中考数学专项讲解 数形结合思想.doc
来源:百度文库 编辑:神马文学网 时间:2024/05/13 04:44:51
中考数学专项讲解 数形结合思想
知识梳理
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的.
华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休.”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性,是中考数学的一个最重要数学思想.
典型例题
一、在数与式中的应用
【例1】实数 、b在数轴上的位置如图所示,化简 =_________.
【分析】 由数轴上 ,b的位置可以得到 <0,b>0且 , .
【解】
【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……,则搭n条“金鱼”需要火柴_________根.
【分析】 由图形可知,搭1条金鱼需要8根火柴棒,后面每多一条就多6根火柴棒,所以搭n条金鱼共需8+6(n-1)=(6n+2)根火柴棒.
【解】6n+2
二、在方程、不等式中的应用
【例3】 (08聊城)已知关于x的不等式组 的整数解共有2个,则 的取值范围是___________.
【分析】解不等式组得解集为 ,我们可以将x<2标注在数轴上,要使得不等式组有2个整数解,由图象可知整数解为0,1,则 应在-1~0之间,且可以等于-1,但不能为0,所以以的取值范围是-l≤ <0.
【解】 1≤n<0
【例4】 (08南通)用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是 ( )
A. B.
C. D.
【分析】 根据图象我们可以知道这个方程组的解为 ,只要将解进行代入检验即可.
【解】D
【例5】 已知二次函数y= x2+bx+c的图象如图所示,若关于x的方程 x2+bx+c-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为 ( )
A.k>3 B.k=3 C.k<3 D.无法确定
【分析】 如果根据b2-4 c的符号来判别解的情况,本题将无从入手,可将原方程变形为 x2+bx+c=k,从而理解成是两个函数的交点问题,即 ,由图象可知只要y=k<3就一定定与抛物线有两个不同的交点,所以答案选C.
【解】C
三、在函数中的应用
【例6】 (08安徽)如图为二次函数y= x2+bx+c的图象,在下列说法中:
① c<0 ②方程 x2+bx+c=0的根是x1=-1,x2=3 ③ +b+c>0 ④当x>1时,y随x的增大而增大
正确的说法有__________.(把正确的答案的序号都填在横线上)
【分析】 由图象可知,开口向上,与x轴交于-1和3两点,与y轴交于负半轴,则 >0,c<0;由对称性知对称轴x=1,所以结论①②④正确.
【解】①②④
【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示,为经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).要跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 米,入水处距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误,
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是如图抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为3导米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.
【分析】(1)在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式,
就要确定抛物线上三个点的坐标,如起跳点O(0,0),入水点
(2,-10),最高点的纵点标为 .
(2)求出抛物线的解析式后,要判断此次跳水会不会失误,
就是要看当该运动员在距池边水平距离为 米, 时,
该运动员距水面高度与5米的关系.
【解】(1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A,入水点为B,抛物线的解析式为y= x2+bx+c,由图可知,O,B两点的坐标依次为(0,0)(2,-10),且顶点A的纵坐标为 ,则 ,解得 或 抛物线的对称轴在y轴右侧, .又 抛物线开口向下, , ,c=0, .
(2)当运动员在空中距池边距离为 米时,即 时, , 此时运动员距水面高为 .因此,试跳会出现失误.
四、在概率统计中的应用
【例8】(05江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一次问卷调查,要求读者选出自己最喜欢的一个版面,将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图:
(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息;
(2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图,并说明这两幅统计图各有什么特点;
(3)请你根据上述数据,对该报社提出一条合理的建议.
【分析】 观察条形统计图可以计算出调查总人数,画扇形统计图需计算出第一版、第二版的百分比和圆心角,分别为 , ,建议可从不足的方面提出.
【解】(1)参加调查的人数为5000人;
(2)如图所示:条形统计图能清楚地表示出喜欢各版
面的读者人数.扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的
读者人数占所调查的总人数的百分比.
(3)如:建议改进第二版的内容,提高文章质量,内容更贴近生活,形式更活泼些.
