第三节 导线测量的内业计算

来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/29 04:08:06

  导线测量的内业计算

 

导线测量内业计算的目的就是计算各导线点的平面坐标x、y。

计算之前，应先全面检查导线测量外业记录、数据是否齐全，有无记错、算错，成果是否符合精度要求，起算数据是否准确。然后绘制计算略图，将各项数据注在图上的相应位置，如图6-11所示。

 

一、坐标计算的基本公式

1．坐标正算

根据直线起点的坐标、直线长度及其坐标方位角计算直线终点的坐标，称为坐标正算。如图6-10所示，已知直线AB起点A的坐标为（xA，yA），AB边的边长及坐标方位角分别为DAB和αAB，需计算直线终点B的坐标。

直线两端点A、B的坐标值之差，称为坐标增量，用ΔxAB、ΔyAB表示。由图6-10可看出坐标增量的计算公式为：

                          （6-1）

根据式（6-1）计算坐标增量时，sin和cos函数值随着α角所在象限而有正负之分，因此算得的坐标增量同样具有正、负号。坐标增量正、负号的规律如表6-5所示。

表6-5  坐标增量正、负号的规律

象限

坐标方位角α

Δx

Δy

Ⅰ

0?～90?

＋

＋

Ⅱ

90?～180?

－

＋

Ⅲ

180?～270?

－

－

Ⅳ

270?～360?

＋

－

则B点坐标的计算公式为：

                                   （6-2） 例6-1  已知AB边的边长及坐标方位角为，若A点的坐标为，试计算终点B的坐标。解  根据式（6-2）得

2．坐标反算

根据直线起点和终点的坐标，计算直线的边长和坐标方位角，称为坐标反算。如图6-10所示，已知直线AB两端点的坐标分别为（xA，yA）和（xB，yB），则直线边长DAB和坐标方位角αAB的计算公式为：

                                           （6-3）

                                                （6-4）

应该注意的是坐标方位角的角值范围在0?～360?间，而arctan函数的角值范围在－90?～＋90?间，两者是不一致的。按式（6-4）计算坐标方位角时，计算出的是象限角，因此，应根据坐标增量Δx、Δy的正、负号，按表6-5决定其所在象限，再把象限角换算成相应的坐标方位角。

例6-2  已知A、B两点的坐标分别为

试计算AB的边长及坐标方位角。

解  计算A、B两点的坐标增量

根据式（6-3）和式（6-4）得 二、闭合导线的坐标计算现以图6-11所注的数据为例（该例为图根导线），结合“闭合导线坐标计算表”的使用，说明闭合导线坐标计算的步骤。

1．准备工作

将校核过的外业观测数据及起算数据填入“闭合导线坐标计算表”中，见表6-6，起算数据用单线标明。

2．角度闭合差的计算与调整

（1）计算角度闭合差  如图6-11所示，n边形闭合导线内角和的理论值为：

                                           （6-5）

式中  n——导线边数或转折角数。

由于观测水平角不可避免地含有误差，致使实测的内角之和 不等于理论值 ，两者之差，称为角度闭合差，用fβ表示，即

                             （6-6）

（2）计算角度闭合差的容许值  角度闭合差的大小反映了水平角观测的质量。各级导线角度闭合差的容许值fβp见表6-3和表6-4，其中图根导线角度闭合差的容许值fβp的计算公式为：         
                                                  （6-7）

如果＞，说明所测水平角不符合要求，应对水平角重新检查或重测。

如果≤，说明所测水平角符合要求，可对所测水平角进行调整。

（3）计算水平角改正数  如角度闭合差不超过角度闭合差的容许值，则将角度闭合差反符号平均分配到各观测水平角中，也就是每个水平角加相同的改正数vβ，vβ的计算公式为：

                                                        （6-8）

计算检核：水平角改正数之和应与角度闭合差大小相等符号相反，即                                                                  

（4）计算改正后的水平角  改正后的水平角βi改等于所测水平角加上水平角改正数                                                        （6-9）

