细观察、找规律

第九讲 细观察、找规律

　　在第一册第九讲中曾经介绍了“数列”的概念和表示符号。数列就是按照一定规律排列的一列数。

　　最简单的问题是由数列的排列规律写出这个数列或这个数列的某些项。

例1 按下列规律，写出数列的前5项

　　（1）质数从小到大排列成的数列；

　　（2）自然数中的平方数，从小到大排列成的数列；

　　（3）an＝3n＋1；

　　（4）an＝2ⁿ－1；

　　（5）a1＝1，an＋1＝3an＋1。

解：（1）2，3，5，7，11；

　　（2）1，4，9，16，25；

　　（3）a1＝3×1＋l＝4，a2＝3×2＋1＝7，

　　a3＝3×3＋1＝10，a4＝3×4＋1＝13，

　　a5＝3×5＋1＝16；

　　（4）a1＝2¹－1＝1，a2＝2²－1＝3，

　　a3＝2³－1＝7，a⁴＝24－1＝15，

　　a5＝2⁵－1＝31；

　　（5）a1＝1，a2＝3×1＋1＝4，

　　a3＝3×4＋1＝13，

　　a4＝3×13＋1＝40，

　　a5＝3×40＋1＝121。

　　和例1相反，如果给出数列的一些项，要求探究它的构造规律，就需要细致观察，并进行分析。

例2 找出下列各数列的构造规律，并填空。

　　（1）1，3，6，10，15，－－，28；

　　（2）1，8，27，64，－－，216；

　　（3）1，3，7，15，－－，63；

　　（4）1，2，3，5，8，－－，－－，34；

　　（5）2，3，5，7，－－，13。

分析与解：（1）从给出的六个数本身看，看不出什么共同属性。如果分析彼此之间的关系，发现：

　　a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5。是有规律的，“相邻两项的差成等差数列”。照此规律，a6＝a5＋6＝15＋6＝21。

　　已知a7＝28，a7－a6＝7同样是适合的。

　　（2）从互相之间的差看不出什么规律。但从各自属性分析发现：

　　a1＝1³＝1，a2＝2³＝8，a3＝3³＝27，a4＝4³＝64,

　　可以猜测a5＝5³＝125。规律是：“各项等于它的项数的立方”。

　　由a6＝216＝6³也是符合这个规律的。

　　（3）从相邻两项之差看：

　　a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝7－3＝4，a4－a3＝15－7＝8，

　　a5－a4＝16，a5＝a4＋16＝31。

　　已知a6＝63，a6－a5＝63－31＝32。也符合以上规律。

　　a1＝1＝2¹－1，a2＝3＝2²－1，a3＝7＝2³＝1，a4＝15＝2⁴－1，照此规律，a5＝2⁵－1＝31，a6＝2⁶－1＝63。

　　a2＝2al＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，

　　a4＝2a3＋1＝15，照此规律a5＝2a4＋1＝31，

　　a6＝63＝2a5＋1。

　　（4）对这个数列构造规律，需要从更广的角度观察，从相邻三项的关系，发现如下规律：

　　a3＝a1＋a2，a4＝a2＋a3，a5＝a3＋a4，照此规律。

　　a6＝a4＋a5＝5＋8＝13，a7＝a5＋a6＝8＋13＝21。

　　a8＝34＝a6＋a7也符合规律。

　　（5）从各项本身性质，不难发现它们是依次排列的质数（从小到大）。a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝7。照此，a5＝11。

说明：观察、分析数列构造规律，就要从各项的性质，相邻项（两项或三项）之间的关系进行归纳。开始可能是一种猜测，在猜测基础上再进行检验。对于一个无限数列如果给的项数是有限的，规律不是唯一的。如数列2，3，5，……。

