线代试题
一、 判断题:(共24分)
1 若A,B均为n阶方阵,则必有:
(1) AB=BA ( )
(2) |AB|=|BA| ( )
(3) |A+B|=|A|+|B| ( )
(4)
(5)
(6) R(AB)=R(BA) ( )
(7) 若 A2=0,则A=0 ( )
(8) 若ATA=0,则A=0 ( )
2(8分)若A是m×n矩阵,且m≠n,则
(1) 当A的列向量组线性无关时,A的行向量组也线性无关 ( )
(2) 当R(A)=n时,齐次线性方程组AX=0只有零解 ( )
(3) 当R(A)=n时,非齐次线性方程组AX=b,有唯一解 ( )
(4) 当R(A)=m时,非齐次线性方程组AX=b,有无穷多解 ( )
3(8分)若A是实对称矩阵,则
(1) A的特征值全为实数 ( )
(2) A为正定矩阵的充要条件是A的特征值全为正 ( )
(3) 若|A|>0,则A为正定的 ( )
(4) 在二次型f=XTAX中,若经实满秩线性变换X=CY,可将f化为
标准形
二、 填空题(19分)
1 (4分)设
2 (6分)若A为四阶方阵,且|A|=3,A*为A的伴随矩阵,则
|-2A|=__,|A-1|=__, |A*|=__
3 (3分)方阵
4 (4分)已知四元非线性方程组的系数矩阵A的秩为3,
5 二次型
三、 (10分)1、计算
2 、已知A =
四、 (10分)设
五、 (15分)验证二次型
六、 (12分)设
试问当a,b满足什么条件时,
(1)
(2)
(3)
七、 (10分)证明题
1 若A,B均为n阶正交矩阵,试证明AB也是正交矩阵。
2 若
一、1、×√×××××√
2、×√×√
3、√√××
二、1、-5,-6,4,-2
2、48,
3、3,0,5
4、
5、
三、解:1、
2、记
故:
四、解:由
五、解:该二次型的矩阵为:
由特征方程
得特征值
当
基础解系
单位化:
当
基础解系
单位化:
当
基础解系
显然,该向量组两两正交,单位化得:
记
于是正交变换为:
六、解:
所以:当
当
当
当
故:一般表达式为:
七、证明:
1、由于
2、由于
一、 判断题(每小题2分,共14分)
1.设方阵A满足AA=A,则必有A=O或A=E
2.设A,B是不可逆的同阶方阵,则
3.向量组
4.齐次线性方程组
5.方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值不全为零
6.对称矩阵A正定的充分必要条件是
7.若方阵A与B相似,则
二、 填空题(每小题2分,共24分)
1.设
2.
3.齐次线性方程组
4.若方阵A满足
5.若
6.设
三、 设向量组
四、 已知
五、 a,b取何值时,方程组
六、 设
1.求正交阵P,使得
2.设
3. 求矩阵
七、 证明题(10分)
1.设向量组
证明:
2.若A,B均为n阶方矩,且A可逆,证明:BA与AB相似
一、 判断题
1. 错。例如二阶方阵
2. 正确。因为方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零,那么不可逆的充分必要条件是其行列式等于零,而A,B都是不可逆方阵,故它们的行列式相等且都等于零
3. 正确。根据关于向量组相关性的其中一条结论,即任意n+1
4. 正确。齐次线性方程组一定有零解,故如果有两个不同解的话,此齐次线性方程组就一定有非零解,又知非零解乘上任意实数都还是该齐次线性方程组的解,从而得出其解无穷的结论
5. 错。例如若
6. 错。参照线代课本关于对称阵正定的定理结论
7. 对。这是因为存在可逆阵
(k为正整数)命题正确。
二、填空题
1.
2.因
若C=O,则
3.齐次线性方程组
4.若方阵A满足
(由
5.A的特征值是1,2,3。(因为相似矩阵具有相同的特征多项式,从而有相同的特征值,由条件知A和B相似,且B的特征值是1,2,3)
6.三阶矩阵A与
故
二、 解:
2)当
四、解:设
法一:先计算
法二:若
五、解:该方程的增广矩阵为:
1)当
2)当
方程组无解;
3)当
方程组有无穷多解
当
同解方程组为
六、解:1)由特征方程
当
通解:
基础解系:
正交化:
规范化:
当
通解
只需单位化,
记
2)由
其中
从而
故
由上小题结论可以知道,
七、证明
1.证明:
法一:因
故
所以
法二:因
而
所以
法三:(基本方法)设
只要证明有不全为零的数
式(1)整理得到:
由已知条件,向量组
齐次线性方程组(3)的系数矩阵为
易知
即有不全为零的数
所以
2.证明:因为A可逆,即
一、判断题(判断下列各命题是否正确,每小题3分, 共12分)
1、 设
2、
3、 已知向量组
4、 设
二、填空(将正确答案填在题中横线上,每空4分, 共24分)
1、 设
2、 设
3、 设向量组
4、设
5、设
6、 若方程组
7、 设四元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵秩为2,已知
三、求向量组
四、当k取何值时,方程
五、设
六、写出二次型
七、若
八、设
一、 判断题
1、
2、×(不是充分条件)
3、×(是存在不是任意)
4、×(由定义可证)
二、 填空题
1、 0 2、
5、
7、
三、 解:
四、 解:方程组增广矩阵为
五、 解:
且
六、解:
七、证明:
八、证明:
一、 填空题(每小题3分,共36分)
1. 行列式
2. 设A是5阶方阵,且
3. 设A是p
4. 设
5. 若向量组
6. 设A是3阶实对称矩阵,
7. 实对称矩阵
8. 若n阶方阵A满足
9. 设A,B,C都是3阶可逆矩阵,
10. 设
11. 向量组
12. 设
二、 计算行列式
三、 设
四、 设向量组
五、
六、 用正交变换法化二次型为标准形,并写出正交变换(14分)
七、 证明题(10分)
1. 若向量组
2. 设A为n阶方阵,若有正整数k,使
一、填空
1)8 2)
5)1 6)2 0 7)
9)2 10)
二、解:
三、解:由于
又
四、解:
所以,
五、解:该方程组的增广矩阵为:
1)当
2)当
3)当
当
所以,
六、 解:该二次型的矩阵为:
由
得特征值为:
1) 当
2) 当
单位化,得:
故有正交变换:
七、证明:
1、 设存在数
整理,得:
又
所以
所以,
2、设
一. 填空题(每空2分,共16分)
1) 设
2) 设
3) 已知
4) 设
5) 三阶矩阵
6) 二次型
二. 单项选择题(每小题2分,共16分).
