调整和改善教学过程。
(一)注重对学生数学学习过程的评价
对学生数学学习过程的评价，包括参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识，以及独 立思考的习惯、数学思考的发展水平等方面。如
● 是否积极主动地参与学习活动；
● 是否有学好数学的自信心，能够不回避遇到的困难；
● 是否乐于与他人合作，愿意与同伴交流各自的想法；
● 是否能够通过独立思考获得解决问题的思路；
● 能否找到有效地解决问题的方法，尝试从不同的角度去思考 问题；
● 是否能够使用数学语言有条理地表达自己的思考过程；
● 是否理解别人的思路，并在与同伴交流中获益；
● 是否有反思自己思考过程的意识；
……
学生可以通过建立自己的成长记录，反思自己的数学学习的情况和成长的 历 程。在成长记录中可以收录：
● 自己特有的解题方法；
● 印象最深的学习体验；
● 最满意的作业；
● 探究性活动的记录；
● 单元知识总结；
● 提出的有挑战性的问题；
● 最喜欢的一本书；
● 自我评价与他人评价；
……
成长记录中的材料应由学生自主选择，材料要真实并定期加以更新。根据 本学段学生的特点，对于选择的或更新的材料，学生要给予一定的说明。比如学生放入新的 作业以代替原来的作业时，要说明理由，如果是因为这次比上次做得好的话，还应说明取得 进步的原因。教师要引导学生适时反思自己的成长情况，如实现了哪些学习目标、获得了哪 些进步、自己作品的特征、解决问题的策略、还需要在哪方面进行努力等，并组织学生在班 上进行展示和交流。
建立数学成长记录可以使学生比较全面地了解自己的学习过程，特别 是感受自己的不断成长与进步，这有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学 习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据。
(二)恰当评价学生的基础知识与基本技能
本学段对基础知识和基本技能的评价，应遵循《标准》的基本理念，以本学段的知识与技能 目标为基准，考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。应当强调的是，学段目标 是本学段结束时学生应达到的基本要求，因此如果学生自己对某次考试的结果不满意，学校 应创造条件允许学生有再次考试的机会。这种“推迟判断”淡化了评价的甄别功能，尊重 了学生之间的个体差异，为不同学生的发展创造了条件。特别是对学习有困难的学生，这种 "推迟判断"能让他们看到自己的进步，获得成功的喜悦，从而激发新的学习动力。
对基础知识和基本技能的评价应结合实际背景和解决问题的过程，更多地关注对知识本身意 义的理解和在理解基础上的应用。
对数与代数学习的评价，应主要考查学生对概念、法则及运算的理解与运用水平，不应单 纯地考察对知识的记忆，对于运算的评价不能过分要求技巧。
对空间与图形学习的评价，应主要考查学生对基本几何事实的理解、空间观念的发展以及合情推理的能力和初步演绎推理能力的获得。对证明部分的评价，应关注学生对证明意义的 理解以及证明的过程是否步步有据。
对于统计与概率学习的评价，重点应放在考查学生能否在具有现实背景的活动中应用统计与概率的知识与技能，是否具有统计观念。
在本学段中，书面考试的比重较前两学段有所增加，评价时应将书面考试与其他评价方式有机结合。 在采用书面考试时，要按照《标准》的要求，避免偏题、怪题和死记硬背的题目；要设计结合现实情景的问题，以考查学生对数学知识的理解和运用所学知识解决问题的能力；要控制客观题型的比例，设置一些探索题与开放题，以更多地暴露学生的思维过程，对于这些问题，应允许学生有比较充裕的时间回答。
例1 一个由3个大人和4个孩子组成的家庭去某地旅游。甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的3/4优惠。这两家旅行社的原价均为每人100元。这个家庭选择哪家旅行社所花的费用少？比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？
这个例子主要考查一次函数、不等式解法等内容，但它并非将考查的重点放在对概念的记忆 和技能的模仿上，而是提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识 的理解和运用所学知识解决问题的能力。同时，这个问题也为学生构思自己的解题思路留下了空间，通过对学生解决问题过程的评价，教师既能考查学生掌握有关知识技能的情况，还可以了解学生的思维特点。