综合训练
1.“数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点P所表示的数是 ”,这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做 ( )
A.代入法 B.数形结合 C.换元法 D.分类讨论
2.(08大连)如图,两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温,那么这天的最高气温比最低气温高 ( )
A.5℃ B.7℃ C.12℃ D.-12℃
3.某人从A地向B地打长途电话6分钟,按通话时间收费,3分钟以内收费2.4元,此后每加1分钟加收1元,则表示电话费y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是
( )
4.若M ,N , 三点都在函数 (k<0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 ( )
A.y2>y3>y1 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
5.关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限( )
6.(08临沂)若不等式组 的解集为x<0,则 的取值范围为 ( )
A. >0 B. =0 C. >4 D. =4
7.(08镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目:
函数y=x2-x+m(m为常数)的图象如图所示,如果x= 时,y<0;那么x= -1时,函数值 ( )
A.y<0 B.0m D.y=m
下面是福娃们的讨论,请你解答该题.
贝贝:我注意到当x=0时,y=m>0.
晶晶:我发现图象的对称轴为x=
欢欢:我判断出x1<迎迎:我认为关键要判断 -1的符号.
妮妮:m可以取一个特殊的值.
8.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=150°,OA=OB=2,则点A、B的坐标分别是_________和_________.
9.在边长为 的正方形中,挖掉一个边长为b的小正方形( >b)如图1,把余下的部分剪拼成一个矩形如图2,通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是_______________.
10.(08绍兴)如图,已知函数y=x+b和y= x+3的图象交点为P,则不等式x+b> x+3
的解集为__________.
11.方程组 的解是__________.
12.(08广州)如图,为实数 、b在数轴上的位置,化简 .
13.(02南京)(1)阅读下面材料:点A、B在数轴上分别表示实数 、b,A、B两点之间的距离表示为 .当A、B两点中有一点在原点时,
不妨设点A在原点,如图1, ;
当A、B两点都不在原点时,
①如图2,点A、B都在原点的右边 ;
②如图3,点A、B都在原点的左边, ;
③如图4,点A、B在原点的两边, .
(2)回答下列问题:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________;
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是_________,如果 ,那么x为__________;
③当代数式 取最小值时,相应的x的取值范围是____________.
14.(08苏州)某厂生产一种产品,图①是该厂第一季度三个月产量的统计图,图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图,统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据.
根据上述信息,回答下列问题:
(1)该厂第一季度_________月份的产量最高.
(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的___________%.
(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样,抽检结果发现样品的合格率为98%.请你估计:该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程)
15.(08恩施)如图所示,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8;设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;
(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 的最小值.
16.如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.
参考答案
1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C
8. (2,0) 9. 2-b2=( +b)( -b)
10.x>1 11.(0,-1)
12.原式=- -b-(b- )=-2b
13.①3 3 4 ② 1或-3 ③-l≤x≤2
14.(1)三 (2)30 (3)(1900-38%)×98%=4900
15.(1)
(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小
(3)如下图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连结AE交BD于点C.AE的长即为代数式 的最小值.
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,则AB=DF=2,AF=BD=12.所以 即 的最小值为13.
16.(1) 抛物线与y轴交于点C(0,3), 设抛物线解析式为y= x2+bx+3( ≠0)
根据题意,得 ,解得 , 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
(2)存在. 由y=-x2+2x+3得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1.
①若以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y),根据勾股定理,
得x2+(3-y) 2=(x-1) 2+(4-y) 2,即y=4-x.又P点(x,y)在抛物线上,
4-x=-x2+2x+3,即x2-3x+1=0. 解得 ,因 <1,应舍去.
,即点P坐标为 .
②若以CD为一腰,因为点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,此时点P坐标为(2,3).
符合条件的点P坐标为 或(2,3).
(3)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理,得CB= ,CD= ,BD= . CB2+CD2=BD2=20, ∠BCD=90°,
设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中,
CF=DF=1, ∠CDF=45°,
由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2,3), DM∥BC,
四边形BCDM为直角梯形,由∠BCD=90°及题意可知,以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在.
综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3)坐标.
知识梳理
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的.
华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休.”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性,是中考数学的一个最重要数学思想.
典型例题
一、在数与式中的应用
【例1】实数
【分析】 由数轴上
【解】
【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……,则搭n条“金鱼”需要火柴_________根.
【分析】 由图形可知,搭1条金鱼需要8根火柴棒,后面每多一条就多6根火柴棒,所以搭n条金鱼共需8+6(n-1)=(6n+2)根火柴棒.
【解】6n+2
二、在方程、不等式中的应用
【例3】 (08聊城)已知关于x的不等式组
【分析】解不等式组得解集为
【解】 1≤n<0
A.
C.
