小学五、六年级数学

第九册

一、小数的乘法和除法

1、计算小数乘法:先按照整数乘法的法则算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点

3×0.15=0.45              0.45×1.25=0.5625

注意：积的小数点位数=第一个因数小数点位数+第二个因数小数点的位数

再看  5×1.2=6   6>5          5×0.2=1    1<5

一个数乘以大于1 的数，则积比这个数大；乘以小于1的数，则积比这个数小

积的近似值，当乘积小数点位数较多时，可用“四舍五入”保留一定的小数。

0.967×492≈475.76  (475.76就是积475.764的近似值)

乘法的运算法则适用小数乘法运算

乘法的交换律   0.56×0.45=0.45×0.56

乘法的结合律   (0.45×1.36) ×0.78=0.45×(1.36×0.78)

乘法的分配律   (2.5+3.6)×0.5=2.5×0.5+3.6×0.5

2、计算小数的除法：

A、除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数末尾仍有余数，就在余数后面添加0再继续除。

B、除数是小数的除法，先移动除数的小数位，使它变成整数；除数的小数位向右移动了几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够，在被除数的末尾用“0”补足）；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

例如：  2.34÷3=0.78    0.765÷0.18=4.25

循环小数  1÷3=0.333‥‥‥   58.6÷11=5.3272727‥‥‥

小数重复出现部份，叫循环节，如第一题3是循环节，第二题27是循环节

循环节从小数第一位开始的，叫纯循环小数。例如第一题

循环节不从小数第一位开始的，叫混循环小数，例如第二题

二、整数、小数四则混合运算和应用题

加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算

一个算式里，如果只含有同一级运算，要从左到右依次计算

一个算式里，如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算。

例：3.6÷0.4-1.2×5     2.6+8×0.5×4   0.75÷0.3÷0.5-3.2

一个算式里，如果有括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。

例：0.4×(3.2-0.8)÷1.2   5×[(3.1+4.1)÷1.8]

练习题（P）

三、多边形的面积计算

                    h

                      a

1、平行四边形的面积=底×高，如果S表示面积，a表示底，h表示高，则S=a×h。

                            h

                         a

2、三角形面积的=底×高÷2,如果S表示面积，a表示底，h表示高，则S=a×h÷2

                               a

                          h

                               b

3、梯形的面积=(a+b)×h÷2

4、组合图形面积的计算

组合图形一般要将它分解成几个熟悉的图形（如长方形、平行四边形、三角形、梯形等），然后逐一图形计算出面积。再根据要求求出所需的图形面积。例如上图，第一个分解成一个长方形和一个梯形，第二个分解成两个三角形。

四、简易方程

1、用字母表示数，如a+b=b+a,(a.b).c=a.(b.c),S=v.t,S=a.h÷2

2、解简易方程

   20+30=50  等式，20+x=50 方程

含有未知数的等式叫做方程

使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解，例如上面方程的解为30。

求方程的解的过程叫做解方程。

3、列方程解应用题

列方程解应用题分为四个步骤

a、弄清题意，找出未知数，并用X表示；

b、找出应用题中数量之间相等关系，列出方程；

c、解方程；就是将方程化成ax=b的形式，从而求得x=b/a

d、检验，写出答案。

e、总量=各部份之和，这是找出方程式的重要思想。

列出方程式的重要思路是

（1）、总量 = 各部分的量之和 或 总量 - 部分的量 = 另一部分的量

例如：一个班，男生有5/9少4人，女生有40%多6人，这个班有多少人

解：设全班有x人

根据条件，男生有5/9x-4人，女生有40%x+6人，

（根据  全班人数=男生人数＋女生人数）

得方程式  x = 5/9x-4+(40%x+6)

         总量   分量   分量

（2）、各部分量之间存在一定的数量关系式。

例如；

1、一个数的1/2比这个数的25%多10，这个数是多少

解：设这个数为x

（一个数的1/2，就是1/2x。

这个数的25%，就是25%x。

第一个数比第二个数多10，即两个数相减等于10。） 

得方程式   1/2*x-25%x=10

2、一个粮库，原来存有一批粮食，运走2/5以后，又运来了5.5吨，这时的存粮恰好是原来存粮的80%,问原来有粮食多少吨。

解：设原来粮食有x吨

（运走2/5，即运走了2/5x吨，粮库乘下有 x-2/5x吨

又运来了解5.5吨，粮库共有  x-2/5x+5.5 吨

而这时的粮为存粮是原来的80%,即现在粮库有粮 80%x)

