神马文学网河南省2007年高考备考讲座提纲 （转载）
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2007年高考备考讲座提纲
一、05、06年河南高考试题回顾
1．试卷总体评价 2． 试卷结构评价
3．答卷总体评价 4．各种题型得分情况
5．各种知识点得分情况
二、05、06年河南高考试题错误分析
三、06年全国各地高考数学典型题分析
1．函数与导数
2．数列
3．不等式
4．向量与三角函数
5．立体几何
6．解析几何
7．概率统计
四、对高三数学最后阶段复习的几点建议
2007年河南省高考数学备考讲座
一、05、06年河南高考试题回顾
1． 试卷总体评价
2006年高考数学试题有效贯彻实施了“在考查基础知识的同时。注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查”的命题指导思想。试题涉及知识点的覆盖面广、起点低、坡度缓，充分重视到难度适中，能区分出不同考生对基本概念掌握的层次或效果不同，强化应用意识，倡导理性思维，体现创新意识的考查。有利于引导教师的教和学生的学，较好地考查了考生的学习水准，符合高等院校对人才选拔的需求。起到了服务人民,安定人心,创建和谐社会的良好作用。
■强调对基础知识的掌握、突出运用所学知识解决实际问题的能力
整套试卷遵照高考考试大纲和考试大纲说明的要求，从题型设置、考察知识的范围和运算量,书写量等方面保持相对稳定，体现了考查基础知识、基本运算方法和基本数学思想方法的特点.同时,也注重了知识之间内在的联系与综合，在知识的交汇点设计试题的原则。
■选择题主要考查了数学的基本概念、基本知识和基本的计算、解题方法
整套试卷中好多选择题都能在课本上找到影子，是课本题的变形和创新，考生第一眼就看到非常熟悉的课本同类题目，对于稳定考生情绪，鼓舞答卷士气具有强烈的推进作用。这充分体现了高考数学试题“来源于课本”的命题原则，有很好的导向作用。一个亮点试题是文科选择(12)(理科选择(11))题，试题对学生的创新学习能力进行了考核，一是对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立地思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。充分体现出考查学生的动手能力和运用所学知识解决实际问题的能力。
文科选择(12)(理科选择(11))题
文（12）理（11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位： ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为( )
（A） （B） （C） （D）
文科22题是三次函数与导数结合的综合性比较高的题目，主要考查函数的单调性质以及导函数的概念和运用，综合考查利用所学知识分析问题解决问题的能力以及运算能力。要完全答对必须具备扎实的数学基本功和综合分析问题解决问题的能力，是一道区分度很强的考题，体现了压轴题的特点。理科21题也体现了这种特点。
文科22题 设a为实数, 函数 = －a + ( )x 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 都是增函数,求a的取值范围.
理科21题 已知函数 .
(Ⅰ) 设a >0, 讨论 y = f (x) 的单调性;
(Ⅱ) 若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.
■题目表述简洁明快，概率应用题的背景公平、难度适中，有利于增强考生自信心
整套试卷涉及到新教材中向量、概率与统计、导数的考查力度继续保持较高的比例。注重了考查考生的创新意识和动手能力，体现自主学习和主动探究精神。对传统内容的处理，刻意设计了新的考查形式，编拟了新的题型。开发了新的背景。试题切入容易、深入难，有利于区分考生，鼓励考生多层次、多样化的发展，贯彻了发展性课程评价的理念。
■试卷中档难度的题目较多，考题入口宽但完全解对难
整套试卷考题入口宽但完全解对难,这一特点为考生提供了一个天高任鸟飞的竞争平台。大多数考生做题时“上手”比较容易，都能写上一些内容，但考生的实际能力决定了能否继续做下去。所以说答题易但答完整、拿满分却难。因此试卷还是呈现出一定的可信区分度。
■试题侧重于具体形象，广泛联系实际，强化应用意识
整套试卷的题目做到起点低，难度分散，形象思维与抽象思维并重。新课程试卷则侧重新增内容与传统的中学数学知识及数学应用的融合，这样的试卷布局体现了数学试卷新的设计理念：尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现人文教育的精神。形成了考查数学运算能力,逻辑思维能力,灵活运用数学知识解决问题能力的有机结合。突出表现了对知识和能力考查的和谐性。
2． 试卷结构评价
①题型题量
试卷严格遵照高考考试大纲和考试大纲说明的要求，设置了12道选择题,4道填空题,6道解答题。与去年的题型和试卷结构完全一致。
②知识点分布与能力层次
理科共考查81个知识点，文科78个。
3． 答卷总体评价
根据对考生考试成绩的抽样统计数据，2006年高考(河南)考生数学成绩较去年好，文、理科数学平均成绩比去年分别高出9.15分、15.3分. 但是文、理科数学平均成绩的差距在增大.理科数学全卷的难度系数为0.59，较理想；文科数学为0.43，偏低.难度系数在0.7以上的题目称为容易题，在0.3-0.7之间的称为中等题，在0.3以下的称为难题. 2006年数学试卷易、中、难三类题目赋分的比例约为：理科数学4︰4︰2；文科数学1︰6︰3，容易题偏少.
一般认为，区分度在0.30以下的题目对于考生的区分选拔作用不强. 2006年数学试卷大多数题目的区分度良好，理科数学、文科数学各仅有1题区分度在0.30以下，都是选择题.与往年相似，解答题的区分度普遍高于选择题和填空题的.
4．各种题型得分情况
2006年高考数学试卷选择题、填空题、解答题的得分率依然是由高到低，与往年相同， 但各题型的得分率都相应比去年高.与2005年相比，除了文科数学选择题的得分率增加幅度不大以外，各种题型的得分率增加幅度都较大.
5．各种知识点得分情况
我们把高考数学内容基础知识分成七部分，函数与导数，数列，不等式（含集合、复数），三角函数（含三角形），立体几何，解析几何（含平面向量），和概率（含排列组合、二项式定理）. 有的题目考查了多项知识，也是归在一类里，例如文（8）理（6）题考查等比数列和三角形余弦定理，我们把它放在三角函数这一类里. 各部分的赋分值和题量见下表.
2006年高考数学各知识点考查情况
知识点
文科
理科
题量分值
题量分值
函数与导数
3题23分
2题19分
数列
2题17分
2题17分
不等式
1题5分
2题10分
三角函数
4题27分
5题31分
立体几何
3题21分
3题21分
解析几何
6题36分
5题31分
概率
3题21分
3题21分
二、05、06年河南高考试题错误分析
1．选择题
文理科得分率（抽样统计数据）较低的三个题为：
文科
理科
题号
7
11
12
8
11
12
平均分
2.61
2.12
1.99
3.64
2.15
1.82
难度
0.52
0.42
0.4
0.73
0.43
0.36
文（7）从圆 外一点 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
（A） （B） （C） （D）
[答题情况]答案：(B)
[考查意图] 本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线夹角等基本知识.
[错因分析] 圆的切线方程不会求或两直线夹角公式记忆不清是出错的重要原因.
[解答提示] 解法一:圆的方程可化为 其圆心为(1,1),半径r=1.设切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x-3),即kx-y+2-3k=0.由圆心到切线的距离等于半径r得:
,解之得: k=0或 .设两切线的夹角为 ,则 (注:本方法也可用判别式 求斜率k.)
解法二:由圆的方程知圆心C(1,1),半径r=1,设两切线的夹角为 ,则 应选(B).
文（11）理（8）抛物线 上的点到直线 距离的最小值是( )
（A） （B） （C） （D）
[答题情况]答案：(A)
[考查意图] 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，点到直线距离公式等基本知识，考查数形结合和函数的思想与方法.
[错因分析] 几何问题代数化的思想与方程不熟悉及解析几何中数与形的结合不明确是出错的重要原因.
[解答提示] 法一：设抛物线上任一点坐标为P( ,- )，由点到直线的距离公式得P到直线的距离d( )= = ，当 = 时，d( )取得最大值 ,故选(A).
法二：设抛物线上点P( ,- )到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y ( )=-2 =- ,∴ = ,∴P( ,- ),此时d= = ，故选(A).
法三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l与抛物线相切时l与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由 得4x-3x +C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=- ,此时
d= ，故选(A).
文（12）理（11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位： ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为( )
（A） （B） （C） （D）
[答题情况]答案：(B)
[考查意图] 本题主要考查不等式的比较及对最值的估算能力，考查应用意识和创新能力.
[错因分析] 错误地认为边长分别为 的三角形面积最大而误选A.
[解答提示] 解法一：由于周长一定的三角形的面积以正三角形面积最大，若允许折断木棒，则周长为 的三角形面积的最大值是 ，由于 ，故排除C,D.又当三角形三边分别为 时，其面积为 ，故选B.
解法二：设三角形三边长为a,b,c,则 且 ，当 最小（此时 ）时，其面积最小，列出所有情况不难发现边长分别为 使符合，计算其面积为 .
理（12）设集合 .选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )
（A） （B） （C） （D）
[答题情况]答案：(B)
[考查意图] 本题主要考查两个基本计数原理及集合子集等基本概念，考查分类讨论思想和创新意识.
[错因分析] 分类不彻底或分类重复是导致本题出错的重要原因.
[解答提示] 以A集合中元素最大数分别为 分类，可得符合条件的不同选择方法有 种，故选B.
用类似方法可得，当 时，符合条件的不同选择方法共有 种.
2．填空题
文理科得分率（抽样统计数据）较低的两个题为：
文科
理科
题号
14
16
13
16
平均分
1.69
1.48
2.53
1.72
难度
0.42
0.37
0.63
0.43
文(14)理（13）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为 ，则侧面与底面所成的二面角等于_______________.
[答题情况] 答案：
[考查意图] 本题主要考查正四棱锥的基本概念和公式及二面角的求法，考查空间想象能力.
[错因分析] 把棱锥与棱柱的体积公式记混是本题出错的重要原因.
[解答提示] 设正四棱锥的底面边长为a,高为h，则由题意得：
解之得：
故所求侧面与底面所成的二面角的正切值为 ，即所求角为 ，应填 .
文（16）理(15) 安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种.（用数字作答）
[答题情况] 答案： 2400
[考查意图] 本题主要考查有限制条件的排列问题和应用数学知识解决实际问题的意识.
[错因分析] 由于只注意“选”，不注重“排”，导致出现 的错误；由于利用排除法没有把所有情况除去，出现类似 的错误.
[解答提示] 解法一：从其中五人中人选两人安排在5月1日和2日，其余五人（含甲，乙）安排在其余五天，共有 种安排方法，应填2400.
解法二：首先安排甲，乙两人在5月3日至5月7日值班有 种排法，其余五人安排在剩余五天，共有 种排法，所以排法总数为 种，应填2400.
理(16) 设函数 .若 是奇函数，则 __________.
[答题情况] 答案：
[考查意图] 本题主要考查三角函数的导数及三角函数中有关公式和性质等基本知识.
[错因分析] 对三角有关公式记三角函数求导法则不熟悉是本题出错的重要原因.
[解答提示]
解法一：
∴
由题意 为奇函数， 对任意x，恒成立
，
即 恒成立， ，又 ，故 ，应填 .
解法二： 为奇函数， 即 ，又 .应填 .
3．解答题
文(17 )（本小题满分12分）
已知 是等比数列, =2, + = .求 的通项公式.
[抽样统计数据] 平均分：6.61 难度：0.55
本题属于容易题, 区分度很好. 但仍有约24％的考生未得到分, 其中有人是将等比数列当成了等差数列去求解. 得1～4分者约有11％. 能够求解出首项 及公比q的值, 得7～8分者约有12％. 得11分者所占比例最大为29％, 他们基本上都是因为未将通项公式化为规范的最简形式而失掉1分. 得满分的有19％.
[考查意图] 本题主要考查等比数列的基本知识, 考查分析问题的能力和推理能力.
[解答分析] 解答本题的关键是求出公比q. 途径是利用已知条件列出关于q的关系式, 解出q, 从而写出通项公式. 本题可由多种方式得到关于q的关系式.
[错因分析] 解题中出现的失误主要有:
(1) 已经正确求出公比q和首项 的值, 但未注意将通项表达式写成形如 = 2× 及 = 2× 的规范最简形式. 如写: = × , =18× 或 = × , = 54× 等. 有将近30％的考生都出现这种问题.
(2) 求解方程组失误. 在解方程组
或 时,
只写出了一组解. 实际上, 这两个方程组都不是线性的, 它们有两组解.
(3) 能正确求出 和q的两组值, 但对应关系搞错, 如错将 = 与q = 对应, 将 =18与q = 3对应, 使得写出的通项表达式也错. 这可能是因为紧张粗心所致, 甚为可惜.
[复习提示] 数列内容在高考中占有重要地位. 对于这部分内容, 文科试卷侧重于基础知识和基本方法的考查, 以具体思维、演绎思维为主. 复习中应注意熟练掌握等差数列、等比数列的基本概念、基本公式和基本性质, 掌握研究数列通项及前n项和的一些方法以及方程的思想等数学思想方法.
文(18)理(17) (本小题满分12分)
△ABC的三个内角为A、B、C , 求当A为何值时, 取得最大值,并求出这个最大值.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
文(18)
12
4.24
0.35
理(17)
12
9.17
0.76
本题对于文科考生是一道难题, 对于理科考生是一道容易题, 区分度都很好. 相比之下, 文科考生得分较分散, 分布呈现两头大中间小状态, 得零分的占40％, 得满分的占31％. 仅写出A、B、C三个角的关系得1~2 者占11％, 能正确运用诱导公式得到3~4者占8％, 将题设函数化为半角正弦函数的表示式, 但未正确配平方得5~6分者占4%.
理科考生得分多在5分以上, 达81%, 得满分的就有65%, 只有7%的卷面为零分.
[考查意图] 本题主要考查三角函数的性质和恒等变形的方法，考查推理和运算能力.
[解答分析] 首先应设法将题设函数中的三角函数化为同一个角的三角函数式, 这可由题设A、B、C是△ABC的三个内角的关系进行; 然后根据得到的函数式设法求最大值, 这可用“换元”的思想实现. 下面列出两种解法.
解法1 = = －2 + .
当 = , 即A = 时, 取得最大值 .
这里得到1－2 + 2 后, 可用二次函数求最值， 也可利用均值不等式来求最大值, 如: = 2 + 1 ≤2 + 1= .
解法2 利用导数求最大值.
[错因分析]
(1) 不会利用题设条件“△ABC的三个内角为A、B、C”进行角的转化, 无法进入计算.
(2) 基本运算不熟练造成在写出
=1－2 + 2
后, 配平方出错. 如有的错为: －2 + ;
有的错为:－2 + , －2 ,…等等多种多样的情形.
(3) 记错三角公式, 记错特殊角的三角函数. 如: 将 错写为 ; 将 = 错写为 = ; 在推出 = 后, 有的求不出A的值, 有的错为A = 或 A = 等.
[复习提示] 三角函数的基本公式、图象与性质、特殊角的三角函数等基本知识应烂熟于心. 注意三角函数式的化简训练. 三角函数式的变形化简需首先根据要求确定化简目标, 然后选择适当的途径, 根据目标进行恒等变形转化.
文(19) (本小题满分12分)
A、B 是治疗同一种疾病的两种药, 用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由4只小白鼠组成, 其中2只服用A, 另2只服用B, 然后观察疗效. 若在一个试验组中, 服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多, 就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A有效的概率为 , 服用B有效的概率为 .
(Ⅰ) 求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ) 观察3个试验组, 求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
文(19)
12
2.83
0.24
从答题情况看本题属于难题, 未得分者有五成之多. 不过区分度很好. 不少的人对将问题化为用概率语言符号表示不熟练, 卷面上经常见到一长串的数字算式, 没有必要的语言叙述. 第(Ⅰ)问中, 不会将两只小白鼠服用A(或B)视为2次独立重复试验, 公式运用不准确错得结果5/18者较多, 这种情况一般得分在4~6分, 有约24%. 得分超过7分即第(Ⅰ)问答对者近16%. 完整解答本题的有11%.
[考查意图] 主要考查计算随机事件发生的概率, 包括互斥事件有一个发生的概率、对立事件有一个发生的概率、相互独立事件有一个发生的概率以及n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率, 同时考查运用概率知识解决实际问题的能力.
[解答分析] 求解时, 首先需仔细理解题意, 正确地将复杂事件分解为一些简单事件的复合, 然后合理地列式计算.
第(Ⅰ)问. 事件“一个试验组为甲类组”(记为D)可分解为: 事件“服用A有效的小白鼠为1只且服用B有效的小白鼠为0只”(记为 )、事件“服用A有效的小白鼠为2只且服用B有效的小白鼠为0只”(记为 )、事件“服用A有效的小白鼠为2只且服用B有效的小白鼠为1只”(记为 )之和, 而上述三事件又可分解为事件“服用A有效的小白鼠为i只”(记为 )与事件“服用B有效的小白鼠为j只”(记为 )之交, 其中i=1,2; 0≤j＜i. 而一个组内两只小白鼠服用A(或B)是否有效可视为2次独立重复试验.
由于事件 , , 互斥, 事件 , 相互独立, 根据乘法法则和加法法则便可得题目要求的概率.
第(Ⅱ)问. 观察3个实验组可视为3次独立重复试验, 由此可得解. 具体求解如下.
(Ⅰ) 设 表示事件“一个实验组中, 服用A有效的小白鼠有i只”, i=0,1,2,
表示事件“一个实验组中, 服用B有效的小白鼠有j只”, j = 0,1,2 .
依题意有
P( ) = × × = , P( ) = × × = .
P( ) = × × = , P( ) = × × = .
所求的概率为
p = P( + + )
= P( ) + P( ) + P( )
= × + × + ×
= .
这种算法可称为直接法, 本题也可用间接法即通过计算“一个试验组为甲类组”的对立事件的概率来求解, 但因情况较多, 较为复杂.
(Ⅱ) 事件“三个试验组中至少有一个甲类组”的对立事件为“三个试验组中恰好有0个甲类组”, 后一事件的概率为 .
所以, 所求的概率为p = 1－ = 1－ = .
这里也可以用直接法来做, 但相比之下间接法较简捷.
[错因分析]
(1) 概念不清, 公式运用不准确造成失误. 如计算事件“服用A有效的小白鼠为1只, 服用B有效的小白鼠为0只”的概率, 把式子列为 p = × × × = , 误在丢掉了因子 . 实际上, 因为有2只小白鼠服用A, 所以“服用A有效的小白鼠有1只”的概率, 即为“2次独立重复试验中一事件恰好发生1次”的概率, 应为 × × .
(2) 未审清题目或未正确理解题意造成失误. 如有的考生在解题中, 还考虑一个试验组中服用A有效的小白鼠为3只或4只的情况, 忽视了题设条件. 又如有的考生计算一个试验组中,服用A有效的小白鼠有2只的概率时, 列式为p = × × , 误解了题意, 而将一个试验组中, 服用A的2只小白鼠的所有可能选法都考虑了进去. 根据题意, 一个试验组中, 給2只小白鼠服用A, 另2只服用B, 观察疗效, 那么服用A有效的为2只就只有一种情况,
正确的表达式应为 p = × × .
(3) 逻辑关系不清楚造成失误. 如将“最多有3个不是甲类组”当成“3个试验组中至少有一个甲类组”的对立事件.
另外, 数字运算错误, 求解中考虑情况不周全, 也是不少考生失分的原因.
[复习提示] 概率的计算问题, 列出算式后的计算并不难, 重要地是如何列式进行计算? 这就需要分清问题属于哪种类型的概率问题? 使用什么公式列式? 需要正确地将复杂事件分解为简单事件的复合.
