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来源：百度文库 编辑：神马文学网 时间：2024/04/24 19:13:15

动态规划详解 第一章
首先让我们看一个例子：
例1：如下图有一个数字三角阵，请编一个程序计算从顶点至底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字的和最大。每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走。
7
5  3
4  2  1
2  1  3  7
这个问题的实质实际上是一个有向图中最长路经问题，可以用经典的图论算法或者搜索来解决。
考虑如何用搜索法来解这道题，从第一个点开始扩展，每次扩展2个可行节点，直到达到数字三角形的底部，从所有的可行路径中找出最优值，这样做的复杂度是o(2^n)，当n很大的时候，普通的搜索法将不可行。
观察发现，搜索的效率低下很大程度上是因为做了大量的重复运算，因为对于任何一个节点，从他开始向下拓展的最优值是确定的，这启发了我们应当充分利用之前的运算结果。
下面我们来进行深入的分析，假如已经走第I行第J列，此时最大累加和S[I，J]应选S[I-1，J]，S[I-1，J+1]中较大者再加上（I，J）处的值A[I，J]，即下式
S[I，J]=A[I，J]+MAX（S[I-1，J]，S[I-1，J+1]）
所以我们可以从第一行开始，向下逐行推出每一处位置的最大累加和S，最后从底行的N个S中选出最大的一个即为所求，这种算法的复杂度为o(n^2)，比较搜索法，已经大大的降低了，这种充分利用已经计算出结果的方法，就叫做动态规划。
通过上面的例子，我们对“动态规划”有了一个初步认识，它所处理的问题是一个“多阶段决策问题”。我们现在对一些概念进行具体定义：
状态（State）：它表示事物的性质，是描述“动态规划”中的“单元”的量。如例1中的每个节点（指节点处的最大值）都为单个的状态。
阶段（Stage）：阶段是一些性质相近，可以同时处理的状态集合。通常，一个问题可以由处理的先后次序划分为几个阶段。如例1中的问题，每一行若干节点组成一个阶段。一个阶段既可以包含多个状态，也可以只包含一个状态。描述各阶段状态的变量称为状态变量，例1中可用S[4 , j]来表示第四阶段（即第四行）走到第j列的最大值，即第四阶段状态变量。
状态转移方程：是前一个阶段的状态转移到后一个的状态的演变规律，是关于两个相邻阶段状态的方程，是“动态规划”的中心。
如例1中： S[I，J]=A[I，J]+MAX（S[I-1，J]，S[I-1，J+1]）
决策（Decision）：每个阶段做出的某种选择性的行动。它是我们程序所需要完成的选择。如例1中MAX（S[I-1，J]，S[I-1，J+1]）
动态规划所处理的问题是一个“多阶段决策问题”，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线（通常是求最优的活动路线）
从上面的讲解我们可以发现：动态规划并不像一种算法，而更像一种思考方式。
下面，我们来讨论动态规划的应用范围，要确定一个问题是否能用动态规划，需要考虑两个方面：
一：最优子结构
即一个问题的最优解只取决于其子问题的最优解，也就是说，非最优解对问题的求解没有影响。我们再来看一个问题：
例二：有4个点，分别是A、B、C、D，相邻两点用两条连线，表示两条通行的道路，给出每条道路的长度。我们定义从A到D的所有路径中，长度除以4所得余数最小的路径为最优路径。求一条最优路径。
很多初学者往往会认为这道题也可以采用动态规划的方法，但实际并不如此，考虑这种情况
假如A-B的两条道路分别为2，3,B-C的两条道路分别为1，4。如果采用动态规划，节点B的最优值为2，节点C的最优值2，但际上到达C的最优值应该是0，即3-1这条线路。
也就是说，C的最优取值不是由B的最优取值决定的，其不具有最优子结构。
由此可见，并不是所有的“决策问题”都可以用“动态规划”来解决。所以，只有当一个问题呈现出最优子结构时，“动态规划”才可能是一个合适的侯选方法。
二：无后效性
即一个问题被划分阶段后，阶段I中的状态只能由阶段I-1中的状态通过状态转移方程得来，与其他状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系，这就是无后效性。
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