所以有方程式  x-2/5x+5.5= 80%x

第十册

一、简单的统计

1、柱图的画法，用柱图表示数据的统计方法。

2、求平均数的计算方法，已知总量和构成总量的份数，求每份数所点总量的平均值

例如：一个学生语文92分，数学98分，英语95分，平均分数为

    （92+98+95）÷3=95，平均分为95分，其中3是要平均的学科数量

二、长方体和正方体

1、长方体和正方体的概念

                 面                               面    

高h

                            宽b

           棱          顶点                     棱 

               长a

长方体是由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。

两个相交的边叫做棱，三条棱相交的点叫顶点，三条棱分别叫做长、宽、高。一个长方体有6个面，8个顶点，12条棱

正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，也有12条长度相等的棱，8个顶点。

2、长方体和正方体的表面积

长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

3、长方体和正方体的体积

长方体的体积=长×宽×高，正方体的体积=棱长×棱长×棱长

或长方体（正方体）的体积=底面积×高，V=S×h

4、相邻两个单位的进率。

长度：米、分米、厘米  以10进

面积：平方米、平方分米、平方厘米  以100进

体积：立方米、立方分米、立方厘米  以1000进

容积，容纳物体的体积，用升和毫升表示，1升=1000毫升

三、约数和倍数

1、整除的概念

整数a除以整数b(#0)，除得的商正好是整数而没有余数，就说a能被b整除。

如果数a能被b(b#0)整除，a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数（或a的因数）。

2、能被2，5，3整除的数

个位上是0,2,4,6,8的数，都能被2整除，叫做偶数，不能被2整除的数叫奇数。

个位上是0,5的数，都能被5整除。

一个数各位上的数之和能被3整除，这个数就能被3整除。

一个整数a被整数b整除，则b是a因子，可表达成  a=b×k （k是一个整数）

3、质数和合数，分解质因数

一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。如果除了1和它本身还有别的约数，就叫做合数

如：2，4，6，8，10都是合数；1不是质数，也不是合数。

每个合数都可写成几个质数相乘的形式，其中每个质数叫做合数的质因数

如：28=2×2×7；60=2×3×2×5

把合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，其中最大的一个，叫最大公约数；公约数只有1的两个数，叫做互质数。

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫最小公倍数。

公约数的个数是有限的，公倍数的个数是无限的。

注意：一个整数被多个质数整除，则必被这多个质数之积整除。如：整数a被整数b、c整除，而b、c是质数，则a被b×c整除

四、分数的意义和性质

1、分数的意义

将一个物体或计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可以用分数表示。

一个物体、一个计量单位划者是许多物体组成的一个整体，都可以用“1”来表示，通常把它叫做单位“1”

把单位“1” 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。

把单位“1” 平均分成若干份，表示其中一份的数，叫分数单位，如1/3，1/8。

3/5就是3个1/5，5/8就是5个1/8

分数与除法

被除数÷除数=被除数/除数，或a÷b=a/b

分数其实就是一个除数，但分数是精确数，如1÷3，精确值是1/3，0.3333是近似值。

把低级单位名数改成高级单位的名数，要用进率去除，反之将高级单位名数变成低级单位，用进率去乘。如将分米变成米，平方厘米变成平方米等，或反过来将米化成厘米，平方米化成平方分米等。

3分米=3÷10=3/10米，17分=17÷60=17/60小时（1小时=60分）

分数大小的比较

分母相同的两个分数，分子大的分数比较大；

分子相同的两个分数，分母小的分数比较大。

2、真分数和假分数

分子比分母小的分数叫真分数；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。

带分数，是将假分数写成一个整数的一个真分数相连。如5/3=1.2/3

假分数可以化成整数或带分数；整数或带分数可以化成假分数。

3、分数的基本性质

分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。

4、约分和通分

把一个分数化成同它相等，但分子分母都比较小的分数，叫约分。

分子、分母是互为质数的分数，叫做最简分数。

把异分母分数化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

4、分数的小数的互化

分数化成小数，只需将分子除以分数，就可得到小数；

小数化成分数，原来有几位小数，就在1后面写几个“0”作分母，把小数去掉小数点作分子，就变成分数，能约分的要约分。

需要熟记的几具小数和分数的转换关系式

0.2=1/5; 0.25=1/4; 0.5=1/2; 0.75=3/4

五、分数的加法和减法

1、同分母分数的加法和减法

同分母分数的加、减，分母不变，只把分子相加、减。

2、异分母分数的加、减法

异分母分数的加、减，先将分母通分，化成分母相同的分数，然后按分母相同分数加、减法进行计算。

3、分数加减混合运算

分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同。

整数运算的加法的交换律、结合律适用于分数运算。

第十一册

一、分数的乘法

1、分数乘整数

分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。如2/3×2=4/3

2、分数乘分数

分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。2/3×3/5=6/15

3、分数乘加、乘减混合运算

乘法的交换律、结合律、分配律，对分数乘法同样适用

3/5×5/6=5/6×3/5；(1/2×3/5)×5/8=1/2×(3/5×5/8)