理（18）（本小题满分12分）
A、B 是治疗同一种疾病的两种药, 用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由4只小白鼠组成, 其中2只服用A, 另2只服用B, 然后观察疗效. 若在一个试验组中, 服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多, 就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A有效的概率为 , 服用B有效的概率为 .
(Ⅰ) 求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ) 观察3个试验组, 用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数, 求ξ的分布列和数学期望.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
理(18)
12
6.53
0.54
本小题属于中等题, 区分度很好 .答题情况两极分化，得满分者有28.2%，有一点疏忽得11分者有11.3%，反之得0分者约占13.7%, 会一些简单的概率计算得1~4分者有约25.1%, 高分和低分都接近40%. 因在计算事件的概率时有错误而得5~6分者有16.0%, 在计算分布列和数学期望时有错误而得7~10分者有5.7%.
[考查意图] 本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查随机变量、数学期望等知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
[解答分析] 本小题第(Ⅰ) 问与文（19）题的一样. 第(Ⅱ)问较简单，是考查二项分布的基本题，参考解答如下：
解 (Ⅰ) 参见文（19）题.
(Ⅱ) ξ的可能值是0,1,2,3，且ξ服从二项分布（3, 4/9），
P (ξ= 0) = , P (ξ= 1) = ；
P (ξ= 2) = ； P (ξ= 3) = .
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
p
数学期望Eξ= .
注：数学期望也可以按照定义计算，但计算较繁琐.
[错因分析] 第(Ⅰ) 问主要错在没有分析清楚“一个试验组为甲类组”这一事件的构成，即没有分析清楚哪几种情况下一个试验组为甲类组. 有些考生是理解错了题意，更多的考生是运用概率知识分析问题解决问题的能力不足，错法五花八门. 参见文（19）题.
在做对第(Ⅰ) 问的情况下，第(Ⅱ)问主要是计算错误，粗心大意、不注意化简都容易出错. 不及时化简的话，等到数字大了，就不容易化简了. 有些考生计算的最终结果是一个很大的分数，尽管数字是正确的，但没有化简也是不符合要求的. 也有一些考生把ξ的分布列算反了,把0个甲类组的概率算成了3个甲类组的概率, 1个甲类组的概率算成2个甲类组的概率等.
[复习提示] 概率题一般不需要技巧或灵活性，关键是掌握好基本知识，做练习题时注意分析清楚题意，增强理解能力和计算能力.
A
B
M
N
C
l2
l1
文（20）理（19）（本小题满分12分）
如图， 、 是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在 上，C在 上， .
（Ⅰ）证明AC⊥NB；
（Ⅱ）若 ，求NB与平面ABC所成角的余弦值
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
理(19)
12
6.5
0.54
文(20)
12
2.47
0.21
本小题是文理科卷都有的一道题，对文理科学生的区分度都很好，但难度明显不同，对于文科学生是难题，对理科则是中等题．本小题比去年的立体几何题得分率稍低. 各分数段的考生比例见下表. 做出了第(Ⅰ) 问，得分在6分及以上者文科约30%，理科约69%，其中得6~8分者较多是在第(Ⅱ)问找不到所求的线面角，这部分考生的比例也较高.
分数段(分)
0
1~2
3~5
6~8
9~11
12
考生比例(%)
理
14.1
10.3
6.6
32.5
17.2
19.3
文
46.9
17.0
6.0
17.8
5.5
6.7
[考查意图] 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力. 也可以考查应用向量知识解决空间图形问题的能力.
[解答分析] ①几何方法：第(Ⅰ) 问较容易，只用到线线垂直、线面垂直的基本知识. 首先由题设条件可推出AN⊥BN，接下来就可以想到如果有l2⊥平面ABN，那么AN为AC在平面ABN内的射影，应用三垂线定理得AC⊥NB.（应用三垂线定理是证明直线垂直的常用方法之一，高考题中常见到.）第(Ⅱ)问的解答步骤是首先找出所求的线面角，再计算它的余弦值. 由线面角的定义，从N向平面ABC引垂线，就作出了这个线面角，关键是确定垂足的位置，这需要我们判断四面体N-ABC的性质.（高考题中常有求二面角、线面角、线线角大小的问题，解答步骤都是找角、证明、计算，.有的题目要证明找到的角就是所求的角，有的题目如本题则要证明一些位置关系以便于计算，总之，证明是不可少的.）
②向量方法：首先是建立坐标系、确定各点的坐标，然后计算. 对本小题来说，向量方法求解并不简便.
A
B
M
N
C
l2
l1
H
参考解答如下：
解法一: (Ⅰ) 由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.
又由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN，
从而AN为AC在平面ABN内的射影. ∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵ Rt△CNA≌Rt△CNB,
∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.
∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角.
A
B
M
N
C
l2
l1
H
x
y
z
在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .
解法二: 如图,建立空间直角坐标系M-xyz. 令MN=1, 则有A(-1,0,0)，B(1,0,0)，N(0,1,0),
(Ⅰ) ∵MN是 l1、l2的公垂线, l1⊥l2,
∴ l2⊥平面ABN. ∴ l2平行于z轴.
故可设C(0,1,m)，于是 =(1,1,m), =(1,－1,0).
∵ ·=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB.
(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.
在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).
连结MC，作NH⊥MC于H，设H(0,λ, λ) (λ>0).
∴=(0,1－λ,－λ), =(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,
∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 连结BH，则=(－1,, ),
∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,
∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),
∴cos∠NBH= = = .
注：还可以分别以NA、NB、NC为x、y、z轴建立空间直角坐标系，但这需要先证明
l2⊥平面ABN.
[错因分析] 缺少解答步骤：主要是在第(Ⅰ) 问中不证明l2⊥平面ABN，在第(Ⅱ)问中不证明△ABC为正三角形或NC=NA=NB，或不证明∠NBH是所求的线面角，而是默认它们成立.
不按照题意回答问题：算出∠NBH的大小（用反三角函数表示），但不算它的余弦值.
线面角的概念不清楚：例如说“∠NBH或其补角是所求的线面角”.
找不到所求的线面角，或是按照定义作出了∠NBH，但是找不到H的位置，因而无法计算∠NBH的余弦值.
找错所求的线面角：例如把平面ABC的法向量与NB的夹角，说所求的线面角是∠NMC，是∠NBC，是∠MNB，是∠DBN（D为BC中点），是∠DME （D为BC中点，E为BN中点），等等.
计算错误：向量内积算错，列式运算错，线段长度看错等.
空间想象能力弱：如说“过B作BE∥AC交l2于E”，其实这是不可能相交的.
[复习提示] 在解答立体几何题时，常有考生缺少证明步骤，比如本小题不证明l2⊥平面ABN，其实这一步并不难，但是不写的话失分就较多. 在高考复习时，要注意练习写一个既简明又完整的解答或证明，哪些是必不可少的，那些是可以省略的，这从课本例题、老师讲的例题的解答中就可以学到.
理（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中, 有一个以F1(0, ) 和F2(0, )为焦点、离心率为 的椭圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线C, 动点P在C上, C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B, 且向量 . 求:
(Ⅰ) 点M的轨迹方程; (Ⅱ) 的最小值.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
理(20)
12
3.88
0.32
本小题属于中等题, 区分度较好.得0分者约占18%, 会求椭圆方程得1~4分者有约50%, 会求导数和切线斜率得5~6分者有10.5%, 正确求出切线方程以及进一步求解点M的轨迹方程得7~10分者有16%, 做到第(Ⅱ)问得11~12分者有5.5%.
[考查意图] 本小题主要考查椭圆的几何性质、平面向量及切线方程、曲线方程等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.
[解答分析] 本小题第(Ⅰ) 问涉及到解析几何、平面向量和导数应用等多方面知识，同时出现椭圆方程、切线方程和点M的轨迹方程等多个方程，因此做第(Ⅰ)问需要我们清楚理解方程等有关的概念，熟练掌握有关的基本知识、常规方法，并能把他们联系在一起综合的运用. 解题思路是：设出切点P的坐标和M点坐标，求出椭圆方程和切线方程，然后求出A、B点坐标，再求出M点坐标与切点坐标的关系，消去切点坐标即可得点M的轨迹方程. 做第(Ⅱ)问需要一点运算技巧. 参考解答如下：
解 (Ⅰ) 焦点在y轴上，故设椭圆方程为 ，（ ），由题设条件得， 且 ，即b=2，a =1，所以曲线C的方程为
，即 ，
设P(x0, y0), 则 , 由于 ,
故切线AB方程为
(注：上式中把y0代换成x0也可以，只是总有根式略显不便). 求切线在坐标轴的截距，得
.
设M(x, y), 则由 得 ，因为P在C上，将x0=1/x, y0=4/ y代入C的方程，得点M的轨迹方程为 .
（注：点M的轨迹方程也包括x, y的变化范围，它是由x0, y0的变化范围求出的）.
(Ⅱ) ，由点M的轨迹方程中解出 ，代入得
，
当 ，即 时，上式取等号，故 的最小值是3.
（注：“ ”这一步说明：在M的变化范围内，上式可以取到等号，因而最小值是3，这一步是不能少的）.
[错因分析] 基础知识、基本方法掌握不好. 例如：把椭圆半轴与离心率的关系列错；导数公式错；计算出切点P的坐标以后，不会求M点坐标，或求出M点坐标后不会消去切点P的坐标、不能建立点M的轨迹方程；方程的记号和点的坐标的记号不一致；曲线C的方程、点M的轨迹方程不指明变量的变化范围.
计算错误. 多是粗心大意或不注意化简造成的. 最可惜的是把焦点放在x轴上，把椭圆方程写错，使得解答一开始就错了.
在第(Ⅱ)问中不会将函数变形，解题缺少灵活性.
[复习提示] 加强涉及多方面知识的综合练习，加深理解曲线方程的概念、熟悉方程记号.
文(21 )（本小题满分12分）
设P是椭圆 + = 1 ( a > 1 ) 短轴的一个端点, Q为椭圆上的一个动点,求| PQ | 的最大值.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
文(21)
12
1.51
0.13
本题属于难题, 区分度较好. 六道解答题中, 本题不能入门得0分者最多, 达57%. 除此之外, 得分主要分布在1~6分. 仅写出P、Q的坐标得1~2分者有约五分之一, 能写出| PQ |的表达式并消元得5~6分者有7%, 进一步将 的表达式配平方, 而未加讨论写出| PQ |的最大值得8~9分者有7%, 基本完成解答, 得10分及其以上者有3%, 得满分者为1.3%.
[考查意图] 本题主要考查椭圆的基本知识、两点间的距离及综合分析问题的能力.
[解答分析] 要求| PQ |的最大值, 为方便, 对 加以讨论. 首先需写出点P、Q的坐标. 因Q在椭圆上, 通过消元法消去 中的一个未知数(这里消x), 得到 关于y的表达式, 是一个y的二次式, 配平方. 其中有参数a, 需结合此椭圆的性质分类讨论, 从而求出| PQ |的最大值.
解法1: 依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ), 则| PQ | = .
又因为Q在椭圆上, 所以 = (1 ) .
= (1 ) + －2y + 1
= (1 ) －2y + 1 +
= (1 ) + 1 + .
因为 | y | ≤ 1, a > 1,
若a ≥ , 则 ≤1, 当y = 时, | PQ | 取最大值 ;
若1< a < , 则当y = －1时, | PQ | 取最大值2 .
解法2:
设P (0, 1 ), Q ( , ), 则
= +
= (1 ) －2 + + 1
= (1 ) － + + 1.
注意到 | | ≤ 1, a > 1. 以下的讨论与解法1相同.
[错因分析] 本题求解中要用到椭圆的基本知识、两点间的距离、二次函数、求最值等知识, 解答过程蕴涵着函数思想、分类讨论等数学基本思想. 由于在这些方面以及思维的严谨性、周密性方面不同程度的欠缺, 造成了答题中不同层次的失误.
此题能够入手的多数考生都是循着解法1的路子做的. 有的考生写出 的表达式后, 意识不到条件“Q为椭圆上的一个动点”的作用, 不知道利用椭圆方程在 表达式中消元, 往下找不到深入的途径;
有的考生虽然想到了消元, 但消去的是y, 得到
= + ,
太繁, 而无法求解下去;
有的考生进行到求出
= (1 ) －2y + 1 +
或
= (1 ) + 1 + ,
但未能从椭圆方程 + = 1 ( a > 1 )中理会出| y | ≤ 1, 或未注意到a > 1的条件, 不对参数a分情况讨论, 就直接得出y = 时, | PQ | 取最大值 , 导致失分;
有的考生虽知道要对a分类讨论, 但未找到恰当的分类标准, 导致失误. 分类应从所研究的具体问题出发, 去选择恰当的分类标准, 不重不漏地将讨论对象划分为若干个类别. 具体到此问题, 则应是注意到 | y | ≤ 1, a > 1, 从是否 ≤1来考虑分类.
此外, 有的考生是用解法2求解, 在设Q ( , )时, 不恰当的限定θ的范围, 如: θ∈[0,π] 或θ∈ . 这样做改变了点Q 的属性, 因为, 当θ∈[0,π]时, Q 只在上半椭圆, 当θ∈ 时, 点Q 只在右半椭圆.
[复习提示] 注意“读题”, 即分析题目, 挖掘其中的信息. 解题中注意每一处细节, 培养思维的严谨周密. 消元时需注意被消变量的选择, 要使消, 元的过程尽可能简单, 消元后的结果尽可能方便使用.
理（21）（本小题满分14分）
已知函数 .
(Ⅰ) 设a >0, 讨论 y = f (x) 的单调性;
(Ⅱ) 若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
理(21)
14
2.59
0.19
本小题是一道难题, 也是全卷最难的一道题; 区分度较好. 分数分布呈现出分数越高人数越少的状态: 得零分的考生约占32％, 会求导数而得到1~3分者约占37％, 再会利用导数判断函数的单调性而得4~6分者约占18％, 能对参数进行讨论而得7~10分者约占11.5％; 得11~13分者约占1.5%, 得满分者仅占0.07％.
[考查意图] 本小题主要考查分类讨论的数学思想和导数的计算、应用导数研究函数单调性的基本方法，考查逻辑推理能力.
[解答分析] 本小题的解法是常规方法, 但需要我们函数概念清楚、逻辑推理能力强. 解答时需要注意三点, 一是本类题目应该对参数a进行分类讨论, 而不是对函数的定义域分类讨论, 具体到本小题, 应该分02三种情况讨论. 二是在函数单调性判定定理“在一个区间上导数恒正（负）, 则函数在这个区间上单增（减）”中,“区间”这个条件也是不能少的, 本小题函数的定义域不是区间, 需要把定义域分成区间, 再判定函数在每一区间的单调性. 三是注意细节, 如数学符号书写应该正确, 以及本小题两问中参数a的变化范围不同. 参考解答如下.
解 (Ⅰ) 函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为
.
(ⅰ) 当0(ⅱ) 当a=2时, 故f (x) 在区间 (-∞, 1), (1, +∞)仍为增函数.
(ⅲ) 当a>2时, 解 得x =± ,
x
(-∞, - )
(- , )
( , 1)
(1, +∞)
+
-
+
+
↗
↘
↗
↗
f (x) 在区间 (-∞, - ), ( , 1), (1, +∞) 为增函数,
f (x) 在区间 (- , )为减函数.
(Ⅱ) 参数a的变化范围和(Ⅰ) 不同, 但由(Ⅰ) 知仍分三种情形讨论.
(ⅰ) 当0< a≤2时, 由(Ⅰ) 知f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求.
(ⅱ) 当a>2时, 由(Ⅰ) 知f (x) 在区间 (- , )为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.
(ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有
≥ , 这时a满足要求.
综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.
[错因分析] 出错较多的是解答不够严谨, 例如计算出“当0另一类错误是第(Ⅰ)问中不讨论参数的值, 第(Ⅱ)问中只讨论a>0情形.
第(Ⅱ)问中还有逻辑错误. 例如“因为f (0)=1, 故只要f (x) 在区间 (0, 1)为增函数”, 这样也能得出正确结果, 但是推理过程是有错的, 错误原因在于“f (0)=1, 且f (x) 在区间 (0, 1)为增函数”这个命题是“对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1”的充分条件而难以证明是必要条件.
[复习提示] 近年总有含参数的函数(或数列)的考题, 一般都可用常规方法求解. 首先概念要清楚, 含参数的函数不是一个函数, 参数的值不同, 就是不同的函数. 其次, 应该对参数分类, 即按照参数的不同变化范围分成若干情形, 再分别讨论.
文(22) (本小题满分14分)
设a为实数, 函数 = －a + ( )x 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 都是增函数,求a的取值范围.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
文(22)
14
1.87
0.13
这是一道难题, 区分度很好. 本题得零分者有约37%之多. 得分集中在5分及其以下, 占56 %, 即最多求出了Δ≤0时a的取值范围. 能将Δ>0时a的取值情况讨论完整者很少, 总共不到2%. 得满分者占千分之五.
[考查意图] 本题主要考查导数的概念和计算、应用导数研究函数单调性的基本方法, 考查数形结合、分类讨论的数学思想和综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答分析] 此题是一个利用导数来研究函数单调性的问题. 自然地, 首先求函数的导数, 把研究函数的增减性转化为研究导数的正、负.
求 的导数, 得 = 3 －2ax + －1.
下面则转化为二次函数3 －2ax + －1在区间 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 上均为正的问题, 对于解决这个问题没有现成的定理可直接使用, 用纯代数的方法难以奏效, 必须借助图形来解决. 下面列出几种具体解法.
解法1 利用抛物线与x轴的交点讨论.
= 3 －2ax + －1, 此函数图象为开口向上的抛物线, 其判别式 Δ= 4 －12 +12 = 12－8 .
( i ) 若Δ= 12－8 = 0 , 即a =± . 抛物线在x轴上方且与x轴相切与一点x = .当x∈( , )或 x∈( , )时, > 0, 在( , )为增函数. 所以a=± .
( ii) 若Δ= 12－8 < 0, 抛物线在x轴上方, 恒有 > 0, 在( , )为增函数. 所以 > ,即a∈( , － )∪( , ) .
(iii) 若Δ= 12－8 > 0, 即－ < a < , = 0 有二不同根
= , = .
当x∈( , )或( , )时, > 0, 为增函数;
当x∈( , )时, < 0, 为减函数.
为使 在( , 0 )和( 1, )为增函数, 必须 ≥0且 ≤1.
由 ≥0 得 a ≥ , 解得1 ≤ a < .
由 ≤1 得 ≤3－a, 解得 － < a < . 从而 a∈[1, ).
综上, a的取值范围为 ( , － ]∪[ , )∪[1 , ).
即 a∈( , － ]∪[1 , ).
解法2 利用抛物线的对称轴讨论.
(i) 若Δ≤0, 这种情况的求解与解法1相同, 不再赘述.
(ii) 若Δ> 0, 为使 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 为增函数, 只需 ≥0, ≥0且0 < < 1. 由
, 解得 . 所以 a ∈[1, ).
综上, 得到 a ∈ ( , － ]∪[1 , ).
类似地, 也可以利用抛物线顶点的纵坐标讨论. 如:
= 3 －2ax + －1 = 3 +( －1)
其图象为开口向上的抛物线, 知 = －1为极小值, 也是最小值.
接下来, 通过 －1>0, －1=0, －1<0, 讨论曲线的位置, 确定参数a的取值.
上述解答过程中虽未画出函数图象, 但推理是完全依赖于函数图象的.
[错因分析]
(1) 对于求导数的方法未掌握或不熟练, 导致不会求 或出错.
