哥德尔的世界

哥德尔的世界 1 流浪

希尔伯特的整个数学世界的形式化垮台(尽管我很崇拜希尔伯特，我更敬佩哥德尔)，哥德尔的不完备性在整个科学理论界，从哲学到数学，从认知科学到生物科学，可以说是被“泛滥”地应用了。上次在W3C论坛看到一个讨论关于能否让计算机突破不完备性的限制，有位版主的回答很让我思考了一下，他说不完备性限制的仅仅是形式系统，如果可以建立形式以外的系统，说不定就成功了。回过头来，从哥德尔的理论产生的年代看起，其实有过不少类似的讨论，只是我以前看的那些皮毛都是被人家转述过的，怎么也得被中间人添加了些不同的东西。现在按照我闲暇时间的看书进度把我仔细阅读歌德尔的传记而理解的东西记录下来，将来在参考一 下。

30年代初美国教育家Flexner用新泽西百货大楼继承人投资的三千万企图建立一个“让没用的知识有用化”的学校。他实际上创建的 是一个纯思想家的殿堂，位于普林斯顿的红砖墙内的象牙塔,名字就叫高等研究院IAS，网址：http://www.ias.edu。用他自己的思想，那就是数学家或者纯理论家好养活，呵呵，一些人，一些书，黑板，笔和纸就成了那些疯狂的思想家的全部。1932年IAS就招收了世界上驰名的2位大科学 家，Veblen和爱因斯坦。后者是不用多说的，我只能够说纳粹德国成就了美国的科学技术（有位美国教育家就曾经说过：“希特勒在那里摇树，我在下面捡苹果。”便宜了那些美国佬）。前者之出名不亚于爱因斯坦，他就是Church的导师，按照我刚才查看的数据，他在数学家族谱上有5545个弟子！（Church的成就我就不说了。。。Church还是图灵的导师。。。真是江山代有人才在啊。。。）与此同时，匈牙利的冯诺伊曼也到了新泽西，并开始制造第一台计算机，这让Flexner倡导的“纯理论”大学的承诺不攻自破。爱因斯坦当时跟Flexner要年薪3000，结果Flexner给他的年薪是 16，000。那个时候，爱因斯坦的名气之大，以至于当时的人们都叫普林斯顿高等研究院为“爱因斯坦学院”。

歌德尔去普林斯顿讲学的时候还不是很出名(1934)，至少跟爱因斯坦比还差的远。但是在普林斯顿，爱因斯坦经常跟歌德尔散步讨论问题，他们也可以说是忘年交阿，据爱因斯坦的助手 Straus回忆，他们2个很不相同，却建立了深厚友谊，对对方都是十分赞赏。歌德尔的思维在常人看来也是怪异的，估计这也和爱因斯坦本人对上号了。呵 呵，这里还记载了一则笑话。1953年爱因斯坦跟Straus说：“你知道不，歌德尔是完全疯了。”Straus回答他说：“他还能更糟糕么？”爱因斯坦 说：“能，他居然投票给了艾森豪威尔”。

歌德尔在23岁那年就证明了后来轰动世界的不完备性理论，那年是1930。他的这一成就是与海森 堡的不确定理论，爱因斯坦的相对论三足鼎立的，一起撼动了整个纯粹科学的根基。不完备性的出现对于数学领域是一个噩梦：数学不再是领悟宇宙和一切的语言， 不再是神的语言，而成为了20世纪科学界不确定思潮的一部分。在歌德尔的世界里，没有任何东西的出现是偶然的；没有哪个系统是建立在不变化的基础上的；真 理都是虚构的。当时甚至有作家称歌德尔是数学界的魔鬼。

哥德尔的世界 2 数学／科学的客观性

天才在常人看来都是疯子。哥德尔在别人的眼中是固执而高傲的，而跟他关系最好的科学家就是爱因斯坦。有一次普林斯顿举行晚宴，天体物理学家Bahcall自 我介绍给哥德尔时，告诉哥德尔他自己是物理学家，哥德尔淡淡回复了一句被后人视为他的名言之一的话：“我不相信自然科学”。确实，哥德尔痛恨的就是随机的 东西，在逻辑的世界里，他要杜绝没有规律的东西。哲学家Nagel回忆说哥德尔不相信进化论，因为他是极端的二元论者。哥德尔甚至跟Nagel说斯大林也 不相信进化论，但斯大林却是很聪明的一个人，让对方哑口无言。乔姆斯基（学编译的都知道乔姆斯基文法，语言学家），呵呵，也尝试过哥德尔的厉害。乔姆斯基 问哥德尔最近在忙什么，哥德尔的回信恐怕是自从17世纪莱布尼茨到当时都没有人敢说的：“我在试图证明自然界遵循先验的规律。。。”爱因斯坦也说过哥德尔 是不相信经验的，但是他和哥德尔的友谊确实最深厚的，他们两人基本上除了对方外，不再跟其他科学家谈话。