(三)重视对学生发现问题、解决问题能力的评价
本学段对学生发现问题、解决问题能力的评价主要包括：
● 能否结合具体情境发现并提出数学问题；
● 能否尝试从不同角度分析和解决问题；
● 能否体会到与他人合作解决问题的重要性；
● 能否用文字、字母、图表等清楚地表达解决问题的过程，并尝试运用不同的方式进行表达；
● 能否解释结果的合理性；
● 能否对解决问题的过程进行反思，获得解决问题的经验。
例2 下表是某月的月历：
，
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
，
，
（1）阴影方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（2）这个关系对其他方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
（3）这个关系对任何一个月的月历都成立吗？为什么？
（4）你还能提出哪些问题？
针对上面的例题，在评价学生提出问题时，首先应关注学生提出问题的积极性；其次要关注学生提出问题的深度和广度，如有的学生可能会提出阴影方框中9个数之间是否存在其他关系，有的同学可能会进一步提出月历中其他数之间是否存在着关系。在评价学生解决问题时，主要应关注学生是否积极思考，尝试从月历中发现规律；能否用代数式准确地表达自己发现的规律；是否有意识地对所发现的规律加以验证；能否清晰、有条理地与同伴进行交流，并从交流中获益；是否有意识地反思自己解决问题的过程。对于学生提出的问题和解决问题的方法，教师要给予鼓励与引导，并随时观察记录。
(四)评价主体和方式要多样化
要将自我评价、学生互评、教师评价、家长评价和社会有关人员评价结合起来。评价方式应当多种多样，既可采用书面考试、口试、作业分析等方式，也可采用课堂观察、课后访谈、大型作业、建立成长记录袋、分析小论文和活动报告等方式。
每种评价方式都有自己的特点，评价时应结合评价内容与学生学习特点加以选择。比如要考查学生基础知识和基本技能的掌握情况，可以采用书面考试等形式；要考查学生思维的深刻性及与他人合作交流的情况，可以采用开展长周期作业等方式；要考查学生在一段学习过程中获得的进步，可以采用建立成长记录等方式。无论采用何种方式，都应以激励学生学习、促进学生发展为目的。
教师在日常教学中应重视对学生的观察，主要可以观察几个方面：基础知识与基本技能的掌握状况，在学习过程中的主动性、独立思考与认真程度，解决问题的能力，与他人合作交流的情况等。
(五) 评价结果要采用定性与定量相结合的方式呈现
在呈现评价结果时，应重视定性评价的作用，采用定性与定量相结合的方法。
定量评价可采 用百分制或等级制的方式，要将评价结果及时反馈给学生，但不能根据分数排列名次。 教师要充分意识到“数排名榜”在给一小部分学生注入学习动力的同时，留给更多学生的是焦虑、打击与恐惧。
定性评价可采用评语的形式，在评语中应使用鼓励性语言客观、较为全面地描述学生的学习状况，充分肯定学生的进步和发展，更多地关注学生已经掌握了什么、获得了哪些进步、具备了什么能力、在哪些方面具有潜能，并帮助学生明确自己的不足和努力的方向。使评价结果 有利于学生树立学习数学的自信心，提高学习数学的兴趣，促进学生的进一步发展。
第三学段学生的个性特征更加凸显，评价应充分考虑这种差异，努力使每一个学生都能得到成功的体验。为此，可以通过设计开放式的问题，反映学生不同的学习特点。教师在评价时应根据《标准》的基本要求和学生的答题情况，确定合格标准。同时，对学生中出现的独特的想法或结论给予鼓励性评价。
三、教材编写建议
教材为学生的学习活动提供了基本线索，是实现课程目标、实施教学的重要资源。教材编写应以《标准》为依据，所选择的素材应尽量来源于自然、社会与科学中的现象和实际问题，应当反映一定的数学价值，能够表现出不同内容之间的相互联系。教材内容的编排和呈现要 突出知识的形成与应用过程；应引导学生从已有的知识和经验出发，进行自主探索与合作交流，并在学习过程中逐步学会学习；应关注对学生人文精神的培养。教材的编写还要有利于调动教师的主动性和积极性，鼓励教师进行创造性教学。重要的数学概念与数学思想的呈现应体现螺旋上升的原则，逐步加深学生对数学知识、思想和方法的理解。
