数的由来和发展（2）

零的历史
对于零，首见要讨论的是，有两种相当重要的使用方式，而这两种使用的场合有一些不同。其中一个是在我们的位置符号系统中，零被当作空白位置的表示符号。因此，像是数字 2106 中 0 就被用来让 2 与 1 表示在正确的位置上。显然的 216 的义意就与 2106 相当的不同。在零的使用在概念上、符号表示上及名称上，就有钗h的不同。
这些不同的使用，就历史的角度都不是容易说的明白的。它就是没有某个人发明这个想法，继之钗h人开始使用它的历史。就客观的说法，零的使用一点也不是直觉的概念。数学的问题开始于真实的问题与抽象的问题。在早先历史里的数字被想成较为具体的事物与之今日的抽象概念数字是大不相同的。从五匹马到"五个事物"然后再到抽象的概念"五"是个很大的跳跃。如果古时人们解决有关农夫需要多少马匹的问题时，问题就不会是以 0 或 -23 来当作答案。
你可能认为对一个位置的数字系统来说会产生 0 来作为空白位置的指示符号是必要的想法，as a empty place indicator is a necessary idea, 可是巴比伦人虽然有位置表示的数字系统，但是确超过一千年的时间没有这个表示空白位置的符号产生。加之完全没有任何的证据指出巴比伦人感觉到它们所使用的数字系统有令人模棱两可的严重问题。令人注意的是巴比伦数学的时期所保存下来的原始的文章里，符号是被压印进未烘干的泥板上，使用尖笔在软的泥板上书写，所以会留下楔形的形状的边，所以现在我们都把巴比伦的文字叫做楔形文字。钗h大约公元前一千七百年前附近的泥板被保存下来，并且清楚到可以让我们来辨别原始的文字。当然他们对数字的表达方式与现今是大不相同的，他们使用六十进制的而不是我们习惯的十进制。如果将它们的数字转换成我们的符号表示法，是无法辨认 2106 与 216 这两个数字间的不同的（巴比伦文章的前后关系可以指出它是什么数字）。这个问题直到公元前四百年前左右时巴比伦人才放进二个楔形的符号，就像我们将放进零来指示到底是 216 或是 21"6 。
这个两个楔形并不是唯一被使用的符号，在古美索不达米亚的巴比伦城东边的一座名为 Ki**（现今伊拉克的中南部）所发现的泥板上，就使用了不一样的符号。这个泥板被认定的时间大概在公元前七百年前，使用三个扣钩的符号来表示位置符号数字系统中的空白位置。其它的同时期的泥板使用一个扣钩的符号来表示空白的位置。有一个共同的特色是使用不同的记号来表示一个空白的位置。需指出一个事实是，它没有出现在数字位结尾处，但是却总是在两个位数字之间。所以尽管我们曾经发现 21 ‘’ 6 ，但是却从没有看到 216 ‘’ 的情形。你可能假想古时候的感觉那就是文章本身是充分指出所讨论的数是什么数字。
如果指出这种参照文章脉络的的前后关系是愚蠢的话，那么注意到我们今日仍用类似的方法来表达数字。如果我搭乘巴士到附近的城镇，当我询问车票的价格时，人车说是" "**‘s three fifty" 那么意思是三磅加五十便士。然而如果换作搭飞机从爱丁堡到纽约的机票价格，相同的答案，我们却知道是三百五十磅。
从这里我们了解早期零的使用是用来表示空白的位置而不是当作一个数字的零来使用，仅仅是当作某种标点符号标记使得数字能有正确的解释。
到现在，将零视为空白位置的表示符号都认为是古希腊对现今数学上的贡献，其实是从古巴比伦人的数学里就已经被使用了。然而希腊人并没有采用位置化的数字系统。思考这个事实的深远意义是很有价值的，也就是说光辉的希腊数学家们的成就并不能让他们采用巴比伦人已曾经使用具有各种优点的位置化数字系统？我们即将所谈论的这个问题的简单答案是较令人不可思议的，基本上我们必须知道希腊的数学成就是建立在几合上的。虽然欧几里得的几合原本 Euclid’s Elements 是包含在一部探讨数论的书里，但是它是以几合为立基的。换句话说，希腊的数学家并不需要给数字命名，因为他们工作上所使用的数字就如同线段的长度一般。商人们使用的数用才须要被命名并记录下来，而数学家并不需要，因此不需要非常聪明的数字表示系统。
