想象力比知识更重要

想 象 力 比 知 识 更 重 要

                              ——浅谈治学之道

              严加安（中科院数学与系统科学研究院）

孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”从做学问的角度，我对孔子这两句话的解读是：首先要对研究的问题有一种探知的欲望或“好奇心”，这就是“知之”；进一步要对研究的问题产生浓厚兴趣，这就是“好之”；再进一步，以钻研问题为乐，是更高的思想境界，就是“乐之”。
关于如何做学问，宋朝大文学家苏轼有句名言：“博观而约取，厚积而薄发”。这里的“博观而约取”是指“在博览群书时要汲取书中的要领和精髓”，这与华罗庚先生一贯主张的“读书要先从薄到厚，再从厚到薄”的思想是一致的。这里“薄发”的原意是“不要随便发表意见”，后人把“厚积薄发”引伸为“从大量的知识或材料积累中提炼出精华部分再著书立说”。
电影“美丽的心灵”的主人公纳什，主要靠他对非合作博弈的4篇论文（总计33页）赢得了诺贝尔经济学奖。我国著名的代数学家曾炯（1897－1940）早年留学德国，他一生中只用德文撰写发表了三篇震动世界数坛的著名论文，就是这三篇论文使得他成为20世纪世界上对近世代数发展有重大贡献的11位代数学家之一。这些都是“厚积薄发”的范例。
我做科研的原则也是“博观约取、厚积薄发”，我的座右铭是：“不求著作等身，但企文章久远”。这就是说，不追求文章的数量和篇幅，而注重文章的质量，力求对有关研究领域做出实质性的贡献，发表后能得到同行关注和引用，最大的愿望是某些结果能够长远留存下来。
令我感到欣慰的是，我在概率论和鞅论中有几个结果实现了后一个目标。我有几篇上世纪80年代发表的论文至今还被文献引用，有30多部国外专著引用了我的论文或著作（或列为参考文献）。我为研究生编写《测度论讲义》一书时也遵从了“博观约取、厚积薄发”的原则，当时我参考了许多国内外有关测度论的专著，汲取了其中的精华部分，同时把自己在科研中感到最有用的测度论结果写进了书中。该书被许多大学用作概率统计研究生教材，至今已6次印刷，发行了15200册。

1.创新
科研工作者从事一项研究时都要力求创新。什么叫创新？不是说别人没做过而你做
了就是创新，创新工作首先必须是重要的工作。在C. R. Rao的《统计与真理》（中译本，科学出版社，2004）这本书中，作者关于创新有如下的论述：“创新可以有不同的种类。最高水平的创新是一种新思想和新理论的产生，这种新思想和新理论……完全不能从已有的理论演绎而成，……另外一种不同水平的创新是指在一个已有法则范围内的新发现，而这种新发现在某个特殊领域内具有巨大的意义”。爱因斯坦的相对论、牛顿和莱布尼茨建立的微积分、美国气象学家罗伦兹的“混沌理论”等就是这种最高水平的创新。绝大多数科研创新工作属于在某个特殊领域内的重大发现。任何创新工作都不是凭空出现的，即使是最高水平的创新也是要基于前人的成果，像爱因斯坦的相对论也是基于先前对光速测量的研究和Lorentz变换等数学理论的。
科研工作如何才能做到某种创新呢？我个人的体会是：首先是要有长期的知识积累，这是创新的基础。例如，我在上世纪80年代中期从鞅论转到白噪声分析研究，能够较快地做出该领域的一些基本结果，得益于我在大学里打下的坚实的泛函分析基础。又如，我在1980年的一篇论文中，将泛函分析中的凸集分离定理灵活应用到了一类由可积随机变量构成的凸集的刻画。这篇论文不仅在当时就被用于简化了半鞅刻画定理的证明，而且在10年后成了金融数学中证明“资产定价基本定理”的一个主要工具，该论文至今还常被金融数学文献引用。我常用“工欲善其事，先必利其器”这一格言劝导我的研究生打好基础，练好基本功。
第二，要选择好你的研究课题。如何选课题呢？最便捷的方法是阅读你所在研究领域由领军人物写的的综述文章，从中了解该领域的研究现状、已有的重要工作和尚未解决的问题，然后再进一步研读那些具有原创性成果的重要文献。选题时要敢于冒风险，要瞄准那些有挑战性的问题。例如，1985年我在法国访问时了解到狄氏型是一个很有发展前途的方向，就写信给当时刚获得博士学位留所工作的马志明同志，请他组织我的两名博士生在讨论班上报告狄氏型专家Fukushima的专著，并把狄氏型定为他们的博士论文方向。后来马志明在狄氏型领域取得重大突破，并于1995年当选为中科院院士。这证明当时我选定狄氏型这一方向是正确的。又如，当我观察到从上世纪80年代末国际上许多随机分析专家转向金融数学研究，我感到有必要在中国开拓这一新领域，于是从1994年起我就在国内率先把金融数学作为我的博士生的研究方向。
第三，要有丰富的想象力和敏锐的直觉。许多创新工作是把表面上不相关的现象联系
在一起，是一种复杂的知识融合。爱因斯坦认为：“想象力比知识更重要，……它是知识进化的源泉。”他在纪念普朗克60岁生日的演讲中又说:“物理学家的最高使命是得到那些普遍的基本定律，由此世界体系就能用单纯的演绎法建立起来。要通向这些定律，没有逻辑推理的途径，只有通过建立在经验的同感的理解之上的那种直觉”。（见[2]）法国著名数学家庞加莱认为：“我们靠逻辑来证明，但要靠直觉来发明”。在数学发展史中就有许多凭想象力和直觉来创建新理论的生动例子：例如，欧拉受解决柯尼斯堡七桥问题的启发，开创了现代数学中的拓扑学研究的先河。关于灵感在科学创新中的作用我们留待下面详细讨论。
第四，阅读一些科学史和科学家传记，了解科学大师们的科学创新历程，对开拓一个人的创新思维能力是很有帮助的。最后，从国家层面来说，为科学研究营造一个开放的、宽松的和学术自由的科研大环境，对提升我国科研自主创新能力是至关重要的。

