混沌学研究现状与展望让人 （方东）

混沌学研究现状与展望

摘要
非线性系统在一定参数范围内所表现出的内在的随机性已经渐渐受到更多学者的注视。本文旨在用尽量浅显的语言概述有关混沌理论的主要内容，使那些没有接触过混沌的人尽快地了解、认知它，同时本文的作者还想通过此种形式与广大非线性动力系统的研究者们相互交流、切磋，以期对混沌学的更深入的探索。

关键词： 非线性 混沌 确定性 内在随机性 自相似结构 奇怪吸引子 分形 分岔

CURRENT CONDITIONS AND PROGRESS OF CHAOS

ABSTRACT
The inner random displayed at the range of parameters for nonlinear systems has been made to attract more attention. In this paper, the main purpose is to introduce the main content of chaotic theory by simple words, and make those who hasn‘t understood learn about it. On the other hand ,the writer would like to exchange experience with those who study nonlinear dynamical systems ,so as to explore the chaotic field.

KEY WORDS: nonlinear, chaos, determinacy, inner, random, self-resemble construction, strange, attractor, fractal, bifurcation.

目录：

*******************************************************************************
一、引言……………………………………………… 1
　1.1 混沌与非线性科学……………… ………………1
　1.2 混沌的含义……………………… ………………1
二、混沌学简史……………………… ……………….2
三、混沌理论………………………… ……………….4
　3.1 混沌产生的数学模型……………… ……………..4
　　3.1.1一维迭代……………………………………….4
　　3.1.2二维非线性系统…………………………………11
　 3.2 奇怪吸引子与分形…………………… …………..12
　　 3.2.1平庸吸引子……………………………………..12
　　 3.2.2奇怪吸引子……………………………………..13
　 3.3 研究混沌的主要方法………………… …..………14
　　 3.3.1功率谱…………………………………………15
　　 3.3.2李亚普诺夫指数…………………………………16
　　 3.3.3其它方法……………………………………….17
　 3.4 通向混沌的道路━━分岔…………………………17
四、混沌学的哲学思考………………………………..18
五、 混沌学的发展趋势及应用前景…………………..19 *******************************************************************************

一、引言

１.１、混沌与非线性科学

本世纪六十年代初，混沌学开始在美国兴起。二三十年间，这门新兴学科在理论概念及实际应用上迅速发展，已渗透到各个学科和领域。 混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态。正因为如此，我们所讨论的对象必然是非线性系统，或者确切地说是非线性动力系统。 "线性系统"是我们熟知的。如函数 就是一个最简单的线性函数，此函数在（x,y）平面中的图象是一条直线，函数y=f (x)对自变量x的依赖关系是"一次"多项式。但如果函数y=f(x)对x的依赖关系高于一次，就象抛物线函数 （其中 项是非线性项），那么这个函数所描述的系统就是"非线性系统"。可见，从函数构造的角度来说，非线性系统要比"线性系统"更多、更普遍。 "线性系统"与"非线性系统"的不同之处至少有两个方面。第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则绝对不能！第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。可以用一个不太准确的例子来说明这种现象──非线性系统局部看来好比是放在篮球顶端的一只乒乓球，起初是静止的，而后在受到一个极奇微小的初始速度（可以是各个方向的）的作用下，乒乓球会飞快地向一个方向滚落下去；而线性系统则好比是放在碗底的乒乓球，只要初始速度不很大，乒乓球最终会停在碗底。在物理学中称在这两点的平衡状态为不稳定平衡和稳定平衡；在混沌学中，我们通常将这两点命名为双曲不动点（鞍点）和椭圆不动点。正是非线性系统的这种特有的对初值的敏感性，使得我们在处理非线性方程时，不能得心应手地使用一些已经非常成熟的数学方法：如线性迭加、微扰、摄动、无穷小分析等等。非线性系统往往错综复杂，对它的进一步研究呼唤着新的方法和思维方式。适时应运而生的系统论、信息论、耗散结构、协同学等理论，成为研究非线性系统的有力武器。混沌理论（chaos theory）作为其中的一种，可谓一枝独秀，已渐渐成为非线性科学的主要研究对象。混沌学使人们原来限于简单系统的观念发生了革命性的转变，使人们更清楚地认识了简单与复杂、确定与随机的内在联系，难怪有的学者将混沌学誉为本世纪继相对论与量子论之后的第三次科学革命。