【分析】 根据图象我们可以知道这个方程组的解为
【解】D
【例5】 已知二次函数y=
A.k>3 B.k=3 C.k<3 D.无法确定
【分析】 如果根据b2-4
【解】C
三、在函数中的应用
【例6】 (08安徽)如图为二次函数y=
①
正确的说法有__________.(把正确的答案的序号都填在横线上)
【分析】 由图象可知,开口向上,与x轴交于-1和3两点,与y轴交于负半轴,则
【解】①②④
【例7】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线如图所示,为经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).要跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面
(1)求这条抛物线的解析式;
【分析】(1)在给出的直角坐标系中,要确定抛物线的解析式,
就要确定抛物线上三个点的坐标,如起跳点O(0,0),入水点
(2,-10),最高点的纵点标为
(2)求出抛物线的解析式后,要判断此次跳水会不会失误,
就是要看当该运动员在距池边水平距离为
该运动员距水面高度与5米的关系.
【解】(1)在给定的直角坐标系下,设最高点为A,入水点为B,抛物线的解析式为y=
(2)当运动员在空中距池边距离为
四、在概率统计中的应用
【例8】(05江西)某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况,对读者作了一次问卷调查,要求读者选出自己最喜欢的一个版面,将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图:
(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息;
(2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图,并说明这两幅统计图各有什么特点;
(3)请你根据上述数据,对该报社提出一条合理的建议.
【解】(1)参加调查的人数为5000人;
(2)如图所示:条形统计图能清楚地表示出喜欢各版
面的读者人数.扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的
读者人数占所调查的总人数的百分比.
(3)如:建议改进第二版的内容,提高文章质量,内容更贴近生活,形式更活泼些.
综合训练
1.“数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点P所表示的数是
A.代入法 B.数形结合 C.换元法 D.分类讨论
2.(08大连)如图,两温度计读数分别为我国某地今年2月份某天的最低气温与最高气温,那么这天的最高气温比最低气温高 ( )
A.5℃ B.7℃ C.12℃ D.-12℃
3.某人从A地向B地打长途电话6分钟,按通话时间收费,3分钟以内收费2.4元,此后每加1分钟加收1元,则表示电话费y(元)与通话时间(分)之间的关系的图象正确的是
( )
4.若M
A.y2>y3>y1 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
5.关于x的一元二次方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限( )
6.(08临沂)若不等式组
A.
7.(08镇江)福娃们在一起探讨研究下面的题目:
函数y=x2-x+m(m为常数)的图象如图所示,如果x=
下面是福娃们的讨论,请你解答该题.
贝贝:我注意到当x=0时,y=m>0.
晶晶:我发现图象的对称轴为x=
欢欢:我判断出x1<
妮妮:m可以取一个特殊的值.
8.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=150°,OA=OB=2,则点A、B的坐标分别是_________和_________.
10.(08绍兴)如图,已知函数y=x+b和y=
的解集为__________.
11.方程组
12.(08广州)如图,为实数
13.(02南京)(1)阅读下面材料:点A、B在数轴上分别表示实数
不妨设点A在原点,如图1,
当A、B两点都不在原点时,
①如图2,点A、B都在原点的右边
②如图3,点A、B都在原点的左边,
③如图4,点A、B在原点的两边,
(2)回答下列问题:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_______,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________;
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是_________,如果
③当代数式
14.(08苏州)某厂生产一种产品,图①是该厂第一季度三个月产量的统计图,图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图,统计员在制作图①、图②时漏填了部分数据.
根据上述信息,回答下列问题:
(1)该厂第一季度_________月份的产量最高.
(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的___________%.
(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样,抽检结果发现样品的合格率为98%.请你估计:该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程)
15.(08恩施)如图所示,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8;设CD=x.
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;
(2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式
16.如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.
参考答案
1.B 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.C
8.
10.x>1 11.(0,-1)
12.原式=-
13.①3 3 4 ②
14.(1)三 (2)30 (3)(1900-38%)×98%=4900
15.(1)
(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小
(3)如下图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连结AE交BD于点C.AE的长即为代数式
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,则AB=DF=2,AF=BD=12.所以
16.(1)
根据题意,得
(2)存在. 由y=-x2+2x+3得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1.
①若以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y),根据勾股定理,
得x2+(3-y) 2=(x-1) 2+(4-y) 2,即y=4-x.又P点(x,y)在抛物线上,
②若以CD为一腰,因为点P在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,此时点P坐标为(2,3).
(3)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理,得CB=
设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中,
由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2,3),
综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3)坐标.