2.想象力
前面提到想象力对科研创新很重要。所谓“想象力”，就是头脑中创造一个念头或画面的能力，即形象思维的能力。创新理念不是来自逻辑思维，而是源于形象思维，形象思维的能力大小取决于一个人的文化素质高低。因为一个有较高文化素质的人思路就比较开阔, 能够高瞻远瞩, 富于联想, 触类旁通。
如何开拓“想象力”呢？我认为通过加强文学和艺术的修养可以开拓形象思维的能力。爱因斯坦就酷爱艺术，他还是一个演奏小提琴的高手。他曾坦言：“物理给我知识，艺术给我想象力，知识是有限的，而艺术所开拓的想象力是无限的。”英国哲学家培根说过：“历史使人明智，诗歌使人机智”。“机智”在很大程度上就是想象力丰富。像李贺《梦天》中诗句“遥望齐州九点烟，一泓海水杯中泻”和李白《望庐山瀑布》中诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”就极富想象力。这种想象力是源于诗人的形象思维。
德国诗人歌德说得好：“只有通过艺术，尤其是通过诗，想象力才能得到激活”。根据我个人的体会，经常在闲暇时阅读一些古代诗词名篇可以开拓自己的想象力。晚清一代宗师王国维在《人间词话》中说：“词以境界为上。有境界自成高格，自有名句”。所谓“境界”就是指情景交融的艺术形象。要体会一首词的境界就要有想象力。如宋代張先《天仙子》词中名句“云破月来花弄影”写出了一位暮年的诗人在暮春之夜，从对即将逝去的美好春天的眷恋引发对过往人生的追思之情。我读到此名句时在脑子里产生的画面是：
清风徐吹暮云开，
飞云深处有月来。
光撒花枝影摇曳，
小园香径独徘徊。
朱熹的《观书有感》是一首寓意深刻、富有哲理的诗，读这样的诗可以开拓我们的形象思维能力。诗文是：
半亩方塘一鉴开，
天光云影共徘徊。
问渠哪得清如许？
为有源头活水来。
在朱熹看来，读书正是使人们保持头脑清新和思维敏捷的“源头活水”。
有时我自己也尝试创作一些诗，锻炼自己的形象思维能力。例如，我根据自己多年来从事概率论研究的体会写了一首《悟道诗》：
随机非随意，
概率破玄机。
无序隐有序，
统计解迷离。
其实这首诗是对两个有代表性的概率统计问题的解读。前两句是对“生日问题”的解读：23人中至少两人生日相同的概率居然超过50％，但如果预先指定的一个生日，随机选取125人和250人，出现其中某人生日正好是这一生日的概率分别大约只有30％和50％，比想象的小得多。后两句是对一个敏感性问题社会调查方案设计的解读：设想要对研究生论文抄袭现象进行社会调查。如果直接就此问题进行问卷调查，即使是无记名的，也会使被调查者感到尴尬。设计如下方案可使被调查者愿意做出真实回答：在一个箱子里放进1个红球和1个白球。被调查者在摸到球后记住颜色并立刻将球放回，然后根据球的颜色是红和白分别回答如下问题：你的生日是否在7月1日以前？你做论文是否有过抄袭？回答时只要在一张纸上打√ 或打×表示是或否。虽然对两个不同问题的答案都混在一起，但用统计中的贝叶斯公式可以把研究生论文有抄袭现象的人数比例大致估计出来。
我还根据自己从事科研的体会写过一首《春日有感》：
直觉和好奇，
科研原动力。
想象和灵感，
创新催化剂。
最近，为了迎北京奥运，我又写了一首小诗（歌行体）：
传递同一梦想，
圣火环球高扬。
五洲健儿汇聚，
共创奥运辉煌。