(2) 数形结合的数学思想不够明确, 求出 = 3 －2ax + －1 后, 不知结合 的图象去讨论确定a的取值.
(3) 对增减函数的性质、条件不够明确或对抛物线的性质特点不够清楚, 使得在分类讨论时, 分情况不恰当有遗漏或有重复. 如有的列出情况: Δ≥0 且 0 < < 1, >0, >0; 也有的列出情况: Δ< 0 且 >0, >0. 前一种情况, 当Δ= 0时, 对于使 >0, 条件0 < < 1, >0, >0都是多余的; 当Δ> 0时, 0 < < 1, >0, >0是不完整的, 实际上, 其中的 >0, >0 应为 ≥0, ≥0. 后一种情况, 因为有Δ< 0, 自然就有 >0, >0, 所以是重复的.
(4) 部分考生推理不严谨或不正确. 举几例如下:
① 因为 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 为增函数, 所以 >0.
② 因为 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 为增函数, 所以 >0, >0.
③ 因为 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 为增函数, 所以 在[0 , 1]上是减函数.
还有的不明确Δ的取值, 就认定 , 是 的二不同实根.
(5) 运算不熟练出现错误. 如, 解不等式组
得到结果: ≤ a ≤－1 或 1≤ a ≤ . 错在未能从 ≥0中推出a > 0和未顾及到Δ> 0时有－ < a < . 还有的考生在解 = 0时得到错解:x= 或 或 ; 将 的图象的对称轴错为 x = 等.
[复习提示] 应准确理解掌握导数与函数性质的关系. 纯代数的方法有时会较繁琐, 甚至不能解决问题, 应注意掌握数形结合的思想方法. 分类讨论须紧贴题目, 根据解题需要确定恰当的分类标准, 使得分类不重不漏.
理(22) 设数列 的前 项的和 ，
（Ⅰ）求首项 与通项 ；
（Ⅱ）设 ， ，证明： .
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
理(22)
12
3.42
0.29
这是一道难题, 区分度较好. 本题得零分者有约10.5%, 作为压轴题并不算高, 可见入手并不难. 得分在1-2分者占16.6 %,得分在3-4分者占59.7 %,这些是多多少少会用些数列的性质, 得分在5-6分者占5.1 %,这些是看出数列通项的规律,或求出通项的,做到第（Ⅱ）问得分在7-11分者占7.82 %,得满分者占千分之三.
[考查意图]:本题主要考查数列和等比数列的基本知识，递推数列求通项公式，数列求和及不等式证明等思想和方法.
[解答分析]（Ⅰ）本题所涉及的递推数列是 型，这种类型的递推数列求首项 可通过解关于 的方程 求出，而求数列 的通项公式可考虑以下三种手段：（1）利用 = - 把原递推关系转化为 型的递推关系，即把 ， 化为 =4 + ；
（2）把 = - 代入原递推关系转化为 型的递推关系，即把 ， ，化为 =4 + -2, n=2,3…；（3）利用迭代的思想解决问题；（4）根据递推关系写出数列的前几项，猜出数列的通项公式，然后利用数学归纳法证明.
对于前两种手段，求通项公式时，都须对所得递推关系进行变形，转化为等比数列或可求通项的其他数列来解决问题，如（2）中把 =4 + -2变形为 + - =4( + - )，得出数列{ + - }为等比数列，进而求出 ，然后利用 = - 求出 .对于（1）中的递推关系 =4 + ，变形的手段更多，如变为 + =4( + ),n=2,3…，得出数列{ + }为等比数列求出 ；也可变形为 利用等比数列通项公式求解或变形为 利用叠加的方法求解；还可以通过 =4 + 及 变形为 利用特征根思想求解.
对于第三种手段，可直接把递推关系 =4 + 直接迭代，即
转化为等比数列求和问题.
本题也可利用数学归纳法进行，证明如下：
由 = - + , 得: = = - 4+ , =2.
又由 = + = - + =12= - ,
= + + = - + =56= - .
猜想: = - .
下用数学归纳法证明:1)当n=1时,显然成立.
2)假设n k时成立,即 = - ,n=1,2, k
则当n=k+1时,由 = - + ,得 + + + = - + ,
(4-2)+( - )+…+( - )+ = - + ,得: = - .
当n=k+1时也成立.
综上,对任意正整数n,都有 = - .
另:用数学归纳法也可类似处理:
1)当n=1时,显然成立.
2)假设n=k时成立,即 = - .
则由 = - + 及 = - + ,
得 = ( - )- , =4 + =4( - )+ = - .
综上,对任意正整数n,都有 = - .
（Ⅱ）解本问可先求出 = = , 欲证数列不等式 ，常规的方法有四种，即求和分析法，数学归纳法，利用数列单调性法，放缩法.对于本题来说，由于不等式左边是n的递增式，右边是常数，利用数列单调性法证左边式子的最大值小于 是不可能的；同样由于n=k时比n=k+1左边式子要小，故不可利用数学归纳法求解；由于 是 在 时的极限（可求和证明），故不适于利用放缩法进行，最直接的方法是求和分析法，这也是证明数列不等式最常规的方法，也是最先考虑的方法. 由于 是分式形式，可考虑裂项求和法，把 变形为 进而转化为 ( - ) ，则问题迎刃而解.具体解法如下：
将 = - 代入(1)得： = ( - )- +
= ( -1) ( -2) = ( -1) ( -1).
= = = ( - ) .
所以, = = ( - ) < .
从以上分析可以看出，解决本题的难点有两个，一是对递推关系的变形，二是求和时裂项的技巧.对这两个难点的突破，是解决本题的关键.
[错因分析]:
(1) 把 = - 错写为 = - 而出错.
(2) 在写递推关系 =4 + 后,得出 + =4( + ),从而认为数列{ + }为等比数列而出错.
(3) 第(Ⅱ)问把 错误地认为是 而出错.
(4) 写出 = ,没有分解因式及拆项的意识,从而解答不够彻底.
(5) 证明不等式时,放缩法证明出现下列错误, = = < ,从而得出 < ( + +…+ )= (1- )< ,其中2 -3+ > 在n=1时不成立.
(6) 计算出错也是本题失分的重要原因.
[复习提示]:
对递推数列及数列与不等式相结合的题型的考查近几年越来越成为高考的热点和难点,在复习时应注意以下几个问题:
(1) 通过递推数列研究数列的性质及求通项的方法;
(2) 数列求和常用方法(如本题用到的裂项相消法)的分析;
(3) 建立在数列背景下的不等式的证明方法(如分析法、数学归纳法、放缩法及利用数列的单调性求解等).
三、06年全国各地高考数学典型题分析
我们把高考数学内容基础知识分成七部分，函数与导数，数列，不等式，平面向量和三角函数（含三角形），立体几何，解析几何），和概率统计（含排列组合、二项式定理）. 有的题目考查了多项知识，也是归在一类里.下面结合2006年各地高考试题分专题介绍考查的基本内容和方法。
1．函数与导数
㈠函数与方程
（2006年江苏卷）设a为实数，记函数 的最大值为g(a)。
（Ⅰ）设t＝ ，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t).
（Ⅱ）求g(a)；
（Ⅲ）试求满足 的所有实数a.
点评：本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
㈡函数图像
（2006年上海春卷）设函数 .
（1）在区间 上画出函数 的图像；
（2）设集合 . 试判断集合 和 之间的关系，并给出证明；
（3）当 时，求证：在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方.
㈢抽象函数
1．( 2006年重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0，求函数f(x)的解析表达式.
点评：这是一道函数综合问题，考查综合运用函数知识，方程知识解决实际问题的能力以及考查分类讨论问题的能力.
2．（2006年安徽卷）已知函数 在R上有定义，对任何实数 和任何实数 ，都有 .
（Ⅰ）证明 ；（Ⅱ）证明 其中 和 均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的 时，设 ，讨论 在 内的单调性并求极值.
点评：本小题主要考查函数的概念、导数运用、函数的单调区间和极值等知识，考查运用数学知识解决问题及推理能力.
㈣利用导数研究函数的单调性
(2006年山东卷）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a -1，求f(x)的单调区间.
点评：本题主要考查利用导数求解函数的单调区间的基础知识，以及考查分类讨论的思想方法.
（2006年上海卷）已知函数 ＝ ＋ 有如下性质：如果常数 ＞0，那么该函数在 0， 上是减函数，在 ，＋∞ 上是增函数．
（1）如果函数 ＝ ＋ （ ＞0）的值域为 6，＋∞ ，求 的值；
（2）研究函数 ＝ ＋ （常数 ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数 ＝ ＋ 和 ＝ ＋ （常数 ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 ＝ ＋ （ 是正整数）在区间[ ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
点评：本题主要考查利用函数 性质解决有关函数的一些问题；体现研究性学习，符合新课标理念.
㈤利用导数研究函数的极值、最值
（2006年福建卷）已知函数
（I）求 在区间 上的最大值
（II）是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.
点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.
㈥二次函数
（2006年辽宁卷）已知函数f(x)= ,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d＞0.设 ［1- ］上， ，在 ，将点 A， B， C，
(I)求 ；
(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为 ，求a ,d的值.
【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数列基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力.
㈦函数与其它知识的综合，体现了在知识交汇处命制试题的原则
①函数与不等式
例1（2006年江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值，
（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间；
（2） 若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）例2 （2006年湖北卷）设 是函数 的一个极值点.
（Ⅰ）求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间；
（Ⅱ）设 ， .若存在 使得 成立，求 的取值范围.
点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
例3 ( 2006年重庆卷)已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,c R为常数.
（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且 =4,试证：－6≤b≤2.
点评：本题主要考查函数导数的求法和利用函数的导数求函数的单调区间，以及考查函数的导数，函数极限，不等式综合运用的能力.
例4 （2006年全国卷II）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
点评:本题考查导数求解问题，同时渗透分类讨论思想.
例5 （2006年四川卷）已知函数 ， 的导函数是 ，对任意两个不相等的正数 ，证明：
（Ⅰ）当 时，
（Ⅱ）当 时，
点评：本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力，体现函数的凸凹性.满分14分.
例6 （2006年陕西卷）已知函数 且存在 使
（I）证明： 是R上的单调增函数；
设 其中
（II）证明： （III）证明：
点评：此题是对函数的综合考查，以及函数的单调性与不等式的结合，同时函数的导数最为函数单调性的依据.
分析：（I）通过求 和分析 的范围来证明，因为 是二次函数，所以可求二次函数的值域；
（II）利用自变量的大小关系及不等式的性质，用结合（I）问的结论证明；
（III）用数学归纳法证明可得.
②函数与三角
（2006年天津卷）已知函数 ，其中 为参数，且 ．
（1）当时 ，判断函数 是否有极值；
（2）要使函数 的极小值大于零，求参数 的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 在区间 内都是增函数，求实数 的取值范围．
点评：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基本知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想和方法.
③函数向量解析几何
（2006年广东卷）设函数 分别在 、 处取得极小值、极大值. 平面上点A、B的坐标分别为 、 ,该平面上动点P满足 ,点Q是点P关于直线 的对称点.求(Ⅰ)点A、B的坐标 ；(Ⅱ)动点Q的轨迹方程.
④函数导数与组合、数列、不等式
（2006年辽宁卷）已知 ,其中 ,
设 , .
(I) 写出 ;
(II) 证明:对任意的 ,恒有 .
【点评】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
O
O1
㈧函数应用
1．（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右
图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.
2．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度 （千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米.
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
2．数列
㈠等差数列
（2006年江苏卷）设数列 、 、 满足： ， （n=1,2,3,…），
证明： 为等差数列的充分必要条件是 为等差数列且 （n=1,2,3,…）.
点评：本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力
㈡等比数列
(2006年山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2）设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
（3）记bn= ，求数列｛bn｝的前n项和Sn，并证明Sn+ =1.
点评：本题主要考查数列中的基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解题时注意等比数列的概念及特殊数列的求和.
㈢数列求和
（2006年广东卷）已知公比为 的无穷等比数列 各项的和为9，无穷等比数列 各项的和为 .
(Ⅰ)求数列 的首项 和公比 ；
(Ⅱ)对给定的 ,设 是首项为 ，公差为 的等差数列.求数列 的前10项之和；
(Ⅲ)设 为数列 的第 项， ，求 ，并求正整数 ，使得 存在且不等于零.
(注：无穷等比数列各项的和即当 时该无穷数列前n项和的极限)
（2006年安徽卷）数列 的前 项和为 ，已知
（Ⅰ）写出 与 的递推关系式 ，并求 关于 的表达式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
点评：考查归纳推理求通项公式，分类讨论的思想和方法.
㈣递推数列
（2006年全国卷II）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式．
点评：本题考查数列中通项an与前n项和Sn的关系，以及考查学生归纳、猜想、证明的思想.
（2006年陕西卷）已知正项数列 ，其前 项和 满足 且 成等比数列，求数列 的通项
点评：此题主要考查怎样用 ，注意分两步进行.
（2006年上海卷）已知有穷数列 共有2 项（整数 ≥2），首项 ＝2．设该数列的前 项和为 ，且 ＝ ＋2（ ＝1，2，┅，2 －1），其中常数 ＞1．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若 ＝2 ，数列 满足 ＝ （ ＝1，2，┅，2 ），求数列 的通项公式；
（3）若（2）中的数列 满足不等式| － |＋| － |＋┅＋| － |＋| － |≤4，求 的值．
点评：本题主要考查等比数列的基本知识.
㈤新定义型数列
（2006年北京卷）在数列 中，若 是正整数，且 ，则称 为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列” 中， ，数列 满足 ， ，分别判断当 时， 与 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
点评：本题以新名词“绝对差数列”出现，考查学生构造新数列的能力；以及利用已知条件，通过观察、归纳、证明的能力. 其中（Ⅱ）可说明数列 是周期数列，而 是常数列；（Ⅲ）要求学生有较深厚的数学功底，可考虑使用反证法与放缩法证明.
㈥数列应用
（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以 表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） .
㈦数列开放型试题
（2006年上海春卷）已知数列 ，其中 是首项为1，公差为1的等差数列； 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列（ ）.
（1）若 ，求 ；
（2）试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围；
（3）续写已知数列，使得 是公差为 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
㈧数列与其它知识的综合
①数列与向量
（2006年江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若 ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ A ）
A．100 B. 101 C.200 D.201
②数列与导数极限
（2006年江苏卷）对正整数n，设曲线 在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为 ，则数列 的前n项和的公式是 ▲
点评：本题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题。
（2006年四川卷）已知数列 ，其中 ，记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）设 ，（其中 为 的导函数），计算 .
点评：本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分.
③数列与不等式
（2006年福建卷）已知数列 满足
（I）求数列 的通项公式；
（II）证明：
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力.满分14分.
（2006年江西卷）已知数列｛an｝满足：a1＝ ，且an＝
（1） 求数列｛an｝的通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！
点评： 可化为 ，体现求通项公式的转化方法；而（2）的证明可以使用数学归纳法.
④数列函数导数与不等式
（ 2006年浙江卷）已知函数f(x)=x + x ，数列｜x ｜(x ＞0)的第一项x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在 处的切线与经过（0，0）和
（x ,f (x )）两点的直线平行（如图）.
求证：当n 时，(Ⅰ)x
（Ⅱ） .
点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力.
无论是初等数学或是高等数学中数列都占有重要的地位．高考试题中，数列与函数、方程、不等式、解析几何、概率等知识的综合，常以中高档题目出现．围绕数列问题创设情景，设计一些新颖的题目，更有效地考察综合与灵活运用数学知识的能力和对数学思想方法的深刻理解．尤其是通过探索性试题测试考生的潜能和创新精神．数列综合能力题涉及的问题背景新颖，能力要求广泛，内在联系深刻，解法灵活，解这类题要科学合理地思维，善于将已知条件准确地表达为数列或其他数学内容所刻划的数学关系，全面灵活地运用数学思想方法．
3．不等式
㈠不等式的性质
（2006年上海春卷）若 ，则下列不等式成立的是( C )
（A） （B） （C） （D）
㈡不等式解法
（2006年上海春卷）不等式 的解集是 .
( 2006年重庆卷)设a＞0, a 1,函数 有最大值.则不等式loga(x2-5x+7) ＞0的解集为_(2,3)__.
㈢利用不等式求最值
( 2006年重庆卷)若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2 ,则2a+b+c的最小值为 ( D )
（A） -1 (B) +1 (C) 2 +2 (D) 2 -2
㈣不等式证明
①与函数方程综合
（ 2006年浙江卷）设f(x)=3ax ,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(Ⅰ)a＞0且-2＜ ＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用的基础知识.
（2006年广东卷）A是由定义在 上且满足如下条件的函数 组成的集合：①对任意 ，都有 ； ②存在常数 ，使得对任意的 ，都有 .
（Ⅰ）设 ，证明： ；
(Ⅱ)设 ,如果存在 ,使得 ,那么这样的 是唯一的；
(Ⅲ)设 ,任取 ,令 证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式 .
②数列不等式
( 2006年湖南卷）已知函数 ,数列{ }满足:
证明:(ⅰ) ;(ⅱ) .
点评：本题主要考查数学归纳法、利用导数证明不等式等，考察学生逻辑思维能力.
（2006年天津卷）已知数列 满足 ，并且
（ 为非零参数， ）．
（1）若 成等比数列，求参数 的值；
（2）当 时，证明 ；
当 时，证明 .
点评：本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、不等式的性质及证明的基础知识，考查运算能力和推理论证能力.
㈤含参数的不等式问题
（2006年陕西卷）已知不等式 对任意正实数 恒成立，则正实数 的最小值为 （B）
（Ａ）8 （Ｂ）6 （C）4 （D）2
（2006年上海卷）三个同学对问题“关于 的不等式 ＋25＋| －5 |≥ 在[1，12]上恒成立，求实数 的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 的取值范围是 a≤10 ．
㈥不等式应用
（2006年上海春卷）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 满足 ，则
（结论用数学式子表示）.
答案： 和
（2006年天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 20 吨．
( 2006年湖南卷）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: )为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为 (1≤a≤3).设用 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 ( ),用 质量的水第二次清洗后的清洁度是 ,其中 是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙,当 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
点评：本题主要考查学生分析和解决实际问题的能力，构造数学模型的能力.读懂题意，列出正确的表达式，然后利用均值定理等得出最终的结论.
4．向量与三角函数
㈠平面向量基础知识的考查
（2006年辽宁卷） 的三内角 所对边的长分别为 设向量 , ,若 ,则角 的大小为
(A) (B) (C) (D)
（2006年辽宁卷）设 , , ,点 是线段 上的一个动点, ,若 ,则实数 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
( 2006年湖南卷）已知 ,且关于 的方程 有实根,则 与 的夹角的取值范围是 ( B )
A.[0, ] B. C. D.
（2006年陕西卷）已知非零向量 与 满足 且 则 为（D）
（A）等边三角形 （B）直角三角形
（C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形
(2006年山东卷）设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 ( D)
(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6)
㈡三角计算
（2006安徽卷理）已知
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
点评：本题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式、倍角公式等基础知识，考查运算和推理能力.
㈢三角函数的图像和性质
（2006年上海春卷）已知函数 .
（1）若 ，求函数 的值； （2）求函数 的值域.
( 2006年重庆卷)设函数 (其中 ＞0, ),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为 .
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f(x)在区间 上的最小值为 ，求a的值.
（2006年陕西卷）已知函数
（I）求函数 的最小正周期；
（II）求使函数 取得最大值的 集合.
（2006年福建卷）已知函数
（I）求函数 的最小正周期和单调增区间；
（II）函数 的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到？
点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分.
