三角教学

关于“三角函数”的教学思考

东莞中学   陈楚云

新一轮课程改革的基本目标是：改革以知识的积累为取向的课程体系，建立以构建学生身心全面发展为目标的课程体系，具体表现为三个转变，即从增减知识点的逐步调整转变为知识的重新组合，注重能力、情感、态度和方法的培养，从以知识的传授、继承为教学重点，转变为以创新能力、实践能力的培养为教学重点，从完成性的评价方式转变为注重过程性、发展性的评价方式。感受、学习、研究、领会课程改革的新理念、新教材、新教法，是教学工作的需要，也是时代的要求。下面结合本人的教学实践谈谈对三角函数教学的认识和体会。

一、三角函数的地位和作用

三角函数知识的发展最初源于航海中的测量的需要，其目标是通过解三角形，实现测量计算的目的.三角函数的基本理论是以相似三角形为基础建立起来的，在研究过程中，又和圆（特别是单位圆）的有关知识紧密相联。但是，由于角的概念的推广，三角函数需要通过坐标系建立起平面上的点和有序实数对的一一对应关系，使有向线段的数量比用实数来表示，从而使三角函数脱离几何模式用代数方法来研究，所以它的表述、推理都是使用代数的方法，充分表现了形和数的有机结合. 本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学数学后继内容和高等数学的基础。

通过本章的学习，学生将进一步了解符号与变元、集合与对应、数形结合等基本数学思想在研究三角函数时所起的作用；在式子和图形的变化中，学生将看到分析、探索、化归、类比、平行移动、伸长和缩短这些常用的基本方法时隐时现，同时，学生在数学思维品质和数学运算能力等方面得到进一步发展。

二、教材的编写特点

新教材首先创设了一个生活情境，让学生从日常生活现象中感受数学，从而激活学生的学习动机，然后通过从具体到抽象、从抽象到具体，从感性认识到理性研究、从自然到必然的过程呈现充分展示了三角知识的发生与发展过程。本章知识在内容编排方面充分体现了课程改革的基本理念：“基础、可行、够用”，具有以下特点：第一，本章的知识是纵向延伸的，包括三大模块，第一模块是预备知识，包括第一、二、三小节，第二模块是三角变换(化简、求值、证明)，包括第四、五、六、七、十一小节，第三模块是三角函数的图象和性质，包括第八、九、十小节；第二，删减了部份无用的、重复的、偏难的、记忆性的知识，降低了对部份知识的要求，这主要体现在：对于任意角的三角函数，只要求掌握正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；对于同角三角函数的基本关系式，只要求掌握 ，也就是由原来平方关系、倒数关系、商数关系共八个公式精简为现在的三个；对于诱导公式，只要求掌握 的正弦、余弦、正切以及 、 、 的正弦、余弦，共有11个，减少了相对应的正切、余切公式以及 ， 的正弦、余弦、正切、余切公式和 的正切、余切公式；对于两角和与两角差的三角函数，只要求掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，虽然课本出现了半角、和差化积以及积化和差的式子，但都是以例题或习题的形式呈现，不要求记忆；对于三角函数的图象与性质，在利用三角函数线画出正统曲线后，不是重复利用三角函数线画余弦曲线，而是利用余弦函数与正弦函数的内在联系，利用平行移动(图象变换)得出了余弦曲线，例学生进一步感受数与形的结合，同时删减了余切函数的图象与性质；反三角函数与三角方程是原教材体系中的选学内容，新教材中只要求在已知三角函数角时，会用反三角函数的符号表示，其他内容均未列入新教材。另外，新教材还忍痛割爱舍弃了“万能公式”、“辅助角公式”与“积化和差、和差化积公式”，并把解斜三角形一节分离出来放到了平面向量一章中，极大地减轻了学生记忆负担。值得说明的是，新课程对原有教材的优化还体现在增加了适量的阅读材料，既激发了学生的学习兴趣，又开阔了学生的视野，并增强了学科之间的联系，为学生提供了一个自主发展的空间。第三，整个知识的发生和发展自然流畅，循序渐进，纵向延伸，充分揭示知识的内在联系。本章三角公式较多，在介绍这些公式时，除了强调各自的特点及用途，还指出它们的相互联系与转化关系，既给之以鱼，又授之以渔，条理清晰，层次分明，便于记忆和运用，此外，在本章“小结与复习”中，还利用框图的形式展示了本章知识间的内在联系、逻辑顺序、主从地位，便于学生从整体上把握教学内容。

三、教学中值得注意的几个问题

1．准确把握好本章的教学要求

教师是课堂教学活动的“组织者、指导者、合作者”，教师导向不明或导向失误都会直接影响学生的学习行为，因此，教师准确把握教学目标、重点难点、教学关键极为重要。首先要正确对待“增减内容”，该放弃的就要放弃，该控制的就要控制，该安排就要安排，如“万能公式”、“辅助角公式”等就要放弃，如“和差化积、积化和差”等就要点到为止，而新增的阅读材料等就一定要安排，既要给指导，又要给时间，甚至还可以指导学生结合所学三角函数知识开展研究性学习活动；其次要重视基础知识的基本技能的教学，这是学生健康有序发展的前提，不要过早地涉足“高考”进行综合性训练从而加重学生的学习负担. 事实上，本章的内容已经明显降低了要求，公式没有以前那么多了，教学中不要把以前的公式又一个不留地灌输给学生，这明显与现实的教学要求不符合。学习是一个不断深化的过程。作为在高一学习的这一章，应致力于打好基础，即使进行综合训练也应该是初步的，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高，最后在高三数学总复习时，通过知识的梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个升的档次。为此，教学中应注意一些容易膨胀的地方。例如，教学要求提到，能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值及恒等式证明，教学中，对这部分不要过多的展开。

2．把课堂还给学生，给学生充分的学习自主权

    现代教育理论认为，课堂教学的过程是以教师为主导、学生为主体、教材为主线的动态的研究、学习、继承和发展知识的过程。三角函数教材的编写，很好地体现了这一教育理念。例如，在二倍角的正统、余弦、正切一节中，教材打破了原有的完整、规范地给出公式的模式，点拔、引导学生通过演绎推理发现公式，并完成完形填空。这一做法，意在帮助学生感受、体验概念公理的发现过程、法则，性质的发现过程，公式、定理的推导过程以及问题，结论的探索、深化过程，充分体现了学生是学习的主人，教师是学生学习的合作伙伴. 为此，教学中，教师要善于适当地创设教学情境，善于发现学生的困难，善于点拔和引导，给学生足够的时间动脑想、动口讲、动手做，帮助学生学会发现数学规律的方法，体会数学思想的作用，培养学生的数学能力和创新精神，为学生的终身可持续发展奠定坚实的基础。