数学与其他学科

期权定价与金融数学

金融数学是近10年来蓬勃发展的新兴边缘学科，在国际金融界和应用数学界受到高度重视。1997年Nobel经济学奖授予Scholes和Merton，就是为了奖励他们在期权定价（如著名的Black—Scholes公式）等金融数学方面的贡献。

长期以来，由于金融市场的不确定性与高风险性，人们一直在探索利用各种因素正确评估资产风险和期权（或衍生证券）价格的有效方法。金融数学模型的建立，对金融市场风险分析、预测与监控有着非常重要的作用。5O年代末60年代初，MarkOWitZ的投资组合的均值--方差理论与Sharpe的资本资产定价理论，开创了金融数学理论的先河，他们的理论引发了所谓的第一次“华尔街革命”。第二次“华尔街革命”是由Black和Scholes于1973年提出的衍生证券定价理论。正是这二次“革命”构成了蓬勃发展的新学科──金融数学的主要内容；同时也是研究新型衍生证券设计的新学科──金融工程的理论基础。

衍生证券定价理论中，最典型的是所谓欧式看涨期权的定价，通俗地说，此期权就是一份合约，合约双方在 t＝O时刻商定一个执行合约，规定买方在给定的时刻t（到期日）以执行价格买人卖方的一份股票，但只有买方有优先权，即在T时刻买方认为不合适，就可以放弃合约。显然，若该期权到期，则该期权的价值（亦 即买方在t时刻获益）为股票市价与执行价格的差价的正部，这是一种只有到了t时刻才能确定其真正获益大小的随机变量，称为或有债权，一般情形的或有债权的一个重要用途就是帮助各类投资者在风险迭起的生产和贸易活动中进行套期保值，以回避风险，它也构成了目前很流行的金融工程的主要数学基础。

既然合约的受益方只有买方，那么买方在t＝o时刻就应付期权金给卖方，问题是该期权目前应如何定价，换句话说，究竟该付多少钱给卖方才合理。Black与Scholes在股票价格的变化是几何Brown运动的假设下，从机理地上导出一个随机微分方程，并在无套利状态下，利用随机分析的技巧，得到了在完全市场中无股息 支付的股票的欧式看涨期权价格的显式解，即所谓的Black—Sc-holes公式。

Black—Scholes公式出现后，随即引起大量的研究，尤其是在数学上对随机分析、随机控制、非线性分析、偏微分方程、数值分析、数理统计等许多方面都带来了极大的推动力。不仅如此，由于Black—Scholes理论是以套利理论为基础，表明了任何期权交易和有关金融证券的结合都可获得无风险的回报。其方法是先利用期权和有关证券达到无风险保值，然后再求期权价格或套期保值比率，因此Black—Scholes模型为投资者提供了一种精确确定期权价格、控制投资风险的手段。对未来的风险，提供了系统的、不依赖人们对风险主观态度的估价方法，并且还为如何化解风险提供了完整的思路。

利用金融数学技巧获得的期权定价理论，已被推广到其它金融问题的研究之中，如期货、债券、可转换债券、利率掉期、外汇汇率等，并广泛应用于包括公司债券、可变利率低押、抵押贷款、保险和税法在内的金融证券和合同的广阔领域。该理论和方法不仅适用于证券市场的资产定价，也适应于证券市场的风险分析。它的应用已受到各国政府的重视，而且取得了很好的实效。 模糊数学

二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。

模糊数学的产生

现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。

但是，数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。

在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。

各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。

我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。

在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学。

人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学。所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。

模糊数学的研究内容

1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生。

模糊数学的研究内容主要有以下三个方面：

第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。察德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。

在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集合。

第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。

为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话，就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，才能给计算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型，使人类语言数量化、形式化。

如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有错误，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样，就把模糊语言进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。目前，模糊语言还很不成熟，语言学家正在深入研究。

人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性，采用形式逻辑的排中律，既非真既假，然后进行判断和推理，得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观事物的确定性方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。

为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点，就必须把计算机转到多值逻辑基础上，研究模糊逻辑。目前，模糊罗基还很不成熟，尚需继续研究。

第三，研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要，查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化，从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不足之处，就能得到弥补。在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。

模糊数学的应用

模糊数学是一门新兴学科，它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能，不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。

目前，世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速度是1000万次/秒。1988年，我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机──分立元件样机，它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。

模糊数学还远没有成熟，对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检验。

又怎么样呢？1996年英国数学家怀尔斯证明了费尔马大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一个集合，它里面有两个元素1和2。我们记得，一个集合由它所含的元素唯一决定，所以它的大小也不能取决于它被表示的方法，或者被构造的途径，它只应该取决于它本身。