㈣三角形中的三角问题
（2006年天津卷）如图，在 中， ， ， ．
（1） 求 的值；（2）求 的值.
点评：旨在考查斜三角形中的正余弦定理和角的正弦公式，考查基本运算能力及分析和解决问题的能力.
㈤向量与三角
（2006年四川卷）已知 是三角形 三内角，向量 ，且 .
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 .
点评：本小题主要考查三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考查应用、分析和计算能力.满分12分.
㈥三角应用
（2006年上海卷）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1 ）？
北
20
10
A
B
•
•C
[解]
点评:本题主要考查正余弦定理的应用.
高考启示录------立体几何
一、立体几何在高考中的地位、命题特点、考查方法
纵观2006年全国各省市高考试题，高考立体几何试题一般共有3道(客观题2道, 主观题1道), 共计总分21分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着传统方法和空间向量的方法相结合解决问题的方向发展.从历年的考题变化看, 以多面体和球体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.
二、2006立体几何试题面面观
（一）空间垂直与平行
例1（2006辽宁卷）给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线 与同一平面所成的角相等,则 互相平行.
④若直线 是异面直线,则与 都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
例2 （2006福建卷）对于平面 和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（ ）
A.若m⊥ ，m⊥n，则n∥ B.若m∥ ，n∥ ，则m∥n
C.若m ，n∥ ，则m∥n D.若m、n与 所成的角相等，则n∥m
分析：本题主要考查直线与平面的平行、垂直的判定.
解析：由直线和平面的位置关系及所成角的有关知识知A、B、D都是错误的，应选C.
点评：熟练掌握线面平行和垂直的有关定理和结论是解决此类问题的关键.
例3 例（2006辽宁卷）已知正方形 . 、 分别是 、 的中点,将 沿 折起,如图所示,记二面角 的大小为 .
(I) 证明 平面 ;
(II)若 为正三角形,试判断点 在平面 内的射影 是否在直线 上,证明你的结论,并求角 的余弦值.
A
A
C
B
D
E
F
B
C
D
E
F
（二）求空间的角
空间角的计算步骤：一作、二证、三算.
例1（2006江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）.将△AEF沿EF折起到 的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）.
图1
图2
分析：本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.
点评：在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力, 对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会容易求得.
例2 (2006广东卷)如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.
分析：本题主要考查异面直线所成的角及二面角的一般求法，综合性较强，可利用传统方法和空间向量的方法解决.
（三）求空间距离
空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.
空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离；(2)点到直线的距离；(3)点到平面的距离；(4)两条平行线间的距离；(5)两条异面直线间的距离；(6)平面的平行直线与平面之间的距离；(7)两个平行平面之间的距离.
例1 （2006安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到 的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面 的距离可能是：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A1
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________.（写出所有正确结论的编号）
分析：可利用点到平面距离的定义及有关平面梯形中位线的知识求解.
解析：如图，B、D、A1到平面 的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面 的距离为3，所以D1到平面 的距离为6；B、A1的中点到平面 的距离为 ，所以B1到平面 的距离为5；则D、B的中点到平面 的距离为 ，所以C到平面 的距离为3；C、A1的中点到平面 的距离为 ，所以C1到平面 的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤.
点评：从本题我们可以得出结论：一平面同侧的平行四边形相对顶点到这个平面的距离之和相等.
例2（2006福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离.
Q
P
A
D
C
B
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
点评：利用法向量及射影的方法求点到平面的距离是重要方法.
例3 （2006湖南卷） 如右图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
分析：本题主要考查线面垂直、异面直线所成角及点到平面距离的求法.
（四）多面体和球的面积和体积的计算
例1 （2006年福建卷）已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于 （ D）
（A） （B）
（C） （D）
A
D
C
B
例2（2006江苏卷）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）无穷多个
例3（2006江西卷）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）
A. S1B. S1>S2
C. S1=S2
D. S1，S2的大小关系不能确定
分析：本题体现多面体和球体的综合，考查多面体的体积及面积等问题.
解析：连OA、OB、OC、OD，
则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD，
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC，又VA－BEFD＝VA－EFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC，又面AEF公共，故选C.
点评：割补的思想和方法是解决有关体积问题的重要手段.
例4（2006四川卷）如图，在长方体 中， 分别是 的
中点， 分别是 的中点， .
（Ⅰ）求证： 面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积.
点评：本小题主要考查长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力.
三、立体几何复习建议
立体几何既是高中数学的重要内容之一，又是难点之一．有关立体几何的综合问题，主要涉及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，空间角和距离的计算，多面体和球的表面积、体积及有关截面问题的探求．虽然立体几何不像代数中的函数、不等式那样在众多知识的交汇中处于核心的地位，但它在培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力以及运用数学思想方法，特别是转化的思想解决问题等方面却起着独到的作用．此外，它和代数、解析几何之间也有着许多联系，因此，在高考复习中，我们应当深刻理解有关概念和性质，夯实基础，广泛联系，加强数学思想方法的挖掘和调用，以提高复习的针对性和实效性．
由于教材中引入空间向量，并用这一工具去解决空间的平行垂直关系，以及求空间的“距离”、“角”，因此，要重点掌握“空间向量”（可看成平面向量的推广），突出其“工具性”.在实际应用中，要强化训练如何将空间问题坐标化（如何建立空间坐标系，并确定相关点的坐标，这里还需要具有相应的平几知识）这一数学思想.
高考启示录---------解析几何
㈠直线基本知识的考查：选择填空题
（2006年北京卷）若三点 共线，则 的值等于___ _________.
㈡线性规划：以选择、填空题为主
1．（ 2006年浙江卷）在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是 (B )
(A)4 (B)4 (C)2 (D)2
2． ( 2006年湖南卷）已知 则 的最小值是 5 .
3．（2006年湖北卷）已知平面区域 由以 、 、 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 上有无穷多个点 可使目标函数 取得最小值，则 （C）
A. B. C. D. 4
4．（2006年四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每千克需用原料 和原料 分别为 千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为 元，月初一次性够进本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润 最大的数学模型中，约束条件为（C）
（A） （B） （C） （D）
㈢与圆有关的问题：以选择、填空题为主
1．（2006年陕西卷）设直线过点 其斜率为1，且与圆 相切，则 的值为（ B ）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
2．（2006年江西卷）已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，
直线l：y＝kx，下面四个命题：
（A） 对任意实数k与q，直线l和圆M相切；
（B） 对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；
（C） 对任意实数q，必存在实数k，使得直线l和圆M相切
（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l和圆M相切
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
3．( 2006年湖南卷）若圆 上至少有三个不同点到直线 : 的距离为 ,则直线 的倾斜角的取值范围是 ( B )
A.[ ] B.[ ] C.[ D.
㈣求曲线方程
O
F
x
y
P
M
H
1．（2006年安徽卷）如图，F为双曲线C： 的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于 轴上方，M为左准线上一点， 为坐标原点.已知四边形 为平行四边形， .
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率 与 的关系式；
（Ⅱ）当 时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若 ，求此时的双曲线方程.
点评：本小题主要考查直线方程、双曲线的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力及推理能力.
2．（2006年江苏卷）已知三点P（5，2）、 （－6，0）、 （6，0）.
（Ⅰ）求以 、 为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、 、 关于直线y＝x的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.
点评：本题主要考查椭圆和双曲线的基本概念，标准方程，几何性质等基础知识和基本运算能力.
3．（ 2006年浙江卷）如图，椭圆 ＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e= .
(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF 的中点，求证：∠ATM=∠AF T.
点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何中的基本解题思想方法和综合解题能力.
㈤轨迹问题
1．（2006年江西卷）如图，椭圆Q： （a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点.
（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（02．（2006年北京卷）已知点 ，动点 满足条件 .记动点 的轨迹为 .
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值.
点评：考查双曲线的定义，以及利用代数的方法—坐标法解决几何问题，会转化为函数的最值，又考查分类讨论的思想和函数思想.
3．( 2006年湖南卷）已知椭圆C1: ,抛物线C2: ,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥ 轴时,求 、 的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
(Ⅱ)是否存在 、 的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的 、 的值；若不存在，请说明理由.
点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，抛物线的定义等问题，考查学生计算、数形结合等方面综合的能力.
㈥解析几何与向量相结合：注意平面几何知识的应用
1．(2006年山东卷）双曲线C与椭圆 有相同的焦点，直线y= 为C的一条渐近线.
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 过点P(0,4)的直线 ，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当 ，且 时，求Q点的坐标.
点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力.
2．（2006年四川卷）已知两定点 ，满足条件 的点 的轨迹是曲线 ，直线 与曲线 交于 两点，如果 ，且曲线 上存在点 ，使 ，求 的值和 的面积 .
点评：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力.满分12分.
3．（2006年天津卷）如图，以椭圆 的中心 为圆心，分别以 和 为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点 作垂直于 轴的直线交大圆于第一象限内的点 ．连结 交小圆于点 ．设直线 是小圆的切线．
（1）证明 ，并求直线 与 轴的交点 的坐标；
（2）设直线 交椭圆于 、 两点，证明 ．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和思想方法，考查推理及运算能力.
4．（2006年辽宁卷）已知点 , 是抛物线 上的两个动点, 是坐标原点,向量 , 满足 .设圆 的方程为 .
(I) 证明线段 是圆 的直径;
(II)当圆C的圆心到直线 的距离的最小值为 时，求p的值.
【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.
㈦范围和最值问题
1．（2006年福建卷）已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
2．（2006年福建卷） 已知椭圆 的左焦点为F，O为坐标原点.
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线 相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与 轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
点评：本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.
3．（2006年湖北卷）设 、 分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 为它的右准线.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 、 分别与椭圆相交于异于 、 的点 、 ，证明点 在以 为直径的圆内.
（此题不要求在答题卡上画图）
点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
㈧定点和定值问题
（2006年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
点评：本题考查抛物线及其切线问题，同时渗透利用均值定理求最值问题，综合性较强，对考生解题能力要求较多.
㈨解析几何应用问题
（2006年上海春卷）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 . 观测点 同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在 轴上方时，观测点 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
㈩综合问题
1．（2006年上海卷）在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 ＝2 相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线 过点T（3，0），那么 ＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
2．( 2006年重庆卷)已知一列椭圆 .若椭圆Cn上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离dn是｜PnFn｜与｜PnGn｜的等差中项，其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取bn＝ ，并用Sn表示 PnFnGn的面积，试证：S1＜S2且Sn＜Sn+1 (n≥3).
点评：本题是解析几何、数列、不等式、函数的导数的综合问题，主要考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.
高考启示录------概率统计
㈠排列组合
1．( 2006年重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有 ( B )
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种
2．（2006年湖北卷）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__20________.（用数字作答）
3．（2006年江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 ▲ 种不同的方法（用数字作答）。
点评：本题主要考查不全相异元素的全排列
4．（2006年辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.
5．（2006年上海卷）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 36 ．
6．（ 2006年浙江卷）函数f: {1,2,3} {1,2,3}满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有 ( D )
(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个
7．(2006年山东卷）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 (A)
(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36
㈡二项式定理
1．（2006年福建卷） 展开式中 的系数是＿10＿（用数字作答）。
2．（2006年陕西卷） 展开式中 的常数项为＿594＿（用数字作答）。
3．（2006年湖北卷）在 的展开式中， 的幂的指数是整数的项共有 （C）
A.3项 B.4项 C.5项 D.6项
4．（ 2006年浙江卷）若多项式
( D )
(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10
㈢极限
1．（2006年陕西卷） 等于（ B ）
（A）0 （B） （C） （D）
2．（2006年江西卷）数列｛ ｝的前n项和为Sn，则 Sn＝
3．（2006年辽宁卷） ________
4．（2006年福建卷）如图，连结 的各边中点得到一个新的 又连结 的各边中点得到 ，如此无限继续下去，得到一系列三角形： ， ， ， ，这一系列三角形趋向于一个点M。已知 则点M的坐标是＿ ＿.
5．（2006年安徽卷）设常数 ， 展开式中 的系数为 ，则 _____.
6．（2006年湖北卷）将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ，就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出
，其中 =__ r＋1__.
令 ，则 =__1/2__.
㈣概率：
等可能事件（选择填空题） 对立事件、相互独立事件、独立重复事件（解答题综合）
1．（2006年安徽卷）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2006年上海卷）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 1/35 （结果用分数表示）．
3．（ 2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.从甲，乙两袋中各任取2个球.
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；
(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 ，求n.
点评：本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.
4．( 2006年湖南卷）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;
(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
点评：本题考查概率中的二项分布，Pn（k）公式等，考查学生分析问题解决问题的能力.
5．（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）
点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率以及利用作差比较法比较两个值大小的变形能力.
6．（2006年四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 ；在实验考核中合格的概率分别为 ，所有考核是否合格相互之间没有影响，
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）
点评：本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
㈤分布列、期望、方差
1．（2006年江西卷）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令x表示甲，乙摸球后获得的奖金总额.求：
（1）x的分布列； （2）x的的数学期望.
2．（2006年辽宁卷）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是 ,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量 、 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
(I) 求 、 的概率分布和数学期望 、 ;
(II) 当 时,求 的取值范围.
【点评】本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力.
3．（2006年全国卷II）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．
点评：本题考查学生对概率中的除法与乘法公式的掌握情况.
4．（2006年安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.
（Ⅰ）写出 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（Ⅱ）求 的数学期望 .（要求写出计算过程或说明道理）
点评：本小题主要考查等可能场合下的概率计算、离散性随机变量分布列、数学期望的概念和计算，考查运用概率和统计知识解决实际问题的能力.
㈥统计
( 2006年重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ( C)
(A)20 (B)30 (C)40 （D）50
（2006年全国卷II）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 25 人．
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
月收入(元)
频率/组距
㈦正态分布
（2006年湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 .已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.
（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？
（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可供查阅的（部分）标准正态分布表
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.2
1.3
1.4
1.9
2.0
2.1
0.8849
0.9032
0.9192
0.9713
0.9772
0.9821
0.8869
0.9049
0.9207
0.9719
0.9778
0.9826
0.8888
0.9066
0.9222
0.9726
0.9783
0.9830
0.8907
0.9082
0.9236
0.9732
0.9788
0.9834
0.8925
0.9099
0.9251
0.9738
0.9793
0.9838
0.8944
0.9115
0.9265
0.9744
0.9798
0.9842
0.8962
0.9131
0.9278
0.9750
0.9803
0.9846
0.8980
0.9147
0.9292
0.9756
0.9808
0.9850
0.8997
0.9162
0.9306
0.9762
0.9812
0.9854
0.9015
0.9177
0.9319
0.9767
0.9817
0.9857
点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.
四、对高三数学最后阶段复习的几点建议
1．注重专题训练，找准薄弱环节
可根据学生的需要适当安排做一些专题性的练习。我们平常说的专题主要分两类，即知识性专题和方法性专题。选择题专题、应用题专题、函数专题、数列专题、不等式专题、三角专题、解析几何专题、立体几何专题等等属知识性专题，通过这些专题的训练以进一步巩固第一轮单元复习的成果，加强各数学板块知识的综合。函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、化归与转化的思想方法等属方法性专题，数学思想方法是数学的精髓，对此进行归纳、领会、应用，才能把数学知识与技能转化为分析问题解决问题的能力，使学生的解题能力和数学素质更上一个层次。
2．关注热点问题进行有针对性的训练
学生可在教师的指导下通过分析教材和近两年高考走向和各地市模拟训练题的命题规律确定重点训练的内容。例如对比新老两种数学课本的教学内容，不难看出简易逻辑、平面向量、线性规划、空间向量、概率与统计、极限、导数均为新内容，由近两年新课程卷不难看出，这部分内容已占有40%分值。因此，要重视此类题目的重点复习。尤其是向量及其应用、导数及其应用、概率统计等内容正成为高考的新重点。当然原来的一些重点内容如函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等仍应引起高度重视，而新教材中向量、导数等为这些问题的解决提供了新的思路和方法，如导数在函数中的应用、向量在解析几何和立体几何中的应用等。
另外，同学们要注意知识的交*点和结合点仍是高考的热点问题，同时也可能是教师平时教学的“弱点”。例如，函数和不等式，函数与方程，函数与数列，数列和不等式，三角函数与数列等等。同学们要注意积累解此类题的方法与经验。
3．重视新课程理念在2007年高考中的渗透
4．重视高考模拟试题的训练和时间安排
临近高考，每周做两份长度为两小时的高考模拟综合性试题是有必要的。我们要把平常的考试看成是积累考试经验的重要途径，把平时考试当做高考，从心理调节、时间分配、节奏的掌握以及整个考试的运筹诸方面不断调试，逐步适应。平时考试的试题要精选，要注意试题的新颖性、典型性，难度、梯度和计算量适中。事后要对解题方法与错题进行认真的分析总结。争取全收全改，了解学生情况，有针对性地复习。
4．学生能自己解决的事，教师决不要去包办代替
教师指导学生去思考解决问题，为高考问题的解决积累经验和培养信心。
5．回归课本，查缺补漏。
高考命题从来都是以教材为蓝本编制的。回归课本，对课本的知识体系做一个系统的回顾与归纳，理解每个知识点的内涵、延伸与联系，重视教材中重要定理的叙述与证明，如立体几何中的三垂线定理、线面关系的判断定理等。阅读《考试说明》和《试题分析》，确保没有知识盲点，回归基础、回归近年高考试题，把握通性通法，如解析几何中轨迹问题的解题方法，数列通项公式的求解方法，数列求和的方法等。重视新教材中新增内容(如简易逻辑、向量、导数、概率、统计等)的考查，这些内容往往不能引起教师和同学们的重视，属于较“冷”的概念。重视课本中实习作业和研究性课题的研究和考查，甚至课本中阅读材料的内容，如集合的元素个数、有关储蓄的计算等。而研究性课题体现了新课程的研究和发展方向，更应引起重视，如分期付款中的有关计算体现了数学的应用价值。
6．重视易错问题和常用结论的归纳总结
7．心理状态的调整与优化
自信心和优良的心理素质是取得成功的重要条件，良好的心态可以确保水平的正常发挥，所以在高考前教师一定要重视学生心理状态的调整和优化。
总之，本人希望各位老师能从中了解新课程、新高考的新重点，掌握科学的复习方法，在全面复习的基础上，抓住重点，有效复习，抓实抓细每一个知识点的复习，做好每一套练习题，使学生养成规范答题的良好习惯，提升应考能力，争取使学生在高考中考出最佳成绩，考上中华名校
2007年高考备考讲座提纲
一、05、06年河南高考试题回顾
1．试卷总体评价 2． 试卷结构评价
3．答卷总体评价 4．各种题型得分情况
5．各种知识点得分情况
二、05、06年河南高考试题错误分析
三、06年全国各地高考数学典型题分析
1．函数与导数
2．数列
3．不等式
4．向量与三角函数
5．立体几何
6．解析几何
7．概率统计
四、对高三数学最后阶段复习的几点建议
2007年河南省高考数学备考讲座
一、05、06年河南高考试题回顾
1． 试卷总体评价
2006年高考数学试题有效贯彻实施了“在考查基础知识的同时。注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查”的命题指导思想。试题涉及知识点的覆盖面广、起点低、坡度缓，充分重视到难度适中，能区分出不同考生对基本概念掌握的层次或效果不同，强化应用意识，倡导理性思维，体现创新意识的考查。有利于引导教师的教和学生的学，较好地考查了考生的学习水准，符合高等院校对人才选拔的需求。起到了服务人民,安定人心,创建和谐社会的良好作用。
■强调对基础知识的掌握、突出运用所学知识解决实际问题的能力
整套试卷遵照高考考试大纲和考试大纲说明的要求，从题型设置、考察知识的范围和运算量,书写量等方面保持相对稳定，体现了考查基础知识、基本运算方法和基本数学思想方法的特点.同时,也注重了知识之间内在的联系与综合，在知识的交汇点设计试题的原则。
■选择题主要考查了数学的基本概念、基本知识和基本的计算、解题方法
整套试卷中好多选择题都能在课本上找到影子，是课本题的变形和创新，考生第一眼就看到非常熟悉的课本同类题目，对于稳定考生情绪，鼓舞答卷士气具有强烈的推进作用。这充分体现了高考数学试题“来源于课本”的命题原则，有很好的导向作用。一个亮点试题是文科选择(12)(理科选择(11))题，试题对学生的创新学习能力进行了考核，一是对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立地思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。充分体现出考查学生的动手能力和运用所学知识解决实际问题的能力。
文科选择(12)(理科选择(11))题
文（12）理（11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位： ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为( )
（A） （B） （C） （D）
文科22题是三次函数与导数结合的综合性比较高的题目，主要考查函数的单调性质以及导函数的概念和运用，综合考查利用所学知识分析问题解决问题的能力以及运算能力。要完全答对必须具备扎实的数学基本功和综合分析问题解决问题的能力，是一道区分度很强的考题，体现了压轴题的特点。理科21题也体现了这种特点。
文科22题 设a为实数, 函数 = －a + ( )x 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 都是增函数,求a的取值范围.