1/2×(3/5±5/8)=1/2×3/5±1/2×5/8或写成1/2×3/5±1/2×5/8=1/2×(3/5±5/8)

4、倒数

两个数的乘积是1，这两个数称为互为倒数，如，1/2和2；3/5和5/3，它们相乘为1

二、分数的除法

1、分数除以整数

分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个数的倒数。9/10÷3=9/10×1/3=3/10

2、一个数除以分数，等于这个数乘除数的倒数。

将上面2概括起来，就是“甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数”

3、比

两个数相比较谓之比  ，用“：”表示，例如，2：3，读作2比3，比号前面的数叫前项，比号后面的数叫后项，比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。

3：2=3÷2=1 1/2,1 1/2叫比值。

比的性质：比的前项和后项同时乘上相同的数或除以相同的数（0除外），比值不变。

三、分数四则混合运算和应用题

1、分数的四则混合运算与整数的四则混合运算规律一样，按第一级运算和第二级运算的规律进行运算。

2、应用题

应用题一般都是求某个数的值，可将这个数设为未知数X，通过列方程的办法，解方程求出答案，这些方程一般都含有分数，按照分数的运算方法解求方程的解，可得出所求的数值。

四、圆

1、圆的概念

什么叫圆心、半径、直径                                  半径r

  d=2r,或r=d÷2                                                O

                                                直径d

2、圆的周长的面积

围成圆的曲线叫圆的周长。用C表示

则C=2  r或C=  d

   是圆周率，等于是3.1415926…，是一个无穷无尽，不循环的，不能用分数表示的数。

圆的面积，用S表示，则S=  r2

3、扇形

当圆上两点A、B之间的部份叫做弧，一条弧和经过两点的                 A

半径所围成的部份，叫扇形。

两条半径所成的角叫夹角，当夹角等于是90度时

扇形面积等于圆面积的1/4。

要弄清特殊扇形面积和圆面积的关系                                      B

4、轴对称的图形

五、百分数

1、百分数的概念

表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数（注意，是两个数相比较的结果），也叫百分比，百分率。

比如：a是b的百分之几，即相当于将b分成100份，a的值等于多少份，百分叫通常用“%”表示。

例如，6是10的60%(相当于小数的0.6倍)，将10分成100份（10/100），每分等于1/10，6等于60份1/10（60×（1/10）=6）

2、百分数和分数、小数的互化

a、百分数和小数的互化

把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添加上百分号；把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

b、百分数的分数的互化

把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，保留三位小数），再把小数化成百分数；把百分化成分数，先把百分数改写成分数（去掉百分号，以100用为分母），能约分的要约成最简分数。

C、百分数的应用题

纳税计算，计税金额乘以税率（税率一般为百分数），例如，营业额为10000元，税率为5%，则应交营业税为 10000×5%=500元

利息（将钱存到银行，一般是有利息的，利息一般为一年的利息，以百分数计算）

利息=本金×利率×时间

存3000元到银行，定期三年，年利率是2.7%，则到期利息是

3000×2.7%×3=243元

第十二册

一、比例

1、什么叫比例：表示两个比相等的式子，叫比例。如：80:2=200:5或80/2=100/5

2、比例的基本性质

                   80 : 2 = 200 : 5

内项

                          外项

在比例里，两个外项之积等于两个内项之积。80×5=2×200

3、解比例，在比例中，已知三项，就可以求出另外一个未知项

4、比例尺：图上距离/实际距离=比例尺，通常将前项写成1，比例尺就是1：XXX等。

5、正比例和反比例。

两个数的比值是固定的，这两个数称为成正比例，意思是一个数变大（变小），另一个数也跟着变大（变小）。假设两个数是x，y，则x/y=k（k一定）或写成x=ky

两个数的积是固定的，这两个数称为成反比例，意思是一个数变大（变小），另一个数也跟着变小（变大）。假设两个数是x，y，则xy=k（k一定）或写成x=k/y或y=k/x