牛人总是喜欢和牛人呆一起。。。 爱因斯坦晚年去普林斯顿的办公室，不过是为了能够和哥德尔说说话 。而哥德尔在1955爱因斯坦逝世后基本上就不再跟什么人说话了。。。他那种学术流浪的感觉也达到顶峰（他1945年归化了美国籍）。。。爱因斯坦跟哥德 尔一样，执著而固执，他晚年思想开始保守，甚至一直不接受量子物理，因为究其本质，量子物理是随机的。但是实际上量子物理只不过是他自己的相对论的逻辑外 延而已。。。不过更准确地说，爱因斯坦最特立独行的是对主观性的排斥：他的相对论不是对物理的主观性解释，而是独立于人类的、主观的时空观的。他的相对论 不是作为事物的度量而提出的（这就是俺们普通人的时空观和对相对论的应用，而实际上跟爱因斯坦自己的理解是不同的。。。）。他跟哥德尔一样隶属数学的柏拉 图主义，对抗普罗塔哥拉主义（这个学派认为人才是一切事物的度量）。柏拉图主义强调理论是独立人类而存在的，不管人类研究不研究，它们总是存在的。可笑的是，还有人举着他们两的旗帜大肆攻击客观主义，显然是啥都没弄懂。。。爱因斯坦在晚年的时候转而依靠哲学似的信仰来解脱自己的学术排斥感，这也是为什么他跟“怪人”哥德尔很有共性的原因吧。。。

哥 德尔的理论不是他的数学观，而是他的哲学观。这是一个令人乍舌的结论。但仔细想想，正是他的理论改变了逻辑和数学的许多领域。很显然，我现在的研究方向， 一个逻辑的小领域，使用的模型理论就是哥德尔的证明中使用的。此外递归理论也是始于他的证明。很可惜的是，希尔伯特鼓吹的很多领域，在哥德尔理论中显得那 么微不足道，以至于慢慢被遗弃了。悖论是推理中的暗礁，哥德尔的逻辑，甚至他自身就有悖论。。（实际上不少逻辑悖论都是因为自引用形成的，不信翻下悖论 集）然而正是这些悖论的巧妙应用在了他的证明里，这些引导我们从另外一个角度看待问题：人类的数学头脑可以绕过人造系统的局限，而捕捉到了真理／知识／确 定性的本质！

今天就写这么多。。。以后就可以看到这位年轻的逻辑学家的不寻常的生平了。。。。

哥德尔的世界 3 维也纳圈

罗素，这位伟大的天才哲学家，数学家和文学家，发现的悖论，即：这个句子是错误的，同样影响了理论数学的基石：集合论。很简单，假设我们构建一个所有不属于自身的集合的集合，那么这个集合是不是自身的一个元素？显然，它是自身的元素仅当并且仅当它不属于自身。。。先前就提到过悖论是推理中的暗礁，罗素发现的这一个暗礁就对当时的数学基础给以重击。更悲惨的是数理逻辑奠基人，逻辑大师弗莱格也深受其“害”，他老人家的不朽巨著“算术原理（德语是 Grundgesetze der Arithmetik，算术的基本法则）”刚刚问世就被罗素给他的一封信给击倒了，因为弗莱格的这个算术系统也是基于集合论的，罗素写信告诉他这个“完美 ”的系统确是有矛盾的，不一致的。弗莱格的系统足够表述所有算术原理，但是它的不一致性恰恰是形式系统最坏的结局。为什么不一致性有如此的毁灭性？因为一个不一致的系统可以推理出任何结论，因此它也就等同于什么都没有推出。为什么这么说？学过数理逻辑的都知道肯定前件的推理规则（英文中是Modus ponens，中文翻译我也不知道怎么翻译好，就叫肯定前件算了。。。），p -> q。这样的命题只在P为真而q为假的情形下才是不成立的，换而言之，只要P是假的，那么一切结论q真假都无所谓，因为这个命题总是真的了。。。这就是为什么说矛盾的系统可以推理出任何结论。

