数学猜想能力与数学个性的培养

黄凌云
山东师范大学数科院01级1班       山东  济南
摘要：数学能力的提高十分重要，本文就关于
主要论述了以下五个方面的问题：一，中国数学教育的不足之处；二，数学教育改革的必要性；三，数学猜想的理念与思维特点；三，数学猜想与数学教育改革的联系，由此确立了改革的方向和目标；四；改革的实际操作。
关键词：数学创造力，数学想象力，数学猜想，数学个性，数学教育改革
正文
一直以来，我们都非常重视数学学科的教育，并且强调数学能力的培养。可是在我国的
数学教育体制和理念下培养出来的学生有一个共同的显著的特点，数学解题能力很强，可是
没有数学的创造力和想象力，不能发现数学问题，在数学领域的研究中不能采取主动，开发
出新的研究对象，得到创设性的研究成果。社会在快速地向前发展，国家之间综合国力的竞
争在日趋激烈。“科学技术是第一生产力”[1]，而一切科学技术的基础是数学，所以数学能
力的提高是至关重要的。
一，中国数学教育的不足之处：
传统中国数学的教育是存在着不少不足之处的，它典型地体现在以下三个方面：
1．  理论分析过甚，解决实际问题能力不足。注重理论分析，是中国传统数学的习性，
国人擅长理论分析，这是一种民族传统。对一个问题透彻的理论分析没什么不好，可是“木
桶理论”[2]告诉我们：一个由许多块长短不同的木板箍成的木桶，决定其容水量大小的并
非是其中最长的那块木板或全部木板长度的平均值，而是取决于其中最短的那块木板。所以
只是擅长理论分析是远远不够的。
中国数学教育的弊端在于两个方面，是数学教育忽视对学生发现数学问题的能力的培养，是完全没有意识到的对学生数学个性的培养。点能力对学生一生的各方面发展都有很大的裨益，两点能力在数学猜想中便能很好的表现出来，且能有机结合在一起,是学生数学智慧的产生的最有效途径。
数学猜想指的是由非逻辑思维初步判断认为可能成立又未经逻辑证明的命题。是数学探究活动中的最基本方式，表现为思维主体从一定依据出发，用逻辑手段，接获得猜想性命题的创造性思维过程。数学猜想是数学探究活动的直接结果，如歌德巴赫猜想，费马猜想等等。其实数学猜想就好比一般科学中的假设，关于假设，恩格斯有一段精彩的论述：“只要自然科学思维着，它的发展形式就是假设。一个新的事实被观察到了，它使得过去用来说明和它同类的事实的方式不中用了。从这一瞬间起，就需要新的说明方式了——它最初仅仅是以有限数量的事实和观察为基础，进一步的观察材料会使这些假设纯化，取消一些，修正一些，直到最后纯粹地构成定律．如果要等待构成定律的材料纯粹化起来，那么，在此以前就要把运用思维的研究停下来，而定律也就永远不会出现．”（1）数学中的众多假设，诸如集合论中的康托连续统假设，数论中的黎曼猜想等等，都曾在数学的发展过程中起过巨大的推动作用。著名数学家和教育学家波利亚在他的著作《数学与猜想》中明确指出：“数学的创造过程和其它任何知识的创造过程是一样的，在证明一个数学定理之前，你得先猜测这个定理的内容，在你做出完全详细的证明之前，你先得推测证明的思路……只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测，合情推理占有相当的位置。”（2）
数学猜想作为一种创造性的思维活动，它有三种基本的思维形式，分别是直觉判别，直觉想象和直觉推断。
在数学探究活动中，直觉判别表现为人脑对于数学对象结构关系的一种迅速的识别，直接的理解,综合的判断。数学猜想的直觉判别体现了数学思维的洞察力。直觉思维具有潜意识性，潜意识的导向和控制保证了思维能够有效地进行，朝着期望的目标迈进，而潜意识构成的意识导向由两个层次构成，一为经验判断，二为审美判断。所谓经验判别，既为当我们面对一个具体的数学问题时，首先必须判别该问题与大脑所储存的各种信息之间的关系，通过检索，找到与先前经验结果的某种相对应，直接判断问题的类型和解决的方略．在这个过程中，要迅速确定“是什么”，而不去细究一连串的“为什么”．并且针对“是什么”做出回答，它不是逻辑的确认，是概略的认识．形成的结果，称为猜想的判别。另一种直觉判别层次称为审美判别，审美判别这是一种层次更高的直觉判别方式．法国大数学家庞加莱认为，数学的直觉能力实际上就是从许多数学结构和形式的系列中，进行鉴别和选择的能力．而鉴别的标准与选择的依据，就是人们对于数学的审美情趣．根据庞加莱的理解，数学美的基本特征是和谐统一．他曾经说过，数学方法和理解的优美，就是“各个部分之间的和谐、对称，恰到好处的平衡．简而言之，数学美既指井然有序，统一协调，使得我们对整体和细节都能有清楚的认识和理解”[3]．数学直觉思维是在潜意识状态下进行的思维，所以，首先必须对这种潜意识形成的数学结构和形式做出选择，判别何种方案比较合理，以便进一步思维，直至抓住对象的本质联系．而支配这种选择和判别的，正是对于数学对象和结构和谐统一的审美情感．数学的创造如此，对数学的理解亦是如此． “美是真理的光辉”，审美判别得到的数学猜想结果会是奇妙而美丽的。
