科学松鼠会 ? 投机也要讲策略

感谢留言指出文中错误的同学，大谢！读者群太强大鸟，赶快老老实实更正。还有什么错误，大家继续上老虎凳辣椒水吧，俺全改！

一提到赌徒人们都皱起眉头，仿佛他们都是一副输到裤头还两眼放光的穷光蛋。其实，这样抑制不住投机的冲动，不停往老虎机里扔钱的家伙只能是最低级的赌徒。啥都讲究个术业有专攻不是么，赌博界当然也不例外。今年暑期档一个挺好看的电影，21点，就是根据MIT一群数学系学生在拉斯维加斯捞钱的故事改编的。认真说来，他们赢庄家本质上还是靠出老千。不过，若没有数学做后盾，男主角是根本赚不出哈佛医学院的学费的。电影中，“维加斯小分队”的头儿，统计学教授罗萨在他的课堂上物色学生，出了一道题：

有三扇关着的门，其中一扇后面有金子，另两扇后面是山羊。游戏的主持人知道哪扇门后面有金子，请你先挑一扇。然后他打开另两扇门之中有山羊的那个，问你要不要改变主意押另一扇门。这时，你换还是不换？

全班沉默中，我们的男主角轻描淡写地说，当然要换。开始时三选一，金子出现在你的门后概率是1/3，在另两扇门后的概率是2/3。当知道两扇中的一扇是山羊以后，那2/3的概率全落到了另一扇上。那么当然要改变策略，选择2/3那扇门啦。

初听起来有点违反直觉是不是？两扇门中一扇有金子，为什么机会不是1/2对1/2？抛开数学天才的直觉和常人不同这一点，让我们利用常识和逻辑来看看怎么回事吧。

事情的关键在于主持人不是随机地开门，他只能打开有山羊的门。如果主持人可以打开任意的门，下面左边列出了所有可能的情况：

1）
主持人    你          
  羊       羊        金子

2）
  你     主持人    
  羊       羊        金子

3）
主持人              你
  羊       羊        金子

4）
          主持人    你
  羊       羊        金子

5）
你                   主持人                  你        主持人
羊         羊        金子         —-〉   羊        羊        金子

6）
           你        主持人                  主持人   你    
羊         羊        金子         —-〉   羊        羊       金子

在1）和2）中，换到另一扇门就赢了，在3）中换门就输了。 在1)、2)两种情况下，你换门就赢了，其他四种情况换门都是输。那么，在主持人随机开门时，如果你选择改变，三次中就有两次赢 六次中只有两次赢，胜率是1/3。这和你从三扇门中猜中有金子那扇的概率是一样的，也就是说主持人开不开门根本没影响。

现在，好玩的地方来了。因为主持人被限制只能打开有羊的门，那么在5)和6)的情况下，他只好被迫放弃金子选择羊（如虚线箭头所指）。那么，本来你输的两种情况，主持人拱手把金子让给你了。这下，输赢成了2比4，胜率变成了2/3。

我们还可以换一种角度来想。或者这样想，不管怎么样都换。如果你先选中山羊，百分之百赢；如果先选中金子，百分之百输。而选中山羊的概率是2/3，选中金子的概率是1/3。所以不管怎样都换的话，2/3的机会得手。

这个思路可以解释我们的直觉不准在哪里。我们的第一感觉认为我先挑和主持人先挑是一样的，而实际上先后次序很重要。试想改变一下游戏规则，主持人先打开有羊的门，再让我们挑。这时还剩下一只羊和一堆金子，从羊换到金子还是从金子换到羊的概率都是1/2。因为在主持人“拿掉”一只羊以后，我们选中羊的概率就不再是2/3，而减小成1/2了。

我们多数人都没有天才的直觉，但我们可以学习有条理地分析问题，来弥补“先天不足”。上面的例子中，思路分成了两步：首先考虑先选中羊是什么结果（百分之百赢），先选中金子是什么结果（百分之百输）；然后再考虑选中羊的概率是多少，选中金子的概率是多少。这样推理的逻辑就变得清晰顺畅了。

在涉及到稍微复杂一点的概率问题时，上面的“分步分析法”经常能拨云见日。把它养成一种习惯，在日常生活中也派得上用场的哦。比如，它可以帮助你判断抓阄的时候是先抓好还是后抓好。就假设有三个阄，由甲、乙、丙三个人依次来抓，其中之一有奖。那么三个人抓中的机会是不是一样的呢？还是甲的机会更大？看上去丙最倒霉，剩下什么就是什么，没得一点选择的余地。嗯，这是我们的直觉，下面该理性来发挥作用了。

甲面对三个阄，一个有奖两个没奖，抓中的机会是1/3，抓空的机会是2/3。这个很容易。接下来，乙的情况就不那么一目了然了。我们来分情况讨论：首先，如果甲抓中了，那乙百分之百没戏；如果甲抓了个空的，乙在剩下的两个里二选一，抓到奖的机会是1/2。第二步，甲抓中的机会是1/3，这1/3里乙百分之百没戏；甲抓空的机会是2/3，这2/3的情况中乙有一半的机会获奖。2/3的一半就是1/3，所以乙1/3的机会获奖，1/3的机会抓空。最后，因为在丙抓之前谁也不知道甲到底中没中，所以两种情况都有可能。那么，乙抓中的机会就是1/3，抓空的机会是1/3 + 1/3 = 2/3。哈，看来先选并不能给甲带来什么优势。如果你验证一下丙，会得到同样的概率。

这样看来，即使是猜金子和抓阄儿这种碰运气的事情，也是要先经过大脑的。有时改变主意可以增大胜率，有时却不必在乎先后次序。到底采取什么策略，还得看看数学规律是咋说的哈。

看到这里，不喜欢术语或者公式的同学们，可以离开这个页面啦。下面是本文用数学语言翻译过后的版本：

这篇文章其实说的就是所谓“条件概率”。如果我们想知道两件事A和B同时发生的概率，就要分别找出已知A发生的前提下B发生的概率和A发生的概率，然后把两者相乘。写成公式，即

P(A,B) = P(B|A)*P(A) 

在猜金子的例子里，我们计算“选中羊”的获胜概率，那么A就对应于“选中羊”这个事件，B对应于“获胜”这个事件。选中羊且获胜的概率 = 选中羊的前提下有多大可能获胜 x 选中羊的概率 = 100% x 2/3 = 2/3。 哈，答案也是吻合的。

好了，休息时间到，我们去看“21”吧。