一个集合得和自己一样大，这个没有什么好说的；其次，如果集合A不小于（也就是说或者大于，或者一样大）集合B，而集合B也不小于集合A，那么它们就必须是一样大的；第三，如果集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必须不小于集合C。在数学上，我们称满足这三个条件的关系为“偏序关系”（注：严格地说，这个偏序关系并不定义在集合之间，而是定义在集合按“一样大”这个等价关系定义出的等价类之间，关于偏序关系的严格定义的叙述和上面所说的也有区别，但这些问题在这里并不要紧，你如果看不懂这个注在讲什么也不要紧）。如果一个关于集合大小的定义违反了上面所说的三条之一，这个定义的怪异程度一定会超过上面使用一一对应原则的定义！

举个例子，比如说我对某位科幻小说作家的喜爱程度就是一个偏序关系。如果我喜欢阿西莫夫胜于喜欢凡尔纳，而喜欢凡尔纳又胜于喜欢克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一定更喜欢阿西莫夫。不过一个偏序关系并不要求任意两个对象都能相互比较。比如说刘慈欣的水平当然不能和克拉克这样的世界级科幻大师比，但是“喜欢”是一种很个人的事情，作为一个中国人，我对中国的科幻创作更感兴趣──所以似乎不能说我更喜欢克拉克，但也不能说我更喜欢刘慈欣，而且也不能说同样喜欢，因为喜欢的地方不一样──所以更确切地也许应该说，他们俩之间不能比较。但偏序关系中存在这样的可能性，有一个对象可以和两个不能相互比较的对象中的每一个相比较，比方说我喜欢阿西莫夫胜过刘慈欣和克拉克中的任一个。

不过作为集合大小的定义，我们希望能够比较任意两个集合的大小。所以，对于任何给定的两个集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一样大，这三种情况必须有一种正确而且只能有一种正确。这样的偏序关系被称为“全序关系”。

最后，新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。有限集合间的大小关系是很清楚的，所谓的“大”，也就是集合中的元素更多，有五个元素的集合要比有四个元素的集合大，在新的扩充了的集合定义中也必须如此。这个要求是理所当然的，否则我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。

三、“整体大于部分”原则的困难和一一对应原则的优点

满足上面几条要求的定义，最简单的就是认为无限就只有一种，所有的无限集合都一样大，而它们都大于有限集合。这其实是康托尔创立集合论以前数学家的看法，所以康托尔把无限分成许多类的革命性做法使得数学家们大吃了一惊。但是这样的定义未免太粗糙了一点，只不过是把“无限集合比有限集合大”换了种方法说罢了，我们看不出这有什么用处。没有用的定义不要也罢──再说在这种定义中，自然数和正偶数也一样多，因为所对应的集合都是无限集合。

如果我们在上面几条要求中，再加上“整体大于部分”这条要求会怎么样呢？

我们想像平面上有条射线，射线的一端是原点，然后在上面我们每隔一厘米画一个点，并在每个点旁边标上1、2、3……等，这样就有无穷个点。那么这个点集和自然数集合比较大小的结果应该如何？按照我们前面的要求，任何两个集合都应该可以比较大小的。我们很容易想像到，这其实是一条数轴的正半轴，上面的点就是代表自然数的那些点，所以这些点的个数应该和自然数的个数相同。而且，按照“整体大于部分”的规定，那些标有10、20、30……的点的集合比所有点的集合要小。但是“一厘米”实在是非常人为的规定，如果我们一开始就每隔一分米画一个点，顺着上面的思路，这些点的个数也该和自然数一样多，但是这恰好是按一厘米间隔画点时标有10、20、30……的点啊！那些点始终是一样的，所以它们的个数不应该取决于在它们的旁边标记的是“1、2、3……”还是“10、20、30……”。

再举一个例子。假设我给你一个大口袋，里面有无限多个小口袋，上面按照自然数标了号1、2、3……。在1号口袋中有1粒豆子，2号口袋中有2粒豆子，……依次类推。现在我当着你的面拿掉1号小口袋，那么剩下的小口袋数和原来的相比如何？如果按照“整体大于部分”的观点，应该是少了，少一条。但是如果我当初就背着你拿掉1号口袋，然后从其他每个小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的号码改掉，2改成1，3改成2……，然后再把大口袋给你，你显然不会知道我做了手脚，因为这时大口袋里的东西和原来没有任何区别，所以小口袋的数量和原来一样多。这就和“少一条”矛盾了，从小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的标号不应该改变口袋的数量。大家明白我是打了一个比方，大口袋就是一个集合。按照上面的要求，集合的大小只应该取决于集合本身，而不应该取决于集合的表示方法或构造方法，也就是得到集合的过程。你拿到了大口袋，也就是就应该知道里面小口袋的数量，而不用知道我是否做过手脚。

