多数意志上的个人意志 -2001

作者：皇甫茹

　　拖了整整五个星期的２０００年美国大选，终于在１２月１２日划上句号。国最高法院５∶４裁决：停止佛罗里达州的手工点票。民主党的戈尔表示接受裁决。佛罗里达的２５张选举人票按机器点票结果归共和党的布什，使他成了下届美国总统。

　　布什和戈尔，在笔者看来，实在是差别不大。与其看他们的总统竞选，我是更愿看希来莉·克林顿的参议员竞选（见本专栏８月份《第一夫人的参政 路》和１０月份《第一夫人的参政路（续）》）。不出所料，希来莉以５５％∶ ４３％击败里克·拉基奥（Ｒｉｃｋ　Ｌａｚｉｏ），创造了两项第一：一是 全州第一，她是纽约州的第一位女性参议员；二是全国第一，希来莉是唯一的 赢得过民选职位的总统夫人。回想八年来她所遇到的种种风波和挫折，不得不服这位杰出女性的远超男人的坚韧。

　　钦佩之余，当然也不是说笔者就赞成希来莉的种种主张。１１月１０日，竞选胜利后的答谢选民旅程中，希来莉表示她将提出废除大选举团、直选总统的宪法修正案，这话就说得未免太急了一点。

　　美国大选，世界关注。这次佛罗里达点票之争，让很多人明白了两件事：国选总统不是直接选举，而是各州选出“选举人”（Ｅｌｅｃｔｏｒ，现在其实是由州内得胜的政党推选），选举人再投票选出总统；因此，在全国得票最多的候选人，如果得不到选举人票的多数，居然也会当不上总统。这次大选，在全国范围内，戈尔４８．３２％的得票率超过了布什４７．９９％的得票率，多了近三十四万张票；但戈尔只得到２６７张选举人票，布什却有２７１张，结果反是布什当总统。国内《解放日报》１２月１５日的国际评论文章，《大选让美国尴尬》，说“这显然不能算是公正的”。该作者并教训美国：“美国一直极力在世界上推销其政治制度，此次大选却或多或少地使美国在全世界面前感到了尴尬。对美国而言，改变其‘教师爷’形象、改革其选举制度或许正逢其时。”

　　选举是竞争的一种。平时大家更熟悉的另一种竞争，是各类体育活动。今ＮＢＡ冠军是洛杉矶湖人队（Ｌａｋｅｒｓ）。６月１９日，他们在与印第安纳溜马队（Ｐａｃｅｒ，指带队走步的马，国内译作“步行者”，本文按海外中文报纸的习惯称之为溜马队）的第六场比赛中获胜，赢满四场夺得桂冠。但是溜马的六场总得分是６４０，而湖人只有６３１，后者反是冠军，“这显然不能算是公正的”。为什么溜马队和他们的球迷就没有意见呢？

　　ＮＢＡ按场次、而不是按进球数决胜负，意味着冠军应该有比较稳定的发——既要在主场打得好，也要在客场打得好。第五场比赛，溜马以１２０∶８７在主场大胜湖人３３分，这是他们得分超过湖人的主因。得分超过湖人也得不到冠军，谁叫溜马队在客场都输了？戈尔虽然在全国的得票率超过了布什，但他只赢了五十个州中的二十个（见图），而且集中在新英格兰、五大湖地区和西岸。得不到总统并不冤，谁叫戈尔缺乏稳定的发挥，连自己的老家田纳西和克林顿的老家阿肯色都拿不下来？

　　如果篮球比赛不管场次、只算每队的总进球数，会出现什么情况？可以想，强队会把弱队往死里打，不顾风度和体育精神，竭尽全力从弱队身上榨取更多的进球。如果总统竞选人只要赢得全国总票数，他们最廉价的策略就是顺着多数的心意把观点不同的少数往死里打，就象南斯拉夫前总统米洛舍维奇为了骗取塞尔维亚人的选票而挑动对于阿尔巴尼亚人的种族仇恨一样。“体现多数意志”，是否就是民主选举的唯一目的？在民主选举中，我们是否也需要避免多数暴政、尽可能保护少数的利益？

　　麻省理工学院物理学家艾伦·纳达坡夫认为，大选举团正是一种有助于保少数的设置，他还建立了一个探讨大选举团之意义的数学模型。在下面的讨论中，我们将用到一些高中的数学知识。在关于国际问题的中文评论里谈数学，是否有点怪？不过，本人素来服膺韩愈老先生的“惟陈言之务去”，美国大选的各类问题，报刊杂志已经登了成筐的文字，本专栏也有多篇好文章，我希望能写点至少在中文里还算新鲜的观点。萨伊德说得好（《中华读书报》１１月２２日）：