二、圆柱、圆锥和球

1、圆柱

底面、侧面、高的概念,体积

侧面积等于底面的周长乘高，即S=2 rh,圆柱面积等于侧面积与上下两个底面积之和

圆柱的体积等于底面积乘高  V=Sh

2、圆锥

圆锥的侧面展开是一个扇形，圆锥体积 V=1/3×S×h

三、简单的统计

1、统计表

2、统计图

条形统计图、折线统计图、扇形统计图

四、整理和复习

1、数和数的运算

自然数，0，1，2，3，……

把1平均分成若干份，表示这样的一份或几分的，叫做分数。

两个数相除，它们的商可以用分数表示 a÷b=a/b

a、数的整除

整数

             倍数        公倍数       最小公倍数

             约数        公约数       最大公约数

         质数   合数     互质数

       质因数   分解质因数

       能被2、5、3整除的数的特征

b、分数、小数的基本性质

分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

小数在尾添加上0或者去掉0，小数大小不变。

      0.3 =0.30 =0.300

     3/10=30/100=300/1000

2、代数的初步知识

a、简易方程

含有未知数的等式叫做方程，这里的方程是一个未知数，未知数是一次方的方程，叫一元一次方程。

方程的解，是指一个数值，使方程的等式成立

解方程，是指求未知数的值的过程，所得的数叫做方程的解

解方的过程，就是要将方程变成  ax=b的形式，从而求得未知数 x=a/b

列出方程式的重要思路是

（1）、总量 = 各部分的量之和 或 总量 - 部分的量 = 另一部分的量

例如：一个班，男生有5/9少4人，女生有40%多6人，这个班有多少人

解：设全班有x人

根据条件，男生有5/9x-4人，女生有40%x+6人，

（根据  全班人数=男生人数＋女生人数）

得方程式  x = 5/9x-4+(40%x+6)

         总量   分量   分量

例：A、B两地之间的铁路长660千米，一列火车以每小时行90千米从A到B，同时另一列火车以每小时75千米的速度从B到A，经过多少小时后，两车相遇。

解：设x小时间两车相遇

（x小时后，第一列火车走了的路程是  90x

x小时后，另一列火车走了的路程是  75x

两列火车相遇，也就是两列火车走的路程刚好等于A、B两地的距离660千米）

得方程式   90x + 75x = 660

          分量   分量  总量

注意：列方程时，要尽量将有未知数的式子放在左边

（2）、各部分量之间存在一定的数量关系式。

例如：一个数的1/2比这个数的25%多10，这个数是多少

解：设这个数为x

（一个数的1/2，就是1/2x。

这个数的25%，就是25%x。

第一个数比第二个数多10，即两个数相减等于10。） 

得方程式   1/2*x-25%x=10

例如：一个粮库，原来存有一批粮食，运走2/5以后，又运来了5.5吨，这时的存粮恰好是原来存粮的80%,问原来有粮食多少吨。

解：设原来粮食有x吨

（运走2/5，即运走了2/5x吨，粮库乘下有 x-2/5x吨

又运来了解5.5吨，粮库共有  x-2/5x+5.5 吨

而这时的粮为存粮是原来的80%,即现在粮库有粮 80%x)

所以有方程式  x-2/5x+5.5= 80%x

b、比和比例

比：两个数相除，又叫两个数的比，如0.9:0.6=1.5,意思是这两个数的比为1.5

如果说两个数a,b的比这1:2,就相当于说a是b的1/2,或说b是a的2倍(a比b是1:2,b比a是2:1)

**推广，三个数相比，a,b,c的比为1:2:3,即三个数一齐比，意思是如果a取1，则b为2，c为3，如果a取2,则b为4，c为6。

比例：两个比相等的式子叫比例，如 2:3=4:6

类似可推广到三个数的比例，如  1.2:0.9:0.3=4:3:1

c、应用题＋－×

应用题一般是通过一些数量的关系式子求得。常见的数量关系式子有

收入、支出、结余           收入－支出=结余

单价、数量、总价           总价=单价×数量

单产量、数量、总产量       总产量=单产量×数量

速度、时间、路程           路程=速度×时间

工效、时间、工作总量       工作总量=工效×时间

本金、利率、时间、利息     利息=本金×利率×时间

3、几何初步知识

a、直线、射线、线段的概念

b、角

大于0,小于90的角，叫锐角

等于90的角，叫直角

大于90，小于180的角，叫钝角

等于是180的角，叫平角

等于是360的角，叫周角

c、垂直与平行

在同一平面内，两直线垂直，是指两条线相交构成的角为直角。

在同一平面内，两直线平行，是指两条线不相交。

d、三角形

有一个角为直角的三角形，叫直角三角形。

三角形三个角之和等于180

三角形项点所对的边，叫这个角的对边

三角形项点到对边的距离（作对边的垂线，项点到对边的距离）叫做三角形的高，因为三角形有三条边，所以三角形有三条高