数学定理不存在完美的选举制

                      数学定理：不存在完美的选举制
　　
　　樊弓
　　
　　古迷和云儿在楼下探讨哪种选举制度好。都有道理。不过数学上有个著名的阿罗定理 (Arrow’s Theorem): 任何一种选举制度都是不完美的。阿罗还因此获得诺贝尔经济学奖。
　　
　　如果是企图寻找无弊病的选举制度，那就跟梦想规尺三等分角一样，早就没戏了。比如说，有人认为两轮选举制优越。其实用阿罗的思想很容易举出反例：
　　
　　假定某国有１００公民，分属左、中、右三派。选民倾向：
　　
　　左派：４１，
　　中派：３０， 但这３０人里面，１５人偏左，１５人右倾。
　　右派：２９。
　　
　　如果是一轮选举，则老左当选。
　　
　　两轮选举时，如果大家都不玩猫腻，则老左老中第一轮胜出。但在第二轮，右派退而求其次挺老中，则老中以 ５９：４１ 最终当选。
　　
　　但老左不甘心坐以待毙，于是在第一轮暗地里派遣两人投老右，造成老中落选，老左老右分别以３９、３１票胜出。到了第二轮再玩真的。那时老中分裂成１５左１５右，则老左以５６：４４胜。
　　
　　对于其它的选举制度，类似的反例还很多。
　　
　　忙里偷闲，随想随打。

　　选举的困境之二：多数服从少数
　　
　　樊弓
　　
　　对于向往民主自由的人来说，民主从来就不是十全十美的。楼下提到的阿罗定理，就是在数学上严格地证明：就连民主制度赖以存在的选举，都不能保证不出毛病。人们常常误以为民主是少数服从多数（例如楼下林思云关于中国人不适合民主的文章）。事实上，民主选举常常可以选出大多数人所反对的候选人。就象台湾上届选举，连、宋的人马加起来是多数，而陈水扁却是渔翁得利。
　　
　　于是，在民主制度下承认选举结果，就意味着多数也必须服从少数。这种布什胜戈尔的困境在美国历史上好象是出现过三四次。
　　
　　晓刚因此撰写长文，推崇澳洲的＂优先票投票制＂。 认为这种制度基本上解决了相对多数制的所有弊病。这个判断其实也早就被阿罗定理否定多年了。
　　
　　本坛讨论了三种选举制度：
　　
　　１。简单多数制（plurality）
　　２。两轮选举制（runoff，第一轮得票前两名在第二轮一决雌雄）
　　３。晓刚的＂优先票投票制＂（此处误读晓刚，请见末尾附注），这在选举学上又叫＂波达计数法＂，即 Borda count。 假如有三个候选人，则每个选民给最中意者３分，次中意者２分，最讨厌的给１分。然后把每个候选人的总得分加起来，分数面前人人平等。
　　
　　然而，数学家 Saari 举过一个很有意思的反例：在一定情况下，三个候选人谁当选完全取决于用哪种选举法。 而且每种选举制度都是选出多数人不满意的候选人。
　　
　　假定有一个百人社会，分成左中右三派，各派出一个候选人。三派选民的分布如下：
　　
　　左派：４０， 同时亲中反右
　　中派：２５， 同时亲右反左
　　右派：３５， 同时亲中反左
　　
　　如果用简单多数制，则左派胜。于是中派右派大呼上当，我们可是有６０％的选民最讨厌左派！民主制度下怎么能让多数人都最反对的人当选呢？这不改革怎么成？
　　
　　于是有人提议采用两轮投票制度。那么结果会怎么样呢？由于中间派只有２５％，第一轮被淘汰。但是由于中派亲右，于是右派在第二轮以 ６０：４０ 击败左派当选。
　　
　　这个结果够不够民主呢？那就看你怎么说了。 右派怎么说也只代表了３５％ 的选民。 而且，左派实际上可以操纵选举结果。对于左派来说，右派当选是下下之策。由于胜算渺茫，其最佳策略是在第一轮忍痛割爱，把票投给中派，造成中派当选的最终结局。这种鼓励做票的选举制度显然也是太不完美了。