这样的例子可以举很多。我们发现，如果坚持“整体大于部分”的话，固然可以使得某些集合和自己的子集相比较时，比如比较自然数和正偶数的个数时，符合“直观”和“常识”。但是更多的非常直观的东西和常识却都会变成错误的。比如说，x'=x+1这样一个数轴上的坐标平移，会将坐标上的点集｛1,2,3……｝变为｛2,3,4……｝，一个坐标平移居然可以变动点集中元素的个数！“元素可以一一对应的两个集合大小相同”这条原理的失效，会使得我们在比较两个元素很不相同的集合时无所适从：怎样不使用一一对应的方法来比较自然数和数轴上(0,1)区间中点的个数？

在上面的两个例子中我们会有这样的感觉，对于无限集合来说，从部分中似乎可以“产生”出整体来。比如射线上的每隔一厘米画一个点的例子，如果我们把不是10的倍数的点去掉，然后将平面“收缩”到原来尺度的十分之一，我们就重新得到了原来的那个点集。在装豆子的口袋的例子中，只要从去掉1号口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我们就又得到了原来的那个大口袋。这暗示了无限集合的一个重要特点：从某种意义上来说，它和自己的一部分相似。事实上，无限集合的一个定义就是“能和自己的一部分一一对应的集合”。所以在无限集合大小的比较中，违反了“整体大于部分”的原则并不奇怪，因为这恰好就是无限集合的特征。

如果使用一一对应的比较方法，我们发现它满足所有第二节中提出的关于集合大小定义的要求。而且除了“整体大于部分”这个我们已经解释过的不适用的原则外，不违反其他的直觉和常识。事实上用一一对应的方法来比较两个集合的大小，也是非常符合直观的。如果有两盒火柴，我们想比较哪盒中的火柴数量更多，我们大可不必去数出每盒中火柴的数量，那样很容易出错。其实只要从不断地从两盒火柴中拿掉相同数量的火柴，最后如果同时两盒都不剩下火柴，那么就说明数量一样多，否则就是还剩有火柴的那盒比较多。

而更重要的是，这样的定义非常有用。康托尔在提出他关于集合的基数理论后，非常简洁地证明了“几乎所有实数都是超越数”，而那个时候数学家连一个超越数的实例都还没有找到！引起第三次数学革命的罗素悖论也是从基数理论中产生出来的。虽然集合的基数理论现在已经为一般的数学系学生和许多数学爱好者所熟悉，数学家们还是能从中找到非常有趣和深奥的课题，比如说“超大集合理论”，这是关于一些基数大得匪夷所思的集合的理论。我们知道对于任何一个集合A，它的幂集P(A)（也就是它所有子集构成的集合）一定比它本身大，所以我们可以构造一系列的集合A，P(A)，P(P(A))……一个比一个大，所以没有最大的集合。而“超大集合理论”声称，存在一个集合B，比前面这一系列集合中的每个都要大！

所以说，使用一一对应原则来定义集合大小，是数学家迫不得已和最佳的选择。

四、直觉的合理性和数学结构

在文章的最前面我们提到过，从直觉上说来，自然数的个数应该是正偶数的两倍，这里难道没有一点合理的因素在内吗？有时我们会听到数学家说：“几乎所有的自然数都不是素数。”如果按照一一对应的原则，素数和自然数是一样多的（第一个素数2对应1，第二个素数3对应2，第三个素数5对应3，……第n个素数对应n，……），这不矛盾吗？

数学并不依赖于直觉，但是尊重直觉，直觉中常常包含着合理的因素。受过数学训练的人对数学的直觉一般来说要比其他人更有合理性，数学大师能够用直觉把握住很深刻的数学理论，他们有时会说：“虽然我还没有一个严格证明，但是我知道它是对的。”数学大师的直觉当然不是每个人都能模仿的，但是我们的确可以改变对一些数学物体的想像方法，来改善自己的直觉，使得它更有合理性。