计算检核：改正后的闭合导线内角之和应为（n－2）×180?，本例为540?。

本例中fβ、fβp的计算见表6-5辅助计算栏，水平角的改正数和改正后的水平角见表6-6第3、4栏。

3．推算各边的坐标方位角

根据起始边的已知坐标方位角及改正后的水平角，按式（4-18）和式（4-19）推算其它各导线边的坐标方位角。

本例观测左角，按式（4-18）推算出导线各边的坐标方位角，填入表6-6的第五栏内。

计算检核：最后推算出起始边坐标方位角，它应与原有的起始边已知坐标方位角相等，否则应重新检查计算。

4．坐标增量的计算及其闭合差的调整

（1）计算坐标增量  根据已推算出的导线各边的坐标方位角和相应边的边长，按式（6-1）计算各边的坐标增量。例如，导线边1-2的坐标增量为：                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

用同样的方法，计算出其它各边的坐标增量值，填入表6-6的第7、8两栏的相应格内。

（2）计算坐标增量闭合差  如图6-12a所示，闭合导线，纵、横坐标增量代数和的理论值应为零，即

                                                      （6-10）

    实际上由于导线边长测量误差和角度闭合差调整后的残余误差，使得实际计算所得的、不等于零，从而产生纵坐标增量闭合差Wx和横坐标增量闭合差Wy，即                                                      （6-11）（3）计算导线全长闭合差WD和导线全长相对闭合差WK    从图6-12b可以看出，由于坐标增量闭合差Wx、Wy的存在，使导线不能闭合，1-1′之长度WD称为导线全长闭合差，并用下式计算:                      WD=            （6-12）

仅从WD值的大小还不能说明导线测量的精度，衡量导线测量的精度还应该考虑到导线的总长。将WD与导线全长∑D相比，以分子为1的分数表示，称为导线全长相对闭合差WK，即

                                                  （6-13）

以导线全长相对闭合差WK来衡量导线测量的精度，WK的分母越大，精度越高。不同等级的导线，其导线全长相对闭合差的容许值WKP参见表6-3和表6-4，图根导线的WKP为1/2 000。

如果WK＞WKP，说明成果不合格，此时应对导线的内业计算和外业工作进行检查，必要时须重测。

如果WK≤WKP，说明测量成果符合精度要求，可以进行调整。

本例中Wx 、Wy、WD及WK的计算见表6-6辅助计算栏。

（4）调整坐标标增量闭合差  调整的原则是将Wx 、Wy反号，并按与边长成正比的原则，分配到各边对应的纵、横坐标增量中去。以vxi、vyi分别表示第i边的纵、横坐标增量改正数，即

                                    （6-14）

本例中导线边1-2的坐标增量改正数为：
                        

用同样的方法，计算出其它各导线边的纵、横坐标增量改正数，填入表6-6的第7、8栏坐标增量值相应方格的上方。

计算检核：纵、横坐标增量改正数之和应满足下式

                                                    （6-15）

（5）计算改正后的坐标增量  各边坐标增量计算值加上相应的改正数，即得各边的改正后的坐标增量。

                               （6-16）

本例中导线边1-2改正后的坐标增量为：

用同样的方法，计算出其它各导线边的改正后坐标增量，填入表6-6的第9、10栏内。

计算检核：改正后纵、横坐标增量之代数和应分别为零。

5．计算各导线点的坐标

根据起始点1的已知坐标和改正后各导线边的坐标增量，按下式依次推算出各导线点的坐标：

                                                 （6-17）

将推算出的各导线点坐标，填入表6-6中的第11、12栏内。最后还应再次推算起始点1的坐标，其值应与原有的已知值相等，以作为计算检核。

表6-6  闭合导线坐标计算表


点号

观测角

（左角）

改正数

″

改正角

坐标方位角α

距离D

/m

增量计算值

改正后增量

坐标值

点

号

Δx/m

Δy/m

Δx/m

Δy/m

x/m

y/m

1

2

3

4=2+3

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

 

 

 