　　　　“我最忌讳的是重复写作，如果一味地重复，我们最终只能拥有一堆
　　　　轮番出现的想法和词语。在过去的几年里，我一直忙于为美国、阿拉
　　　　伯国家和欧洲的一些专栏撰稿，每月两次。此种情形下，我面临的最
　　　　大的挑战是要努力使写的东西适合每一个不同的场合——这当然不容
　　　　易——考虑到读者的差异，我必须避免重复，要让读者感到意外；最
　　　　重要的是引发问题，提出怀疑。”

　　不想写“一堆轮番出现的想法和词语”，文字不足，数学来凑。

　　纳达坡夫的研究出发点是：在多数意志中，如何体现平等的个人意志？为他引入了“票重”（ｖｏｔｉｎｇ　ｐｏｗｅｒ）的概念，即某人的选票可以决定选举结果的概率。在一个只有三人的假设国家内（推广一下，也可以看作实力均等的三个利益集团），你和张三、李四投票选择方案Ａ或Ｂ。如果他们两人选择Ａ、Ｂ的概率是相等的，都是二分之一，你的票重就是５０％。因为在四种可能性（张Ａ，李Ａ）、（张Ａ，李Ｂ）、（张Ｂ，李Ａ）（张Ｂ，李Ｂ）中，只有中间两种，你的一票决定了选举结果。

　　如果人数增加到五人，除你之外，另外四人的可能投票情况如下：

·——·——————————————————————————————·
｜选情｜　０Ａ４Ｂ　　１Ａ３Ｂ　　２Ａ２Ｂ　　３Ａ１Ｂ　　４Ａ０Ｂ　｜
｜频率｜　　　１　　　　　４　　　　　６　　　　　４　　　　　１　　｜
｜％　｜　６．２５　　２５．０　　３７．５　　２５．０　　６．２５　｜
·——·——————————————————————————————·

　　表中第一行是投票情况，０Ａ４Ｂ表示四人都投Ｂ的票，依此类推。第二是上行相应选情的出现频率。０Ａ４Ｂ只有一种可能，即四人都投Ｂ的票；１Ａ３Ｂ是一人投Ａ，另三人投Ｂ，因为投Ａ的可以是四人中任一人，所以有四种可能性；足球世界杯２４个队第一阶段打小组循环，每组４队，任取两队比赛，球迷都知道，要比６场——同理，２Ａ２Ｂ相当于从四人中任取两人投Ａ的票，应有六种可能性；因为有对称性，３Ａ１Ｂ和１Ａ３Ｂ有同样多的可能性，４Ａ０Ｂ则与０Ａ４Ｂ相同。这里一共有十六种可能性。第三行是本栏选情的出现概率，即把第二栏的数字除以十六，算出该选情占所有可能性的百分比。

　　对于２Ａ２Ｂ的选情，你的一票将决定选举结果，票重为３７．５％。一地讲，在一个有（２Ｎ＋１）个人的国家里，借用高中数学里排列组合的符号，你的票重是

　　　　Ｃ（Ｎ，２Ｎ）／２＾（２Ｎ）

　　这里Ｃ（Ｎ，２Ｎ）表示２Ｎ个人中任取Ｎ个人的组合数，即Ｎ个人选Ａ、个人选Ｂ的频率；２＾（２Ｎ）是２的２Ｎ次幂，是各种可能性的总和。

　　你的票重越大，候选人就越可能寻求你的支持并考虑你的利益。于是纳达夫可以计算票重的变化，以此比较不同选举方式的优劣。显然，当选民人数增加时，个人票重将下降。如何补偿这一下降趋势？一种办法是分区。你的选票或许决定了区选的结果，你的区或许又决定了全国选举的结果。但是——这是一个在理论上很重要的“但是”——如果选民选择Ａ、Ｂ的概率是相等的，都是二分之一，分区选举并不会增加票重。

　　试看一个简单的九人国家的例子。如果分成三组，每组三人，前面已经讲，在小组内你的票重是５０％。你的小组可以决定全国选举结果的票重也是５０％。你这一票可能决定全国选举结果的票重是两者的乘积，即２５％。但是，如果不分区的话，你的票重是

　　　　Ｃ（４，８）／２＾８　＝　７０／２５６　＝　２７．３％

　　分区选举反而降低了你的票重！不过，这不是很现实的情形。现实选举中，民对两个候选人的选择概率一般是不同的。比如，在纽约，人们选希来莉的概率约为九分之五，选里克的概率约为九分之四。纳达坡夫发现，选民总数之外，影响票重的另一个关键因素是得票概率差。在一个１３５人的假想国家，当概率差为零时（即Ａ、Ｂ的得票概率都是５０％），个人的票重是６．７％。但是，当Ａ的得票概率升到５５％时，你的票重急遽下降到０．４％。如果Ａ有６１％的得票概率，你的票重仅是微不足道的０．０２４％。选民总数有百分之一、二的变化，不会对票重有多大影响；但是，得票概率差多个百分之一、二，却足以使你的票重失去份量，也使候选人失去对你的热情。