当我们谈到集合的大小，这里所谈论的集合应该是没有附加的数学结构的。当所比较的集合都是自然数的子集时，直觉往往会偷偷地把自然数的数学结构加在上面。什么是数学结构？让我们先从最一般的集合说起。当我们谈论集合时，我们只应该把它看做一个装着元素的大袋子，里面的元素之间没有任何联系，比如说自然数集合，我们应该想像那是一个装了标了号的球（或者其他什么）的大袋子，球和球之间并没有什么联系，10并不一定非得在100的前面出现，如果你把口袋使劲抖抖，里面的球有些翻上来有些被压到底下去，但这并不改变这个集合──这仍然是自然数集合。

所谓的结构，就是在元素间增加联系，使得它们不能随便乱动。建筑工地上搭的脚手架就是一种结构，上面的钢管啊铁丝啊木板啊都不是随随便便堆在一起的，而是按照一定的方式联系在一起。修建完了一幢大楼后，工人们会把它们都拆下来再拿到另一个工地上去安装使用，虽然构成脚手架的元素──钢管铁丝木板还是原来的那些，但是脚手架却完全是另一个了，变化了的其实是结构。

数学结构也一样。比如说上面我们讲的序关系，就是元素之间的一种联系。我们可以很方便地验证自然数的大小满足我们前面所说的偏序关系的三个条件，而且每两个自然数之间都可以比较大小，所以在自然数集合上有一个全序关系，这个关系就给了自然数集合一个结构，就叫序结构。你可以把拥有全序结构的自然数集合仍旧想像成上面那个装了球的袋子，只是这时候那些球已经被从小到大串成了一串，不能随便乱跑了。平时我们想像自然数集合，可能会把它想成数轴上离原点越来越远的一串点，或者1、2、3、……这样从小到大的一列数，不知不觉地，我们已经把序结构想像进去了。当我们感到“正偶数的个数应该是自然数个数的一半，因为每隔一个数就有一个是偶数”，我们是在想像那条串成一串的球，偶数球得老老实实地和奇数球一个隔一个地串在一起，而不是杂乱无章放在袋里，后面这种情况是谈不上“每隔一个”的。

在考虑到自然数的序结构后，我们就可以给“自然数的个数是正偶数的个数的两倍”这种直觉一个合理的解释了。考虑小于100的正偶数，一共有49个，所以占小于100的自然数的49/99，接近1/2；如果把“小于100”改成“小于1000”，那么结果是499/999，更接近1/2了；把上面的100和1000换成越来越大的数字，我们会发现正偶数所占的比例会越来越接近1/2。这就提示我们可以采用这样一种关于自然数的子集的大小的定义：如果A是自然数的一个子集，令p(n)为A中小于n的元素的个数，我们称lim n→∞p(n)/n（就是当n趋向无穷大时，p(n)/n的极限）为A相对于自然数集合的大小。在这个定义下，正偶数集合相对于自然数集合的大小就是1/2。按照这样的定义，素数集合相对于自然数集合的大小是0，这也就是所谓的“几乎所有的自然数都不是素数”。用上面这个方法还可以比较两个自然数集合的子集的相对大小，具体方法就由读者自己来思考了。

如果没有自然数序结构这个“背景”，我们就只能够使用一一对应的方法来讨论集合的基数，那种“自然数的个数是正偶数的个数的两倍”的直觉只是一种错觉。比如说考虑下面平面图上，所有(2n,n)这样的点所组成的集合（其中n是自然数）。如果站在x轴的角度来看，我们发现每隔一列就有一个点，而列数显然和自然数一样多，所以点数就该和正偶数一样多；如果站在y轴的角度来看，我们发现每行都有一个点，而行数也和自然数一样多，所以点数就该和自然数一样多。按照集合基数的观点，自然数和正偶数一样多，上面这种情况完全不造成矛盾，但是“直觉”所给予的一会儿“一样多”一会儿“两倍”的印象，就没有太大的意义了（最多得到“两倍的无穷大等于无穷大”这种我们按照一一对应原则早已熟知，而且解释得更好的观点）。

以不同之容貌出现，笔者以稍感不安的想象而期待着。

漫谈微分几何

丘成桐 纪录：林宪政（东海大学数研所）

今天很高兴能够在各位面前讲讲我做学问的经验，可以供大家参考一下。我讲「如何学好微分几何」的题目，主要是想跟大家讲讲有关于从前我做学问的态度，因为我是做几何的，所以我就讲做微分几何。很明显的，大部份的同学不会选几何，不过没有关系，其实就是讲讲我做学问的态度。