　　
　　那么，用波达计数法又如何呢？在这种选举制度下，
　　
　　左派（４０人）： 给老左３分，老中２分，老右１分
　　中派（２５人）： 给老左１分，老中３分，老右２分
　　右派（３５人）： 给老左１分，老中２分，老右３分
　　
　　总计：
　　老左：４０x３＋２５x１＋３５x１＝１８０分
　　老中：４０x２＋２５x３＋３５x２＝２２５分
　　老右：４０x１＋２５x２＋３５x３＝１９５分
　　
　　于是老中当选。可是，老中是三派中的最少数派。 在民主制度下怎么能让最少数派的代理人当选呢？
　　
　　阿罗的最终结论有趣得很。只要搞民主选举，不论用什么选举法，在数学上都无法避免类似的困境：选民（即多数人）不满意的候选人当选。
　　
　　从数学上避免困?span href="tag.php?name=%B3%B5%C4%A3" onclick="tagshow(event)" class="t_tag">车模⒀【伲⒎绞街挥幸桓觯憾啦谩Ｔ谡庵郑⒀【僦贫龋⑾拢绻颐羌俣ǘ啦谜呤抢碇堑亩沂敲髦堑模敲此欢ㄊ茄〕鋈逖∶穸甲盥獾暮蜓∪恕Ｒ蛭逖∶窬褪嵌啦谜咦约骸＞拮哉颐蝗さ睦Ь场Ｖ劣谏钤诙啦弥碌某济竦钠茫腿茨嵌啦谜呦胩幌胩恕?br /> 　　
　　独裁＂选举制＂在商界并不罕见。如果５１％的股份控制在大股东手里，那么股东大会的选举其实就是独裁。
　　
　　对于全社会来说，是选择充满困境的民主呢，还是享受（数学上）十全十美的独裁？
　　
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　　附注：经晓刚指正，澳洲的选举制度不是波达计数法。因误读晓刚文章，特向晓刚致歉。澳洲的选举制度在选举学上称为 single transferable vote. 在三个候选人的情形下澳洲制度其结果等同于两轮选举制。 其弊病也在本文已经讨论，不另赘述。
　　
　　选举的困境之三：搞不懂的民意
　　
　　樊弓
　　
　　云儿古迷晓刚探讨选举制度的优劣。这题目既有意义，又有趣味。于是忍不住继续上来凑热闹。云儿近作《有没有较好的选举制？》，提出了一个很深刻的论点：在一些情况下，并不存在所谓的民意。因为并不存在"民意"，也就不存在反映民意的选举。与其讨论怎样选举，不如讨论怎样判定民意。 这倒是很新颖，想想又是十分有道理。不能不借题发挥一番。
　　
　　记得胡平有篇文章，其中有一段大意好象是说，民主就是几个醋气熏天的魔鬼（即政客）争夺一位妇人（选民）的青睐。 而这妇人还得具有水性杨花朝秦暮楚的美德才行。的确，那位女士要是嫁鸡随鸡，嫁狗随狗，紧跟领袖毛主席，海枯石烂不变心，那就变成专制了。
　　
　　不仅这"民意"本身水性杨花朝秦暮楚。就算民意不变，有人问你什么叫做民意，这都不是一个简单的问题。云儿的文章让人不禁纳闷："民意"该怎么定义呀？
　　
　　我们可以举出至少三种方法定义民意。每种定义都有道理。但是，在适当情形下，符合三种定义的三种民意竟然可以完全对立。这不能不是个十分有趣的现象。
　　
　　最简定义：获得最多选民支持的候选人是民意的代表。
　　
　　可以说，以简单多数为胜的选举制度就是基于这个定义。这简单多数制（plurality)的最大优点恐怕就是简单。然而只要有可能，"简单"二字是件很值得寻求的事情。在老美这里，学会了一个 KISS 法则。 也就是说，无论干什么，都得尽量 KISS。 这里的 KISS 当然不是找小姐亲一口，而是：
　　