１.２、混沌的含义

正像给"生命"下定义一样，究竟什么是混沌，这个定义是很难确切地下出来的，之所以这样是因为：至少到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，科学家们只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。对此，专家们的观点是──哈肯："混沌性为来源于决定性方程的无规运动。"费根包姆："确定系统的内在随机运动。"洛仑兹："确定性非周期流。"赫柏林："没有周期性的有序。"钱学森："混沌是宏观无序、微观有序的现象。"...... 综上所述，我们可以做出如下的理解：混沌是指确定的宏观的非线性系统在一定条件下所呈现的不确定的或不可预测的随机现象；是确定性与不确定性或规则性与非规则性或有序性与无序性融为一体的现象；其不可确定性或无序随机性不是来源于外部干扰，而是来源于内部的"非线性交叉耦合作用机制"，这种"非线性交叉耦合作用"的数学表式是动力学方程中的非线性项，正是由于这种"交叉"作用，非线性系统在一定的临界性条件下才表现出混沌现象，才导致其对初值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果。 在这里我们谈到了确定性，所谓确定性系统是指我们考虑的物理系统，它的物理量随时间的变化是一个确定性质的常微分方程组或差分方程组所决定的。只要给定了初始条件，它的解（或称为运动轨道）就是唯一确定的。在某些情况和给定的控制参数下，解会呈现出无序的混乱状态，也就是上面所说的混沌状态。这种确定性系统的混沌现象本质上不同于不受确定性方程约束的所谓完全随机的混乱状态。 混沌现象是"确定性系统"的一种"内在的随机性"，它是有别于可能由系统外部引入的不确定的随机影响（如噪声）而产生的外部随机性。"确定性"是因为它有内在的原因而不是外来的噪声或干扰所产生；而"随机性"指的是不规则的不能预测的行为。为了与类似于大量分子热运动的这种随机性和无序性加以区别，称我们所研究的混沌为非平衡混沌，而把系统处于平衡态时所呈现的杂乱无章的热运动混乱状态称为平衡态混沌。平衡态混沌与非平衡混沌的另一个差别在于：平衡态混沌所表现出的随机现象是系统演化的短期行为无法确定。比如掷骰子，第一次掷的结果就无法确定；非平衡混沌则不然，系统的短期演化结果是确定的，可以预知的。只有经过长期演化，结果才是不确定的，不可预知的。 在分析力学问题时，我们通常是在相空间内研究它的运动轨道。所谓相空间就是由所要研究的物理量本身（位移、速度、压力和温度等）作为坐标分量所构成的广义空间，最常见的相空间是由位移和速度分量构成的相空间。在每一个确定时刻，所有这些物理量的取值在广义相空间内代表一个点，这些物理量随时间的演变就是在相空间内从一个给定的初始点开始的一条动力学轨道，而混沌状态就是相空间运动轨道所表现出来的无序和不规则性。 就我们考虑的物理系统而言，根据它在相空间内随着时间的演变相体积是否收缩可以把系统区分为两大类──保守系统和耗散系统。这两个系统中出现的混沌现象有着非常明显的本质差别，它们所遵循的物理规律也完全不同，我们必须分别加以讨论。所谓保守系统是指在相空间内其相体积随时间的变化始终保持不变的动力学系统。与此相反，耗散系统是指在它的相空间内其体积随时间的变化不断减小的动力学系统。人类认识混沌现象的过程也渐渐由保守系统混沌走向耗散系统混沌。正像现实生活中非线性现象远远多于线性现象一样，耗散系统的混沌现象比起保守系统的混沌更加普遍，对耗散系统混沌的更深一步研究将使物理学真正走进人们的日常生活中，在更大的范围内得到统一与和谐。

二、混沌学简史

"混沌"一词译自英文"chaos"，"chaos"一词来自希腊文" "，其原意是指先于一切事物而存在的广袤虚无的空间，后来罗马人把混沌解释为原始的混乱和不成形的物质，而宇宙的创造者就用这种物质创造出了秩序井然的宇宙。 我国自古就有用"混沌"状态来描述万物伊始的宇宙。《老子》一书中所说"有物混成，先天地生。"就是一例。而《庄子》三十三篇中关于浑（混）沌的论述则更赋哲理，《庄子》内篇七未尾有这样一段话："南海之帝为倏。北海之帝为忽。中央之帝为浑沌，倏与忽时相迂於混沌之地，浑沌待之甚善。倏与忽谋报混沌之德，曰：人皆有七窍。以视听食息，此独无有，当试凿之。日凿一窍，七日而混沌死。"可见，《庄子》一书中的浑沌是一位君主的名字。此人无眼、无鼻、无口、无耳，但对南、北方君主很好，他们为了报答，试图帮助浑沌进行手术，开七孔于头部，一天一个手术，七天便使浑沌这位君主死掉了。 倏忽是迅速灵敏的意思，混沌则表示无知愚昧。虽然上文的混沌也代表一种无序，但这与当代混沌科学是信息的起源恰恰相反。当代混沌的含义是指非平衡态的混沌，是无序中的有序，是"活"的无序，而庄子的混沌是平衡态的混沌，是"死"的无序。庄子的文章主要是通过自然现象来隐喻哲理，他认为为人处事不应一触即跳，有时不如伪装成一个闭目塞听的人。这是对人类行为具备混沌的必要性的最早哲学观点，另外《庄子》的文章也论及了混沌的重要性："万物云云，各复其根，各复其根而不知，浑浑沌沌，终身不知，若彼知之，乃是离之。"这段文字表达了这样一个观点：认为混沌是介乎可知（如确定论）与不可知（如概率论）之间的潜在的"万物云云"的根源。庄子为研究个人在政治生活中的策略而引入混沌的思想，可谓是一大贡献。然而，我们看到，它的结论毕竟没有任何数学或政治经济学的模型。当代混沌学概念则是建立在严格慎密的数学框架中的。 自从牛顿三大定律及万有引力定律问世以来，确定论的思想就在人们心中根深蒂固，这种观点是伟大的法国数学家和自然哲学家拉普拉斯强烈主张的。他认为如果我们能够知道宇宙中所有质点的位置和速度以及它们之中所有的力的性质，则我们就可以给出宇宙在所有时间中的行程。简单地讲，从初始状态的精确知识可以导出最终状态的精确知识。在牛顿力学中，这种信念是正确的，并且避免了任何可能的混合和含糊。但是，在真实世界里，初始状态的精确知识是得不到的，一个量不管测量得多么精确，我们总能要求测量得更精确些。尽管一般说来，我们可能认识到，我们没有能力知道这种精确知识，但通常我们假定，如果两个分别进行的实验的初始条件几乎相同，则最后结果亦将几乎相同。对于大多数具有光滑特性的"常规"系统，这种假设是正确的，但对于某些非线性系统，它是错误的，并且结果是确定性的混沌。 早在上世纪末，伟大的法国数学家庞加莱就已经深刻地了解了这种可能性以及定量的结果。在他的《科学与方法》一书中写道："初始条件中的微小差别会在最后现象中产生非常大差别的情况也可能发生，前者的微小误差将在后者中产生巨大的误差。预言变为不可能，而我们就有了偶然现象。"尽管庞加莱有惊人的洞察力，但直到本世纪６０年代初期，确定性混沌实际上仍然没有被仔细考察过。 交互式计算机的诞生终于为细致研究混沌提供了有力的工具。１９６３年，气象学家洛仑兹根据牛顿定律建立了温度压强、压强和风速之间的非线性方程 （下划直线的是非线性项，x代表对流的强度，y表示所考虑的气体薄层中气体向上流或向下流的温度差，z表示温度分布的非线性）他将该方程组在计算机上进行模拟实验，因嫌那些参数小数点后面的位数太多，输入时很繁琐，便舍去了几位，尽管舍去部分看来微不足道，可是结果却大大出乎意料：该气象模型竟与没有舍去几位小数所得的气象模型大相径庭，变得完全不同。因此，洛仑兹断言："长时期"天气预报是不可能的。在澳大利亚的一只蝴蝶偶然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变成席卷北美佛罗里达洲的一场龙卷风。这就是天气系统的"蝴蝶效应"。洛仑兹的论文发表在大气科学杂志上，当时并没有引起注意。而真正最早给出混沌的第一个严格数学定义的人是李天岩。他和约克教授受到洛仑兹论文的启发在１９７５年１２月份那期《美国数学月刊》上发表了一篇论文，题为"周期３意味着混沌"，在这篇文章中，他们正式提出混沌（chaos）一词，并给出它的定义和一些有趣的性质。此后由于著名生态学家梅( May)的大力宣传，chaos一词不胫而走，渐渐被广大学者所认知。紧接着在１９７８年，费根鲍姆（Feigenbaum）利用梅的模型发现了倍周期分叉进入混沌的道路，并获得了一些普适性常数，这更引起了数学物理界的广泛关注。与此同时，曼德尔布罗特（Mandelbrot）用分形（fractal）一词来描述自然界中传统的欧几里德几何所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象，使混沌现象中的奇怪吸引子有了对应的数学模型。８０年代后，混沌理论的研究一下子成为了热点，不仅是数学家、物理学家，而且生物学家、化学家、医学家、经济学家都不约而同地寻找不同形式的无规则性之间的联系。混沌之所以有如此大的吸引力，是因为它提供了把复杂的行为理解为有目的和有结构的某种行为的方法，而不是理解为外来的和偶然的行为。混沌是一种关于过程的科学，而不是关于状态的科学；是关于演化的科学，而不是关于存在的科学，它使人们看到了运动演化中的生机和动力。