首先，讲讲我从前的一些经验。我从前在香港长大，在香港念中学、大学，然后到美国念研究所，所以至少在前一半跟大家的经验应该差不了太远，不过是时代有点不同。我在多年前念数学，你们现在念数学，看法上已经有许多不相同，事实上我也不太了解你们现在的想法。不过基本上，我们都是中国文化出生的，所以我想仍有一部份共同的地方。基本上我们是要讲怎么作科学研究，也就是纯科学的研究，我们要看的是我们的志向是怎样的。假如我们想做一个好的科学家，当然我讲的是怎么做一个好的数学家。先说我自己的经验，我从前在香港培正中学念中学的时候，就开始对数学有兴趣。当然还有一些其它的课程，我对数学有兴趣，一方面是受到我家庭的影响，我父亲是做哲学的，所以对于念数学一直都相当鼓励，到了中学以后，我父亲去世了。不过也因此对于自然科学有很浓厚的兴趣。另一方面受老师的影响也很大。我想很重要的当我们开始要做一个学问，尤其是你真的要做一个出色的科学家，跟你的兴趣和你一开始所立下的志向有很大的关系。就是说，开始的时候你期望能够做到什么。假如说开始的时候你根本不想做一个好的科学家，那么你就永远也不可能做一个好的科学家。从前有位大学老师跟我讲说：「假如你不买马票，你永远也中不了。」倒不是说我鼓励你们去买马票，是说假如你不准备做好的科学家，就永远也做不了一个好的科学家。不过是不是讲，你想做一个好的科学家，你就可以做个好的科学家呢？当然不是，你还要有很多其它的因素在里面，我想第一点是要你将做人的目标先决定。

我在国外二十多年了，也教了不少的学生，有些在世界上算是很出名，但有些不是太行。从这方面来讲，比较好的学生和不好的学生我可以晓得不同的经验。我想好的学生大部份一开始就决定他要做到什么程度的科学家，从很早就可以看得出来，因为有了志向以后，才晓得怎么去用功、怎么去花时间在上面。这看起来倒是老生常谈，因为你从小学、中学到大学，大概很多老师都跟你讲同样的意见，可能你听多了都觉得没有什么意思，但是事实上这是成功的第一个因素。我的一位老师跟我讲，你要决定以后你想做什么，讲明了，不是为名就是为利。当时我很惊讶，老师为什么讲这一句话。我们不能否定大部份的想法不是为名就是为利，同时这个想法也推动了不少科学的研究。不过我们也晓得，单是为名为利不可能将科学达到最高峰的研究，我们一定要对这个科学有浓厚的兴趣。我们应当晓得，做科学，我们有一个很纯正的想法，就是对真理的追寻，在真理的背后有一个很漂亮的境界在里面，我们到了一个境界以后，对我们追求学问的人来讲，是无法抗拒的，就算是没有名没有利，我们也希望能够将这个真理搞清楚。举例来讲，如果你喜欢下棋的话，有时你会晓得下到一半的时候，结局会是怎样，你非为名也非为利，当然可以讲说你是为了好胜，但是有时候你总是想追求，想晓得怎么解决这个问题。在科学上来讲我们要追求的是比这个高的境界。我为什么讲为名为利这个事实呢？举例来讲，我们这几年在哈佛大学里教了几个在大学里念数学念得很好的学生，可是到了毕业的时候，我晓得他们明明对数学有很大的兴趣，但是他们选取了完全不同的途径，他们有些人宁愿选取做生意或是到银行里面做事。我并不反对你们去做生意、赚大钱，我失望的缘故是因为这些学生明明是对做学问兴趣特别大，但是他们没有办法去抗拒赚钱的引诱而放弃了继续做学问的前途，有些人甚至过了几年赚了钱，又想重新再做学问，但问题是无论你资质有多好，一般来讲你将做学问的机会放弃以后，再想重新做起将会遇到许多困难。并不是说不可能，也曾有这种情形发生过，但是真正能够达到的情形，几乎是绝无仅有，做学问是不能中断的。我遇见过很多朋友，有些甚至是很有名的数学家，他们有些人会讲我现在一方面做行政的工作，一方面可以做学问，可是事实上，这是没有办法可以达到两者兼顾的情形。我们晓得做学问几乎是全心全意的工作，当对证明追寻的时候，很难说受到其它外界的打扰，仍能够达到很高的成功的。以我的经验来讲，在想问题的时候，晚上睡觉也在想这个问题，躺在床上也在想，早上起床第一件事就是想这个问题。我并不是讲你们也要这样子，我是希望你们在遇到一个问题要解决的时候，你要全力以赴，不可能在中间慢慢想一点而在其它也可以花点功夫，这样精神不集中的态度是不可能做好学问的。我想对大家做个建议，假如你想做个真正的好科学家的话，就不能够再往回走，假如你想做生意，那干脆一开始就不要想这个问题，并不是你要做个好的教员就要照我刚才讲的，要花这么多功夫，倒是要念好科学这是很重要的，所以这是第一点，立志很重要。