3.灵感
什么是灵感？灵感也叫顿悟，它是一种近乎无意识或潜意识的非逻辑式的创造性思维活动，是对某一问题长期思考以后突然产生的思想火花。灵感有时产生于全神贯注思考问题之际，有时却是在不经意间或意识朦胧之中。
例如，为了探寻化学元素的内在规律，门捷列夫常常手拿自己做的元素卡片像玩纸牌那样摆弄。有一天，他在摆弄元素卡片过程中突然像触了电似地跳了起来，在他面前出现了很奇特的意外现象：每一行元素的性质居然都是按照原子量的增大而逐渐变化着。根据这一突然的发现，他于1869年2月编成了第一张元素周期表。
爱因斯坦说他的创新思维活动“产生于有一种能用文字或其他符号来与他人交流的逻辑结构之前”，这就是一种灵感。印度天才数学家拉马努金在他身后留下的“笔记本”中有3000－4000个公式（均无证明），他在世时经常宣称他的这些公式是娜玛卡尔女神在梦中赐给他的，这是一种神秘的灵感。目前，研究拉马努金公式试图解开神秘的灵感之谜的论文已有300多篇。（见[1]）
数学家维纳认为，数学是一门精美的艺术。在某种意义上讲，数学成果的创造最接近于艺术中的诗歌创作，它更需要一种“狂热的灵感”。刊登在2001年5月16日“中华读书报”上的浙江大学蔡天新教授写的《数学家与诗人：一种惊人的对称》一篇散文对此作了精辟的论述。蔡文中写道：数学与诗歌都是想象的产物。……被柏拉图斥为“诗人的狂热”的“灵感”对数学家一样的重要。举例来说，当歌德听到耶路撒冷自杀的消息时，仿佛突然间见到一道光在眼前闪过，立刻他就把《少年维特之烦恼》一书的纲要想好，他回忆说：“这部小册子好像是在无意识中写成的。”而当“数学王子”高斯解决了一个困扰他多年的问题（高斯和符号）之后写信给友人说：“最后只是几天以前，成功了（我想说，不是由于我苦苦的探索，而是由于上帝的恩惠），就像是闪电轰击的一刹那，这个谜解开了；我以前的知识，我最后一次尝试的方法以及成功的原因，这三者究竟是如何联系起来的，我自己也未能理出头绪来。” （见[4]）
灵感来自何处？首先，它来源于对问题的潜心研究和知识的积累。前面说的门捷列夫发现元素周期表的故事就是一个例子。又如，相传有人向希腊国王告发工匠在制作金王冠时用银子偷换了金子，国王叫阿基米德想办法鉴定金王冠是否掺假。于是，阿基米德便冥思苦想考虑如何解决这个难题。有一天当他躺进澡盆洗澡时，发现自己身体越往下沉，盆里溢出的水就越多，而他则感到身体越轻。他突然领悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重。他兴奋地跳出澡盆，大声喊着“尤里卡！尤里卡！”(Eureka意思是“找到了”)。阿基米德找到的不仅是鉴定金王冠是否掺假的方法，而且是重要的科学原理——浮力定律。
其次，灵感也来源对生活的细微的观察，来源于对不同现象的类比和联想。下面两个科学发现的故事说明了这一点。1934年的一天，英国物理学家史考特•罗素在河边散步，恰好有一只小木船从他身边驶过，这时他观察到船头卷起一股激浪，但激浪异乎寻常地以单个波峰形式向前传播。这一现象激发了他的灵感，后来经过精心研究，提出了著名的“孤立波”理论。法国数学家勒雷（吴文俊先生留学法国时的导师）经常去巴黎塞纳河边观察河水流过桥桩时形成的各种漩涡，后来产生了灵感，于1934年写出了他那篇著名的流体动力学论文。
我对创新的感言是：“科技创新犹如化学反应，知识是载体，直觉、想象和灵感是催化剂”。