理科21题 已知函数 .
(Ⅰ) 设a >0, 讨论 y = f (x) 的单调性;
(Ⅱ) 若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.
■题目表述简洁明快，概率应用题的背景公平、难度适中，有利于增强考生自信心
整套试卷涉及到新教材中向量、概率与统计、导数的考查力度继续保持较高的比例。注重了考查考生的创新意识和动手能力，体现自主学习和主动探究精神。对传统内容的处理，刻意设计了新的考查形式，编拟了新的题型。开发了新的背景。试题切入容易、深入难，有利于区分考生，鼓励考生多层次、多样化的发展，贯彻了发展性课程评价的理念。
■试卷中档难度的题目较多，考题入口宽但完全解对难
整套试卷考题入口宽但完全解对难,这一特点为考生提供了一个天高任鸟飞的竞争平台。大多数考生做题时“上手”比较容易，都能写上一些内容，但考生的实际能力决定了能否继续做下去。所以说答题易但答完整、拿满分却难。因此试卷还是呈现出一定的可信区分度。
■试题侧重于具体形象，广泛联系实际，强化应用意识
整套试卷的题目做到起点低，难度分散，形象思维与抽象思维并重。新课程试卷则侧重新增内容与传统的中学数学知识及数学应用的融合，这样的试卷布局体现了数学试卷新的设计理念：尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现人文教育的精神。形成了考查数学运算能力,逻辑思维能力,灵活运用数学知识解决问题能力的有机结合。突出表现了对知识和能力考查的和谐性。
2． 试卷结构评价
①题型题量
试卷严格遵照高考考试大纲和考试大纲说明的要求，设置了12道选择题,4道填空题,6道解答题。与去年的题型和试卷结构完全一致。
②知识点分布与能力层次
理科共考查81个知识点，文科78个。
3． 答卷总体评价
根据对考生考试成绩的抽样统计数据，2006年高考(河南)考生数学成绩较去年好，文、理科数学平均成绩比去年分别高出9.15分、15.3分. 但是文、理科数学平均成绩的差距在增大.理科数学全卷的难度系数为0.59，较理想；文科数学为0.43，偏低.难度系数在0.7以上的题目称为容易题，在0.3-0.7之间的称为中等题，在0.3以下的称为难题. 2006年数学试卷易、中、难三类题目赋分的比例约为：理科数学4︰4︰2；文科数学1︰6︰3，容易题偏少.
一般认为，区分度在0.30以下的题目对于考生的区分选拔作用不强. 2006年数学试卷大多数题目的区分度良好，理科数学、文科数学各仅有1题区分度在0.30以下，都是选择题.与往年相似，解答题的区分度普遍高于选择题和填空题的.
4．各种题型得分情况
2006年高考数学试卷选择题、填空题、解答题的得分率依然是由高到低，与往年相同， 但各题型的得分率都相应比去年高.与2005年相比，除了文科数学选择题的得分率增加幅度不大以外，各种题型的得分率增加幅度都较大.
5．各种知识点得分情况
我们把高考数学内容基础知识分成七部分，函数与导数，数列，不等式（含集合、复数），三角函数（含三角形），立体几何，解析几何（含平面向量），和概率（含排列组合、二项式定理）. 有的题目考查了多项知识，也是归在一类里，例如文（8）理（6）题考查等比数列和三角形余弦定理，我们把它放在三角函数这一类里. 各部分的赋分值和题量见下表.
2006年高考数学各知识点考查情况
知识点
文科
理科
题量分值
题量分值
函数与导数
3题23分
2题19分
数列
2题17分
2题17分
不等式
1题5分
2题10分
三角函数
4题27分
5题31分
立体几何
3题21分
3题21分
解析几何
6题36分
5题31分
概率
3题21分
3题21分
二、05、06年河南高考试题错误分析
1．选择题
文理科得分率（抽样统计数据）较低的三个题为：
文科
理科
题号
7
11
12
8
11
12
平均分
2.61
2.12
1.99
3.64
2.15
1.82
难度
0.52
0.42
0.4
0.73
0.43
0.36
文（7）从圆 外一点 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )
（A） （B） （C） （D）
[答题情况]答案：(B)
[考查意图] 本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线夹角等基本知识.
[错因分析] 圆的切线方程不会求或两直线夹角公式记忆不清是出错的重要原因.
[解答提示] 解法一:圆的方程可化为 其圆心为(1,1),半径r=1.设切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x-3),即kx-y+2-3k=0.由圆心到切线的距离等于半径r得:
,解之得: k=0或 .设两切线的夹角为 ,则 (注:本方法也可用判别式 求斜率k.)
解法二:由圆的方程知圆心C(1,1),半径r=1,设两切线的夹角为 ,则 应选(B).
文（11）理（8）抛物线 上的点到直线 距离的最小值是( )
（A） （B） （C） （D）
[答题情况]答案：(A)
[考查意图] 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，点到直线距离公式等基本知识，考查数形结合和函数的思想与方法.
[错因分析] 几何问题代数化的思想与方程不熟悉及解析几何中数与形的结合不明确是出错的重要原因.
[解答提示] 法一：设抛物线上任一点坐标为P( ,- )，由点到直线的距离公式得P到直线的距离d( )= = ，当 = 时，d( )取得最大值 ,故选(A).
法二：设抛物线上点P( ,- )到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y ( )=-2 =- ,∴ = ,∴P( ,- ),此时d= = ，故选(A).
法三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l与抛物线相切时l与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由 得4x-3x +C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=- ,此时
d= ，故选(A).
文（12）理（11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位： ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为( )
（A） （B） （C） （D）
[答题情况]答案：(B)
[考查意图] 本题主要考查不等式的比较及对最值的估算能力，考查应用意识和创新能力.
[错因分析] 错误地认为边长分别为 的三角形面积最大而误选A.
[解答提示] 解法一：由于周长一定的三角形的面积以正三角形面积最大，若允许折断木棒，则周长为 的三角形面积的最大值是 ，由于 ，故排除C,D.又当三角形三边分别为 时，其面积为 ，故选B.
解法二：设三角形三边长为a,b,c,则 且 ，当 最小（此时 ）时，其面积最小，列出所有情况不难发现边长分别为 使符合，计算其面积为 .
理（12）设集合 .选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有( )
（A） （B） （C） （D）
[答题情况]答案：(B)
[考查意图] 本题主要考查两个基本计数原理及集合子集等基本概念，考查分类讨论思想和创新意识.
[错因分析] 分类不彻底或分类重复是导致本题出错的重要原因.
[解答提示] 以A集合中元素最大数分别为 分类，可得符合条件的不同选择方法有 种，故选B.
用类似方法可得，当 时，符合条件的不同选择方法共有 种.
2．填空题
文理科得分率（抽样统计数据）较低的两个题为：
文科
理科
题号
14
16
13
16
平均分
1.69
1.48
2.53
1.72
难度
0.42
0.37
0.63
0.43
文(14)理（13）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为 ，则侧面与底面所成的二面角等于_______________.
[答题情况] 答案：
[考查意图] 本题主要考查正四棱锥的基本概念和公式及二面角的求法，考查空间想象能力.
[错因分析] 把棱锥与棱柱的体积公式记混是本题出错的重要原因.
[解答提示] 设正四棱锥的底面边长为a,高为h，则由题意得：
解之得：
故所求侧面与底面所成的二面角的正切值为 ，即所求角为 ，应填 .
文（16）理(15) 安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种.（用数字作答）
[答题情况] 答案： 2400
[考查意图] 本题主要考查有限制条件的排列问题和应用数学知识解决实际问题的意识.
[错因分析] 由于只注意“选”，不注重“排”，导致出现 的错误；由于利用排除法没有把所有情况除去，出现类似 的错误.
[解答提示] 解法一：从其中五人中人选两人安排在5月1日和2日，其余五人（含甲，乙）安排在其余五天，共有 种安排方法，应填2400.
解法二：首先安排甲，乙两人在5月3日至5月7日值班有 种排法，其余五人安排在剩余五天，共有 种排法，所以排法总数为 种，应填2400.
理(16) 设函数 .若 是奇函数，则 __________.
[答题情况] 答案：
[考查意图] 本题主要考查三角函数的导数及三角函数中有关公式和性质等基本知识.
[错因分析] 对三角有关公式记三角函数求导法则不熟悉是本题出错的重要原因.
[解答提示]
解法一：
∴
由题意 为奇函数， 对任意x，恒成立
，
即 恒成立， ，又 ，故 ，应填 .
解法二： 为奇函数， 即 ，又 .应填 .
3．解答题
文(17 )（本小题满分12分）
已知 是等比数列, =2, + = .求 的通项公式.
[抽样统计数据] 平均分：6.61 难度：0.55
本题属于容易题, 区分度很好. 但仍有约24％的考生未得到分, 其中有人是将等比数列当成了等差数列去求解. 得1～4分者约有11％. 能够求解出首项 及公比q的值, 得7～8分者约有12％. 得11分者所占比例最大为29％, 他们基本上都是因为未将通项公式化为规范的最简形式而失掉1分. 得满分的有19％.
[考查意图] 本题主要考查等比数列的基本知识, 考查分析问题的能力和推理能力.
[解答分析] 解答本题的关键是求出公比q. 途径是利用已知条件列出关于q的关系式, 解出q, 从而写出通项公式. 本题可由多种方式得到关于q的关系式.
[错因分析] 解题中出现的失误主要有:
(1) 已经正确求出公比q和首项 的值, 但未注意将通项表达式写成形如 = 2× 及 = 2× 的规范最简形式. 如写: = × , =18× 或 = × , = 54× 等. 有将近30％的考生都出现这种问题.
(2) 求解方程组失误. 在解方程组
或 时,
只写出了一组解. 实际上, 这两个方程组都不是线性的, 它们有两组解.
(3) 能正确求出 和q的两组值, 但对应关系搞错, 如错将 = 与q = 对应, 将 =18与q = 3对应, 使得写出的通项表达式也错. 这可能是因为紧张粗心所致, 甚为可惜.
[复习提示] 数列内容在高考中占有重要地位. 对于这部分内容, 文科试卷侧重于基础知识和基本方法的考查, 以具体思维、演绎思维为主. 复习中应注意熟练掌握等差数列、等比数列的基本概念、基本公式和基本性质, 掌握研究数列通项及前n项和的一些方法以及方程的思想等数学思想方法.
文(18)理(17) (本小题满分12分)
△ABC的三个内角为A、B、C , 求当A为何值时, 取得最大值,并求出这个最大值.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
文(18)
12
4.24
0.35
理(17)
12
9.17
0.76
本题对于文科考生是一道难题, 对于理科考生是一道容易题, 区分度都很好. 相比之下, 文科考生得分较分散, 分布呈现两头大中间小状态, 得零分的占40％, 得满分的占31％. 仅写出A、B、C三个角的关系得1~2 者占11％, 能正确运用诱导公式得到3~4者占8％, 将题设函数化为半角正弦函数的表示式, 但未正确配平方得5~6分者占4%.
理科考生得分多在5分以上, 达81%, 得满分的就有65%, 只有7%的卷面为零分.
[考查意图] 本题主要考查三角函数的性质和恒等变形的方法，考查推理和运算能力.
[解答分析] 首先应设法将题设函数中的三角函数化为同一个角的三角函数式, 这可由题设A、B、C是△ABC的三个内角的关系进行; 然后根据得到的函数式设法求最大值, 这可用“换元”的思想实现. 下面列出两种解法.
解法1 = = －2 + .
当 = , 即A = 时, 取得最大值 .
这里得到1－2 + 2 后, 可用二次函数求最值， 也可利用均值不等式来求最大值, 如: = 2 + 1 ≤2 + 1= .
解法2 利用导数求最大值.
[错因分析]
(1) 不会利用题设条件“△ABC的三个内角为A、B、C”进行角的转化, 无法进入计算.
(2) 基本运算不熟练造成在写出
=1－2 + 2
后, 配平方出错. 如有的错为: －2 + ;
有的错为:－2 + , －2 ,…等等多种多样的情形.
(3) 记错三角公式, 记错特殊角的三角函数. 如: 将 错写为 ; 将 = 错写为 = ; 在推出 = 后, 有的求不出A的值, 有的错为A = 或 A = 等.
[复习提示] 三角函数的基本公式、图象与性质、特殊角的三角函数等基本知识应烂熟于心. 注意三角函数式的化简训练. 三角函数式的变形化简需首先根据要求确定化简目标, 然后选择适当的途径, 根据目标进行恒等变形转化.
文(19) (本小题满分12分)
A、B 是治疗同一种疾病的两种药, 用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由4只小白鼠组成, 其中2只服用A, 另2只服用B, 然后观察疗效. 若在一个试验组中, 服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多, 就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A有效的概率为 , 服用B有效的概率为 .
(Ⅰ) 求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ) 观察3个试验组, 求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
文(19)
12
2.83
0.24
从答题情况看本题属于难题, 未得分者有五成之多. 不过区分度很好. 不少的人对将问题化为用概率语言符号表示不熟练, 卷面上经常见到一长串的数字算式, 没有必要的语言叙述. 第(Ⅰ)问中, 不会将两只小白鼠服用A(或B)视为2次独立重复试验, 公式运用不准确错得结果5/18者较多, 这种情况一般得分在4~6分, 有约24%. 得分超过7分即第(Ⅰ)问答对者近16%. 完整解答本题的有11%.
[考查意图] 主要考查计算随机事件发生的概率, 包括互斥事件有一个发生的概率、对立事件有一个发生的概率、相互独立事件有一个发生的概率以及n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率, 同时考查运用概率知识解决实际问题的能力.
[解答分析] 求解时, 首先需仔细理解题意, 正确地将复杂事件分解为一些简单事件的复合, 然后合理地列式计算.
第(Ⅰ)问. 事件“一个试验组为甲类组”(记为D)可分解为: 事件“服用A有效的小白鼠为1只且服用B有效的小白鼠为0只”(记为 )、事件“服用A有效的小白鼠为2只且服用B有效的小白鼠为0只”(记为 )、事件“服用A有效的小白鼠为2只且服用B有效的小白鼠为1只”(记为 )之和, 而上述三事件又可分解为事件“服用A有效的小白鼠为i只”(记为 )与事件“服用B有效的小白鼠为j只”(记为 )之交, 其中i=1,2; 0≤j＜i. 而一个组内两只小白鼠服用A(或B)是否有效可视为2次独立重复试验.
由于事件 , , 互斥, 事件 , 相互独立, 根据乘法法则和加法法则便可得题目要求的概率.
第(Ⅱ)问. 观察3个实验组可视为3次独立重复试验, 由此可得解. 具体求解如下.
(Ⅰ) 设 表示事件“一个实验组中, 服用A有效的小白鼠有i只”, i=0,1,2,
表示事件“一个实验组中, 服用B有效的小白鼠有j只”, j = 0,1,2 .
依题意有
P( ) = × × = , P( ) = × × = .
P( ) = × × = , P( ) = × × = .
所求的概率为
p = P( + + )
= P( ) + P( ) + P( )
= × + × + ×
= .
这种算法可称为直接法, 本题也可用间接法即通过计算“一个试验组为甲类组”的对立事件的概率来求解, 但因情况较多, 较为复杂.
(Ⅱ) 事件“三个试验组中至少有一个甲类组”的对立事件为“三个试验组中恰好有0个甲类组”, 后一事件的概率为 .
所以, 所求的概率为p = 1－ = 1－ = .
这里也可以用直接法来做, 但相比之下间接法较简捷.
[错因分析]
(1) 概念不清, 公式运用不准确造成失误. 如计算事件“服用A有效的小白鼠为1只, 服用B有效的小白鼠为0只”的概率, 把式子列为 p = × × × = , 误在丢掉了因子 . 实际上, 因为有2只小白鼠服用A, 所以“服用A有效的小白鼠有1只”的概率, 即为“2次独立重复试验中一事件恰好发生1次”的概率, 应为 × × .
(2) 未审清题目或未正确理解题意造成失误. 如有的考生在解题中, 还考虑一个试验组中服用A有效的小白鼠为3只或4只的情况, 忽视了题设条件. 又如有的考生计算一个试验组中,服用A有效的小白鼠有2只的概率时, 列式为p = × × , 误解了题意, 而将一个试验组中, 服用A的2只小白鼠的所有可能选法都考虑了进去. 根据题意, 一个试验组中, 給2只小白鼠服用A, 另2只服用B, 观察疗效, 那么服用A有效的为2只就只有一种情况,
正确的表达式应为 p = × × .
(3) 逻辑关系不清楚造成失误. 如将“最多有3个不是甲类组”当成“3个试验组中至少有一个甲类组”的对立事件.
另外, 数字运算错误, 求解中考虑情况不周全, 也是不少考生失分的原因.
[复习提示] 概率的计算问题, 列出算式后的计算并不难, 重要地是如何列式进行计算? 这就需要分清问题属于哪种类型的概率问题? 使用什么公式列式? 需要正确地将复杂事件分解为简单事件的复合.
理（18）（本小题满分12分）
A、B 是治疗同一种疾病的两种药, 用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由4只小白鼠组成, 其中2只服用A, 另2只服用B, 然后观察疗效. 若在一个试验组中, 服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多, 就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用A有效的概率为 , 服用B有效的概率为 .
(Ⅰ) 求一个试验组为甲类组的概率;
(Ⅱ) 观察3个试验组, 用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数, 求ξ的分布列和数学期望.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
理(18)
12
6.53
0.54
本小题属于中等题, 区分度很好 .答题情况两极分化，得满分者有28.2%，有一点疏忽得11分者有11.3%，反之得0分者约占13.7%, 会一些简单的概率计算得1~4分者有约25.1%, 高分和低分都接近40%. 因在计算事件的概率时有错误而得5~6分者有16.0%, 在计算分布列和数学期望时有错误而得7~10分者有5.7%.
[考查意图] 本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查随机变量、数学期望等知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力.
[解答分析] 本小题第(Ⅰ) 问与文（19）题的一样. 第(Ⅱ)问较简单，是考查二项分布的基本题，参考解答如下：
解 (Ⅰ) 参见文（19）题.