1) 设
(a)
(c)
2) 设
(a) 两行(列)元素对应成比例;
(b) 必有一行为其余行的线性组合;
(c)
(d) 任一行为其余行的线性组合.
3) 设
(a)
(c)
4) 设
(a) 若
(b) 对矩阵
(c)
(d) 以上都不对.
5) 设360docimg_502_是一组360docimg_503_维向量, 则下列正确的是( ).
(a) 若360docimg_504_不线性相关, 就一定线性无关;
(b)如果存在360docimg_505_个不全为零的数360docimg_506_使 360docimg_507_,则360docimg_508_线性无关;
(c) 若向量组360docimg_509_线性相关, 则360docimg_510_可由360docimg_511_
线性表示;
(d) 向量组360docimg_512_线性无关的充要条件是360docimg_513_不能由其余360docimg_514_ 个向量线性表示.
6) 矩阵360docimg_515_( )时可能改变其秩.
(a) 转置; (b) 初等变换;
(c) 乘以奇异矩阵; (d) 乘以非奇异矩阵.
7) 设360docimg_516_为可逆矩阵,360docimg_517_, 则下述结论不正确的是( ).
(a) 360docimg_518_; (b) 360docimg_519_;
(c) 360docimg_520_; (d) 360docimg_521_.
8) 若方阵360docimg_522_与360docimg_523_相似, 则有( ).
(a) 360docimg_524_; (b) 360docimg_525_;
(c)对于相同的特征值360docimg_526_,矩阵360docimg_527_与360docimg_528_有相同的特征向量;
(d) 360docimg_529_与360docimg_530_均与同一个对角矩阵相似.
三. (8分) 计算360docimg_531_
四. (12分) 设
360docimg_532_, 360docimg_533_, 360docimg_534_,
求矩阵360docimg_535_使满足360docimg_536_.
五. (12分) 设矩阵360docimg_537_, 求矩阵360docimg_538_的列向量组的一个最大无关组, 并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.
六. (15分). 360docimg_539_取何值时, 非齐次方程组
360docimg_540_
(1) 有唯一解; (2) 无解; (3) 有无穷多个解, 并求解.
七.(15分)求一个正交变换360docimg_541_,将二次型360docimg_542_化为标准形(要求:写出正交变换和标准形).
八.(6分) 设360docimg_543_为360docimg_544_阶可逆矩阵, 360docimg_545_是360docimg_546_的一个特征值, 证明360docimg_547_的伴随矩阵360docimg_548_的特征值之一是360docimg_549_.
一、 填空题
1、-8 2、4,4 3、360docimg_550_
4、1 5、6,360docimg_551_ 6、正 定
二、 单项选择题 CBACACCB
三、 解:360docimg_552_
四、 解:360docimg_553_
360docimg_554_
五、 解:设360docimg_555_,则
360docimg_556_
最大无关组为360docimg_557_
360docimg_558_,360docimg_559_
六、 解:360docimg_560_
(1) 当360docimg_561_且360docimg_562_时有唯一解
(2) 当360docimg_563_时无解
(3) 当360docimg_564_和360docimg_565_时有无穷多解
360docimg_566_ 时,通解为360docimg_567_;
360docimg_568_ 时,通解为360docimg_569_,360docimg_570_
(通解表达形式不唯一)
七、解:二次型f的矩阵为360docimg_571_
360docimg_572_
360docimg_573_
360docimg_574_
360docimg_575_,(P形式不唯一)
且标准形为:360docimg_576_
七、 证明:设360docimg_577_为360docimg_578_的对应于360docimg_579_的特征向量,则360docimg_580_。
由于360docimg_581_可逆,所以360docimg_582_
360docimg_583_ 即360docimg_584_为360docimg_585_的一个特征值。