　　这时候分区选举就显出了它的作用！把１３５人的假想国家分为每区４５的三个区，当概率差为零时，个人的票重是６％，低于不分区时的６．７％。但是，当Ａ的得票概率升到５４．５％时，两种方法有了相等的票重。当Ａ的得票概率继续上升至６１．１％时，分区选民的票重是不分区的两倍。如果Ａ有可能得到６４．８％的选票，分区选举的票重竟是不分区时的四倍！

　　对这个１３５人的假想国家，可以把５５％∶４５％的得票概率当作分界。概率差比这小，直接选举有较大的个人票重；概率差比这大，分区选举将使政客对你投以更多的微笑，更好地注视你的利益，那怕你原本不想选他——说不定你就是那扭转乾坤的一票呢？

　　当选民人数很少时，比如，中学生选班长，候选人必须有相当大的、未必实的得票概率差，才能使分区选举有更大的票重。因此，对这类选举，以直选为好。当选民总数增加时，分区选举与直选的分界点向得票概率差减小的方向移动。如果你有百万选民，候选人要有几乎相等的得票概率，才能抹去分区选举的票重优势。纳达坡夫作了种种计算：不同的选民总数，不同的得票概率差，不同的分区方法……他的结论是：总的来讲，分区选举增加了个人的票重，能够更好地保护少数的利益。

　　这里顺便说一下，为什么分区只分一次，不在大区中再分小区。多层分区不能增加你的票重，因为概率的连乘会使票重很快趋于零。

　　当然，美国的五十个州并不能说是一种理想的分区。但是，选民可能迁移，国移民会涌向不同的聚集区域，每州的选民总数在不断变化；同时，每次选举会有不同的得票概率差（概率差小的时候分大区较好，概率差大则小区有更好的票重）。考虑到这类变动，数学上理想的分区，不可能有固定界线。现在这样大中小州混杂的分法，也说得过去。

　　如果确实出现了象戈尔那样获得了全国多数票却当不了总统的情形，纳达夫说：太好了！这说明少数的利益不可忽视，在美国的选举体制下，他们偶尔也能赢！

　　一个有趣的观察是，按纳达坡夫的数学模型，华人聚居在旧金山，选出一华裔众议员，未必比散居在三个选区更有利。作为三个选区里可能决定选举结果的少数票，华人可以迫使三位议员倾听自己的要求，哪怕这三位议员都不是华人。

　　纳达坡夫的计算只考虑了两个候选人的情形。美国大选举团的一个效应，是由于“胜者通吃”的规则，抑制了第三党的崛起。这次美国大选的选票上，虽然有社会主义党、社会主义工人党和工人世界党的候选人，他们不过就是借此吼一声而已，可能拿到的选举人票为零。这也常常为人诟病，诋为美国政制不够民主的表现。不过，当候选人多于两个时，到底什么才是真正的“民意”，民意又该如何确定，并不是个简单的问题。比如，对三个候选人各占约３３％选票的情形，用何种程序确定到底是谁体现了多数意志？

　　可能有人觉得这问题很容易解决。象很多国家规定的那样，先选出得票最的两人，再在这两人中复选。我们来看个实际例子。路易斯安纳州１９９１年选州长，有十二人参选。前三Ｋ党党徒大卫·杜克（Ｄａｖｉｄ　Ｄｕｋｅ）得３２％的选票；前任州长、民主党的埃德温·爱德华兹（Ｅｄｗｉｎ　Ｅｄｗａｒｄｓ），虽被指控在发放医院执照时收受贿赂，因有法裔和黑人的拥载，也有３４％的支持率；持中间立场的共和党现任州长查理·罗伊摩（Ｃｈａｒｌｅｓ　Ｒｏｅｍｅｒ）仅得票２７％。结果第二轮选举被时人贬为“讹棍对党棍”（Ｋｒｏｏｋ　ｏｒ　Ｋｌｕｘ），最后讹棍胜。在该次州长任内，爱德华兹又被指控在发放密西西比河赌船执照时收受贿赂，今年５月９日定罪，明年（２００１）１月８日联邦法庭将宣判他和他儿子的刑期。

　　爱德华兹的支持者可以接受罗伊摩，他们痛恨的是杜克；杜克的支持者非看不起爱德华兹，罗伊摩倒是能接受。但是，由于两个极端均有相当拥趸，第一轮选举挤走了最能被人接受的中间分子，复选被迫在两个大多数人不能接受的候选人中进行。难道这就是民意？