第二点我要讲的，我在国外多年，遇见过许多很出名的数学家，甚至许多有名的物理学家我也见过许多。在我认为并没有一个是真正的像一般报纸上所讲的是天才，在我所亲身认识的大科学家，都是经过很大的努力，才能够达到他所达到的成就。我的学生问我：「为什么你做的比我好？」，我说很简单，我比你用功。我在办公室或是在家里边，我天天在想问题，你们在外面玩，而我花了功夫在解决想了很久的问题，我总比你不想、不花时间成就大一点。你可能去听个大科学家或大数学家演讲，你会觉得漂亮得不得了，怎么一个人能够讲得这么好！这个人是个天才！可是你有没有想到，他在后面准备花了多少时间想这个问题？大概你们听过最出名的科学家费因曼，《费因曼物理》注1漂亮得不得了，所有出名的物理学家都这么讲，去听的人不是学生，都是老师或物理学家。费因曼在准备费因曼物理的时候是什么事都不做，就只有脑子在花功夫，整天在想这个问题，跟许多学生不停的在谈这个问题。费因曼是个有名的天才，可是他准备这个研究也花了许多不同的功夫。我想很多出名的科学家在有所表现出不同的时候，你会觉得他是天才，事实上他用在后面的功夫都是很不少的。

有许多很聪明很厉害的人可能是研究生甚至是教授，往往你给他一个问题，他可以很快给你一个答案，同时是很不错的一个答案。可是很多这样出色的学生或是教授，过了很久以后，你总会觉得他没有做出很好的成绩出来。问题是，你解决的问题太容易了；没有再花很多精神去考虑这个问题。尤其在我们中国人最缺乏的，就是在做中学生或是大学生的时候，没有将一个问题从头到尾仔细考虑清楚，并没有真正的全部了解，这是个很重要的问题。从一个很小的问题，我们可以引发很多不同而且有意思的问题。思考要自己训练，不单是在联考或在大学的时候，老师出个题目，你考了一百分就完了，假如这样的话，你很容易就满足你自己，你不觉得问题有什么意思。往往出名的研究是在很平凡的问题里面，不停的思考所找出来的，很多人因为很快将问题解决了，便不愿再想下去，所以不能够再启发新的东西。科学的研究，不是解决人家已经晓得的问题。当一个科学家问一个好的问题的时候，即是成功的一半。因为科学的推动是从不断的找寻新的问题，新的方向出来的，解决从前的问题虽是个重要的推动方向，可是我们还要找出新的方向，而不单是解决从前的问题。我们知道在物理上解决问题的时候，往往大的或出名的公式是将前面固定的理论推翻，而找出新的路子。为什么大数学家或大物理学家能够做到这个地步呢？因为他们不断的问问题。有时候在一般人来讲很明显的问题，在出名的科学家看起来，就不见得很明显。为什么不明显呢？因为我们有不同层次的问题要一路考虑下去。问问题的能力是一个很重要的训练，并不是花很多功夫就可做到，我想在我们中国的小学、中学或大学里都没有很好的做到这一点，我想从小应该做到这一点的。

现在我们来看数学跟其它物理、化学或生物等实验科学有那些不同？物理或化学等科学是从一般实验、现象界所找的题目，最后再经过实验的证实，才能算是个成功的理论。理论物理学家可以发展很多不同漂亮的理论，但最后假如不能够在实验里做出来的话，对物理学家来讲就是一篇废话。数学家有个好处。就是说，我们做了学问，一方面大部份是从一般的科学里面产生给我们的，一方面可以当作文学作品来欣赏。我们的取材多采多姿，一方面是比较基本的，从自然界或物理上的基本粒子、广义相对论、重力场去拿出很多基本的大自然的问题。这方面对近代几何学上的影响很大，另一方面可从比较没那么基本的理论里发生出来。所谓不基本，并不是说不重要。我们要了解到我们有些问题是从工业界来的，譬如说做飞机、做螺丝，甚至做流体变动的问题，都是可产生许多有趣的几何问题或是数学问题。例如说机械人手怎么去拿东西？这都可以看做是基本的几何问题，物理学家不一定有兴趣，可是数学家却有很大的兴趣。另外我们也可以对与实际问题不相近的问题产生兴趣，我们对一个图画得漂不漂亮，我们也可以在数学上研究。几何在数学上的取材有三个不同方向：第一是从基本自然界里产生的问题。从基本粒子、重力场到电磁波基本上如何产生的种种重要几何问题，从表面上你看不出来为什么它跟几何有关，但事实上近代物理将很多这种基本场论的问题变成几何问题，对微分几何来讲有很大的贡献。第二是刚才所讲，工业界与古典力学出了很多很重要的几何问题。第三就是纯粹从美的观点来找问题。举例来讲，从数论里面找了许多很漂亮的问题，尤其是近十或二十年来，大部份重要的数论问题大多是用几何的方法来解决的，这是几何在数学上三个重要的取材方向。