4.机遇
当然，能够做出创新成果也需要有一定的机遇，然而“机遇只施惠于有准备的头脑”（巴斯德语）。但我不认可“机遇是可遇不可求”的说法，我认为在一定条件下可以人为地去创造产生机遇的环境。我的做法是：为了保持研究活力和对研究问题有新鲜感，我每隔一段时期（8年至10年）就改变一下自己的研究领域。在新的研究领域里机遇自然会多一些。在改变研究领域的过渡期内，我往往也同时研究几个相关领域。
从1973年到1984年，我主要从事鞅论和随机过程一般理论的研究。从1985年到1995年，我主要从事白噪声分析研究，同时也研究鞅论和随机分析。从1995年到现在，我主要从事金融数学研究。上世纪80年代初，正是白噪声分析理论初创时期，我于1985年在斯特拉斯堡大学高等数学研究所访问时，Meyer教授建议我关注这一新领域。由于我有较好的泛函分析基础，我抓住了这一机遇，很快进入了白噪声分析领域，并做出了一些基础性的贡献。

5.真与美
“真”与“美”是评价科学与艺术的共同准则。在何种程度上，追求美也是科学研究的目的之一。庞加莱写道：“科学家不是因为有用才研究自然的。他研究自然是因为他从中得到快乐，他从中得到快乐是因为它美。”韦尔说：“我的劳作是努力把真和美统一起来，如果我不得不选择其中之一，我常常选择美。”例如，他曾以为他创立的引力度规论作为一个引力理论是不真的，但它是那样的美以致于他不愿意放弃它。若干年过后，证明韦尔的引力度规论是完全正确的。这正如希腊箴言所揭示的：美是真理的光辉。（见[1]）
英国著名诗人济慈有句名言：美就是真，真就是美。一个杰出的科学家凭审美直觉提出的理论常常能够被证明是真的。例如，杨振宁讲过狄拉克提出“反粒子”理论的一个故事。狄拉克1928年发表两篇短文，写下了有里程碑意义的狄拉克方程，文章发表后的几年内由于方程解产生负能现象引起了争议。1931年，狄拉克从数学对称美角度大胆提出“反粒子”理论来解释负能现象。这个理论当时更不为同行所接受，直到1932年秋安德森发现了电子的反粒子以后，大家才渐渐认识到反粒子理论又是物理学的另一个里程碑。（见[3]）
数学家哈代关于数学的美有如下精辟的论述：“数学家的模式，就像画家或诗人的模式一样，是充满美感的；数学的概念就像画家颜色或诗人的文字一样，一定会和谐地组合在一起。美感是首要的试金石，丑陋的数学在世界上是站不住脚的。”诗歌的美学准则是“豪华落尽，返璞归真”，是“重剑无锋，大巧不工”。数学的美学准则是独创、简洁、对称、和谐。伽罗华群论、阿蒂亚－辛格指标定理、费马大定理和庞加莱猜想等就是这种美的数学典范。
这里说的“独创性”其实是一切科学和艺术的共同美学准则之一，只不过在艺术那里把它叫做“独特的艺术风格”。艺术家由于生活经历、艺术修养、审美取向以及个性特征的不同，在作品的题材和表现手法方面和在作品的整体风貌及艺术境界方面形成了独特的艺术风格。例如，怀素的狂草如“飞鸟出林，惊蛇入草”，苏轼的行书则“端庄杂流丽，刚健含婀娜”；李白的诗“豪迈奔放，飘逸若仙”；杜甫的诗则“深沉蕴蓄，抑扬曲折”；肖邦的钢琴曲“平易优美，饱含诗意”，李斯特的钢琴曲则“气势恢弘，直率粗旷”。这些都是大师级的艺术风格。
“简洁”也是科学和艺术的共同美学准则之一。尤其是诗歌，它要力图通过最简洁的语言，营造如画的意境，抒发沁人肺腑的情怀，表达深邃的哲理。这与科学（尤其是数学）追求的“在尽可能少的前提条件下，用最简洁的形式，概括尽可能多的经验事实”做法十分相似。至于“对称”和“和谐”是科学和艺术的共同美学准则，更是不言而喻的。
数学史家克莱因认为：“进行数学创造的最主要的驱动力是对美的追求。”法国数学家阿达玛说得好：“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。”一个对数学缺乏美感和审美能力的人是很难做出有很高学术水平的数学成果来的。因此，要做好数学研究，就要努力培养对数学的美感和审美能力。对一项数学成果的评价，一是看它的学术价值，二是看它的美。一个成熟的数学家可以从审美角度来判断一项成果的学术价值。如何培养一个人对数学的审美观和鉴赏力呢？经常阅读数学大师们的经典论著是一个有效途径，这与经常欣赏书画大师们的作品可以提高对书画作品的鉴赏力是一个道理。