三、混沌理论

３.１、混沌产生的数学模型

科学中有一些简单而并不平庸的典型问题，围绕它们可以叙述和掌握相当广泛的科学内容。一个例子是二体问题，从经典力学中的开普勒问题、相对论力学中的水星近日点进动，到量子力学中的氢原子和量子场论中的兰姆谱线位移，贯穿了经典和近代物理学的全部发展史。另一个例子是花粉颗粒在液体中的布朗运动，从爱因斯坦的直观处理和朗之万方程、福克─普朗克方程、到涨落耗散定理的现代表述和随机过程的连续积分表示，引出了整个物理学中的概率论描述体系。这两个例子，一属确定论，另一个则为概率论。恰好对于确定论系统中的随机性，即混沌现象，也存在着这样的代表性模型，这就是一维迭代过程。可以说，天体力学，尤其是严格求解的二体问题是确定论思想的精华和典范，概率论的发展史可以认为是对布朗运动的理解史，而一维迭代在混沌理论研究中的地位则绝对不亚于前两者。

３.１.１、一维迭代

迭代是研究非线性方程演化过程的有力工具。为了研究一个物理系统，我们可以把系统的状态用一组变量x,y,z...描述，它们都是时间t的函数，同一个系统还受某些可以调节的"控制参量"a,b,c...的影响。最简单的情景是固定一组参量，把时间变化限制成等间隔的t,t+1,t+2...，看下一个时刻的系统状态如何依赖于当前状态。在只有一个状态变量x时，这个演化过程可以由一个非线性函数描述： (3.1) 其中μ代表所有控制参量的集合。更一般些，时间跳跃的间隔（或称之为对系统进行观测的采样间隔）Δt可以不是整数，把各个时刻写成 而相应状态记为 ，其中 ，于是演化方程(3.1)成为 的迭代过程（即：一阶差分方程）。以上操作实质上是在相空间中取一个截面或者做一种时序的对应操作，这是一种简化非线性演化方程的重要方法，我们称之为取庞加莱截面（见图１）及庞加莱映象。 取庞加莱截面或做映象是研究复杂系统的重要简化手段，微分方程的解对应于一定维数空间中的连续流，由图１我们看到，由于Ｄ维离散映象至少对应Ｄ＋１维的流，因此在同样维数下，离散系统的内容总比连续系统更丰富。比如：一维流只能表达从"源"到"漏"，没有其它花样，而一维映象（即：一维迭代）则可以表现出分岔与混沌等更复杂的行为。下面，我们就将以生态学中的一个简单的虫口一维迭代模型为例，浅述一些具有普遍意义的概念及规律。 假定某种没有世代交叠的昆虫，第n代虫口数为Xn，则考虑到过渡繁殖以及个体间的竞争、传染病的蔓延等，下一代的虫口数为 (3.2) 其中 项是非线性项，它是由于食物有限等因素导致的虫口饱和造成的虫口减员，只要对(3.2)式中的参数a,b恰当定义，就可将其变换成下式 (3.3) 为了满足封闭性，还要求μ∈(0,2)， ，上式并不只是一个描述虫口变化的模型，它在建立中考虑了鼓励与抑制两种矛盾的此消彼长，反映了对立双方的动态演化过程，因而具有更普遍的意义及用途。这就需要我们从数学的角度对(3.3)式作具体细致的剖析。 通过计算机数值分析发现，(3.3)式所描述的系统在参数μ从零变大时，会出现多次突变。如图２ （１）０〈μ〈０.７５ 在线段Ｉ=[-1,1]内任选一个初值 ，迭代过程迅速趋向一个不动点 ： (3.4) 由方程(3.4)解出两个不动点的值 实际迭代过程中得到的只有x*，这是由不动点的稳定性条件决定的。 判断一个不动点是否稳定，研究的办法是在解附近作微扰，看求解过程是收敛还是偏离开原来的解，对于不动点附近的迭代方程，可写成下式 其中 和 是迭代前后对不动点的偏离。把上式右边展开到 的线性项，得到 因为对于不动点满足x*=f(μ,x*)，有 对于稳定的不动点，εn+1的绝对值必须大于│εn│，因此我们得到不动点的稳定条件是 (3.5) Ｓ＝１是稳定边界，对应有 和 两种可能性，前者给出切分岔，后者给出倍周期分岔。 由初值X0经过迭代达到或离开不动点的过程可以作图表示。图３中画出f(x)的曲线，它和Ⅰ、Ⅲ象限分角线的交点就是不动点x*或 。稳定性条件(3.5)要求不动点处的斜率在－１到＋１之间。在图３所示的情形中（μ＝0.5），x*处的切线斜率满足(3.5)，而 处则不然。由初值X0出发的迭代过程总是离开 而趋近x*。图中用箭头标出了这个过程。 以后我们还将看到，这种离开不稳定不动点（双曲点）而趋近稳定不动点（椭圆点的运动很普遍，而且在更高维系统中，对应的运动是系统从不稳定流形向稳定流形的运动。 （２）０.７５〈μ〈１.２５ μ超过0.75后， 都成为不稳定的不动点，这时考察历次迭代结果，可以看到，经过不长的过渡阶段后，即出现两个数值交叠出现的状态： 也就是说，如果今年夏天的昆虫数目是X1*，明年夏天就是X2*，后年又是X1*...，如此重复下去，在参数(0.75,1.25)范围内，(3.3)式迭代有稳定的两点周期，我们说当μ增大到μ1＝0.75时，周期１的定常解分岔为两个周期２的定常解。