考虑到不同学生之间的差异，在贯彻《标准》的基本理念和保证《标准》规定的基本要求的前提下，教材编写应体现出自己的风格和特色，并具有一定的弹性。教材编写时，应充分考虑与其他课程资源的开发和利用相结合。
(一) 选取自然、社会与其他学科中的素材
本学段学生的活动空间比第一、二学段有了较大的扩展，学生感兴趣的问题已拓广到客观世界的许多方面，他们逐渐关注来源于自然、社会与其他学科中更为广泛的现象和问题，对具有一定挑战性的内容表现出更大的兴趣。教材所选择的素材应尽量来源于自然、社会与科学中的现象和问题，应当反映一定的数学价值。
例如，对于统计与概率的内容，在教材编写时应提供足够的现代社会生活中的实例。既可以从报刊杂志、电视广播、计算机网络等方面寻找素材，也可以从学生的生活实际中提取他们感兴趣的问题，如对学校周围道路交通状况（运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等 ）的调查、对本地资源与环境的调查、对自己所喜爱的体育比赛的研究、讨论歌手大赛中为什么要去掉一个最高分和最低分、讨论有奖销售等问题。这样的素材能引导学生更多地着眼 于对实际问题的探索，理解概念的实际意义，在学习数学的同时更好地认识现实世界。
例1 调查学校附近一个人行横道的人流情况，你能就这个人行横道的安全性和便利性提出改进意见吗？设计一个调查方案，然后分组进行调查，并在全班交流各组的调查报告。
(二)给学生提供探索与交流的空间
本学段的学生独立思考和探索的愿望和能力有所提高，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。教材编写时应注意体现这个特点，提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等活动。
教材可以设置具有挑战性的问题情境，激发学生进行思考；提出具有一定跨度的问题串引导学生进行自主探索；通过“与同学交流你的想法”等语言鼓励学生进行交流；提供一些开放性（在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的知识；适当提供需要学生合作交流来解决问题的活动，如设置探究课题、社会调查等，使学生经历多角度认识问题、多种形式表现问题、多种策略思考 问题、尝试解释不同答案合理性的活动，以发展其创新意识和实践能力；提出一些问题，引导学生对学习过程进行监控和反思。
例2 探索规律。
（1）计算并观察下列每组算式：
8×8＝5×5＝12×12＝
7×9＝ 4×6＝11×13＝
（2）已知25×25=625，那么 24×26=？
（3）你能举出一个类似的例子吗？
（4）从以上的过程中，你发现了什么规律，你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？
（5）你能证明自己所得到的规律吗？
这个例子通过设置问题串，使学生经历了根据特例进行归纳、建立猜想、用数学符号表示，并给出证明这一重要的数学探索过程。
学生空间观念的培养、推理能力的发展、对图形美的感受等都建立在经历观察、操作、猜测 、推理、交流等活动的基础上，教材要充分展现这些过程。例如，在安排轴对称内容时，教材可以呈现徽标、枫叶、雪花等多种图案让学生观察；探索一些图案中蕴涵的轴对称关系； 提供根据轴对称进行图案设计的活动；通过阅读材料等，介绍相关的一些科学道理（如飞机、轮船的对称能使飞机、轮船在航行中保持平衡；建筑上的对称多半是为了美观，但有时也 考虑到使用上的方便和受力平衡等问题）；利用对称解决一些有趣的问题。
例3 某汽车的车牌倒映在水中，你能根据水中的影子确定该车的牌照号码吗？
在学习基本图形基本性质的证明时，教材要设计一系列问题使学生认识到证明的必要性，探索证明的思路，体验证明的过程要步步有据。
(三) 体现数学知识的形成与应用过程
本学段的教材应体现从具体的问题情境中抽象出数学问题、使用各种数学语言表达问题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有意义的学习过程。 教材中学习素材的呈现力求体现“问题情境-建立数学模型-解释、应用与拓展”的模式，围 绕所要学习的数学主题，选择有现实意义的、对学生具有一定挑战性的、能够表现重要数学意义、有利于学生一般能力发展的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立并求解包含该主题的数学模型，判断解的合理性并将所学的主题应用到其他场合，进而获得相应的 数学知识、方法与技能，为有需要的学生提供进一步了解该主题的途径。通过上述的过程， 学生将逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，获得对数学较为全面的体验与理解。