(Ⅱ) ξ的可能值是0,1,2,3，且ξ服从二项分布（3, 4/9），
P (ξ= 0) = , P (ξ= 1) = ；
P (ξ= 2) = ； P (ξ= 3) = .
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
p
数学期望Eξ= .
注：数学期望也可以按照定义计算，但计算较繁琐.
[错因分析] 第(Ⅰ) 问主要错在没有分析清楚“一个试验组为甲类组”这一事件的构成，即没有分析清楚哪几种情况下一个试验组为甲类组. 有些考生是理解错了题意，更多的考生是运用概率知识分析问题解决问题的能力不足，错法五花八门. 参见文（19）题.
在做对第(Ⅰ) 问的情况下，第(Ⅱ)问主要是计算错误，粗心大意、不注意化简都容易出错. 不及时化简的话，等到数字大了，就不容易化简了. 有些考生计算的最终结果是一个很大的分数，尽管数字是正确的，但没有化简也是不符合要求的. 也有一些考生把ξ的分布列算反了,把0个甲类组的概率算成了3个甲类组的概率, 1个甲类组的概率算成2个甲类组的概率等.
[复习提示] 概率题一般不需要技巧或灵活性，关键是掌握好基本知识，做练习题时注意分析清楚题意，增强理解能力和计算能力.
A
B
M
N
C
l2
l1
文（20）理（19）（本小题满分12分）
如图， 、 是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在 上，C在 上， .
（Ⅰ）证明AC⊥NB；
（Ⅱ）若 ，求NB与平面ABC所成角的余弦值
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
理(19)
12
6.5
0.54
文(20)
12
2.47
0.21
本小题是文理科卷都有的一道题，对文理科学生的区分度都很好，但难度明显不同，对于文科学生是难题，对理科则是中等题．本小题比去年的立体几何题得分率稍低. 各分数段的考生比例见下表. 做出了第(Ⅰ) 问，得分在6分及以上者文科约30%，理科约69%，其中得6~8分者较多是在第(Ⅱ)问找不到所求的线面角，这部分考生的比例也较高.
分数段(分)
0
1~2
3~5
6~8
9~11
12
考生比例(%)
理
14.1
10.3
6.6
32.5
17.2
19.3
文
46.9
17.0
6.0
17.8
5.5
6.7
[考查意图] 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力. 也可以考查应用向量知识解决空间图形问题的能力.
[解答分析] ①几何方法：第(Ⅰ) 问较容易，只用到线线垂直、线面垂直的基本知识. 首先由题设条件可推出AN⊥BN，接下来就可以想到如果有l2⊥平面ABN，那么AN为AC在平面ABN内的射影，应用三垂线定理得AC⊥NB.（应用三垂线定理是证明直线垂直的常用方法之一，高考题中常见到.）第(Ⅱ)问的解答步骤是首先找出所求的线面角，再计算它的余弦值. 由线面角的定义，从N向平面ABC引垂线，就作出了这个线面角，关键是确定垂足的位置，这需要我们判断四面体N-ABC的性质.（高考题中常有求二面角、线面角、线线角大小的问题，解答步骤都是找角、证明、计算，.有的题目要证明找到的角就是所求的角，有的题目如本题则要证明一些位置关系以便于计算，总之，证明是不可少的.）
②向量方法：首先是建立坐标系、确定各点的坐标，然后计算. 对本小题来说，向量方法求解并不简便.
A
B
M
N
C
l2
l1
H
参考解答如下：
解法一: (Ⅰ) 由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB.
又由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN，
从而AN为AC在平面ABN内的射影. ∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵ Rt△CNA≌Rt△CNB,
∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.
∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角.
A
B
M
N
C
l2
l1
H
x
y
z
在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .
解法二: 如图,建立空间直角坐标系M-xyz. 令MN=1, 则有A(-1,0,0)，B(1,0,0)，N(0,1,0),
(Ⅰ) ∵MN是 l1、l2的公垂线, l1⊥l2,
∴ l2⊥平面ABN. ∴ l2平行于z轴.
故可设C(0,1,m)，于是 =(1,1,m), =(1,－1,0).
∵ ·=1+(－1)+0=0 ∴AC⊥NB.
(Ⅱ)∵ =(1,1,m), =(－1,1,m), ∴||=||, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.
在Rt△CNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).
连结MC，作NH⊥MC于H，设H(0,λ, λ) (λ>0).
∴=(0,1－λ,－λ), =(0,1, ). · = 1－λ－2λ=0, ∴λ= ,
∴H(0, , ), 可得=(0,, － ), 连结BH，则=(－1,, ),
∵·=0+ － =0, ∴⊥, 又MC∩BH=H,∴HN⊥平面ABC,
∠NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(－1,1,0),
∴cos∠NBH= = = .
注：还可以分别以NA、NB、NC为x、y、z轴建立空间直角坐标系，但这需要先证明
l2⊥平面ABN.
[错因分析] 缺少解答步骤：主要是在第(Ⅰ) 问中不证明l2⊥平面ABN，在第(Ⅱ)问中不证明△ABC为正三角形或NC=NA=NB，或不证明∠NBH是所求的线面角，而是默认它们成立.
不按照题意回答问题：算出∠NBH的大小（用反三角函数表示），但不算它的余弦值.
线面角的概念不清楚：例如说“∠NBH或其补角是所求的线面角”.
找不到所求的线面角，或是按照定义作出了∠NBH，但是找不到H的位置，因而无法计算∠NBH的余弦值.
找错所求的线面角：例如把平面ABC的法向量与NB的夹角，说所求的线面角是∠NMC，是∠NBC，是∠MNB，是∠DBN（D为BC中点），是∠DME （D为BC中点，E为BN中点），等等.
计算错误：向量内积算错，列式运算错，线段长度看错等.
空间想象能力弱：如说“过B作BE∥AC交l2于E”，其实这是不可能相交的.
[复习提示] 在解答立体几何题时，常有考生缺少证明步骤，比如本小题不证明l2⊥平面ABN，其实这一步并不难，但是不写的话失分就较多. 在高考复习时，要注意练习写一个既简明又完整的解答或证明，哪些是必不可少的，那些是可以省略的，这从课本例题、老师讲的例题的解答中就可以学到.
理（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中, 有一个以F1(0, ) 和F2(0, )为焦点、离心率为 的椭圆. 设椭圆在第一象限的部分为曲线C, 动点P在C上, C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B, 且向量 . 求:
(Ⅰ) 点M的轨迹方程; (Ⅱ) 的最小值.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
理(20)
12
3.88
0.32
本小题属于中等题, 区分度较好.得0分者约占18%, 会求椭圆方程得1~4分者有约50%, 会求导数和切线斜率得5~6分者有10.5%, 正确求出切线方程以及进一步求解点M的轨迹方程得7~10分者有16%, 做到第(Ⅱ)问得11~12分者有5.5%.
[考查意图] 本小题主要考查椭圆的几何性质、平面向量及切线方程、曲线方程等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.
[解答分析] 本小题第(Ⅰ) 问涉及到解析几何、平面向量和导数应用等多方面知识，同时出现椭圆方程、切线方程和点M的轨迹方程等多个方程，因此做第(Ⅰ)问需要我们清楚理解方程等有关的概念，熟练掌握有关的基本知识、常规方法，并能把他们联系在一起综合的运用. 解题思路是：设出切点P的坐标和M点坐标，求出椭圆方程和切线方程，然后求出A、B点坐标，再求出M点坐标与切点坐标的关系，消去切点坐标即可得点M的轨迹方程. 做第(Ⅱ)问需要一点运算技巧. 参考解答如下：
解 (Ⅰ) 焦点在y轴上，故设椭圆方程为 ，（ ），由题设条件得， 且 ，即b=2，a =1，所以曲线C的方程为
，即 ，
设P(x0, y0), 则 , 由于 ,
故切线AB方程为
(注：上式中把y0代换成x0也可以，只是总有根式略显不便). 求切线在坐标轴的截距，得
.
设M(x, y), 则由 得 ，因为P在C上，将x0=1/x, y0=4/ y代入C的方程，得点M的轨迹方程为 .
（注：点M的轨迹方程也包括x, y的变化范围，它是由x0, y0的变化范围求出的）.
(Ⅱ) ，由点M的轨迹方程中解出 ，代入得
，
当 ，即 时，上式取等号，故 的最小值是3.
（注：“ ”这一步说明：在M的变化范围内，上式可以取到等号，因而最小值是3，这一步是不能少的）.
[错因分析] 基础知识、基本方法掌握不好. 例如：把椭圆半轴与离心率的关系列错；导数公式错；计算出切点P的坐标以后，不会求M点坐标，或求出M点坐标后不会消去切点P的坐标、不能建立点M的轨迹方程；方程的记号和点的坐标的记号不一致；曲线C的方程、点M的轨迹方程不指明变量的变化范围.
计算错误. 多是粗心大意或不注意化简造成的. 最可惜的是把焦点放在x轴上，把椭圆方程写错，使得解答一开始就错了.
在第(Ⅱ)问中不会将函数变形，解题缺少灵活性.
[复习提示] 加强涉及多方面知识的综合练习，加深理解曲线方程的概念、熟悉方程记号.
文(21 )（本小题满分12分）
设P是椭圆 + = 1 ( a > 1 ) 短轴的一个端点, Q为椭圆上的一个动点,求| PQ | 的最大值.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
文(21)
12
1.51
0.13
本题属于难题, 区分度较好. 六道解答题中, 本题不能入门得0分者最多, 达57%. 除此之外, 得分主要分布在1~6分. 仅写出P、Q的坐标得1~2分者有约五分之一, 能写出| PQ |的表达式并消元得5~6分者有7%, 进一步将 的表达式配平方, 而未加讨论写出| PQ |的最大值得8~9分者有7%, 基本完成解答, 得10分及其以上者有3%, 得满分者为1.3%.
[考查意图] 本题主要考查椭圆的基本知识、两点间的距离及综合分析问题的能力.
[解答分析] 要求| PQ |的最大值, 为方便, 对 加以讨论. 首先需写出点P、Q的坐标. 因Q在椭圆上, 通过消元法消去 中的一个未知数(这里消x), 得到 关于y的表达式, 是一个y的二次式, 配平方. 其中有参数a, 需结合此椭圆的性质分类讨论, 从而求出| PQ |的最大值.
解法1: 依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ), 则| PQ | = .
又因为Q在椭圆上, 所以 = (1 ) .
= (1 ) + －2y + 1
= (1 ) －2y + 1 +
= (1 ) + 1 + .
因为 | y | ≤ 1, a > 1,
若a ≥ , 则 ≤1, 当y = 时, | PQ | 取最大值 ;
若1< a < , 则当y = －1时, | PQ | 取最大值2 .
解法2:
设P (0, 1 ), Q ( , ), 则
= +
= (1 ) －2 + + 1
= (1 ) － + + 1.
注意到 | | ≤ 1, a > 1. 以下的讨论与解法1相同.
[错因分析] 本题求解中要用到椭圆的基本知识、两点间的距离、二次函数、求最值等知识, 解答过程蕴涵着函数思想、分类讨论等数学基本思想. 由于在这些方面以及思维的严谨性、周密性方面不同程度的欠缺, 造成了答题中不同层次的失误.
此题能够入手的多数考生都是循着解法1的路子做的. 有的考生写出 的表达式后, 意识不到条件“Q为椭圆上的一个动点”的作用, 不知道利用椭圆方程在 表达式中消元, 往下找不到深入的途径;
有的考生虽然想到了消元, 但消去的是y, 得到
= + ,
太繁, 而无法求解下去;
有的考生进行到求出
= (1 ) －2y + 1 +
或
= (1 ) + 1 + ,
但未能从椭圆方程 + = 1 ( a > 1 )中理会出| y | ≤ 1, 或未注意到a > 1的条件, 不对参数a分情况讨论, 就直接得出y = 时, | PQ | 取最大值 , 导致失分;
有的考生虽知道要对a分类讨论, 但未找到恰当的分类标准, 导致失误. 分类应从所研究的具体问题出发, 去选择恰当的分类标准, 不重不漏地将讨论对象划分为若干个类别. 具体到此问题, 则应是注意到 | y | ≤ 1, a > 1, 从是否 ≤1来考虑分类.
此外, 有的考生是用解法2求解, 在设Q ( , )时, 不恰当的限定θ的范围, 如: θ∈[0,π] 或θ∈ . 这样做改变了点Q 的属性, 因为, 当θ∈[0,π]时, Q 只在上半椭圆, 当θ∈ 时, 点Q 只在右半椭圆.
[复习提示] 注意“读题”, 即分析题目, 挖掘其中的信息. 解题中注意每一处细节, 培养思维的严谨周密. 消元时需注意被消变量的选择, 要使消, 元的过程尽可能简单, 消元后的结果尽可能方便使用.
理（21）（本小题满分14分）
已知函数 .
(Ⅰ) 设a >0, 讨论 y = f (x) 的单调性;
(Ⅱ) 若对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1, 求 a的取值范围.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
理(21)
14
2.59
0.19
本小题是一道难题, 也是全卷最难的一道题; 区分度较好. 分数分布呈现出分数越高人数越少的状态: 得零分的考生约占32％, 会求导数而得到1~3分者约占37％, 再会利用导数判断函数的单调性而得4~6分者约占18％, 能对参数进行讨论而得7~10分者约占11.5％; 得11~13分者约占1.5%, 得满分者仅占0.07％.
[考查意图] 本小题主要考查分类讨论的数学思想和导数的计算、应用导数研究函数单调性的基本方法，考查逻辑推理能力.
[解答分析] 本小题的解法是常规方法, 但需要我们函数概念清楚、逻辑推理能力强. 解答时需要注意三点, 一是本类题目应该对参数a进行分类讨论, 而不是对函数的定义域分类讨论, 具体到本小题, 应该分0
解 (Ⅰ) 函数f (x)的定义域为(-∞, 1)∪(1, +∞), 导数为
.
(ⅰ) 当0
(ⅲ) 当a>2时, 解 得x =± ,
x
(-∞, - )
(- , )
( , 1)
(1, +∞)
+
-
+
+
↗
↘
↗
↗
f (x) 在区间 (-∞, - ), ( , 1), (1, +∞) 为增函数,
f (x) 在区间 (- , )为减函数.
(Ⅱ) 参数a的变化范围和(Ⅰ) 不同, 但由(Ⅰ) 知仍分三种情形讨论.
(ⅰ) 当0< a≤2时, 由(Ⅰ) 知f (x) 在区间 (-∞, 1) 为增函数, 故对于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a满足要求.
(ⅱ) 当a>2时, 由(Ⅰ) 知f (x) 在区间 (- , )为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取 , 就有 x0∈(0, 1) 且 f (x0) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求.
(ⅲ) 当a≤0时, 对于任意x∈(0, 1) 恒有
≥ , 这时a满足要求.
综上可知, 所求 a的取值范围为 a≤2.
[错因分析] 出错较多的是解答不够严谨, 例如计算出“当0
第(Ⅱ)问中还有逻辑错误. 例如“因为f (0)=1, 故只要f (x) 在区间 (0, 1)为增函数”, 这样也能得出正确结果, 但是推理过程是有错的, 错误原因在于“f (0)=1, 且f (x) 在区间 (0, 1)为增函数”这个命题是“对任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1”的充分条件而难以证明是必要条件.
[复习提示] 近年总有含参数的函数(或数列)的考题, 一般都可用常规方法求解. 首先概念要清楚, 含参数的函数不是一个函数, 参数的值不同, 就是不同的函数. 其次, 应该对参数分类, 即按照参数的不同变化范围分成若干情形, 再分别讨论.
文(22) (本小题满分14分)
设a为实数, 函数 = －a + ( )x 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 都是增函数,求a的取值范围.
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
文(22)
14
1.87
0.13
这是一道难题, 区分度很好. 本题得零分者有约37%之多. 得分集中在5分及其以下, 占56 %, 即最多求出了Δ≤0时a的取值范围. 能将Δ>0时a的取值情况讨论完整者很少, 总共不到2%. 得满分者占千分之五.
[考查意图] 本题主要考查导数的概念和计算、应用导数研究函数单调性的基本方法, 考查数形结合、分类讨论的数学思想和综合运用数学知识解决问题的能力.
[解答分析] 此题是一个利用导数来研究函数单调性的问题. 自然地, 首先求函数的导数, 把研究函数的增减性转化为研究导数的正、负.
求 的导数, 得 = 3 －2ax + －1.
下面则转化为二次函数3 －2ax + －1在区间 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 上均为正的问题, 对于解决这个问题没有现成的定理可直接使用, 用纯代数的方法难以奏效, 必须借助图形来解决. 下面列出几种具体解法.
解法1 利用抛物线与x轴的交点讨论.
= 3 －2ax + －1, 此函数图象为开口向上的抛物线, 其判别式 Δ= 4 －12 +12 = 12－8 .
( i ) 若Δ= 12－8 = 0 , 即a =± . 抛物线在x轴上方且与x轴相切与一点x = .当x∈( , )或 x∈( , )时, > 0, 在( , )为增函数. 所以a=± .
( ii) 若Δ= 12－8 < 0, 抛物线在x轴上方, 恒有 > 0, 在( , )为增函数. 所以 > ,即a∈( , － )∪( , ) .
(iii) 若Δ= 12－8 > 0, 即－ < a < , = 0 有二不同根
= , = .
当x∈( , )或( , )时, > 0, 为增函数;
当x∈( , )时, < 0, 为减函数.
为使 在( , 0 )和( 1, )为增函数, 必须 ≥0且 ≤1.
由 ≥0 得 a ≥ , 解得1 ≤ a < .
由 ≤1 得 ≤3－a, 解得 － < a < . 从而 a∈[1, ).
综上, a的取值范围为 ( , － ]∪[ , )∪[1 , ).
即 a∈( , － ]∪[1 , ).
解法2 利用抛物线的对称轴讨论.
(i) 若Δ≤0, 这种情况的求解与解法1相同, 不再赘述.
(ii) 若Δ> 0, 为使 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 为增函数, 只需 ≥0, ≥0且0 < < 1. 由
, 解得 . 所以 a ∈[1, ).
综上, 得到 a ∈ ( , － ]∪[1 , ).
类似地, 也可以利用抛物线顶点的纵坐标讨论. 如:
= 3 －2ax + －1 = 3 +( －1)
其图象为开口向上的抛物线, 知 = －1为极小值, 也是最小值.
接下来, 通过 －1>0, －1=0, －1<0, 讨论曲线的位置, 确定参数a的取值.
上述解答过程中虽未画出函数图象, 但推理是完全依赖于函数图象的.
[错因分析]
(1) 对于求导数的方法未掌握或不熟练, 导致不会求 或出错.
(2) 数形结合的数学思想不够明确, 求出 = 3 －2ax + －1 后, 不知结合 的图象去讨论确定a的取值.
(3) 对增减函数的性质、条件不够明确或对抛物线的性质特点不够清楚, 使得在分类讨论时, 分情况不恰当有遗漏或有重复. 如有的列出情况: Δ≥0 且 0 < < 1, >0, >0; 也有的列出情况: Δ< 0 且 >0, >0. 前一种情况, 当Δ= 0时, 对于使 >0, 条件0 < < 1, >0, >0都是多余的; 当Δ> 0时, 0 < < 1, >0, >0是不完整的, 实际上, 其中的 >0, >0 应为 ≥0, ≥0. 后一种情况, 因为有Δ< 0, 自然就有 >0, >0, 所以是重复的.
(4) 部分考生推理不严谨或不正确. 举几例如下:
① 因为 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 为增函数, 所以 >0.
② 因为 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 为增函数, 所以 >0, >0.