数学猜想在数学探究活动中表现出的对于数学对象结构关系的直觉想象，也就是人脑通过已有表象进行加工、改造、创造新形象，从而对思维对象的模糊估量、整体把握和关系连接，称为数学的直觉想象，亦称数学思维的想象力。在许多情况下，思维主体并不能仅仅根据所面临的问题情境做出一定的判别来．问题所提供的信息不充分，具有许多空白点，需要用想象填补这种空白，才能形成一个大致的判断．这种想象来自思考者长期记忆中的各种储存，它们随意地组合，没有固定的逻辑形式，但想象的思维方式是有一定逻辑内涵的，沿着这条逻辑内涵的道路，通过想象和填补的工作，得到顺其自然的结果。 直觉想象主要表现为物理直觉想象和几何直觉想象．物理直觉想象为将特定的数学对象及其关系想象为某个物理模型，通过物理模型的真实特性，猜想数学对象的本质关系．这种做法是极其有效的，因为它建立在数学科学与物理世界的深刻联系之上．它是从物理角度得到的猜想。而从数学角度，亦可以得到很好的猜想结论。途径便是几何的直觉想象。所谓几何的直觉想象，就是把特定数学对象的抽象结构关系想象为某个几何图形，利用几何图形在视觉形象上所呈现出的几何性质，猜想抽象结构的本质特性．此几何直觉想象的基础在于在数学内部结构中，数于形的关系非常密切，从一定意义上说，数学正是通过数和形的相互结合、相互转化而不断发展过来的．于是可知，几何直觉想象是合理并且能有效利用的。
数学猜想中的直觉推断与逻辑思维中的推断的地位是一样的。直觉推断表现为在直觉想象的基础上，由一个或几个直觉判别，直接推出另一个直觉判别的思维过程。它应用直觉想象，对思维对象（或其组成元素）进行多次转换，往往在某种情景下自发完成，没有固定模式，得到一种猜想的结论，一种启发．这种直觉推断是一种更具创造性的思维形式，它根据同一趋势延续下去的假设，和特定的直觉想象，不断地将思维目标延拓到当前情景之外，最后获得所需结论。
“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现”。纵观数学发展史,很多的数学结论都是从猜想开始的。中国学生数学解题能力举世闻名，但卓越数学家少如鳞角，大都只能为别人构建的数学大厦添砖加瓦，自己不能独立地得出数学成果，发现新的数学问题，构建更新的数学体系。因为中国学生不善于发现问题，没有创造性，也没有按自己思路解决问题的毅力和勇气，既是没有数学个性。众所周知，发现问题比解决问题更重要，所以中国数学教育没有重视数学猜想的学习和训练是很不正确的。
前苏联著名心理学家克鲁捷茨基，对数学能力进行了十多年的研究，他在其著作中就明确指出：“数学有两种能力,一种是“掌握、再现以及独立运用数学信息”的“‘学校式’能力,另一种则是“创造了具有社会价值的新成果的创造性数学能力”。造新成果的创造性数学能力是所有的研究者都赞成的唯一的一件事，学头脑本身的品质,是独特的 ‘非逻辑’推理的能力、数学想象力或幻想,组合能力等等”[4]。数学家们也认为发现数学问题、判断一个问题是否属于数学问题,是我们解决数学问题的第一步。我国著名数学教育专家张奠宙教授曾提到一个实例:我国的一名留美学生在研究一个问题时找不到头绪,而一名美国学生判断出那是一个微积分问题,于是我国留学生很快利用微积分把它解决了。论文发表时美国留学生的名字写在前面,因为是他首先提出了解决问题的方向,没有他的判断,我国留学生的微积分再好也没有用武之地。这个例子充分说明了“学校式”数学能力的缺陷:只具备这种能力的人才,他就只能做二手工作。还有一个例子，我国的一位数学留学生,在学位论文撰写前的预考中名列第一,但开始写论文时他却始终想不出题目,只好请导师命题,结果被导师辞退。这位导师显然认为,发现数学问题是他的研究生必须具备的能力,没有这种能力,解题再厉害也是不合格的学生。所以说只具有“学校式”的数学能力，并不能算是合格的数学人才”。