如果我们定义一复合函数 可以看出，X1*和X2*都是这个函数的不动点，即 。判断这些不动点的稳定性，可以重复上面的分析，得到稳定条件 ，图４绘出了μ＝1.0时 的曲线。得到函数曲线与对角平分线的四个交点（不动点）中仅有两个是稳定的（四点中有一点在区间外）。 （３）μ〉１.２５后 上述两点周期失稳，出现稳定的四点周期Xi*,i=1,2,3,4，即当μ渐渐增大到1.25时，周期２定常解又分岔为周期４的定常解。......当μ增大到μn时，周期 的定常解分岔为 个周期的定常解......，如此下去。上述描述的过程称为倍周期分岔，当μ＝μ∞＝1.40115...处，即n→∞时，系统的周期也趋于无穷长。 （４）μ〉μ∞后 系统将进入混沌！多次迭代的结果看起来像是连续分布在一定区间内的随机数，从图２中，我们可以辨认出四类"混沌"区域，其中迭代结果分别落在 (n=3,2,1,0)个区域内。事实上，如果把μ和x的尺度放大，可以看出这里有一个混沌带的序列，由右向左逐步分裂为 （n=0,1,2...）个段落。对于一个固定的n，得到结果依次落在 个区间内，但x点在每个区间内的分布似乎又是随机的。我们称它为周期等于 的混沌带。这样我们看到在参数区间（0,μ∞）内有一个 点周期的"正"的倍周期分岔序列，而在（μ∞，２）区间内有一个"反"的周期为 的混沌带的序列。它们从两面收敛到同一个μ∞出。 从图２中我们还看出，混沌带并非乱成一片。混沌带中不少透明处清楚存在着多点周期，其中最明显的是μ＝1.75处开始的周期为３的窗口，它还继续分岔为周期为６，周期为１２等等。如果把μ＝1.75～1.7924一段取出来放大，可以看到周期３窗口中的每一簇都发展成像图２本身一样的分岔序列，包括倍周期的正序列和混沌带的反序列。这样的现象称为混沌的自相似现象，自相似现象是混沌的最主要特征之一，这样的现象反映出混沌图象的标度变换不变性，是具有普遍意义的特性，见图５ 仔细研究单片混沌带中周期３窗口的形成过程，我们发现它与倍周期分岔形成混沌的过程有所不同。图６给出了μ略小于1.75时的迭代曲线，它与角平分线只交于一点Ａ，这时切线很陡，是不稳定不动点。 图中还有三个峰或谷已经很接近角平分线，一旦μ增加到1.75，这三个峰或谷同时与对角线相切，相切点的导数值都等于＋１，恰好达到稳定的边界。μ进一步增加，每个切点分成两个割点，但每一对中仅有一个是稳定的，总共３个。由此形成了混沌带中的周期３窗口。我们看到，这样的演化过程满足前面介绍的切分岔概念（不动点导数为＋１）。 当我们考察每个窗口开始的边界附近的情况，我们会发现，虽然运动轨道总体上是混乱的，但迭代的决大多数点集中在周期轨道开始发生的点附近。如果把迭代的值和迭代次数（即时间）画出图形，则清楚地表现出一阵混沌，一阵规则的所谓阵发（间歇）现象，如果用函数形式 来表示（如图７），则可以发现，迭代在呈现周期特性时是由于它正在穿过一个很窄的通道。但一旦穿过这个通道后，就会经过大幅度的跳跃，直至迭代到另一个通道附近。混沌轨道就是对应这种不同通道之间的跳跃。 前面我们简介了一维虫口迭代（或称一维Logistic逻辑斯蒂映射）的解的演化情况，进一步研究发现，以上迭代具有极大的普适性，很多其它的非线性系统产生混沌的过程、混沌中的窗口情形、自相似结构等等都与一维迭代类似，这也是我们细致分析它的原因，这至少反映出复杂性现象中的内在规律性。在所有物理学家中，对一维迭代普适性做出最大贡献莫过于费根鲍姆，由于他的工作，我们知道对于一大类非线性映象都严格具有前面描述的分岔和混沌结构，这就是所谓单锋映象──迭代函数仅有一个极大值，比如像虫口迭代那样。有些性质，例如周期轨道的种类和出现顺序，只决定于"单峰"的存在，称之为"结构普适性"。如果我们借用代数集合论的话来说就是"拓扑普适性"。 现在我们列举单峰映象的一部分普适性质 （１）分岔序列的收敛速率 费根鲍姆发现发生倍周期分岔点的参数值μ是几何收敛的，即利用 定义的δn有 这个常数表明了一个系统在趋向混沌时，周期倍增的速度。对于同一个δ也适用于嵌在混沌中的窗口周期序列。如果把各个混沌带的边界，即 混沌带汇合为 混沌带的μ值定出来，它们也按δ-n收敛。 （２）标度变换因子 我们从图５已经看到，分岔谱和混沌带具有无穷嵌套的自相似几何结构，同一行为在越来越小的尺度上重复出现，这是一种标度不变性，与其对应，也应该存在一个相应的标度变换常数因子α。费根鲍姆证明，当n→∞时，这个放缩因子也趋向一个普适常数 α＝2.502907875... 需要指出的是：一维虫口迭代所表示出的结构普适性和标度不变性是混沌现象的一种共同特性，这种"普适性"包含有两重含义：一是同样的分岔结构和定量特征出现在不同的非线性映象中；二是对于同一个映象，它们适用于不同层次的内嵌结构