③ 因为 在 ( , 0 ) 和 ( 1, ) 为增函数, 所以 在[0 , 1]上是减函数.
还有的不明确Δ的取值, 就认定 , 是 的二不同实根.
(5) 运算不熟练出现错误. 如, 解不等式组
得到结果: ≤ a ≤－1 或 1≤ a ≤ . 错在未能从 ≥0中推出a > 0和未顾及到Δ> 0时有－ < a < . 还有的考生在解 = 0时得到错解:x= 或 或 ; 将 的图象的对称轴错为 x = 等.
[复习提示] 应准确理解掌握导数与函数性质的关系. 纯代数的方法有时会较繁琐, 甚至不能解决问题, 应注意掌握数形结合的思想方法. 分类讨论须紧贴题目, 根据解题需要确定恰当的分类标准, 使得分类不重不漏.
理(22) 设数列 的前 项的和 ，
（Ⅰ）求首项 与通项 ；
（Ⅱ）设 ， ，证明： .
[抽样统计数据]
题号
满分
平均分
难度
理(22)
12
3.42
0.29
这是一道难题, 区分度较好. 本题得零分者有约10.5%, 作为压轴题并不算高, 可见入手并不难. 得分在1-2分者占16.6 %,得分在3-4分者占59.7 %,这些是多多少少会用些数列的性质, 得分在5-6分者占5.1 %,这些是看出数列通项的规律,或求出通项的,做到第（Ⅱ）问得分在7-11分者占7.82 %,得满分者占千分之三.
[考查意图]:本题主要考查数列和等比数列的基本知识，递推数列求通项公式，数列求和及不等式证明等思想和方法.
[解答分析]（Ⅰ）本题所涉及的递推数列是 型，这种类型的递推数列求首项 可通过解关于 的方程 求出，而求数列 的通项公式可考虑以下三种手段：（1）利用 = - 把原递推关系转化为 型的递推关系，即把 ， 化为 =4 + ；
（2）把 = - 代入原递推关系转化为 型的递推关系，即把 ， ，化为 =4 + -2, n=2,3…；（3）利用迭代的思想解决问题；（4）根据递推关系写出数列的前几项，猜出数列的通项公式，然后利用数学归纳法证明.
对于前两种手段，求通项公式时，都须对所得递推关系进行变形，转化为等比数列或可求通项的其他数列来解决问题，如（2）中把 =4 + -2变形为 + - =4( + - )，得出数列{ + - }为等比数列，进而求出 ，然后利用 = - 求出 .对于（1）中的递推关系 =4 + ，变形的手段更多，如变为 + =4( + ),n=2,3…，得出数列{ + }为等比数列求出 ；也可变形为 利用等比数列通项公式求解或变形为 利用叠加的方法求解；还可以通过 =4 + 及 变形为 利用特征根思想求解.
对于第三种手段，可直接把递推关系 =4 + 直接迭代，即
转化为等比数列求和问题.
本题也可利用数学归纳法进行，证明如下：
由 = - + , 得: = = - 4+ , =2.
又由 = + = - + =12= - ,
= + + = - + =56= - .
猜想: = - .
下用数学归纳法证明:1)当n=1时,显然成立.
2)假设n k时成立,即 = - ,n=1,2, k
则当n=k+1时,由 = - + ,得 + + + = - + ,
(4-2)+( - )+…+( - )+ = - + ,得: = - .
当n=k+1时也成立.
综上,对任意正整数n,都有 = - .
另:用数学归纳法也可类似处理:
1)当n=1时,显然成立.
2)假设n=k时成立,即 = - .
则由 = - + 及 = - + ,
得 = ( - )- , =4 + =4( - )+ = - .
综上,对任意正整数n,都有 = - .
（Ⅱ）解本问可先求出 = = , 欲证数列不等式 ，常规的方法有四种，即求和分析法，数学归纳法，利用数列单调性法，放缩法.对于本题来说，由于不等式左边是n的递增式，右边是常数，利用数列单调性法证左边式子的最大值小于 是不可能的；同样由于n=k时比n=k+1左边式子要小，故不可利用数学归纳法求解；由于 是 在 时的极限（可求和证明），故不适于利用放缩法进行，最直接的方法是求和分析法，这也是证明数列不等式最常规的方法，也是最先考虑的方法. 由于 是分式形式，可考虑裂项求和法，把 变形为 进而转化为 ( - ) ，则问题迎刃而解.具体解法如下：
将 = - 代入(1)得： = ( - )- +
= ( -1) ( -2) = ( -1) ( -1).
= = = ( - ) .
所以, = = ( - ) < .
从以上分析可以看出，解决本题的难点有两个，一是对递推关系的变形，二是求和时裂项的技巧.对这两个难点的突破，是解决本题的关键.
[错因分析]:
(1) 把 = - 错写为 = - 而出错.
(2) 在写递推关系 =4 + 后,得出 + =4( + ),从而认为数列{ + }为等比数列而出错.
(3) 第(Ⅱ)问把 错误地认为是 而出错.
(4) 写出 = ,没有分解因式及拆项的意识,从而解答不够彻底.
(5) 证明不等式时,放缩法证明出现下列错误, = = < ,从而得出 < ( + +…+ )= (1- )< ,其中2 -3+ > 在n=1时不成立.
(6) 计算出错也是本题失分的重要原因.
[复习提示]:
对递推数列及数列与不等式相结合的题型的考查近几年越来越成为高考的热点和难点,在复习时应注意以下几个问题:
(1) 通过递推数列研究数列的性质及求通项的方法;
(2) 数列求和常用方法(如本题用到的裂项相消法)的分析;
(3) 建立在数列背景下的不等式的证明方法(如分析法、数学归纳法、放缩法及利用数列的单调性求解等).
三、06年全国各地高考数学典型题分析
我们把高考数学内容基础知识分成七部分，函数与导数，数列，不等式，平面向量和三角函数（含三角形），立体几何，解析几何），和概率统计（含排列组合、二项式定理）. 有的题目考查了多项知识，也是归在一类里.下面结合2006年各地高考试题分专题介绍考查的基本内容和方法。
1．函数与导数
㈠函数与方程
（2006年江苏卷）设a为实数，记函数 的最大值为g(a)。
（Ⅰ）设t＝ ，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t).
（Ⅱ）求g(a)；
（Ⅲ）试求满足 的所有实数a.
点评：本题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
㈡函数图像
（2006年上海春卷）设函数 .
（1）在区间 上画出函数 的图像；
（2）设集合 . 试判断集合 和 之间的关系，并给出证明；
（3）当 时，求证：在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方.
㈢抽象函数
1．( 2006年重庆卷)已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0，求函数f(x)的解析表达式.
点评：这是一道函数综合问题，考查综合运用函数知识，方程知识解决实际问题的能力以及考查分类讨论问题的能力.
2．（2006年安徽卷）已知函数 在R上有定义，对任何实数 和任何实数 ，都有 .
（Ⅰ）证明 ；（Ⅱ）证明 其中 和 均为常数；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的 时，设 ，讨论 在 内的单调性并求极值.
点评：本小题主要考查函数的概念、导数运用、函数的单调区间和极值等知识，考查运用数学知识解决问题及推理能力.
㈣利用导数研究函数的单调性
(2006年山东卷）设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a -1，求f(x)的单调区间.
点评：本题主要考查利用导数求解函数的单调区间的基础知识，以及考查分类讨论的思想方法.
（2006年上海卷）已知函数 ＝ ＋ 有如下性质：如果常数 ＞0，那么该函数在 0， 上是减函数，在 ，＋∞ 上是增函数．
（1）如果函数 ＝ ＋ （ ＞0）的值域为 6，＋∞ ，求 的值；
（2）研究函数 ＝ ＋ （常数 ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数 ＝ ＋ 和 ＝ ＋ （常数 ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 ＝ ＋ （ 是正整数）在区间[ ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
点评：本题主要考查利用函数 性质解决有关函数的一些问题；体现研究性学习，符合新课标理念.
㈤利用导数研究函数的极值、最值
（2006年福建卷）已知函数
（I）求 在区间 上的最大值
（II）是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.
点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.
㈥二次函数
（2006年辽宁卷）已知函数f(x)= ,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，，且a＞0,d＞0.设 ［1- ］上， ，在 ，将点 A， B， C，
(I)求 ；
(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为 ，求a ,d的值.
【点评】本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值,等差数列基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力.
㈦函数与其它知识的综合，体现了在知识交汇处命制试题的原则
①函数与不等式
例1（2006年江西卷）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值，
（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间；
（2） 若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）
（Ⅰ）求 与 的关系式（用 表示 ），并求 的单调区间；
（Ⅱ）设 ， .若存在 使得 成立，求 的取值范围.
点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.
例3 ( 2006年重庆卷)已知函数f(x)=(x2+bx+c)cx,其中b,c R为常数.
（Ⅰ）若b2＞4(a-1),讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若b2＜4(c-1),且 =4,试证：－6≤b≤2.
点评：本题主要考查函数导数的求法和利用函数的导数求函数的单调区间，以及考查函数的导数，函数极限，不等式综合运用的能力.
例4 （2006年全国卷II）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
点评:本题考查导数求解问题，同时渗透分类讨论思想.
例5 （2006年四川卷）已知函数 ， 的导函数是 ，对任意两个不相等的正数 ，证明：
（Ⅰ）当 时，
（Ⅱ）当 时，
点评：本小题主要考查导数的基本性质和应用，函数的性质和平均值不等式等知识及综合分析、推理论证的能力，体现函数的凸凹性.满分14分.
例6 （2006年陕西卷）已知函数 且存在 使
（I）证明： 是R上的单调增函数；
设 其中
（II）证明： （III）证明：
点评：此题是对函数的综合考查，以及函数的单调性与不等式的结合，同时函数的导数最为函数单调性的依据.
分析：（I）通过求 和分析 的范围来证明，因为 是二次函数，所以可求二次函数的值域；
（II）利用自变量的大小关系及不等式的性质，用结合（I）问的结论证明；
（III）用数学归纳法证明可得.
②函数与三角
（2006年天津卷）已知函数 ，其中 为参数，且 ．
（1）当时 ，判断函数 是否有极值；
（2）要使函数 的极小值大于零，求参数 的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 ，函数 在区间 内都是增函数，求实数 的取值范围．
点评：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基本知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想和方法.
③函数向量解析几何
（2006年广东卷）设函数 分别在 、 处取得极小值、极大值. 平面上点A、B的坐标分别为 、 ,该平面上动点P满足 ,点Q是点P关于直线 的对称点.求(Ⅰ)点A、B的坐标 ；(Ⅱ)动点Q的轨迹方程.
④函数导数与组合、数列、不等式
（2006年辽宁卷）已知 ,其中 ,
设 , .
(I) 写出 ;
(II) 证明:对任意的 ,恒有 .
【点评】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识,考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.
O
O1
㈧函数应用
1．（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右
图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心 的距离为多少时，帐篷的体积最大？
点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.
2．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度 （千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米.
（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
点评：本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
2．数列
㈠等差数列
（2006年江苏卷）设数列 、 、 满足： ， （n=1,2,3,…），
证明： 为等差数列的充分必要条件是 为等差数列且 （n=1,2,3,…）.
点评：本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力
㈡等比数列
(2006年山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；
（2）设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；
（3）记bn= ，求数列｛bn｝的前n项和Sn，并证明Sn+ =1.
点评：本题主要考查数列中的基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解题时注意等比数列的概念及特殊数列的求和.
㈢数列求和
（2006年广东卷）已知公比为 的无穷等比数列 各项的和为9，无穷等比数列 各项的和为 .
(Ⅰ)求数列 的首项 和公比 ；
(Ⅱ)对给定的 ,设 是首项为 ，公差为 的等差数列.求数列 的前10项之和；
(Ⅲ)设 为数列 的第 项， ，求 ，并求正整数 ，使得 存在且不等于零.
(注：无穷等比数列各项的和即当 时该无穷数列前n项和的极限)
（2006年安徽卷）数列 的前 项和为 ，已知
（Ⅰ）写出 与 的递推关系式 ，并求 关于 的表达式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
点评：考查归纳推理求通项公式，分类讨论的思想和方法.
㈣递推数列
（2006年全国卷II）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式．
点评：本题考查数列中通项an与前n项和Sn的关系，以及考查学生归纳、猜想、证明的思想.
（2006年陕西卷）已知正项数列 ，其前 项和 满足 且 成等比数列，求数列 的通项
点评：此题主要考查怎样用 ，注意分两步进行.
（2006年上海卷）已知有穷数列 共有2 项（整数 ≥2），首项 ＝2．设该数列的前 项和为 ，且 ＝ ＋2（ ＝1，2，┅，2 －1），其中常数 ＞1．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若 ＝2 ，数列 满足 ＝ （ ＝1，2，┅，2 ），求数列 的通项公式；
（3）若（2）中的数列 满足不等式| － |＋| － |＋┅＋| － |＋| － |≤4，求 的值．
点评：本题主要考查等比数列的基本知识.
㈤新定义型数列
（2006年北京卷）在数列 中，若 是正整数，且 ，则称 为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列” 中， ，数列 满足 ， ，分别判断当 时， 与 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
点评：本题以新名词“绝对差数列”出现，考查学生构造新数列的能力；以及利用已知条件，通过观察、归纳、证明的能力. 其中（Ⅱ）可说明数列 是周期数列，而 是常数列；（Ⅲ）要求学生有较深厚的数学功底，可考虑使用反证法与放缩法证明.
㈥数列应用
（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以 表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） .
㈦数列开放型试题
（2006年上海春卷）已知数列 ，其中 是首项为1，公差为1的等差数列； 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列（ ）.
（1）若 ，求 ；
（2）试写出 关于 的关系式，并求 的取值范围；
（3）续写已知数列，使得 是公差为 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
㈧数列与其它知识的综合
①数列与向量
（2006年江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若 ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ A ）
A．100 B. 101 C.200 D.201
②数列与导数极限
（2006年江苏卷）对正整数n，设曲线 在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为 ，则数列 的前n项和的公式是 ▲
点评：本题主要考查利用导数求切线方程，再与数列知识结合起来，解决相关问题。
（2006年四川卷）已知数列 ，其中 ，记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）设 ，（其中 为 的导函数），计算 .
点评：本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，同时考查分类讨论的思想方法，满分12分.
③数列与不等式
（2006年福建卷）已知数列 满足
（I）求数列 的通项公式；
（II）证明：
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力.满分14分.
（2006年江西卷）已知数列｛an｝满足：a1＝ ，且an＝
（1） 求数列｛an｝的通项公式；
（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！
点评： 可化为 ，体现求通项公式的转化方法；而（2）的证明可以使用数学归纳法.
④数列函数导数与不等式
（ 2006年浙江卷）已知函数f(x)=x + x ，数列｜x ｜(x ＞0)的第一项x ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在 处的切线与经过（0，0）和
（x ,f (x )）两点的直线平行（如图）.
求证：当n 时，(Ⅰ)x
（Ⅱ） .
点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力.
无论是初等数学或是高等数学中数列都占有重要的地位．高考试题中，数列与函数、方程、不等式、解析几何、概率等知识的综合，常以中高档题目出现．围绕数列问题创设情景，设计一些新颖的题目，更有效地考察综合与灵活运用数学知识的能力和对数学思想方法的深刻理解．尤其是通过探索性试题测试考生的潜能和创新精神．数列综合能力题涉及的问题背景新颖，能力要求广泛，内在联系深刻，解法灵活，解这类题要科学合理地思维，善于将已知条件准确地表达为数列或其他数学内容所刻划的数学关系，全面灵活地运用数学思想方法．
3．不等式
㈠不等式的性质
（2006年上海春卷）若 ，则下列不等式成立的是( C )
（A） （B） （C） （D）
㈡不等式解法
（2006年上海春卷）不等式 的解集是 .
( 2006年重庆卷)设a＞0, a 1,函数 有最大值.则不等式loga(x2-5x+7) ＞0的解集为_(2,3)__.
㈢利用不等式求最值
( 2006年重庆卷)若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2 ,则2a+b+c的最小值为 ( D )
（A） -1 (B) +1 (C) 2 +2 (D) 2 -2
㈣不等式证明
①与函数方程综合
（ 2006年浙江卷）设f(x)=3ax ,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(Ⅰ)a＞0且-2＜ ＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用的基础知识.
（2006年广东卷）A是由定义在 上且满足如下条件的函数 组成的集合：①对任意 ，都有 ； ②存在常数 ，使得对任意的 ，都有 .
（Ⅰ）设 ，证明： ；
(Ⅱ)设 ,如果存在 ,使得 ,那么这样的 是唯一的；
(Ⅲ)设 ,任取 ,令 证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式 .
②数列不等式
( 2006年湖南卷）已知函数 ,数列{ }满足:
证明:(ⅰ) ;(ⅱ) .
点评：本题主要考查数学归纳法、利用导数证明不等式等，考察学生逻辑思维能力.
（2006年天津卷）已知数列 满足 ，并且
（ 为非零参数， ）．
（1）若 成等比数列，求参数 的值；
（2）当 时，证明 ；
当 时，证明 .
点评：本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、不等式的性质及证明的基础知识，考查运算能力和推理论证能力.
㈤含参数的不等式问题
（2006年陕西卷）已知不等式 对任意正实数 恒成立，则正实数 的最小值为 （B）
（Ａ）8 （Ｂ）6 （C）4 （D）2
（2006年上海卷）三个同学对问题“关于 的不等式 ＋25＋| －5 |≥ 在[1，12]上恒成立，求实数 的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 的取值范围是 a≤10 ．
㈥不等式应用
（2006年上海春卷）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 满足 ，则
（结论用数学式子表示）.
答案： 和
（2006年天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 20 吨．
( 2006年湖南卷）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: )为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为 (1≤a≤3).设用 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 ( ),用 质量的水第二次清洗后的清洁度是 ,其中 是该物体初次清洗后的清洁度.
(Ⅰ)分别求出方案甲以及 时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;
(Ⅱ)若采用方案乙,当 为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.
点评：本题主要考查学生分析和解决实际问题的能力，构造数学模型的能力.读懂题意，列出正确的表达式，然后利用均值定理等得出最终的结论.
4．向量与三角函数
㈠平面向量基础知识的考查
（2006年辽宁卷） 的三内角 所对边的长分别为 设向量 , ,若 ,则角 的大小为
(A) (B) (C) (D)
（2006年辽宁卷）设 , , ,点 是线段 上的一个动点, ,若 ,则实数 的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
( 2006年湖南卷）已知 ,且关于 的方程 有实根,则 与 的夹角的取值范围是 ( B )
A.[0, ] B. C. D.
（2006年陕西卷）已知非零向量 与 满足 且 则 为（D）
（A）等边三角形 （B）直角三角形
（C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形
(2006年山东卷）设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为 ( D)
(A)(2,6) (B)(－2,6) (C)(2,－6) (D)(－2,－6)
㈡三角计算
（2006安徽卷理）已知
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
点评：本题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式、倍角公式等基础知识，考查运算和推理能力.
㈢三角函数的图像和性质
（2006年上海春卷）已知函数 .
（1）若 ，求函数 的值； （2）求函数 的值域.
( 2006年重庆卷)设函数 (其中 ＞0, ),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为 .
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果f(x)在区间 上的最小值为 ，求a的值.
（2006年陕西卷）已知函数
（I）求函数 的最小正周期；
（II）求使函数 取得最大值的 集合.
（2006年福建卷）已知函数
（I）求函数 的最小正周期和单调增区间；
（II）函数 的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到？
点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分.
