抛物线

百科名片

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。 

　　

1.定义

　　平面内,到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外,F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。　　定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示.p>0.　　以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。

2.抛物线的标准方程

　　抛物线的标准方程有四个：　　右开口抛物线:y^2=2px　　左开口抛物线:y^2=—2px　　上开口抛物线:x^2=2py　　下开口抛物线:x^2=—2py　　p为焦准距（p>0）　　在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线l的方程是x=—p/2； 在抛物线y^2=—2px 中，焦点是(—p/2，0），准线l的方程是x=p/2； 在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线l的方程是y=—p/2； 在抛物线x^2=—2py中，焦点是（0，—p/2），准线l的方程是y=p/2；　　

3.抛物线相关参数(对于向右开口的抛物线)

　　离心率:e=1　　焦点:(p/2,0)　　准线方程l:x=-p/2　　顶点:(0,0)　　通径(定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦)：2P　　定义域（X≥0）　　值域（Y∈R)

4.它的解析式求法：

　　以焦点在X轴上为例　　知道P（x0,y0)　　令所求为y^2=2px　　则有y0^2=2px0　　∴2p=y0^2/x0　　∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x

5.抛物线的光学性质:

　　经过焦点的光线经抛物线反射后的光线平行抛物线的对称轴。

6.抛物线的一段的面积和弧长公式

　　面积 Area=2ab/3　　弧长 Arc length ABC　　=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)

7.其他

　　抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)　　就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c　　a > 0时开口向上　　a < 0时开口向下　　c = 0时抛物线经过原点　　b = 0时抛物线对称轴为y轴　　还有顶点式y = a（x-h）^2 + k　　就是y等于a乘以（x-h）的平方+k　　h是顶点坐标的x　　k是顶点坐标的y 标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是 ：yy0=p(x+x0)　　一般用于求最大值与最小值　　抛物线标准方程:y^2=2px　　它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2　　由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

8.用抛物线的对称性解题

　　我们知道，抛物线y = ax2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。　　例1　已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。　　分析　设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c 。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y = a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3 = -3a。故a =-1。　　∴y = -（x+1）（x-3），即　　y = - x2 + 2x +3。　　例2　已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x =0时y的值。　　分析　要求当x =0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。　　由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。　　∴y = -（x-1）2+ 6，即　　y = - x2 + 2x +5。　　∴当x =0时，y = 5。　　例3　已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积。　　分析　要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y = a（x+1）2+ 4[或y = a（x+3）（x-1）]。　　∵点（1，0）在抛物线上，　　∴4a + 4 = 0。∴a = -1。　　∴y = -（x+1）2+ 4，即　　y = - x2 - 2x +3。　　∴点C的坐标为（0，3）。　　∴S△ABC = 1/2×（4×3）= 6。　　例4　已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根，求四边形ABCD的面积。　　分析　要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x = 1。故顶点A的坐标是（1，4）。从而可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 4[或y = a（x+1）（x-3）]。　　∵点（-1，0）在抛物线上，　　∴4a + 4 = 0。故a = -1。　　∴y = -（x-1）2+ 4，即　　y = - x2 + 2x +3。　　∴点B的坐标为（0，3）。　　连结OA ，则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3＋1/2×3×1＋1/2×3×4=9

9.关于抛物线的相关结论

　　过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有　　① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2　　② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]　　③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P　　④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）　　⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）　　⑥弦长公式：AB=x1+x2+p　　⑦△=b^2-4ac　　⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根　　⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根　　⑶△=b^2-4ac<0没实数根　　⑧由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。　　10.利用抛物线的定义解题　　例：已知F是抛物线y^2=4x的焦点，A（3，2）是一个定点，P是抛物线上的动点，求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。　　解：设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。连结P’F。则：　　|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|　　所以，|PA|+|PF|的最小值是|AH’|，而准线方程x=-1　　故|PA|+|PF|的最小值是4，此时，P’的坐标是（1，2）