335°24′00″

201.60

+5

+183.30

+2

-83.92

+183.35

-83.90

500.00

500.00

1

2

108°27′18″

-10″

108°27′08″

683.35

416.10

2

263°51′08″

263.40

+7

-28.21

+2

-261.89

-28.14

-261.87

3

84°10′18″

-10″

84°10′08″

655.21

154.23

3

168°01′16″

241.00

+7

-235.75

+2

+50.02

-235.68

+50.04

4

135°49′11″

-10″

135°49′01″

419.53

204.27

4

123°50′17″

200.40

+5

-111.59

+1

+166.46

-111.54

+166.47

5

90°07′01″

-10″

90°06′51″

307.99

370.74

5

33°57′08″

231.40

+6

+191.95

+2

+129.24

+192.01

+129.26

1

121°27′02″

-10″

121°26′52″

500.00

500.00

1

335°24′00″

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

∑

540°00′50″

-50″

540°00′00″

 

1137.80

-0.30

-0.90

0

0

 

 

 

辅

助

计

算

                                

                                                                    

                    ＜

 

三、附合导线坐标计算

附合导线的坐标计算与闭合导线的坐标计算基本相同，仅在角度闭合差的计算与坐标增量闭合差的计算方面稍有差别。

1．角度闭合差的计算与调整

（1）计算角度闭合差  如图6-13所示，根据起始边AB的坐标方位角及观测的各右角，按式（4-19）推算CD边的坐标方位角。

  


   
   
    
   
   
写成一般公式为： 

                                   （6-18）

若观测左角，则按下式计算：

                                          （6-19）

附合导线的角度闭合差fβ为：

                                                     （6-20）

（2）调整角度闭合差  当角度闭合差在容许范围内，如果观测的是左角，则将角度闭合差反号平均分配到各左角上；如果观测的是右角，则将角度闭合差同号平均分配到各右角上。

2．坐标增量闭合差的计算

附合导线的坐标增量代数和的理论值应等于终、始两点的已知坐标值之差，即

                                                （6-21）

纵、横坐标增量闭合差为：

                              （6-22）

图6-13所示附合导线坐标计算，见表6-7。

表6-7  附合导线坐标计算表

点

号

观测角

（右角）

改正数

改正角

坐标方位角

α

距离D

/m

增量计算值

改正后增量

坐标值

点

号

Δx/m

Δy/m

Δx/m

Δy/m

x/m

y/m

1

2

3

4=2+3

5

6

7

8

9

10

11

12

13

A

 

 

 

236°44′28″

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

B

205°36′48″

－13″

205°36′35″

1 536.86

837.54

 

B

211°07′53″

125.36

   ＋4

－107.31

     －2

－64.81

－107.27

－64.83

1

290°40′54″

－12″

290°40′42″

1 429.59

772.71

 

1

100°27′11″

98.76

    ＋3

－17.92

    －2

＋97.12

－17.89

＋97.10

2

202°47′08″

－13″

202°46′55″

1 411.70

869.81

 

2

77°40′16″

114.63

    ＋4

+30.88

    －2

＋141.29

＋30.92

＋141.27

3

167°21′56″

－13″

167°21′43″

1 442.62

1 011.08

 

3

90°18′33″

116.44

    ＋3

－0.63

    －2

＋116.44

－0.60

＋116.42

4

175°31′25″

－13″

175°31′12″

1 442.02

1 127.50

 

4

94°47′21″

156.25

   ＋5

－13.05

    －3

＋155.70

－13.00

＋155.67

C

214°09′33″

－13″

214°09′20″

1 429.02

1 283.17

 

C

60°38′01″

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

D

∑

1 256°07′44″

－77″

1 256°06′25″

 

641.44

－108.03

＋445.74

－107.84

＋445.63

 

 

 

辅

助

计

算

                       

                                        

                                                             

 ＜                            

 

 

三、支导线的坐标计算

支导线中没有检核条件，因此没有闭合差产生，导线转折角和计算的坐标增量均不需要进行改正。支导线的计算步骤为：

1．根据观测的转折角推算各边的坐标方位角。

2．根据各边坐标方位角和边长计算坐标增量。

3．根据各边的坐标增量推算各点的坐标。

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