㈣三角形中的三角问题
（2006年天津卷）如图，在 中， ， ， ．
（1） 求 的值；（2）求 的值.
点评：旨在考查斜三角形中的正余弦定理和角的正弦公式，考查基本运算能力及分析和解决问题的能力.
㈤向量与三角
（2006年四川卷）已知 是三角形 三内角，向量 ，且 .
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，求 .
点评：本小题主要考查三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考查应用、分析和计算能力.满分12分.
㈥三角应用
（2006年上海卷）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1 ）？
北
20
10
A
B
•
•C
[解]
点评:本题主要考查正余弦定理的应用.
高考启示录------立体几何
一、立体几何在高考中的地位、命题特点、考查方法
纵观2006年全国各省市高考试题，高考立体几何试题一般共有3道(客观题2道, 主观题1道), 共计总分21分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着传统方法和空间向量的方法相结合解决问题的方向发展.从历年的考题变化看, 以多面体和球体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 向量的数量积常用于有关向量相等，两向量垂直、射影、夹角等问题中.常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题.
二、2006立体几何试题面面观
（一）空间垂直与平行
例1（2006辽宁卷）给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线 与同一平面所成的角相等,则 互相平行.
④若直线 是异面直线,则与 都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
例2 （2006福建卷）对于平面 和共面的直线m、n，下列命题中真命题是（ ）
A.若m⊥ ，m⊥n，则n∥ B.若m∥ ，n∥ ，则m∥n
C.若m ，n∥ ，则m∥n D.若m、n与 所成的角相等，则n∥m
分析：本题主要考查直线与平面的平行、垂直的判定.
解析：由直线和平面的位置关系及所成角的有关知识知A、B、D都是错误的，应选C.
点评：熟练掌握线面平行和垂直的有关定理和结论是解决此类问题的关键.
例3 例（2006辽宁卷）已知正方形 . 、 分别是 、 的中点,将 沿 折起,如图所示,记二面角 的大小为 .
(I) 证明 平面 ;
(II)若 为正三角形,试判断点 在平面 内的射影 是否在直线 上,证明你的结论,并求角 的余弦值.
A
A
C
B
D
E
F
B
C
D
E
F
（二）求空间的角
空间角的计算步骤：一作、二证、三算.
例1（2006江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）.将△AEF沿EF折起到 的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）.
图1
图2
分析：本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.
点评：在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力, 对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会容易求得.
例2 (2006广东卷)如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.
分析：本题主要考查异面直线所成的角及二面角的一般求法，综合性较强，可利用传统方法和空间向量的方法解决.
（三）求空间距离
空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.
空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离；(2)点到直线的距离；(3)点到平面的距离；(4)两条平行线间的距离；(5)两条异面直线间的距离；(6)平面的平行直线与平面之间的距离；(7)两个平行平面之间的距离.
例1 （2006安徽卷）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到 的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面 的距离可能是：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
A1
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________.（写出所有正确结论的编号）
分析：可利用点到平面距离的定义及有关平面梯形中位线的知识求解.
解析：如图，B、D、A1到平面 的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面 的距离为3，所以D1到平面 的距离为6；B、A1的中点到平面 的距离为 ，所以B1到平面 的距离为5；则D、B的中点到平面 的距离为 ，所以C到平面 的距离为3；C、A1的中点到平面 的距离为 ，所以C1到平面 的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤.
点评：从本题我们可以得出结论：一平面同侧的平行四边形相对顶点到这个平面的距离之和相等.
例2（2006福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离.
Q
P
A
D
C
B
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
点评：利用法向量及射影的方法求点到平面的距离是重要方法.
例3 （2006湖南卷） 如右图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4.
(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.
分析：本题主要考查线面垂直、异面直线所成角及点到平面距离的求法.
（四）多面体和球的面积和体积的计算
例1 （2006年福建卷）已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于 （ D）
（A） （B）
（C） （D）
A
D
C
B
例2（2006江苏卷）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有
（A）1个 （B）2个
（C）3个 （D）无穷多个
例3（2006江西卷）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）
A. S1
C. S1=S2
D. S1，S2的大小关系不能确定
分析：本题体现多面体和球体的综合，考查多面体的体积及面积等问题.
解析：连OA、OB、OC、OD，
则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD，
VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC，又VA－BEFD＝VA－EFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC，又面AEF公共，故选C.
点评：割补的思想和方法是解决有关体积问题的重要手段.
例4（2006四川卷）如图，在长方体 中， 分别是 的
中点， 分别是 的中点， .
（Ⅰ）求证： 面 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小；
（Ⅲ）求三棱锥 的体积.
点评：本小题主要考查长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力.
三、立体几何复习建议
立体几何既是高中数学的重要内容之一，又是难点之一．有关立体几何的综合问题，主要涉及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，空间角和距离的计算，多面体和球的表面积、体积及有关截面问题的探求．虽然立体几何不像代数中的函数、不等式那样在众多知识的交汇中处于核心的地位，但它在培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力以及运用数学思想方法，特别是转化的思想解决问题等方面却起着独到的作用．此外，它和代数、解析几何之间也有着许多联系，因此，在高考复习中，我们应当深刻理解有关概念和性质，夯实基础，广泛联系，加强数学思想方法的挖掘和调用，以提高复习的针对性和实效性．
由于教材中引入空间向量，并用这一工具去解决空间的平行垂直关系，以及求空间的“距离”、“角”，因此，要重点掌握“空间向量”（可看成平面向量的推广），突出其“工具性”.在实际应用中，要强化训练如何将空间问题坐标化（如何建立空间坐标系，并确定相关点的坐标，这里还需要具有相应的平几知识）这一数学思想.
高考启示录---------解析几何
㈠直线基本知识的考查：选择填空题
（2006年北京卷）若三点 共线，则 的值等于___ _________.
㈡线性规划：以选择、填空题为主
1．（ 2006年浙江卷）在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是 (B )
(A)4 (B)4 (C)2 (D)2
2． ( 2006年湖南卷）已知 则 的最小值是 5 .
3．（2006年湖北卷）已知平面区域 由以 、 、 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 上有无穷多个点 可使目标函数 取得最小值，则 （C）
A. B. C. D. 4
4．（2006年四川卷）某厂生产甲产品每千克需用原料 和原料 分别为 ，生产乙产品每千克需用原料 和原料 分别为 千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为 元，月初一次性够进本月用原料 各 千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克， 千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润 最大的数学模型中，约束条件为（C）
（A） （B） （C） （D）
㈢与圆有关的问题：以选择、填空题为主
1．（2006年陕西卷）设直线过点 其斜率为1，且与圆 相切，则 的值为（ B ）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
2．（2006年江西卷）已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，
直线l：y＝kx，下面四个命题：
（A） 对任意实数k与q，直线l和圆M相切；
（B） 对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；
（C） 对任意实数q，必存在实数k，使得直线l和圆M相切
（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l和圆M相切
其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
3．( 2006年湖南卷）若圆 上至少有三个不同点到直线 : 的距离为 ,则直线 的倾斜角的取值范围是 ( B )
A.[ ] B.[ ] C.[ D.
㈣求曲线方程
O
F
x
y
P
M
H
1．（2006年安徽卷）如图，F为双曲线C： 的右焦点，P为双曲线C右支上一点，且位于 轴上方，M为左准线上一点， 为坐标原点.已知四边形 为平行四边形， .
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率 与 的关系式；
（Ⅱ）当 时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若 ，求此时的双曲线方程.
点评：本小题主要考查直线方程、双曲线的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力及推理能力.
2．（2006年江苏卷）已知三点P（5，2）、 （－6，0）、 （6，0）.
（Ⅰ）求以 、 为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、 、 关于直线y＝x的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦点且过点 的双曲线的标准方程.
点评：本题主要考查椭圆和双曲线的基本概念，标准方程，几何性质等基础知识和基本运算能力.
3．（ 2006年浙江卷）如图，椭圆 ＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e= .
(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F 、F 分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF 的中点，求证：∠ATM=∠AF T.
点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何中的基本解题思想方法和综合解题能力.
㈤轨迹问题
1．（2006年江西卷）如图，椭圆Q： （a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点.
（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）若 是 上的不同两点， 是坐标原点，求 的最小值.
点评：考查双曲线的定义，以及利用代数的方法—坐标法解决几何问题，会转化为函数的最值，又考查分类讨论的思想和函数思想.
3．( 2006年湖南卷）已知椭圆C1: ,抛物线C2: ,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥ 轴时,求 、 的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
(Ⅱ)是否存在 、 的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的 、 的值；若不存在，请说明理由.
点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，抛物线的定义等问题，考查学生计算、数形结合等方面综合的能力.
㈥解析几何与向量相结合：注意平面几何知识的应用
1．(2006年山东卷）双曲线C与椭圆 有相同的焦点，直线y= 为C的一条渐近线.
（1） 求双曲线C的方程；
（2） 过点P(0,4)的直线 ，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当 ，且 时，求Q点的坐标.
点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力.
2．（2006年四川卷）已知两定点 ，满足条件 的点 的轨迹是曲线 ，直线 与曲线 交于 两点，如果 ，且曲线 上存在点 ，使 ，求 的值和 的面积 .
点评：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力.满分12分.
3．（2006年天津卷）如图，以椭圆 的中心 为圆心，分别以 和 为半径作大圆和小圆.过椭圆右焦点 作垂直于 轴的直线交大圆于第一象限内的点 ．连结 交小圆于点 ．设直线 是小圆的切线．
（1）证明 ，并求直线 与 轴的交点 的坐标；
（2）设直线 交椭圆于 、 两点，证明 ．
点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和思想方法，考查推理及运算能力.
4．（2006年辽宁卷）已知点 , 是抛物线 上的两个动点, 是坐标原点,向量 , 满足 .设圆 的方程为 .
(I) 证明线段 是圆 的直径;
(II)当圆C的圆心到直线 的距离的最小值为 时，求p的值.
【点评】本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.
㈦范围和最值问题
1．（2006年福建卷）已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
2．（2006年福建卷） 已知椭圆 的左焦点为F，O为坐标原点.
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线 相切的圆的方程；
（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与 轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
点评：本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.
3．（2006年湖北卷）设 、 分别为椭圆 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 为它的右准线.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 、 分别与椭圆相交于异于 、 的点 、 ，证明点 在以 为直径的圆内.
（此题不要求在答题卡上画图）
点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
㈧定点和定值问题
（2006年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
点评：本题考查抛物线及其切线问题，同时渗透利用均值定理求最值问题，综合性较强，对考生解题能力要求较多.
㈨解析几何应用问题
（2006年上海春卷）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 . 观测点 同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在 轴上方时，观测点 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
㈩综合问题
1．（2006年上海卷）在平面直角坐标系 O 中，直线 与抛物线 ＝2 相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线 过点T（3，0），那么 ＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
2．( 2006年重庆卷)已知一列椭圆 .若椭圆Cn上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离dn是｜PnFn｜与｜PnGn｜的等差中项，其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点.
（Ⅰ）试证：bn≤ (n≥1);
（Ⅱ）取bn＝ ，并用Sn表示 PnFnGn的面积，试证：S1＜S2且Sn＜Sn+1 (n≥3).
点评：本题是解析几何、数列、不等式、函数的导数的综合问题，主要考查综合运用数学知识解决实际问题的能力.
高考启示录------概率统计
㈠排列组合
1．( 2006年重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有 ( B )
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种
2．（2006年湖北卷）某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__20________.（用数字作答）
3．（2006年江苏卷）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 ▲ 种不同的方法（用数字作答）。
点评：本题主要考查不全相异元素的全排列
4．（2006年辽宁卷）5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.
5．（2006年上海卷）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 36 ．
6．（ 2006年浙江卷）函数f: {1,2,3} {1,2,3}满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有 ( D )
(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个
7．(2006年山东卷）已知集合A=｛5｝,B=｛1,2｝,C=｛1,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 (A)
(A)33 (B) 34 (C) 35 (D)36
㈡二项式定理
1．（2006年福建卷） 展开式中 的系数是＿10＿（用数字作答）。
2．（2006年陕西卷） 展开式中 的常数项为＿594＿（用数字作答）。
3．（2006年湖北卷）在 的展开式中， 的幂的指数是整数的项共有 （C）
A.3项 B.4项 C.5项 D.6项
4．（ 2006年浙江卷）若多项式
( D )
(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10
㈢极限
1．（2006年陕西卷） 等于（ B ）
（A）0 （B） （C） （D）
2．（2006年江西卷）数列｛ ｝的前n项和为Sn，则 Sn＝
3．（2006年辽宁卷） ________
4．（2006年福建卷）如图，连结 的各边中点得到一个新的 又连结 的各边中点得到 ，如此无限继续下去，得到一系列三角形： ， ， ， ，这一系列三角形趋向于一个点M。已知 则点M的坐标是＿ ＿.
5．（2006年安徽卷）设常数 ， 展开式中 的系数为 ，则 _____.
6．（2006年湖北卷）将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ，就得到一个如右图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出
，其中 =__ r＋1__.
令 ，则 =__1/2__.
㈣概率：
等可能事件（选择填空题） 对立事件、相互独立事件、独立重复事件（解答题综合）
1．（2006年安徽卷）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2006年上海卷）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 1/35 （结果用分数表示）．
3．（ 2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.从甲，乙两袋中各任取2个球.
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；
(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 ，求n.
点评：本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.
4．( 2006年湖南卷）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):
(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率;
(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改;
(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率.
点评：本题考查概率中的二项分布，Pn（k）公式等，考查学生分析问题解决问题的能力.
5．（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.
（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）
点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率以及利用作差比较法比较两个值大小的变形能力.
6．（2006年四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为 ；在实验考核中合格的概率分别为 ，所有考核是否合格相互之间没有影响，
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）
点评：本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
㈤分布列、期望、方差
1．（2006年江西卷）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令x表示甲，乙摸球后获得的奖金总额.求：
（1）x的分布列； （2）x的的数学期望.
2．（2006年辽宁卷）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为 、 、 ;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是 ,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为 ,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量 、 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.
(I) 求 、 的概率分布和数学期望 、 ;
(II) 当 时,求 的取值范围.
【点评】本小题考查二项分布、分布列、数学期望、方差等基础知识,考查同学们运用概率知识解决实际问题的能力.
3．（2006年全国卷II）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．
点评：本题考查学生对概率中的除法与乘法公式的掌握情况.
4．（2006年安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用 表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.
（Ⅰ）写出 的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）
（Ⅱ）求 的数学期望 .（要求写出计算过程或说明道理）
点评：本小题主要考查等可能场合下的概率计算、离散性随机变量分布列、数学期望的概念和计算，考查运用概率和统计知识解决实际问题的能力.
㈥统计
( 2006年重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是 ( C)
(A)20 (B)30 (C)40 （D）50
（2006年全国卷II）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 25 人．
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
月收入(元)
频率/组距
㈦正态分布
（2006年湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 .已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.
（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？
（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可供查阅的（部分）标准正态分布表
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.2
1.3
1.4
1.9
2.0
2.1
0.8849
0.9032
0.9192
0.9713
0.9772
0.9821
0.8869
0.9049
0.9207
0.9719
0.9778
0.9826
0.8888
0.9066
0.9222
0.9726
0.9783
0.9830
0.8907
0.9082
0.9236
0.9732
0.9788
0.9834
0.8925
0.9099
0.9251
0.9738
0.9793
0.9838
0.8944
0.9115
0.9265
0.9744
0.9798
0.9842
0.8962
0.9131
0.9278
0.9750
0.9803
0.9846
0.8980
0.9147
0.9292
0.9756
0.9808
0.9850
0.8997
0.9162
0.9306
0.9762
0.9812
0.9854
0.9015
0.9177
0.9319
0.9767
0.9817
0.9857
点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力.
四、对高三数学最后阶段复习的几点建议
1．注重专题训练，找准薄弱环节
可根据学生的需要适当安排做一些专题性的练习。我们平常说的专题主要分两类，即知识性专题和方法性专题。选择题专题、应用题专题、函数专题、数列专题、不等式专题、三角专题、解析几何专题、立体几何专题等等属知识性专题，通过这些专题的训练以进一步巩固第一轮单元复习的成果，加强各数学板块知识的综合。函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、化归与转化的思想方法等属方法性专题，数学思想方法是数学的精髓，对此进行归纳、领会、应用，才能把数学知识与技能转化为分析问题解决问题的能力，使学生的解题能力和数学素质更上一个层次。
2．关注热点问题进行有针对性的训练
学生可在教师的指导下通过分析教材和近两年高考走向和各地市模拟训练题的命题规律确定重点训练的内容。例如对比新老两种数学课本的教学内容，不难看出简易逻辑、平面向量、线性规划、空间向量、概率与统计、极限、导数均为新内容，由近两年新课程卷不难看出，这部分内容已占有40%分值。因此，要重视此类题目的重点复习。尤其是向量及其应用、导数及其应用、概率统计等内容正成为高考的新重点。当然原来的一些重点内容如函数、数列、不等式、立体几何、解析几何等仍应引起高度重视，而新教材中向量、导数等为这些问题的解决提供了新的思路和方法，如导数在函数中的应用、向量在解析几何和立体几何中的应用等。
另外，同学们要注意知识的交*点和结合点仍是高考的热点问题，同时也可能是教师平时教学的“弱点”。例如，函数和不等式，函数与方程，函数与数列，数列和不等式，三角函数与数列等等。同学们要注意积累解此类题的方法与经验。
3．重视新课程理念在2007年高考中的渗透
4．重视高考模拟试题的训练和时间安排
临近高考，每周做两份长度为两小时的高考模拟综合性试题是有必要的。我们要把平常的考试看成是积累考试经验的重要途径，把平时考试当做高考，从心理调节、时间分配、节奏的掌握以及整个考试的运筹诸方面不断调试，逐步适应。平时考试的试题要精选，要注意试题的新颖性、典型性，难度、梯度和计算量适中。事后要对解题方法与错题进行认真的分析总结。争取全收全改，了解学生情况，有针对性地复习。
4．学生能自己解决的事，教师决不要去包办代替
教师指导学生去思考解决问题，为高考问题的解决积累经验和培养信心。
5．回归课本，查缺补漏。
高考命题从来都是以教材为蓝本编制的。回归课本，对课本的知识体系做一个系统的回顾与归纳，理解每个知识点的内涵、延伸与联系，重视教材中重要定理的叙述与证明，如立体几何中的三垂线定理、线面关系的判断定理等。阅读《考试说明》和《试题分析》，确保没有知识盲点，回归基础、回归近年高考试题，把握通性通法，如解析几何中轨迹问题的解题方法，数列通项公式的求解方法，数列求和的方法等。重视新教材中新增内容(如简易逻辑、向量、导数、概率、统计等)的考查，这些内容往往不能引起教师和同学们的重视，属于较“冷”的概念。重视课本中实习作业和研究性课题的研究和考查，甚至课本中阅读材料的内容，如集合的元素个数、有关储蓄的计算等。而研究性课题体现了新课程的研究和发展方向，更应引起重视，如分期付款中的有关计算体现了数学的应用价值。
6．重视易错问题和常用结论的归纳总结
7．心理状态的调整与优化
自信心和优良的心理素质是取得成功的重要条件，良好的心态可以确保水平的正常发挥，所以在高考前教师一定要重视学生心理状态的调整和优化。
总之，本人希望各位老师能从中了解新课程、新高考的新重点，掌握科学的复习方法，在全面复习的基础上，抓住重点，有效复习，抓实抓细每一个知识点的复习，做好每一套练习题，使学生养成规范答题的良好习惯，提升应考能力，争取使学生在高考中考出最佳成绩，考上中华名校
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