例如，在数与代数中，学生将学习方程、不等式、函数等内容，它们是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地描述和把 握现实世界，编写上述内容的教材时，要体现出数学建模的过程。如教材可以从生活中常见 的“梯子问题”出发，引导学生进行讨论，获得“一元二次方程”的模型和近似解：
例4 一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米。如果梯子的顶端下滑1米，那么
（1） 猜一猜，底端也将滑动1米吗？
（2） 列出底端滑动距离所满足的方程。
（3） 你能尝试得出这个方程的近似解吗？底端滑动的距离比1大，还是比1小？与同学交流 你的想法。
教材可以再提供一些具体问题中的数量关系，使学生列出有关的一元二次方程，并经历探索 满足方程解的过程，进而产生学习方程一般解法的愿望。在学习了一元二次方程的一般解法后，教材除了要回顾上述的“梯子问题”外，还可以设立下面的开放性问题：例5 在一个长为50米、宽为30米的矩形空地上建造 一个花园，要求种植花草的面积是整块空地面积的一半，请展示你的设计。
这个问题的参与性很强，每个学生都可以展开想像的翅膀，按照自己思考的设计原则， 设计出不同的图案，并尽量使自己的方案定量化，在一些方案的定量化过程中，学生可以体会到一元二次方程在处理数量关系上的作用，认识到解一元二次方程不是一个机械的计算， 得到的结果必须对具体情况是有意义的，需要恰当地选择解和检验解。
(四) 呈现形式要丰富多彩
本学段的学生主要借助字母、图形、文字等多种材料从事数学活动。教材呈现形式应多样化 ，可以将实物照片、素描、文字、表格、图形、字母等多种形式结合起来，使学生积极、主动地参与整个学习过程，加深对所学内容数学意义的理解。如用场景图、实物照片等呈现问 题情境，也可以编排一些有趣的阅读材料，还可以安排多种活动（操作、实验、调查等），使学生的数学学习密切联系现实世界。素材还应蕴涵丰富的数学思想，使学生在学习过程中 发现其中的数学内涵。如为了加深对乘方的理解，教材可以提供生物学中细胞分裂的实例，呈现时可以用细胞分裂图来展示细胞分裂的过程: 每个细胞每次分裂为2个，2个又分裂成 4个，如此下去就构成了1，2，4，8，…这样一组数。这既提高了学生学习数学的兴趣，了解了数学在其他学科中的应用，又加深了对所学知识的理解。
丰富多彩的图形是空间与图形部分的重要学习素材，教材应做到图片与启发性问题相结合，图形与必要的文字相结合，计算与推理相结合，数和形相结合，充分发挥图形直观的作用，使教材图文并茂，富有启发性。
函数是数与代数中的重要内容，函数有多种表示形式（表格、图象、表达式、语言），教材 要提供多种形式表示函数的例子，从多种角度来认识一次函数、二次函数、反比例函数的意义，以加深学生对函数思想的理解。
(五)内容设计要有一定的弹性一方面，教材要按照《标准》中指出的要求，保证学生基础知识和基本技能的获得与一定的训练；另一方面，考虑到学生发展的差异和各地区发展的不平衡性，教材在保证基本要求的前提下，要体现一定的弹性，满足学生的不同需求，使全体学生都能得到相应的发展，同时便于教师发挥创造性。具体的设计方式可以是就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题，以使不同的学生得到不同的发展；提供一定的阅读材料供学生选择阅读；课后习题的选择与编排应突出层次性，可以设置巩固性练习、拓展性练习、探索性问题等多种层次；在设计课题学习时，所选择的课题要使所有的学生都能参与，在全体学生获得必要发 展的前提下，不同的学生可以获得不同的体验；教材可以编入一些拓宽知识的选学内容，但增加的内容应注重数学思想方法，注重学生的发展，有利于学生认识数学的本质与作用，增强对数学的学习兴趣，而不应该片面追求解题的难度、技巧和速度。
教材可以通过设计具体课题和阅读材料等形式引入计算机、函数计算器等教育技术供有条件的学生选择使用，使学生将更多的精力投入到有意义的探索性活动中去。如可以探索一些数量关系、函数的性质、图形的性质；可以做一个图形经过轴对称、平移、旋转后的图形 ；可以利用坐标进行作图，可以从事图案的设计；可以展示丰富多彩的几何图形，可以探索图形的变化规律等；还可以收集数据、处理数据、模拟概率实验等。