3.1.2二维非线性系统

一维非线性映射都是不可逆的，只对应于耗散系统，而二维映象在许多方面起着从一维到高维的衔接作用。二维系统的混沌现象，不仅会出现在耗散系统中，而且它也可能出现在保守系统中。 对于保守系统来说，由于系统的哈密顿函数Ｈ＝常数，系统存在一个能量积分，所以一维保守系统不可能出现混沌。 二维哈密顿系统中研究较多的是所谓"标准映象" 它出现在许多自由度为２的非线性振子理论中，是带电粒子在环行磁场中运动的一种模型。 二维耗散系统中研究最多的一例是所谓埃农（Ｈénon）映射， 只要b≠0，变换就是可逆的，b＝１时，它保持相体积不变，是一种保守系统。b<１对应耗散系统，b＝０则回到一维映射。埃农等人研究发现对于某些控制参数和初值，迭代结果迅速收敛到（x,y）平面上接近一维的"吸引子"上。这个吸引子很像是平滑曲线，但它具有宽度。如果取来吸引子的一小段不断放大，可以看到越来越小的尺度上重复出现近似的自相似结构。这是第一个实际观察到的具有非整数维的"奇怪吸引子"，我们在下一节中还要重点介绍。 二维映象中在某些方面表现出了与一维线段映象不同的性质，比如：对b=1的埃农映象的研究给出的结构普适常数δ＝8.7210和标度因子α＝4.018均与一维单锋映象有所不同。但我们看到一维非线性迭代的普适特点在高维映象中仍然保持下来。

3.2奇怪吸引子与分形

保守系统由于相体积永远不变，所以不存在吸引子，而耗散系统则不然，相体积在演化过程中不断收缩，各种各样的运动在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定的长时间行为，即：耗散系统的运动最终趋向维数比原始相空间低的极限集合，这个极限集合称为吸引子。

3.2.1平庸吸引子

我们来考虑常微分方程解的极限集合，即相空间某一区域的点都取作初值时，这些轨道 时的极限行为。极限集合的一些平庸情况是熟知的：零维不动点、一维极限环和二维环面等。 如果t→∞时，系统趋向一个与时间无关的定常态，即相空间中的一个特定的点，这就是不动点。不动点是零维的吸引子。一维以上的系统原则上就可能具有不动点。 如果t→∞时，系统中剩下一个周期振动，这就是一维的吸引子──极限环。只有在二维以上的相空间中，才可能出现极限环。通常极限环是由不动点发展起来的。当某个不动点在参数变变化过程中由稳定而失稳，新的稳定状态往往是围绕着原有不动点的周期运动，这个过程称为霍普夫分岔(hopf)。 由不动点到极限环的霍普夫分岔可以形象的理解如下：一个稳定的不动点附近，代表系统运动状态的流线如图８(a)所示，从四面汇聚到不动点；不稳定的不动点是流线的源，所有的流线都向外散开，如图８(b)所示。假定控制参数的微小变化，使不动点由稳定而失稳，不动点附近的局部形势就要由图８(a)变到(b)，但一般说来，参数的这种微小的变化还不足以使整个流域内"河水倒流"，距不动点较远处的流线仍应是向中央汇聚的。近处向外，远处向内，两种流向统一的办法，就是在中间出现一条封闭曲线，成为内外两套流线的共同极限，如图８（c），这就是极限环。以后我们将知道，霍普夫分岔是通向混沌的一条重要途径，类似的还有一维极限环到二维环面的霍普夫分岔。 二维环面是三维及高维耗散系统经常出现的一种吸引子。其表现为相空间中相应维数的环面。二维环面上两个运动方向的频率呈有理比例关系时，才会有周期运动，如图９；若是无理数，那么其运动可用在一个环面上移动而自身永远不封闭的螺旋线来表示，这种运动叫做准周期运动，如图10 综上所述，非线性系统可能具有0,1,2...等各种维数的平庸吸引子。高维吸引子最可能有准周期运动，而不是周期振动。然而自吕勒(Ruelle)和塔根斯(Takens)的工作以来，人们越来越清楚地看到，一般说来准周期轨道成为吸引子的可能性不大，更可能出现的是所谓奇怪吸引子。