我们刚提及的事情是有例外的。例外的就是那些牵涉到记录复杂的天文数据的数学家们。今日我们所能认定的"表示零的符号"的最早符号使用记录，是由希腊的天文数学家使用符号 O 所开始的。有钗h理论讨论为什么是使用这个特别的符号。某些历史学家倾向于把它视为 omicron (希腊字母第十五个字母)的这种说法，然而 Neugebauer 却不认为这个看法，因为希腊人已经使用 omicron 当做 70 这个数字了(希腊的数字系统是建立在它们的字母上的)，他认为是因为希腊字表示"没有东西"的第一个字读做 "ouden"。其它的解释认为它建立在 "obol"，一种古希腊的银币(几乎没有价值的钱币)而当计算的人在计算沙板所产生的。这里的猜测是当计算的人在沙上移去东西后所留下的空的圆柱形的凹陷部份，而它看起来就像是 O。
托勒密在公元一百三十年左右时使用巴比伦人的六十进制系统连同表示空白位置的符号 O。这个期间托勒密在数字间及数字尾端使用这个符号。您可能认为至此将零视为空白位置的表示符号终于坚实的确立了。但是然而这与事实是相距甚远的。仅有少数一些例外的天文学家使用这种标示法而之后很长的一段时间都没有人再使用它了。托勒密当然是把它当作某种的标点符号，而这种想法接着出现在印度的数学里。
现在让场影移动到印度，在这里可以公正的认为今日我们所使用的高度发展的数系是从印度的数字及数字系统逐步演进而来的。当然这并不是说，印度的数字并未从早期的成就而来，钗h的数学史家相信印度人对零的使用是从希腊天文学家那儿演进而来的。而且一些数学史家似乎用非理性的方式刻意眨低印度人在数学发展上的贡献，也有人论断印度人发明零的事实太过于夸张。例如： Mukherjee 论断:-
... 这个零的数学概念 ... 也在从17 000年前的印度精神里表现出来。
可以确定的是在公元六百五十年左右印度的数学家使用零当作一个数字。印度人也使用位值系统而将零当作空白位置的表示符号。事实上有证据显示在公元二百年的印度就有位置数字系统的空白位置表示符号的使用了，但是一些历史家将它们视为伪造而不去注意到它们。让我们稍后再对这件事做个细查，因为它延续了上述讨论的发展。
在大约公元五百年左右 Aryabhata 设计了一种数字系统，这种系统是位值系统但是还没有使用到零。他使用 "kha" 这个字来表示位置并且后来被使用来称作零的名字。有证据显示，在早期的印度人的手写稿里，他们曾经使用小圆点来表示位值系统中的空白位置。有趣的是在同样的文件中有时也使用小圆点来表示未知数，而这在今日我们通常使用 x 来表示它。较晚的印度数学家对零已赋与其名，但仍旧没有表示它的符号。众所公认的印度人使用零的最早记录是在公元八百七十六年所写下的。
我们有一段记载在石头上的铭文，在它上面有一个转换成公元的八百七十六年的日期数字。这段铭文是关于 Delhi 南方四百公里的一座城镇 Gwalior ，在这个城镇里他们用种植了二百七十株戟状植物，可每日供应足够当地神壂所需的五十个花环的数量。而记载所提及的 270 及 50 都表示成几乎就是今日的样子，稍微不同的只是零比较小而用浮雕的方式。
where they planted a garden 187 by 270 hastas which would produce enough flowers to allow 50 garlands per day to be given to the local temple. Both of the numbers 270 and 50 are denoted almost as they appear today although the 0 is smaller and slightly raised.