6.治学“三境界”
晚清一代宗师王国维在《人间词话》中说：“古今之成大事业、大学问者，罔不经过三种之境界：‘昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路。’此第一境界也。‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。’此第二境界也。‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人正在灯火阑珊处。’此第三境界也”。这就是著名的王国维治学“三境界”说。
关于王国维的“三境界”，不同人有不同的解读。我以前在一篇文章中的解读是：王国维借用晏殊在一首词里的“独上高楼，望尽天涯路”，来比喻成就大事业者入门前表现出来的迷茫、疑惑和彷徨；他借用柳永表现刻骨爱情的词句来比喻做学问要有“锲而不舍、甘愿奉献”的精神；他借用辛弃疾在一首词里赞美一个远离元宵节灯火热闹的场景而在灯火稀疏的地方伫立的超凡女子，来比喻做学问要“淡泊名利，自甘寂寞，不随波逐流”。（见[5]）
在写这篇文章时，我用谷歌搜索到一篇文章，有一个名叫褚孝泉的学者，把王国维治学“三境界”解读为十九世纪末德国的大物理学家和生理学家亥姆霍兹提出的关于人的创造性思维会经历三个阶段的说法：第一个阶段为“饱满（saturation）”，第二个阶段为“酝酿（incubation）”，第三个阶段为“顿悟（illumination）”。这是对王国维治学“三境界”说的一个很有创意的解读。受此启发，我想应该把我原先关于第三个境界的解读修改为“在经过艰苦探索后突然有所发现”。因此，我现在把王国维的治学“三境界”解读为：“疑惑、探索、顿悟”，这是任何科学发现所必须经历的三个阶段。

7.结束语
最后需要忠告年轻人的是，做学问单靠天分是不行的。靠天分可以年少风光一时，但不能持久，稍有挫折和不如意，就会颓废，最终一事无成。要想取得事业上的成功，要靠后天的勤奋和毅力，首要的是付出艰苦的劳动。
爱因斯坦曾给向他请教成功秘诀的一个青年人写了一个代数公式：A＝X＋Y＋Z，他解释说：Ａ代表你的成功，Ｘ代表你付出的劳动，Ｙ代表你对研究问题的兴趣，Ｚ表示你的谦虚和谨慎。俄国思想家赫尔岑说得好：“科学不是可以不劳而获的——诚然，在科学上，除了汗流满面是没有其它获致方法的；热情也罢，幻想也罢，以整个身心去渴望也罢，都不能代替劳动。”
注：此文是作者根据2008年6月19日在中科院研究生院所作的报告改写而成的。

参考文献
[1] 科学中的美和对美的追求，钱德拉塞卡（朱志芳译），《中国青年科技》2001年第2期。
[2] 培养独立工作和独立思考的人，爱因斯坦（许良英译），《爱因斯坦文集》，商务印书馆，1979年。
[3] 美与物理学，杨振宁，《二十一世纪》第40期。
[4] 数学家与诗人：一种惊人的对称，蔡天新，2001年5月16日《中华读书报》。
[5] 博观而约取，厚积而薄发，严加安，2003年（未发表）。

本文发表于《中国数学会通讯》2008年第3期

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