3.2.2奇怪吸引子

奇怪吸引子是耗散系统混沌现象的另一个重要的特征。简单地说奇怪吸引子就是相空间（对连续的动力学系统，至少是三维；对离散的动力学系统，至少是二维）的一个有限的区域内，由无穷多个不稳定点集组成的一个集合体。奇怪吸引子有两个最重要的特征： （1） 对初始条件有敏感的依赖性。 在初始时刻从这个奇怪吸引子上任何两个非常接近的点出发的两条运动轨道，最终必会以指数的形式互相分离。由于混沌对初值极为敏感，它表现为局部不稳定。但对耗散系统而言，则又具有相体积收缩的特性，因而造成轨道无穷多次折迭往返。混沌轨道在相空间中"添满"有限的区域，形成奇怪吸引子。实际上，它有内外两种趋向，一切吸引子之外的运动都向它靠拢，这是稳定的方向；而一切到达吸引子内的轨道都又相互排斥（指数式分离），对应为不稳定方向。正是这种整体趋向稳定而局部又极为不稳定的矛盾，导致了奇怪吸引子的另一个更奇怪的性质： （2） 它具有非常奇特的拓扑结构和几何形式。 奇怪吸引子是具有无穷多层次自相似结构的、几何维数为非整数的一个集合体。为了描述奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。 维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘以2，就得到另一个线段，长度为 =2个原线段长度。一正方形，每边长×2，得到一个大的正方形，它等于4个原来大小的正方形。一立方体 ，每边长×2，得到一个大的立方体，它等于8个原来大小的立方体。由此可以推得，一个d维的几何对象，它的每一个独立方向都增长L倍，结果得到N个原来的对象，这三者的关系为 ,两边取对数，得维数 。 一旦把上式的定义加以推广，我们就完成了一次概念上的飞跃，d不必一定是整数，它可以是分数，我们就把这样推广定义的维数称为分维（fractal），用字母"Ｄ0" 表示。对于规整的几何对象，可以使用统一的长度变换倍数L。而对于不规整的复杂体，如海岸线的长度，总长度与测量单位有关，为了得到精确的测量，不是把尺寸放大L倍，而是测量单位缩小为原来的ε倍，L＝１／ε，测量长度次数Ｎ随ε减小而增大，记为Ｎ（ε），这时分维定义为： 上式定义的分维称为容量维Ｄ0，又称为柯尔莫哥洛夫（Ａ.Ｎ.Kolmogorov）容量维。 可以证明，拓扑维d和分维Ｄ0满足如下关系： d≤Ｄ0 式中取等号是对普通规则几何对象而言的。容量维为非整数的典型的例子是康托集合。参见图11 考虑一闭合线段[0,1]，将其分成三等分，舍弃中段，剩下的两段再分别三等分和舍弃中段，如此继续下去，最后剩下的点的总体就是康托集合。它是一种处处稀疏的对象（自相似结构），其拓扑维d=0，现在来求它的分维Ｄ0。当ε＝1/3，N=2；当ε＝1/9，N=4；...亦即当 时，N= 。于是可得康托集合的容量维为 由此可见康托集合满足关系d≤Ｄ0 在解决实际问题时，容量维往往不能非常准确的反映不规则度，因此，又有人提出了信息维和关联维等，有关它们的具体定义及运算方法，我们在此将不做细致讨论。 奇怪吸引子的维数从一个侧面反映了说明此吸引子所必须的信息量，它是该系统中最重要和最主要的信息，对它的细致研究将有利于我们抓住问题的主要方面，更根本地分析和认识问题。

3.3研究混沌的主要方法

对于混沌现象的客观反映就需要更严谨的数学描述以及更直观的物理现象。在实验分析方面，对混沌系统施行功率谱分析已是研究混沌的最有效、最直观的工具。

3.3.1功率谱

周期运动在功率谱中对应尖锋，混沌的特征是谱中出现"噪声背景"和宽锋。它是研究系统从分岔走向混沌的重要方法。 在很多实际问题中（尤其是对非线性电路的研究）常常只给出观测到的离散的时间序列X1, X2, X3,...Xn,那么如何从这些时间序列中提取前述的四种吸引子（零维不动点、一维极限环、二维环面、奇怪吸引子）的不同状态的信息呢？ 我们可以运用数学上已经严格证明的结论，即拟合。我们将Ｎ个采样值加上周期条件Xn+i=Xi，则自关联函数（即离散卷积）为 然后对Cj完成离散傅氏变换，计算傅氏系数。 Ｐk说明第k个频率分量对Xi的贡献，这就是功率谱的定义。当采用快速傅氏变换算法后，可直接由Xi作快速傅氏变换，得到系数 然后计算 ，由许多组{Xi}得一批{Pk‘}，求平均后即趋近前面定义的功率谱Pk。 从功率谱上，四种吸引子是容易区分的，如图12 (a)，(b)对应的是周期函数，功率谱是分离的离散谱 (c)对应的是准周期函数，各频率中间的间隔分布不像(b)那样有规律。 (d)图是混沌的功率谱，表现为"噪声背景"及宽锋。 考虑到实际计算中，数据只能取有限个，谱也总以有限分辨度表示出来，从物理实验和数值计算的角度看，一个周期十分长的解和一个混沌解是难于区分的，这也正是功率谱研究的主要弊端。