现在我们来讨论零被初次当作数字的事情。首先我们注意到就任何的角度来说，零作为数字的候选人都是极不自然的。从早期数字被视为一类物体相关的字词，之后数字的概念愈来愈抽象，这个抽象过程让人们思考到负数及零的数字变得很有可能的。当人们试着将零及负数视为数字的同时会产生的问题是它们在算术的加减乘除的运算中与其它的整数间的互相作用为何？在三本极重要的著书中，印度的数学家 Brahmagupta， Mahavira 和 Bhaskara 试着回答这些问题。
Brahmagupta 试着给出在七世纪时牵涉到零及负数的算数运算法则。他解释道：给定一个数然后你将此数与自己相减，然后就会得到零。接着给出了牵涉到零的加法法则：─
负数与零的和仍是负数，正数与零的和是正数，零与零的和仍旧是零。
减法就有些困难：─零减掉负数结果是正数，零减去正数的结果是负数；负数减去零结果仍是负数，正数减去零的结果仍是正数，而零减去零之结果仍旧是仍零。
Brahmagupta 接着说任何数乘上零结果是零，但是对于除法来说就遇到困难了：─
当被零分割时也就是当零作为分数的分母时其结果是正数或是负数，当零被负数或是正数所除时结果都是零；或者可以表示成以零当作分子而有限量当作分母的分数。零除以零其结果是零。
实际上，当 Brahmagupta 在猜测 n 除以零表示成 n/0 的时候是谈论的相当少的。很显然的是他在此处遭遇到了困难。当他在论断零除以零得到结果是零的时候，当然是错的。然而从第一个人试着扩充运算法则到零及负数的这件事情来说，这是个伟大的尝试。
在公元八百三十年左右，就在 Brahmagupta 写下他的名作后约二百年后， Mahavira 写下了 Ganita Sara Samgraha 这本书，这本书是被设来作为 Brahmagupta 的书的更新版本。他正确的描述道：─
...一个数乘上零结果是零，一个数减去零后结果仍旧是本身。
然而这本试着增进 Brahmagupta的书，在描述被零分割的事情上似乎导致了错误。他写道：─一个数被零分割的结果似乎还是它自己并未改变。
因为这很明显是不正确的，但是你有否注意到我所使用的措词"似乎导致了错误"可视为令人困惑的。用词的原因是某些对于 Mahavira 这本书的评论家已试着找出对这种错误的陈述的辩解。
Bhaskara 这本书写成于 Brahmagupta 书成后五百年。不管时间的推移，他仍然对于除以零这个问题努力的作出解释。他写道：─一量被零分割变成一个分母是零的分数。这个分数被叫做无限量。尽管钗h的次序规则被吸收或是提出，虽然钗h可能被插入或是扩充，这个数是由零来做为它的除数是没有改变的，如同当世界被创造或摧毁时无限及永恒不变的神没有任何的改变发生一般。
所以 Bhaskara 试着藉由 n/0 = 来解决这个问题。一开始我们可能会倾向于相信 Bhaskara 让这件事情变得正确了。但是当然是没有的。如果对这是对的话，也就是说 0 乘上 一定等于任意数 n，所以所有的数都相同了。即使 Bhaskara 对于零的其它性质做了正确的描述，例如 02 = 0，以及 0 = 0。但是印度的数学家就是无法鼓起勇气来说一个数无法被零来分割。
也意识到在这个时间点有一个另外的文明发展了另一套位值数字系统还有零。也就是生活在中美洲的马雅人文明。今日占领这个区域的国家有墨西哥南部、瓜地马拉、及巴里斯的北部。这是一个古老的文明大约兴盛于公元二百五十年至九百年间。我们知道大约公元六百六十五年左右他们使用一种以二十为基底的位置数字系统而且有一个代表零的符号。然而他们对于零的使用回溯到较此时期更远的时候，甚至在他们采用位值数系之前就已经开始使用了。这是一项卓越的成就可惜并未对其他民族产生影响。
印度数学辉煌的成果被转译到较远西方，诸如伊斯兰的及阿拉伯的数学。在早期 al‘Khwarizmi 写下了 Al’Khwarizmi on the Hindu Art of Reckoning (印度人计算的艺术)，在书中描述了以印度数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 及 0 所建立起的位值系统。这项工作是在现在的伊拉克进行的，是最早使用零来当作空白位置的标示符号。Ibn Ezra 在十二世纪时写了三篇论文来探讨数字，有助于将印度的数字元号及十进制的分数概念带给欧洲博学的人们了解。这本书 The Book of the Number 描述了对整数的十进制系统及从左到右的位值表示系统。在这项工作里 ibn Ezra 将零称做 galgal ，意思是车轮或是圆圈。十二世纪稍晚时期， al-Samawal 写道：─
如果用零来减去一正数其结果是同值的负数 ... 如果我们用零减去负数其结果是同值的正数。