　　１９７２年诺贝尔经济奖奖主肯尼斯·阿罗（Ｋｅｎｎｅｔｈ　Ｊ·Ａｒｏｗ）在五十年代初证明了所谓的“阿罗不可能性定理”①。在五个相当一般的条件下（其中三个是民主的基本要求；两个是数学分析的需要，可以看作理性的要求），阿罗发现，如果候选人有两名以上，在把每个选民对候选人依个人好恶的排序综合成某种总体的排序时，不存在一种选择过程，能够同时满足民主条件和分析条件。说得难听点，这意味着民主和理性是有些矛盾的，群体“思维”不是那么理性的。两大政党，非常有限的选择，不失为民主和理性的一种恰当妥协。历史也证明，两党制避免了未过半数政党必须拉拢一串小党才能凑成多数、从而取得组阁资格的情形，不至于因某个小党的改变立场而倒阁。政局的稳定，有利于经济发展和人民生活水平的提高。在美国，就不会有意大利发生过的那种几个月换次内阁、里拉一贬再贬的乱象。

　　阿罗不可能性定理的证明，超出了中学数学的范围，这里不谈。有兴趣的者，可以查阅他的名著《社会选择和个人价值》。

　　其实，几个世纪以来，西方学者一直在寻找一种比较完美的选举方法。阿的定理，限于“双比”（ｐａｉｒ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ），就是说，他是一对又一对地比较候选人。有人试图打破这一限制，从而避开阿罗定理。所谓的“接受票法”（ａｐｐｒｏｖａｌ　ｖｏｔｉｎｇ），就是要求选民对可以接受的候选人都投一票，票数最多者胜。这一方法不牵涉到“双比”候选人，但是并不能阻止选民不是出于信念、而是出于策略投票——即所谓的“不诚实投票”②。在美国，“接受票法”目前只用于没有激烈党派内争的场合，比如某些专业学会的选举，象美国数学学会和电气电子工程师学会（ＩＥＥＥ）。

　　美国的建国之父们，显然不可能具有本文讨论的知识，但是，他们毕竟是群当时最有学问的人，也有丰富的政治经验，在１７８７年的费城制宪会议上，他们天才地建立了——也有人说是临结束时匆忙拼凑了（但“匆忙拼凑”也是一种天才）——大选举团这一有利于保护少数的选举形式。为了建立互相依赖最小的三权分立，他们不愿让议会挑选总统，同时又要提防直选可能带来的多数暴政，建国之父们把正式选举总统的特权交给了与议员人数相等的普通民众。

　　１７９６年，华盛顿退位后，约翰·亚当斯和托马斯·杰佛逊竞选总统，况非常激烈。亚当斯虽然胜了，但弗吉尼亚的选举人中，只要投州胞杰佛逊的再多一名，就会改变选举结果。１８００年，两人再次竞选总统，弗吉尼亚议会里的杰佛逊支持者制定了“胜者通吃”的州法，亚当斯所在的马萨诸塞州立即跟进。当时弗吉尼亚是大州，杰佛逊果然就此胜出。接着各州纷纷通过类似法案。这一看来偶然的事件，居然钻了阿罗不可能性定理的空子，稳住了美国后来两百年的政局。

　　如今无处不在的视窗界面的发明者艾伦·凯（Ａｌａｎ　Ｋａｙ）在教授统设计时，喜欢拿美国宪法作例子，称之为人类设计的完美系统之范例。他认为，美国宪法有第一层的“无政府状态”（民众有相当大的自由按自己的意愿生活）以发挥创造力，又有第二层的“控制”，让发挥出来的创造力流入建设性的管道，而不是泛滥闯祸。这是一种理想系统。而这第二层的“控制”里，笔者以为，大选举团正是一个重要部分。

　　也算是一种“主权在民”的传统吧，美国的政党倾向于推选普通民众作选人。这些平凡的教师、工匠、下层主管和退休老人，虽然不在媒体的镁光灯下，却以似乎多余的一票，默默地维护着一个“理想系统”的顺利运行。

【注】

①　Kennith J. Arrow, "A Difficulty in the Concept of Social Welfare", 　　Journal of Political Economy, Vol. 58, No. 4, 1950, pp 328-346; reprinted in "Readings in Welfare Economics", edited by KJ Arrow & Tibor Scitovsky, pp 147-168, published by Richard D. Irwin Inc., Homewood, IL, 1969.
　　秋实与作者就阿罗不可能性定理作了有益的讨论，特此致谢。
②　参看云儿在《国风》的文章，www.FolkWind.com/yuner/ye001119.htm 。