我为什么讲取材的问题呢？因为很多中学生或大学生在念几何或是某些数学课程的时候，认为我们念那个学科就念那个学科就够了，而不要念其它的学问，这是个很错误的观念。因为数学里面每一门的学问都有密切关联的，不单是数学，其实所有的理论科学中间都有很密切的关系。例如我们刚刚所讲的，高能物理与数学的关系，或是化学甚至生物都跟数学有很大的关系，所以我想怎么学几何呢？第一点是当你决定好要做一个好的几何学家时，你一定要广泛的学不同的学问，基础要比较广，如微分方程、代数、物理学以及其它学科，至少在心理上有个准备，就是说这些学科将来是对你有帮助的。你听起来会觉得这是很困难的事情，你不可能学会这么多种不同的学问。这主要的分别就是你要有一个层次，你的专科是那一方面，就要多学一点，但不可忘掉其它的学科。有时在某个意义下，我们可以很惊讶的看到同一个学问、同一个命题，在两个不同的学科里面，可以以不同的方法出现，就是说以不同的方法证明。我想主要的原因是根本上这两个学科的分别并不是很大。在几十年前有个出名的物理学家说数学有不可思议的力量。为什么数学能够在物理上有这么大的影响呢？因为从物理学家的看法，数学家祇是在玩一些简单的符号，纯粹是在家里想一些自己的问题，与自然界的关系好像不大，其实这是个错误的想法。我们数学家研究的问题是很具体的，只是有不同的层次，所以有点不同而已。举例来说我们研究微分几何上一个最简单的图形-圆球，这圆球可以说是一个抽象的观念，我们也可以说它是自然界很具体的一部份。也就是说我们将所研究的圆球视为自然界的一部份，其实跟物理的现象差不了太远的。尤其在现代的高能物理里，我们研究基本粒子，尤其到了量子力学的观念以后，因为能量已经到了很高的地步，所以有很多根本没有办法做实验，所以基本上也是在家里或课堂里或办公室里用纸笔来算，这跟数学家想象的差不了太远。假如物理学家可以这么做，表示数学家也能够坐在家里面而对自然界达到某种程度的了解。

为什么我要讲这些呢？这些与微分几何有什么关系呢？我要讲的是你在选题的时候，我们虽然有个自由度对于选题与自然界无关，但是我们也有一个限度在里面，假如我们选的问题与现实相差太远，最后我们的命题会被淘汰掉。在历史上出现很多不同的研究，过了十年、二十年后就完全被淘汰的。你看现在的图书馆里面有许多的文章出现，不过再过个十年八年以后，我想大部份的文章是会被淘汰掉的，根本在整个数学历史上起不了任何作用。这是因为很多的文章实在没有解决问题，其次是对我们研究的对象没有产生任何效果。所以虽然我们数学界不用时间来做证明，可是我们有某种程度的测试。一般来讲，证的很好的数学，二十年或五十年内都可以看到它在现实里出现帮助。我们晓得在这个二十年以来，从前许多不重要的问题，在今日的工程上发生很大的影响。举例来讲，从前在数论里对于质数的搜查这个问题，这完全是一个无聊的命题。就是说一个很大的数，你怎么将它因子分解得很快。近十多年来，在国防科学上这问题变成一个重要的命题，有许多国防科学家在做这方面的研究，所以说数学上的选题很重要。为什么因子分解很重要呢？表面上看来跟真正的用途好像没有什么关联，可是它是一个很自然的问题，一个很大的整数它怎么分解，很快地，表面上并不重要，但可以帮助我们了解质数的分布情形，所以我说选题是一个很重要的问题。我记得从前我们在做大学生的时候，花了很多功夫去念一些文章与参考书，有些对数学来讲是很无意义的，可是反过来说因为花了很多功夫，所以可以了解到有些问题比较重要，有些问题比较不重要，所以花的功夫并没有白费。