(六)重要的数学概念与数学思想宜体现螺旋上升的原则
《标准》中提供的是第三学段最终应达到的目标，根据学生的年龄特征、认知规律与知识特点，在教材编写时，重要的数学概念与思想方法的学习可以遵循逐级递进、螺旋上升的原则，但要避免不必要的重复。例如，前两个学段的教材已经渗透了函数的思想，本学段将出现函数的概念。学生对函数概念的理解也有一个逐步发展的过程，教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的、不断深化的过程，而不宜集中一次学完，这样有利于学生不断加深对函数思想的理解。又如，在各个年级、各个领域中都应设计推理和证明的内容，可以按照提出佐证、说理和证明等层次逐步展开。
(七)重视知识之间的联系与综合
教材要关注数学知识之间的联系，这包括同一领域内容之间的相互连接，也包括选择若干具体内容，体现数与代数、空间与图形、统计与概率之间的实质性关联，展示数学的整体性；教材还应关注数学与现实世界、与其他学科之间的联系。
例如，对于统计与概率的内容，教材应重视渗透统计与概率之间的联系，通过频率来估计事件的概率，通过样本的有关数据对总体的可能性作出估计等。教材还应将统计与概率和其他领域的内容联系起来，从统计与概率的角度为他们提供问题情境，在解决统计与概率问题时自然地使用其他领域的知识和方法，为培养学生综合运用知识解决问题提供机会。
对于数与代数的内容，教材要重视有关内容的几何背景，运用几何直观帮助学生理解、解决有关代数问题。如，根据平面规则点阵中点的排列规律推导相应的整数列的和（如1+3+5+7+…可表示为正方形点阵）；利用图形理解完全平方公式、平方差公式等恒等式；利用函数图 象理解函数的变化趋势。
本学段的课题学习将更多体现活动的探索性和研究性，更多地把数学与社会生活和其他学科知识联系起来，使学生进一步体会不同的数学知识以及数学与外界之间的联系，初步学习研究问题的方法，提高学生的实践能力和创新意识。课题学习的内容不一定在课内完成，教材可以设计一些活动，鼓励学生利用课外时间从事搜集资料、进行调查等活动。
(八)介绍有关的数学背景知识
在对数学内容的学习过程中，教材中应当包含一些辅助材料，如史料、进一步研究的问题、数学家介绍、背景材料等，还可以介绍数学在现代生活中的广泛应用（如建筑、计算机科学、遥感、CT技术、天气预报等），这样不仅可以使学生对数学的发展过程有所了解，激发学生学习数学的兴趣，还可以使学生体会数学在人类发展历史中的作用和价值。辅助材料可以以阅读材料等形式出现。
在数与代数部分，可以穿插介绍代数及代数语言的历史，并将促成代数兴起与发展的重要人物和有关史迹的图片呈现在学生的面前，也可以介绍一些有关正负数和无理数的历史、一些重要符号的起源与演变、与方程及其解法有关的材料（如《九章算术》、秦九韶法）、函数 概念的起源、发展与演变等内容。
在空间与图形部分，可以通过以下线索向学生介绍有关的数学背景知识:介绍欧几里得《原本》，使学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值；介绍勾股定理的几个著名证法（如欧几里得证法、赵爽证法等）及其有关的一些著名问题，使学生感受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵；介绍机器证明的有关内容及我国数学家的突出贡献；简要介绍圆周率π的历史，使学生领略与π有关的方法、数值、公式、性质的历史内涵和现代价值（如π值精确计算已经成为评价电脑性能的最佳方法之一）；结合有关教学内容介绍古希腊及
中国古代的割圆术，使学生初步感受数学的逼近思想以及数学在不同文化背景下的内涵；作为数学欣赏，介绍尺规作图与几何三大难题、黄金分割、哥尼斯堡七桥问题等专题，使学生感受其中的数学思想方法，领略数学命题和数学方法的美学价值。
在统计与概率部分，可以介绍一些有关概率论的起源、掷硬币试验、布丰（Buffon）投针问题与几何概率等历史事实，统计与概率在密码学等方面的应用，这样可以使学生对人类把握随机现象的历程有一个了解，对于学生进一步学习与发展有一定的激励作用。
课程资源的开发与利用数学课程资源是指依据数学课程标准所开发的各种教学材料以及数学课程可以利用的各种教学资源、工具和场所，主要包括各种实践活动材料、录像带、多媒体光盘、计算机软件及网络、图书馆，以及报刊杂志、电视广播、少年宫、博物馆等。教材编写者、学校 管理者、教师和有关人员应因地制宜，有意识、有目的地开发和利用各种资源。以下分别就有关资源的开发和利用提出一些建议。