　　Keep it simple, stupid! （怎么翻呢？是不是：＂简单点，蠢货！＂）
　　
　　当然，简单有简单的弊病，也就是有时会违背云儿的民意定义。这云儿定义刚好跟选举学上的康多西准则（Condorcet criterion）暗和。
　　
　　康多西准则：在一对一的比较之下，能被选民认定比其它所有竞争者都要更优秀的那个候选人才代表民意。
　　
　　这康氏民意代表的优点，刚好弥补了最简定义的缺点。康多西优胜者不会是受到多数选民反对的候选人。不过康多西准则的缺点则正好跟最简定义的优点相反，一对一比较稍微麻烦了点。两个候选人比一遍，三个比三遍，十个候选人可就要比四十五遍。好在现在可以用电脑，这个麻烦还可以接受。最糟糕的是，比了半天搞不好成了咱们小时候玩的锤子、剪刀、布，转了个圈。你比我强，我比他漂亮，他比你有风度。谁也胜不出来。这就是云儿说的民意不存在。严格点说，不是民意不存在，而是满足康多西准则的民意不存在。
　　
　　那么，能不能再来个民意定义，能够避免前两种定义的缺点呢？我们不妨试试把选民的支持程度加以度量化，把波达计数法（Borda count）推广一点，成为一种量化定义：
　　
　　量化定义：每个选民对各候选人从０到１０打分以示支持程度。总积分最高者代表民意。
　　
　　是不是这个量化定义就完美地表达了民意呢？当然不是。我们可以把本系列上一篇的例子修改一下，看看三个定义的结果是什么。
　　
　　假定一个社会里，选民分成左中右三派，各有一个代理人。三派选民的分布如下：
　　
　　左派：４９％， 对左中右的支持度分别为：１０、３、０，亲中反右
　　中间派：３％， 对左中右的支持度分别为：０、１０、５，亲右反左
　　右派：４８％， 对左中右的支持度分别为：０、５、１０，亲中反左
　　
　　按照最简定义，老左代表民意，但 ５１％ 的选民坚决反左。
　　
　　同时，在一对一的情况下，老中是左右逢源，老中对老左时，右派认为老中相对更可取。老中对老右时，左派又容不得右派，于是中间派代理人扫遍天下无敌手，按照康多西定义，民意是骑墙。
　　
　　最后，依照量化定义，左中右所得的支持程度比例为 ４９０：４１７：４９５。于是右派代表了民意。
　　
　　（附注：量化定义恐怕只能用于民意测验，不能用来作选举制度。如果用来选举，那么选民的最佳策略是尽量抬高本方候选人的分数，同时尽量压低其它竞争者。这样的量也就没太大意义，跟最简定义差不多了。）
　　
　　三种意义下的民意，结果竟然南辕北辙。最简定义中的最广泛民意（左派），恰好是康氏定义中的最不受支持的民意。 而康氏定义下的最强大的民意（中间派），竟然在量化定义下得到最弱的支持，而在最简定义下简直就是一小撮。这执政后的困难可想而知。
　　
　　三种民意定义，每一种都不能认为毫无道理。然而结果居然可以如此对立。请注意，民意在这里是简化成不变。要是让民意朝三暮四那就更无解了。
　　
　　回到云儿的问题：虽然不能十全十美，有没有较好的选举制度呢？
　　
　　这就要问：有没有公认的“好”？即使有，这“好”的程度是不是能够有一个大家能接受的度量和比较的标准？如果答案是肯定的，那么两种选举制度的相对优劣才有可能加以判断。否则，这“较好”也难。
　　
　　晓刚补充说：民主选举的目的并不是为了选出最优秀的候选人。我们至少可以说，即使没有选出“最优秀”的总统，也不是民主制度的失败。
　　
　　选举不仅仅是手段。选举本身就是目的。选举的过程比选举的结果更重要。只要这个过程还存在，即使选错了还可以再来。没有民主选举那是万万不能的。至于用什么方式选举，那是可以继续讨论的事情。