3.3.2李亚普诺夫（Lyapunov）指数

确定混沌区后，需要进一步对吸引子进行刻划。功率谱分析仍然有用，但更重要的是计算李亚普诺夫指数。 对初始条件的敏感依赖性是确定性系统混沌的关键特性。这意味着在相空间中相互靠近的两条轨线，随着时间的推移，它们将指数性的运动开。就拿差分方程或离散映射所描述的系统Xn+1=f(Xn)来讲，若初始值X01和X02相差d 0=X01-X02，那么n次迭代后 (3.6) 其中λ称为李亚普诺夫指数。代表相邻点之间距离的平均辐射率。又因为 故 从（3.6）式可以清楚的看出，系统要产生混沌必须具有正的李亚普诺夫指数。 图13反映的是一维迭代(3.3)式的李亚普诺夫指数随参数μ的变化图 从上图我们看到，对于周期轨道，指数λ小于零，在分岔点处，λ＝０，而在混沌区中，λ是一个正数，但对于混沌区中的周期窗口，λ又忠实的小于零。 李亚普诺夫指数的大小刻划了吸引子的动力学，反映了系统产生或消除不确定因素的速率。初始不确定性经多少时间将覆盖整个吸引子由最大的指数决定，而对吸引子摄动的渐近消失则由最小的指数控制。

3.3.3其它方法

描述混沌程度的方法有很多种，而且各有利弊。其中较主要的还有如确定奇怪吸引子的各种维数、确定混沌系统的所谓柯尔莫哥洛夫熵、对周期驱动系统较易实现的分频采样法以及前面介绍的取庞加莱截面的方法等等。理论分析中则大量使用泛函分析，借用相变理论中的重正化群方法。比如费根鲍姆推出的普适常数及标度因子就是解一个反映自相似结构的泛函方程形式的重正化群方程。另外，分析系统的梅尔尼科夫(Melnikov)函数也是确定混沌的一个重要方法。由于牵扯的知识点过于繁杂，本文将不得不以粗线条形式略述，具体内容请参阅有关文献。

3.4通向混沌的道路──分岔

了解如何通向混沌是很有意义的。有时候我们需要人为地制造混沌，如保密通讯，但一些时候，我们又不允许系统出现混沌，这都要求我们对通向混沌的道路了如指掌。 目前，公认的通向混沌的道路有三条：倍周期分岔，阵发混沌和准周期进入混沌。与之对应的是非线性方程中三种不同类型的分岔━━倍周期分岔、切分岔和霍普夫分岔。 对于倍周期分叉（又称叉形分岔）如何进入混沌，大家在一维迭代中已经有了很深的认识。，切分岔道路实际上可以认为是从周期窗口中进入混沌的一种方式，比如在一维迭代（3.3）中， 从大于1.75渐渐减小到小于1.75时，系统从原来的周期轨道进入混沌。对照3.1.1中的图６，我们也可以了解到， 从大变小的过程中，迭代函数也由原来的与角平分线有两个交点渐渐变到一个交点（相切），直至无交点。但注意到整个过程中，稳定不动点仅有一个，而叉形分岔则与此有本质的不同，在变化过程中，始终有两个稳定不动点。即这两点满足S≥1（见3.5式的推导），图（14）形象地反应了这种情况。（其中s表示稳定轨道，u表示不稳定）。 hopf分岔同样可以导致混沌。吕勒、塔根斯最初证明了只需经过四次hopf分岔就可以产生混沌，那就是：不动点→ 极限环→ 二维环面→奇怪吸引子（混沌）。后来，他们又和纽豪斯（Newhause）一齐放松了数学条件，指出只需前三部分就够了，即二维环面上的准周期运动，可以直接失稳而成为奇怪吸引子。 综上所述，确定性系统中的混沌是这样一种运动，它的运动落在一个称为奇怪吸子的分维几何体上，相应的功率谱为连续谱，而且至少有一个正的李亚谱夫指数……一共有三种通向混沌的道路，而且这些非线性系统中存在某种普适性。

四、混沌学的哲学思考

哲学是自然科学、社会科学和思维科学的概括和总结。自然科学的发展对哲学发展的促进作用是有目共睹的。本世纪６０年代以后，混沌理论的兴起导致一系列在"紊乱"现象背后的惊人发现，引起人们广泛的注意。混沌不仅是个科学问题，也涉及到许多重要的哲学问题。特别是在有序和无序、稳定和非稳定、简单和复杂、局部和整体、决定论和非决定论等矛盾关系和辩证转化的条件和机制方面，给人以新的启迪。 我们看到，对混沌学的研究为人类开辟了一个新空间，很多原有的概念在此空间中将被深化，将进一步地反映出其本质。就像波和粒子的概念在量子力学中得到统一一样，在混沌领域中，原有的很多经典的概念在此也得到了统一。我们可以说混沌反映的是一种无序中的有序，它是确定论中不确定性，是整体的方向性与局部的非方向性，是在稳定与失稳中不断演化，原因非常简单，而结果又是错综复杂的一类现象。它深刻地反映了对立统一的哲学思想。 混沌学的诞生直接导致了对确定论与概率论的讨论。确定论的思想自牛顿以来就根深蒂固，过去随机性只是和不可逆联系在一起的。现在，在确定性的、可逆的牛顿方程内部，出现了内在的随机性。可见，确定性和随机性之间的界限并不是不可逾越的。确定论和概率论描述之间存在着由此及彼的桥梁，这座桥梁或许将是混沌所表现出的决定性的内在随机性。 对于一个非线性系统，我们依次改变系统的参数，可以出现从无序向有序的转变，有序程度不断增加的转变，最后出现混沌。在这一系列相变过程中，系统的有序程度不断提高，对称性不断减少，不断增加有序性是对无序的不断否定，而出现混沌是有序程度增加到了最高程度，是系统最有序的表现，也是系统呈现一种新的无序，是对有序的更否定；通过有序程度的不断增加，经过倍周期分岔达到非平衡混沌，不同于原来系统平衡态时呈现的无序的混沌，它有分数维数，有奇怪吸引子，有无穷嵌套的自相似结构，它在一个尺度上的表现的随机现象，会以同样的形式在不同尺度上重复出现。平衡态混沌与非平衡态混沌之间的相似与区别，以及它们之间通过有序程度的不断改变而发生的联系，具体形象地体现了哲学上的否定之否定的原则，使我们对这一原则有了更深刻的认识。 然而混沌这门新科学毕竟对当代哲学思想尤其是物理哲学有着不小的冲击。对以下两个问题的诠释相信不是１－２个小时可以解决的，当然也不是千八百字就能说得清楚的，在此，我仅仅提出，对它们的解决或许是建立在对混沌理论更深入、更本质的理解上的。 （1）.标度不变性对应的守恒律是什么？ 就像空间的均匀性对应着动量守恒，空间的各向同性对应着角动量守恒，时间的均匀性对应着能量守恒一样，混沌系统（尤其是保守系统）的标度不变性对应着什么守恒呢？ （2） .混沌系统的时间箭头又该如何解释？ 原来我们认为只有在保守系统才存在时间反演操作，因为与保守系统对应的描述方程是确定的，而且满足Ｔ变换守恒。现在我们发现，在保守系统出现混沌时，由于对初值的极敏感性，同宿点有无穷多个，系统演化沿 方向和沿 方向的结果将不一致，这说明在混沌系统中一个无穷小区域内，物理规律对时间的方向具有选择性，即出现了不可逆行为，这对理解宏观系统中的时间箭头问题多少有一点启发。