(一)实践活动材料
为了使学生在课堂中能够充分地参与活动，在活动中更好地理解重要的数学概念和方法，各个学校要充分利用并开发实物材料和设备（如计数器、钉字板、立体模型、校园设施）供学生开展实践活动。
(二)音像资料与信息技术
可以开发录像带、光盘等音像资料，如录制生活中的一些场景作为与学习内容相适应的问题情境；录制数学在科学技术中的应用；录制数学家的生平或故事；录制教学案例供教师讨论。需要注意的是录像带、光盘的内容不能只是简单重复教师在课堂中的讲解。
一切有条件和能够创造条件的学校，都应使计算机、多媒体、互联网等信息技术成为数学课程的资源，积极组织教师开发课件。要充分发挥信息技术的优势，为学生的学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具；为所有学生提供探索复杂问题、多角度理解 数学思想的机会，丰富学生数学探索的视野；为一些有需要的学生提供个体学习的机会，以便于教师为特殊需要的学生提供帮助；为偏远地区的学生提供教学指导和智力资源，更有效 地吸引和帮助学生的数学学习。多媒体技术能为教学提供并展示各种所需的资料，包括文字、声音、图像等，并能随时抽取播出；可以创设、模拟各种与教学内容相适应的情境。互联 网在教学活动中的应用日益广泛，它在获取资源和进行交流等方面的作用和价值越来越表现出来，它将成为一种不可或缺的课程资源。同时，在互联网上还可以找到很多国内外的数学 教育网站。在这些网站中，教师可以收集一些学习素材，下载一些与课程直接相关的内容在教学中应用。有条件的话，教师还应该向学生介绍一些好的网站供学生选择，鼓励并引导学 生通过网络来获取信息，进行交流。
需要注意的是，我们不提倡用计算机上的模拟实验来代替学生能够从事的实践活动（如在计算机上模拟“倒砂子实验”，以使学生理解等底等高的圆柱体和圆锥体体积之间的关系）；我们不提倡利用计算机演示来代替学生的直观想像，来代替学生对数学规律的探索。同时，学校之间要加强交流，共享资源，避免课件的低水平重复，也可以积极引进国外先进的教育软件，并根据本学校学生的特点加以改进。
(三)其他学科的资源
要将数学与其他学科密切联系起来，从其他学科中挖掘可以利用的资源（如自然现象、社会 现象和人文遗产）来创设情境，利用数学解决其他学科中的问题。例如可以展现细胞分裂的过程（1个分裂成2个，再逐步分裂成4，8，16，…），使学生更好地理解平方的概念；可 以让学生通过收集和分析数据，研究影响单摆周期的因素；可以让学生从数学的角度去研究环保问题。
(四)课外活动小组
学校可以开展数学课外小组活动，用以激发学生的学习兴趣，引导学生深入学习，培养学生 的实践能力，发展学生的个性与创新精神。在课外活动小组中，教师还可以向学生提供一些阅读材料，内容可以包括数学在生活中的应用、趣味数学、数学史和数学家的故事、扩展性知识等，用来拓宽学生的学习领域，激发学生学习数学的兴趣。
需要注意的是，课外小组应由学生自愿参加，避免使之成为竞赛的工具。阅读材料的编写要符合学生的认知特征和生活经验，并由学生选择阅读。
(五)图书馆资源
学校图书馆应该基本满足学生课外阅读的需要，这对于扩大学生的知识面，激发学生学习数学的兴趣都起着重要的作用。目前大多数学校的图书馆除了书籍数量太少外，一个主要问题是数学辅导类图书所占的比例太大，这样的局面必须改变。学校还应充分利用校外的图书馆，用以开阔学生的视野，丰富教师的教学资源。
(六)报刊杂志、电视广播等媒体
报刊杂志、电视广播等媒体提供了许多有意义的问题，教材编写者和教师要充分地从中挖掘适合学生学习的素材。教师还可以向学生介绍电视中与数学有关的栏目，组织学生对某些内容进行交流。
(七)社区、少年宫、博物馆等活动场所
学校要充分利用社区、少年宫、博物馆等活动场所，一方面可以从这些场所中寻找合适的学习素材，如学生感兴趣的自然现象和社会问题，一方面可以组织学生开展活动，如参观博物馆中的人文遗产，这样可以激发学生的学习兴趣，培养学生的实践能力。
(八)智力资源
应充分利用学校和社会上的智力资源，如邀请有关专家为学生和教师讲课、就一些问题向专家请教、查阅有关数学教育的国际资料。
为了有效地开发数学课程资源，有必要制定数学课程资源的评价标准，包括鼓励社会参与，规范申报手续，规定课程资源的基本要求（如启发性、创新性、实用性），制定合理价格，鼓励有序竞争等各个方面。