具有创造能力的人才才是我们应该努力培养的，数学的创造性主要体现在数学猜想上，主要体现在这种“非逻辑”的思维能力上。所以在数学教育的改革理念上，我们首先要重视的是数学猜想能力的培养。
在数学的学习和研究过程中，数学个性是非常重要的概念，它包括学生以怎样的态度，怎样的角度，怎样的思维和怎样的方式去看待和对待所接触到的数学问题，它包括学生所形成的数学价值观，既数学对于这个世界到底意味着什么，它还包括最本质的数学精神，坚持，发现，想象，创造。数学个性对于一个学习数学的人和研究数学的人的重要性是不言而喻的。对于学习数学的人来说，有一个合适的数学个性，有利于他（她）形成正确的世界观，人生观，及生活的态度。人对了，态度对了，这个世界也就对了。而形成自己的数学个性，是一个研究数学的人生命的开始，没有这样的个性，数学研究无从谈起，更别奢望会有怎样突破性的发现和研究成果。所以，数学个性的建立，万万忽视不得。
不同研习数学的人，对于相同的数学问题，会从不同的角度出发，根据不同的经验、知识结构和灵感闪现，得出不同的猜想结果。通过与已经被逻辑证明了的大家公认的定理的对比，猜想者会发现自己的缺陷和误差，甚至是错误，发现思维的路线，在这种对比过后，真诚地改正，在不断地改正中前进，形成合理的适合自己的思维方式，研究态度，猜想理念，及精神追求，这样数学个性就会有效形成并且健康地发展。
只有在数学猜想的过程中才能自由并且自然地形成数学个性，所以在数学教育改革中要注意数学猜想的训练和指导。
关于怎样加数学猜想的训练，笔者有几点想法。
一、转变观念　　长期以来,数学教学中存在着一种忽视猜想思维的倾向,认为数学具有严密性,培养的是逻辑思维能力,不能把非逻辑的思维引入课堂，严重扼杀学生的猜想天性。笔者认为,猜想意识、猜想能力是从学习过程中逐步形成和提高的,猜想的问题也是从简单到复杂,从低层次向高层次转化的,猜想思维也是一种重要的基本思维,猜想思维的训练对于培养能力,开发智力,发展思想有着重要的作用。
二、培养学生的猜想兴趣   爱因斯坦说过:“兴趣是最好的老师”，所以在实际教学中应多介绍一些科学家的著名猜想及在科学发明中的作用。如介绍德国数学家哥德巴赫的著名猜想的来龙去脉,及我国数学家陈景润等人的杰出贡献等。激励学生的猜想欲望,培养猜想的兴趣。养成良好的数学个性。
三、充分暴露数学思维过程,引导学生积极猜想       这点是极其重要的，充分暴露数学思维过程应成为数学教师的重要任务，当然老师要暴露数学思维过程,很大程度上要是来源于数学家的思维活动,而数学家的思维活动往往是从猜想开始的。在讲授某数学结论时,可引导学生模拟数学家的思维过程,进行大胆的猜想,通过探索,发现数学结论,从而让学生尝到成功的喜悦,体会到“猜想”的“甘甜”。
四、在解题过程中运用猜想,培养猜想能力　    优化解题方法,往往离不开猜想。在解题过称中应该注意充分利用直觉,洞察题目中已知与未知的连结点,做出猜想、预测,然后论证猜想。
另外还需注意的是，猜想不可能一猜就成功,有可能猜错,教师应正面引导学生重新再猜,树立猜想的决心和勇气，以及教师必须提醒学生，不可以用猜想代替论证，猜想需经过严格的证明。这是我们应该教给他们（她们）的东西。这也才会是一个完全的完美的结局。
这样我们的学生才不会变成只会解题的士兵，而可以成为掌控数学的将军。才能体会数学的乐趣，发现数学的真理，最终得到数学的智慧。挥着数学的翅膀在天空快乐自由肆意地飞翔，这是我们愿意看到的。
参考文献：[1]《邓小平文选》第三卷  第274页*人民出版社
[1]恩格斯*〈〈自然辨证法〉〉*中共中央编译局译*北京*人民出版社*
[2]波利亚*《数学与猜想》*李心灿译*北京*科学出版社*
[3]庞加莱*〈〈科学的价值〉〉*李醒民译*北京*光明日报出版社*
[4]克鲁捷茨基*〈〈中小学数学能力心理学〉〉*上海*上海教育出版社*
摘要
数学猜想对学生数学能力的培养有决定性的作用,尤其有利于数学的创造力的发展和数学个性的形成.研习数学的人的数学生命完全由这两方面的能力来决定,没有创造性,没有形成一定的数学个性,将在数学的领域中一事无成.所以我们的数学教育改革要注意数学猜想能力的培养.
关键词
数学猜想、数学教育改革、数学创造性、数学个性