基于罗素悖论和弗莱格的矛盾系统，罗素和他老师怀特海（whitehead，应该译作白头比较好，呵呵）就在他们的合著，大名鼎鼎的“数学原理Principia Mathematica”中另外构造了一个系统，把论域中所有的实体都加个序，小序的个体只能够作为序大于它的个体的成员，这样以来，集合就不能够做自身的成员了，虽然它可以做集合的集合的成员（BTW，真是拗口）。所以罗素的悖论就不可能在系统中出现了。可是，这样一个系统实际上并没有任何理论支持，譬如为什么允许有的集合却不允许另外一些集合。罗素他们的目的仅仅是为了防止罗素悖论，仅此而已。当然，结果是这个系统是一致的。另外这个系统中，康托（cantor，学计算复杂性的还记得他完美的对角化证明吧）的悖论也被禁止了。康托曾经证明了一个集合的子集之和（power set）肯定拥有比这个集合本身更大的基数。问题是，假设我们构造的集合是全集（universal set），即：所有集合构成的集合。很显然，没有哪个集合的基数会比全集还要大，除非这个世界疯了。可是，按照康托的证明，全集的子集之和拥有比全集更大的基数。。。同样，这个悖论也被排除在集合论之外。可以看出，当数学家们发现悖论又无可奈何的时候，他们只有添加一些莫名其妙的规则限制悖论。然而这样的系统总是让我感到一种危机感，而且是内部的危机啊。。。同样，这样的危机感也成为当时的哲学家们的研究热点:居然还有罗素勋爵（他世袭的是子爵爵位）解决不了的，那可真值得一试啊～这一批人中就有后来成为著名哲学大师的维特根斯坦（因为他当时还不过是一个航空工程专业的本科生，为了罗素就跑到剑桥去学哲学）。不过，维特根斯坦跟罗素到了后来关系就冷淡了，罗素认为这个嚣张的哲学家是：以路西法为骄傲。路西法是什么？路西法是魔王。可见维特根斯坦人格不是那么好，当然了，估计哲学家一般也都是这样神经兮兮的。

说了这么多，他们跟哥德尔又有什么关系？和哥德尔一样，这些人都是跟维也纳圈有关系的大师。奥地利当时聚集了很多大师级别的人物，他们在大学边上的咖啡屋里研讨问题，另外一种形式就是按照不同研究兴趣成立的Kreise，就是德语的圈的意思（Circle）。在这些圈当中，最有名之一的是维也纳圈（Der-Wiener-Kreise），这个由哲学家Moritz Schlick(斯立克)创建的哲学圈也被称为斯立克圈，只有受到邀请的人才可以参加例会座谈。哥德尔在1926－1928年间以一个本科生的身份被邀请参加。这个圈子里的数学家汉斯（Hans Hahn）就是把斯立克从德国拉到维也纳的人物，他的夫人Olga Neurath也是维也纳圈的成员。汉斯在维也纳圈利贡献不小，他不仅向成员们介绍了弗莱格的理论，还给他们讲解了罗素的巨著：数学原理全3卷，
汉斯还曾经是哥德尔从数论转到数理逻辑这个方向的时候的论文导师。汉斯把本科生哥德尔和他的另外一个学生Karl Menger介绍到维也纳圈里，同时斯立克的2个优秀的学生Herbert Feigl和Friedrich Waismann也进入这个组织。这些人后来都是有辉煌成就的大师，当然与他们加入维也纳圈后受到的影响是分不开的。

值得注意的是，维也纳圈当时盛行的是实证逻辑主义观点（positivism）。1929年维也纳圈出版的宣言就提出了“人是一切事物的度量，任何东西都是可以被人所企及的 ”。他们的观点认为，数学跟逻辑类似，是没有任何实质内容的，数学不过是语法上存在的（Syntactic）。参照前面就知道，这与数学的柏拉图学派，也就是歌德尔所属一派，的观点是相反的。但是，这些宣言丝毫没有刺激柏拉图派的歌德尔，他反正是一言不发的，不会惹出什么乱子。接下来又回到维特根斯坦。这个嚣张的德国人跑到剑桥大学得到罗素的青睐以后，立刻靠实力成为了剑桥最受人崇敬的哲学大师。可惜，维特根斯坦经常哀叹他的那些剑桥同事和学生总是理解不了他的思想，够嚣张的。说到维特根斯坦，先说说另外一个天才魏宁格 ：Otto Weininger。这个心理有点bt的维也纳哲学天才最大的毛病就是瞧不起女人和鼓吹成为天才，魏宁格的理论可以归结为阴郁而残酷的选择：男人［没女人什么事，坐着等死好了］要么成为天才，要么选择死亡（genius or death）。维特根斯坦年轻的时候看了魏宁格的著作后，也变得神经兮兮，譬如维特根斯坦就想学他的偶像魏宁格那样去自杀，结果一直尝试自杀了9年，当然不如他的偶像厉害，魏宁格一枪就自杀成功了。维特根斯坦著名的，甚至有部分是在一次世界大战的战壕完成的逻辑哲学论Tractatus Logico - Philosophicus也对维也纳圈有不可低估的影响。维特根斯坦回到维也纳的时候，维也纳圈的那些元老，包括斯立克，去跟维特根斯坦会谈就像是去朝圣一样，他们的思想随时跟维特根斯坦保持一致，完全而彻底的个人崇拜。维也纳圈的维特根斯坦信徒们甚至模仿维特根斯坦的举手投足。从这里就可见个人崇拜的危害了，即使是脑子最能思考的哲学家到了疯狂搞个人崇拜的时候，智商就降低到白痴的程度了。维特根斯坦就成为了维也纳圈子的皇帝，跟他思想不吻合的哲学家先后被踢出去了。在膜拜维特根斯坦这尊神的维也纳圈子里，学生歌德尔仍旧沉默寡言，静静地坐一边，或吸收或淘汰这些思维，而得出了他自己划时代的结论。