其次我们讲做一个学生应该是怎么一个看法。对于做数学或做微分几何来讲，我觉得研究的气氛很要紧，尤其在中国的环境里，好像是不太容易培养出这种气氛来。假如你旁边的朋友或同学跟你谈的都是其它的问题，譬如说股票涨了或跌了或其它问题，久而久之，你大概对于做学问也没有很大的兴趣，所以培养做学问的态度与你交的朋友、跟的老师的关系很大。如果你们时常讨论学术上的问题，你就不会觉得自己很孤单，能够激励你对数学上有更大的兴趣。假如你自暴自弃，就是说你认为自己不能够在数学上做研究，不能够在数学上达到贡献的话，你永远也达不到，而且同时也影响到你旁边的朋友，使得大家都不能向前走。我们晓得许多出名的数学家甚至在牢里也可以写一些出名的文章，倒不是你永远关在牢里就能做好的文章，是说人在最困难的时候也可以做研究。除了气氛很重要外，你也需要得到先进的支持，从前我们念中学的时候，念了很多关于做学问的方法，从前觉得很好笑，以后念书念得多了以后就觉得这些很重要，事实上这些是很重要的经验。有句话说「学而不思则罔，思而不学则怠」，你单是学而不想是不行的，你单是想而不学也是不行的，这两句话看起来很简单，其实就是怎么分配你的学习跟思想，这是一个很微妙很重要的问题。一个人无论你多用功多天才，你假如不将前人做过的东西去体验去学习，是不可能做好的。这道理很简单，一个人的智慧有限，我们不可能与前面十年、五年所有人做过的加起来的智慧相比，我们要靠前人的经验，要靠他们的启发，才能够向前迈进，虽然有人自夸的讲比他们加起来都行，我不相信这种情形，也没见过这种情形。所以出名的贡献如爱因斯坦、牛顿的贡献，也是在前人的成果方面再向前走一大步或一小步。所以学是一定要的，可是如果你学过这个东西以后而不去思考，不去消化，就算你可以考第一，考一百分，但是你不想是绝对没有用的。我们看过很多出名的天才，十二岁就拿到学士学位，甚至拿了很高分，可是往往我们看不出他以后的成就。为什么很多所谓的天才在以后的科学发展里没有任何的贡献？这是因为他们没有思考，没有思考在科学上完全不会引起任何的波澜、任何的贡献，对于整个科学完全没有好处。所以学了以后一定要思考，怎么分配你的学习跟思考就往往要有导师的帮忙或是同学的帮忙。所谓的帮忙并不是说老师跟你讲你应当这么做或应当怎么做，这样往往是没有很大的效果，所以我刚刚讲的气氛很重要。从人家用功的程度或是讲话的态度的启发，或是讲话的时候能够去听，追根出什么东西来，从它而得到很大的帮助。从前我到柏克莱去念研究所时，我花了很多功夫去听很多不同的科目，有些人觉得很奇怪，为什么我会去听那些课？我觉得这些课对我有好处，过了几十年后我还是觉得有好处。有些课在我去听的当时可能不懂，可是听了还是觉得有好处，因为一个人的脑袋的想法并不是那么简单的，有时候某些东西当时可能不懂，可是慢慢的就能领悟很多东西。我举例来讲，我做博士论文的时候，我刚好要用到群论的东西，当时我问过许多专家，但是都不懂，我突然想到从前在某一课上听过一个有关这方面的论文，我忘了当时讲什么课，但我记得大概在那里可以找这方面的文章，所以我花了2天的时间在图书馆，结果给我找到差不多是我所要的文章。假如当初不去听这门课的话，我完全没有这个机会，所以有时候听一门不懂的课，有很多不同的帮助，所以很多研究生我跟他们讲，你们去听课不一定要懂，你坐在那边总比不坐在那边好，你不坐在那边的话，你完全不可能知道有其它的方法。

我想最后还是你对整个学问有多大兴趣的问题，假如你对这个学问兴趣不大的话，你没办法长年累月的坐在图书馆，坐在办公厅里，或是坐在一个课堂上听课，所以你一定要先决定你对这学问的兴趣有多大，当然做研究还有许多其它方面比较复杂的原因，以后有机会我们再讲下去。我想现在你们在大学的阶段，最要紧的是决定以后你要做什么东西，其它的可能就容易做到了。