　　①如果看作是质数从小到大排列，那么a4＝7，a5＝11；

　　②如果看作是a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，那么a4＝8，a5＝12；

　　③如果看作是a1＝2，a2＝3，a3＝a1＝a2，那么a4＝8，a5＝13。

例3 把自然数按以下规律分组：

　　（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），……；

　　其中第一组1个数，第二组有3个数，第三组有5个数，第四组有7个数，……．求

　　（1）第11组所有数之和；

　　（2）1993排在第几组的第几个数？

解：不难发现每组的数的个数等于它的组序号的2倍减1。就是说第k组有（2k－1）个数。

　　（1）先计算前10组所有数的个数。

　　1＋3＋5＋……＋（2×10－1）＝［1＋（2×10－1）］×10÷2＝100。

　　第11组的第1个数是101，共有（2×11－1）个数。最后一个数是100＋（2×11－1）＝121。

　　第11组所有数之和是：

　　101＋102＋……＋121＝（101＋121）×21÷2＝2331。

　　（2）如果1993在第k组，那么1993必须大于前（k－1）组中所有数的个数，并且不大于前k组中所有数的个数。

　　前（k－1）组数的个数是：

　　1＋3＋5＋……＋［2（k－1）－1］＝｛1＋［2（k－1）－1］｝×（k－1）÷2＝（k－1）2。

　　同理前k组数的个数是k²。

　　（k－1）²＜1993≤k²。

　　又因为44²＝1936，45²＝2025，所以1993在第45组。

　　前44组有1936个数，就是说第44组最后一个数是1936。

　　1993－1936＝57。

　　答：第11组所有数之和是2331，1993排在第45组的第57个数。

说明：通过观察或计算，我们还发现，每一组的最后一个数正好等于它所在组数的平方。利用这个规律解决问题就更简单了。如求第15组的各数之和：

　　第15组的第1个数是14²＋1＝197，第15组最后一个数是15²＝225。这组共有29个数，它们的和是

　　197＋198＋……＋225＝（197＋225）×29÷2＝6119．

　　自然数按例3规律分组。求

　　（1）987排在第几组？

　　（2）第11组和第12组两组中所有数的和是多少？

　　（3）第80组中的正中间是哪个数？

例4 观察下列各数排列规律：

解：（1）通过观察发现，在这个数列中依次排列着：分母是2的有1个数，分母是3的有2个数，分母是4的有3个数，……。如果按分母不同分组：

　　（1＋2＋3＋…＋25）＋11＝（1＋25）×25÷2＋11＝336

　　（2）先考虑第100个位置排在第几组的第几个数。前k组所有数的个数是：

　　估值：k＝13时，S13＝91；k＝14，S14＝105

　　第100个数一定排在第14组。

　　100－91＝9。

　　第100个位置的数排在第14组的第9个数。这组的数的分母是15，这

例5 有一个数列：

　　1，2，3，5，8，13，……。（从第3个数起，每个数恰好等于它前面相邻两个数的和）

　　（1）求第1993个数被6除余几？

　　（2）把以上各数依次按下面方法分组

　　（1），（2，3），（5，8，13），……。（第n组含有n个数）。

　　问第1993组的各数之和被6除余几？

分析：如果能知道第1993个数是哪个数，第1993组有哪些数，问题很容易解决。可是要做到这一点不容易。由于我们所研究的是“余数”，如能构造出数列各项被6除，余数构成的数列，问题也可以得到解决。

解：根据“如果一个数等于几个数的和，那么这个数被a除的余数，等于各个加数被a除的余数的和再被a除的余数”。得到数列各项被6除，余数组成的数列是：

　　1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，……。

　　观察规律，发现到第25项以后又重复出现前24项。呈现周期性变化规律。一个周期内排有24个数。（余数数列的前24项）

　　（1）1993÷24＝83……1。

　　第1993个数是第84个周期的第1个数。因此被6除是余1。

　　（2）因为分组规律是第n组含有n个数。前1992组共有S1992个数，

　　1985028除以24余12，第1992组最后一个数除以6，余数是5，第1993组各数被6除余数是：

　　5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5；……（以后各数周期性变化）。

　　一个周期内24个数之和为66，它被6整除。

　　1993除以24余数为1，因此，第1993组各数之和被6除应该余5。（第1993组的第一个数被6除所得余数）

　　在例5数列中，求它的第1993项被3除余几？被7除余几？

例6 把自然数依次排成以下数阵：

　　1，2，4，7，…

　　3，5，8，…

　　6，9，…

　　10，…

　　如果规定横为行，纵为列。（如8排在第2行第3列）求

　　（1）第10行第5列排的是哪个数？

　　（2）第5行第10列排的是哪个数？

　　（3）1993排在第几行第几列？

分析：这个问题可以从两个方面找规律。（1）第一行是：1，2，4，7，11，……；它们相邻两个数之差是1，2，3，4，5，……。第二行是：3，5，8，12，……；它们相邻两数之差是2，3，4，5……。

　　这样，第10行第一列的数应是

　　1＋2＋3＋4＋…＋10＝55。

　　又因为第10行中，相邻两数的差依次是

　　10，11，12，13，……。所以，第10行第5列的数是

　　55＋10＋11＋12＋13＝101。

　　第5行第10列的数是：

　　（1＋2＋3＋4＋5）＋（5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13）＝96

　　（2）数阵排列规律是：将自然数依次“从右上向左下”成“斜行”往复排列。第一斜行只有1个数，第2斜行有2个数，第3斜行有3个数，……，第n斜行有n个数。

　　“1”排在第1行、第1列，斜行数为1；

　　“2”排在第1行、第2列，斜行数为2；

　　“3”排在第2行、第1列，斜行数为2；

　　“4”排在第1行、第3列，斜行数为3；

　　“5”排在第2行、第2列、斜行数为3；

　　“6”排在第3行、第1列，斜行数为3。

　　行数＋列数－1＝斜行数。

解：（1）第10行、第5列的数是排在第10＋5－1＝14斜行的第10个数：

　　［1＋2＋3＋…＋（10＋5－2）］＋10＝101；

　　（2）［1＋2＋3＋…＋（5＋10－2）］＋5＝96；

　　（3）如果1993排在第k斜行。前（k－1）斜行数的个数是：

　　前k斜行数的个数是：

　　即k（k－1）＜3986＜（k＋1）·k。

　　估算：k＝63时，k（k－1）＝3906，（k＋1）·k＝4032。

　　3902＜3986≤4032。

　　所以1993排在第63斜行内。

　　第62斜行最后一个数是：

　　1993－1953＝40。就是说1993是第63斜行的第40个数。也就是排在第40行。

　　求列数：63＋1－40＝24。（列）

　　答：第10行第5列是101，第5行第10列是96，1993排在第40行第24列。

　　自然数排成例6形式数阵。求

　　（1）第7行第8列的数是哪个数？

　　（2）第8行第7列的数是哪个数？

　　（3）1949排在第几行第几列？