五、混沌学的发展趋势及应用前景

分岔与混沌决不只是一堆有趣的数学现象，它们在自然界中有种种表现。一般说来，混沌是比有序（此处指经典意义下的有序━━对称、周期性）更为普遍的现象。混沌向我们揭示出一个形态和结构的崭新世界。它表明，在某一范围的无序是与另一个不同范围的有序完全协调的。 我们了解到，混沌学已经融入了整个科学体系中。从历史发展的角度看，在横向上，它将各个学科连接起来，抹平了由于社会分工而造成的行业鸿沟，使混沌理论具有更广泛的适用性；纵向上，它不仅进一步运用数学工具，开展深一层次的理论分析，而且，已经渐渐开始将一部分成果转化为生产力（如混沌的控制和同步等）。 如今，摆在我们面前的是一幅有序和混沌交替出现又同时并存的世界。声学混沌，光学湍流，化学反应的混沌变化，太阳系中行星的混沌轨道，地震的混沌特征，长时期天气的"蝴蝶效应"，虫口数目的混沌更迭，电子线路中的噪音输出及电力网的复杂振荡等等都无不与这门新学科相联系。探索复杂性，揭示生命现象的奥秒，混沌行为的启发将使人类自身健康状况改善，经济学学者正试图应用混沌理论来寻求商业周期中隐藏的有序性，以改善经济数据的短期预报......可谓大千世界皆混沌；混沌即进一步细分了我们的研究客体，同时又统一了我们的研究方式，混沌理论的发展必将带来新的技术革命。 同时，混沌理论的发展，必须依赖数学。分维是奇怪吸引子的重要几何特征，与之对应的分形几何近二十年来也得到了飞速发展，通过计算不同吸引子的各种维数，可以更有效、更细致地对混沌系统进行分类。 符号动力学是作为动力学系统一般理论的一个重要分支，人们将对一维映射系统符号动力学的研究推广到高维系统，使混沌系统的拓扑普适性得到了完美体现，而且这种从一维向 空间的推广，也带动了其它普适性的合理运用。 另外在理论方面，还综合了很多数学分支，如测度论、泛函分析、拓扑、分形几何等等。 在技术上，一方面实验物理学家们正在不断地扩大对混沌的研究领域，另一方面，他们正在试图驾驭混沌：他们用种种方法将系统稳定在混沌区的一个周期轨道上；他们还设法使两个混沌的系统同步化，从而实现利用混沌的保密通讯。对混沌的控制和同步的实验研究将有另文介绍，在此就不做赘述。 混沌学今后的发展方向在那里？混沌究竟是喜欢追随时髦的人的一种有趣思想，还是像它的某些支持者声称的那样，实际上是科学思想的一场革命？──只有事实才能说明一切。

参考文献：

1、魏宏森，宋永华，开创复杂性研究的新学科──系统科学纵览，四川教育出版社，1991
2、郝柏林，从抛物线谈起──混沌动力学引论，上海科技教育出版社，1993
3、Ｈ．舒斯特，混沌学引论，四川教育出版社，1994
4、严绍瑾 ，彭永清，非平衡态理论与大气科学，学苑出版社，1989
5、于渌，郝柏林，相变和临界现象，科学出版社，1984
6、是勋刚，湍流，天津大学出版社 ，1994
7、郝柏林，分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它──关于确定论系统中的内在随机性，物理学进展，1983/3/3
8、赵凯华，朱照宣，非线性物理导论，北京大学非线性科学中心，1992
9、丁有瑚，对混沌学的基本认识，现代物理知识，1996增刊
10、姜璐，王德胜，系统科学新论，华夏出版社，1990
11、卢侃，孙建华，混沌学传奇，上海翻译出版公司，1991
12、Edward Ott, Chaos in dynamical systems, Cambridge university press,1993
13、Maciej, Ogorzalek, Senior Member, Taming chaos-Part1:synchronization, IEEE,1993
14、J. E. Hirsch, B. A. Huberman, D. J. Salapino, Theory of intermittency, Physical Review,1982

1997年4月完稿