理性的世界，不完备的世界

断断续续的，直到最近才看完了这本小书。本来不想再把歌德尔写下去，可是看完了之后，心情太复杂了，仿佛有无数的想法，却有没有一个是可以真正地，准确地表达出来的。

一个继亚里士多德以来世界上最伟大的哲学家，在1978年1月14日去世了。从他在朋友的帮助下，从烟火弥漫人性疯狂的欧洲辗转来到美国，成为美国公民开始，到他带着遗憾，认为自己没有实现他的目标葬入普林斯顿的坟墓，他的人生并没有多大改观。一个拥有知晓宇宙奥妙的天才的大脑，却依附在一具比大多常人都柔弱的身体里。理性，知识和真理的思维却始终没有唤醒那些同时代的所谓的大科学家们，反而被有意无意地边缘化，加深了他的孤独和隔离感，直接或者间接导致了这位本来应当多产的天才哲学家，天才数学家，甚至天才物理学家没有机会，没有动力去寻求人生，真理和宇宙的秘密。他在普林斯顿的那些年，除了免受纳粹德国的骚扰外，在我看来，也没有得到任何其他的好处。

歌德尔的人生，按照著名华人逻辑学家Hao WANG的描述，在他自己看来就是一个不完备的人生。歌德尔自己打破了数学的神秘，同时期望找到真正的数学真实（reality），数学的正宗的基石。可是他没有找到，或者说，由于许多的原因，他不能够去找到。于是他期望自己在哲学的世界里找到这个物质世界的本质和原理。他经常羡慕柏拉图，笛卡尔，还有胡塞尔这些哲学宗师在人生中有那么几个瞬间突然开窍，看到了一个与我们凡人的肉眼中的物质世界大不相同的世界，或者说是他们都找到了新的看待世界的方法。但是，歌德尔没有。直到他逝世，他也没有等到他的灵光一现的时机。歌德尔在数学和哲学的世界里实现自己的人生理想以失败而告终，而在物理学的世界里，他最终也还是没有等待到他想要的结果。

普林斯顿的物理学家在歌德尔加入他们的讨论后，才发现这位天才的数学家和哲学家居然掌握了如此多的物理理论。其实，歌德尔一直以来，几乎是从他都大学开始，都是对物理十分喜好。估计再加上在普林斯顿的那些年，与他的忘年交爱因斯坦也经常谈起物理学的一些理论，这位以严密推理著称的哲学家丝毫没有放弃和中断物理学的热爱。在爱因斯坦70大寿的时候，歌德尔给爱因斯坦写了一篇庆祝他70大寿的文章。在文章中，歌德尔用一个他自己构造的全新的理论模型满足了爱因斯坦的广义相对论的场方程。称这个模型为理论的，是因为在这样一个模型
中，时间是循环的。时间是没有尽头的，它就像是空间一样，你坐上一个火箭从现在出发，你经过过去、未来又回到现在。这位逻辑学家的论文是不可能出错的，否则他绝对不会拿出来。爱因斯坦也有点震惊，显然在这么多年的谈话中，歌德尔没有谈论过这样一个时间模型来解释爱因斯坦的广义相对论。爱因斯坦认为模型形式上是对的，但是在物理现实中可以排除。也就是说，爱因斯坦显然不认为有证据可以支撑这个模型。歌德尔，从来都是一个真正的理论学家，却为了这个物理模型，到处搜集试验数据。他甚至经常问普林斯顿的物理学家是否找到过星系循环的证据。然而，同样直到歌德尔离开这个让他保受折磨的世界，甚至直到现在，还是没有让他实现自己物理学目标的证据出现。歌德尔，带着他不完备的人生，就这样离开了人世。也许，在他的时间模型里，他只是旅行而已，在将来的某个时间，他又会再次体验这个世界的一切。